重庆一中高一数学上学期期中试题
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- 1 - 重庆一中2014-2015学年高一数学上学期期中试题
一、选择题（每题5分，共50分。每题只有一个正确答案）
1. 以下表示正确的是（ ）
A. 0 B. {0} C. {0} D. {0}
2.函数()1ln(2)fxxx的定义域为（ ）
A. [1,2) B. (1,) C. (1,2) D. (2,)
3.函数41()2xxfx的图像（ ）
A. 关于原点对称 B.关于x轴对称 C. 关于y轴对称 D. 关于直线yx轴对称
4. 已知a=132，b=21log3，c=121log3，则（ ）
A. abc B. acb C. cab D. cba
5. 已知幂函数()fx的图像经过点（4,2），则()fx的增区间为（ ）
A. (,) B. (,0) C. (0,) D. (1,)
6. （原创）1x的充分不必要条件是（ ）
A. 0x B. 1x C. 0x D. 2x
7. 已知(1)2,()3,fxxxfa且则实数a的值是（ ）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
8.（原创） 函数241,(0)()2,(0)xxxfxxx，若互不相等的实数123,,xxx满足123()()()fxfxfx，则123xxx的取值范围为（ ）
A. 5,4 B. (5,3) C. (1,4) D. 1,3
9. 已知函数22lg12(1)3yaxax的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A. [2,1] B. [2,1] C. (2,1) D. (,2)[1,)U
10.已知定义在R上的函数()fx满足[()]()1ffxxfx，则方程()0fx的实根个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
二、填空题（每小题5分，共25分） - 2 - 11. 函数21,[1,2]yxx的值域为 ；
12. 已知函数1()31xfxa为奇函数，则常数a= ；
13. 函数22log(4)yxx的增区间为 ；
14. 已知不等式20axbxc的解集为1(,2)2，对于系数,,abc有如下结论：①0a；②0b；③0c；④0abc；⑤0abc。其中正确结论的序号是 ；（填入所有正确的序号）
15. （原创） 已知函数2()2(),(0)fxmxmnxnm满足(0)(1)0ff，设12,xx是方程()0fx的两根，则12xx的取值范围是 。
三、解答题（共75分）
16. （13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）
（1）120.75103110.027()2563();62
（2）23334(log3)[log(123)log(123)]log3.
17.（13分）已知集合2220,2(25)50;AxxxBxxkxk
（1）若1k时，求;ABI
（2）若UAB=R，求实数k的取值范围。
18. （13分）（原创）已知函数13(),(0,),(2)2mfxxxfx且。
（1）用定义证明函数()fx在其定义域上为增函数；
（2）若0a，解关于x的不等式2(31)(91)xaxff。
- 3 -
19.（12分）已知函数2*()2,(,)fxaxxcacN满足①(1)5f；②6(2)11f。
(1)求函数()fx的解析表达式；
（2）若对任意1,2x，都有()21fxmx成立，求实数m的取值范围。
20（12分）已知函数212()log2(21)8,fxxaxaR。
（1）若()fx在,a上为减函数，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程12()log(3)1fxx在(1,3)内有两不等实根，求a的取值范围。
21.（12分）（原创）设函数()fx满足：①对任意实数,mn都有()()2()()fmnfmnfmfn；②对任意mR，有(1)(1)fmfm；③()fx不恒为0，且当0,1x时，()1fx。
（1）求(0)f，(1)f的值；
（2）判断()fx的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数()Fx定义域中的任意一个x，均有()()FxTFx，则称()Fx为以T为周期的周期函数”。试证明：函数()fx为周期函数，并求出
1232017()()()()3333ffffL的值。
（命题人：陶成海）
（审题人：王中苏） - 4 -
2014年重庆一中高2017级高一上期半期考试
数 学 答 案 2014.11
DACCC DBDBA
11. [1,5] 12. 12 13. (0,2) 14. ②，③，④ 15. [3,2)
16. (1)原式=1013664132;33
（2原式=2324321113log3log22log21;4444
17.（1）由已知得，(,1)(2,)AU，当 1k时，252250(,1);2Bxxx5(,1).2ABI
（2）由于方程22(25)50xkxk的两根为52k和,所以55(,),(k)225,(k)255(,k),(k)22kB，由已知UAB=R得，2,2.kk
18. （1）由3(2)2f得m=1, 1()(0)fxxxx。对任120xx，有212121212112(1)11()()()()0xxxxfxfxxxxxxx，即21()()fxfx，
故()fx在定义域(0,)上为增函数；
（2）由（1）知，2(31)(91)xaxff等价于203191,xax即2,(0)122xaax。
当120a即102a时，由于2212a，此时2212xa；
当120a即12a时，2x；当120a即12a时，2212xxa，此时2;x - 5 - 所以当102a时，不等式解集为2(2,)12a；当12a时；解集为2,。
19．（1）52ac即3ca，又146441133aca，又*aN，1,2ac。
所以2()22.fxxx
（2）法一：设2()()212(1)1gxfxmxxmx，[1,2],x则由已知得：
当11m即2m时，min()(1)420gxgm，此时2m；
当112m即23m时，0，解得：无解；
当12m即3m时，min()(2)940gxgm，此时无解。
综上所述，m的取值范围为,2。
法二：由已知得，121mxx在1,2x上恒成立。由于1xx在1,2上单调递增，所以152,2xx，故212m即2m。
20. （1）要使()fx在,a上为减函数，一方面2()2(21)8gxxax递增，另一方面()0gx，所以21aa且2()2(21)80gaaaa，解得413a。
（2）由已知得2420xax在(1,3)内有两不等实根，令2()42Fxxax，则
0123(1)0(3)0aFF即22221322341112aaaaa或解之得2324a；
（另：分离变量法，即24axx在（1，3）内有两不等实根，由图像可知：232243,24aa即） - 6 -
21. （1）由于()fx不恒为0，故存在0x，使0()0fx，于是令0,0mxn，有000()()2()(0)fxfxfxf即02()(0)10,(0)1fxff。又令m=n=1,得2(2)(0)2[(1)],fff又由(1)(1)fmfm得2(2)(0)[(1)]1fff即(1)1f，而由已知(1)1f，故(1)1f。
（2）令0,mnx得：()()2(0)()2(),()()fxfxffxfxfxfx即()fx为偶函数。
（3）由已知(1)(1)fmfm得()(2)fxfx，又()fx为偶函数，有()()(2)()fxfxfxfx，所以()fx为以2为周期的周期函数。
令13mn得：221()(0)2[()].33fff即：221()12[()].33ff
再令：21,33mn得：121(1)()2()()333ffff。即：121()12()()333fff。
而2()1.3f。由此得：1121(),()3232ff
又由条件（2），15()()33ff，24()()33ff，故123456()()()()()()0333333ffffff，又()fx是以2为周期的周期函数，故122017201711()()()3360()()333332fffffL。
