第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
îíì
<<><¥
=
axaxx
xV
0,0,0,
)(
试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(
2L=×=nnal
na/2=\l
（1）
又据de Broglie关系 l/hp=
（2）
而能量
()
Lhh
,3,2,1
2422/2/
2222
222222
==
×===
n
man
amnhmmpE
pl
（3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,
的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,
轴方向，把粒子沿zyx,,
轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有
()
ò==×L,3,2,1,
xxxnhndxp
即 hnap
xx=×2
（a2
：一来一回为一个周期）
ahnp
xx2/=\
,
同理可得， bhnp
yy2/=
, chnp
zz2/=
,
L,3,2,1,,=
zyxnnn
粒子能量
÷÷
øö
çç
èæ
++=++=
22
22
2222
222
2)(
21
cn
bn
an
mppp
mEzy
x
zyxnnn
zyxhp
L,3,2,1,,=
zyxnnn
1.3设质量为m的粒子在谐振子势22
21
)(xmxVw=
中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。
提示：利用
)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp-===×ò
L
)(xV
解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为
ax£
（1）
其中a
由下式决定：221
()
2xaEVxmaw
===
。 a-
0 a
x
由此得
2/2wmEa=
， （2）
ax±=
即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222
221
22()2
2
2
2aa
aapdxmEmxdxmaxdx
mamanhww
p
wwp++
1 量子力学2012复习题
一、 简答题：
1. 试简述Bohr的量子理论。
2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。
3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。
4. 写出在任意态|下测量力学量F所得平均值的一般表达式。
5. 设粒子在势场V(r)中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函数求势能表达式。
6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。
8. 下列函数哪些函数是算符22dxd的本征函数，其本征值是什么？
①2x， ② xe， ③xsin， ④xcos3， ⑤xxcossin
9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应的本征态、本征值和本征方程。对三维谐振子，情况又怎样？
10. 力学量F的平均值随时间变化满足d1[,]dFFFHtit，由此可得出力学量F为守恒量的条件，试写出相应条件。
11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。
12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？
13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。
14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。
15. 力学量完全集2(,)zLL的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。
16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。
17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z表象中写出泡利矩阵,,zxy的具体表示。
18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一级修正），并能计算相关问题。 2 19. 简述变分法的基本思想及选取试探波函数的一般原则。
20. 写出一维谐振子升降算符对粒子数本征态的作用结果，并用粒子数本征态的相干叠加表示湮灭算符a的本证态，即相干态。
第一章思考题
1．下说法是否正确：
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。 =
答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典
力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量
子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 =
2．什么是黑体？
（1）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
答：（4），（5）正确。吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的
任何波长的辐射α（λ，T）均为1。
（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。
3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相
互作用过程中是可分的？
答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只
吸收一个光子。另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电
子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非
常小的。因而，截止频率的限制是必需的。
4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有
内部结构的复合体系？
答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而
与物质具体结构无关。因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复
杂体系。
5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联
系？
答：由基本假设 λ=ph，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联
系。
6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成
了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做
济南大学 学年 第 学期试卷
课程 量子力学 授课教师
考试时间 考试班级
姓名 学号
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
得分
一、 填空题（每空1.5分，共30分）
1. Planck常数___________; Bohr半径__________;精细结构常数_______________
2. 自由粒子的质量为m,能量为E,粒子运动的速度远小于光速,则其德布罗意波长为_________________
3. 写出一个证明光的粒子性的实验__________________________;写出一个证明电子具有自旋的实验___________________________
4. 碱金属原子双线结构的成因是:__________________________________________
5. 根据氢原子的能级公式,写出电子偶素(e+-e-束缚体系)的能谱________________
6. 三维各向同性谐振子的能级为__________________,其简并度为______________
7. 两个自旋为1/2的电子偶合后,其总自旋角动量量子数为____________;相应的简并度分别为__________________和_________________.
8. 设一体系含有两个粒子,每个粒子可处在两个单粒子态1和2中的任何一个,则体系可能的状态数目是: (1)两个全同Bose子__________; (2)两个全同Fermi子_________; (3)两个不同粒子________________.
9. 在动量表象中,动量的本征态为_____________;坐标的本征态为_____________. 10.若电子的状态用旋量波函数)2/,()2/,(),(rrsrz描述,则2)2/,(r表示__________________________________________________________________;2)2/,(r表示____________________________________________________.
