2015年广东省高考数学试卷(理科)学生版
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2015年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则 =（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y= B．y=x+
C．y=2x+
D．y=x+ex
4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0或2x+y﹣ =0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0或2x﹣y﹣ =0
6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件
，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B．
C．6 D．
7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：
﹣
=1的离心率e=
，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1
8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）（2015•广东）在（ ﹣1）4的展开式中，x的系数为 ．
10．（5分）（2015•广东）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．
11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB=
，C=
，则b= ．
12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．
14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣
）= ，点A的极坐标为A（2 ，
），则点A到直线l的距离为 ．
15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．
三、解答题
16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 =（
，﹣
）， =（sinx，cosx），x∈（0，
）．
（1）若 ⊥ ，求tanx的值；
（2）若 与 的夹角为
，求x的值．
17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：
工人编 年龄 工人编 年龄 工人编 年龄 工人编 年龄
1
2
3
4
5
6
7
8
9 40
44
40
41
33
40
45
42
43 10
11
12
13
14
15
16
17
18 36
31
38
39
43
45
39
38
36 19
20
21
22
23
24
25
26
27 27
43
41
37
34
42
37
44
42 28
29
30
31
32
33
34
35
36 34
39
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值 和方差s2；
（3）36名工人中年龄在 ﹣s和 +s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤
﹣1．
20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣
，n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{an}的前 n项和Tn；
（3）令b1=a1，bn=
+（1+
+
+…+
）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．
