2015年广东省高考数学试卷(理科)_最新修正版
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最新修正版 2015年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
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二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为 ．
10．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．
11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．
12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．
14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为
．
15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．
三、解答题
16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 最新修正版
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3
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6
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9 40
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40
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42 28
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（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1． 最新修正版
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{an}的前 n项和Tn；
（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．
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2015年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．
【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，
N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，
则M∩N=∅．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex
【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；
对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确； 最新修正版
对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；
∴基本事件总数为105；
设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选：B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程． 最新修正版
【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
