2015年高考真题：理科数学(广东卷)试卷(含答案)

一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．若集合{|(4)(1)0}Mxxx=++=，{|(4)(1)0}Nxxx=--=，则MN=

A． B．1,4 C．0 D．1,4

【答案】A．

【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题．

2．若复数32zii ( i是虚数单位 )，则z

A．32i B．32i C．23i D．23i

【答案】D．

【解析】因为3223ziii，所以z23i，故选D．

【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题．

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A．xexy B．xxy1 C．xxy212 D．21xy

【答案】A．

【解析】令xfxxe，则11fe，111fe即11ff，11ff，所以xyxe既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A．

【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．

4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所

取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为

A．1 B. 2111 C. 2110 D. 215

【答案】B．

【解析】从袋中任取2个球共有215105C种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550CC种，所以恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选B．

【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题．

5．平行于直线012yx且与圆522yx相切的直线的方程是

A．052yx或052yx B. 052yx或052yx

C. 052yx或052yx D. 052yx或052yx

【答案】D．

【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．

6．若变量x，y满足约束条件2031854yxyx则yxz23的最小值为

A．531 B. 6 C. 523 D. 4

【答案】C．

【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，

x y

O A l

由32zxy得322zyx，依题当目标函数直线l：322zyx经过41,5A时，z取得最小值即min42331255z，故选C

【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．

7．已知双曲线C：12222byax的离心率54e，且其右焦点25,0F，则双曲线C的方程为

A．13422yx B. 191622yx C. 116922yx D. 14322yx

【答案】B．

【解析】因为所求双曲线的右焦点为25,0F且离心率为54cea，所以5c，4a，2229bca所以所求双曲线方程为221169xy，故选B．

【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．

8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值

A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3

【答案】C．

【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．

第Ⅱ卷(共110分)

二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9．在4)1(x的展开式中，x的系数为

【答案】6．

【解析】由题可知44214411rrrrrrrTCxCx，令412r解得2r，所以展

开式中x的系数为22416C，故应填入6．

【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．

10．在等差数列na中，若2576543aaaaa，则82aa=

【答案】10．

【解析】因为na是等差数列，所以3746282aaaaaaa，345675525aaaaaa即55a，285210aaa，故应填入10．

【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．

11．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a， 1sin2B，6Cπ，则b

【答案】1．

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．

12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了

条毕业留言．（用数字作答】

【答案】1560．

【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A条毕业留言，故应填入1560．

【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题．

13、已知随机变量服从二项分布,np，若30，D20，则p ．

【答案】13．

【解析】依题可得30EXnp且120DXnpp，解得13p，故应填入13．

【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题．

(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)

14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为24sin(2）π，点A的极坐标为

722,4A，则点A到直线l的距离为

【答案】522．

【解析】依题已知直线l：2sin24和点722,4A可化为l：10xy和2,2A，所以点A与直线l的距离为2222152211d，故应填入．

【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．

15.（几何证明选讲选作题】如图1，已知AB是圆O的直径，4AB，EC是圆O的切线，切点为C，

1BC，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD

图1POECDAB

【答案】8．

【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．

三.解答题：本大题共6小题，满分80分.

16．（本小题满分12分】

在平面直角坐标系xoy中，已知向量22,22m，sin,cosnxx，0,2x。

（1】若mn，求tan x的值 （2】若m与n的夹角为3，求x的值。

【答案】（1】1；（2】512x．

【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题，属于中档题．

17（本小题满分12分】

某工厂36名工人的年龄数据如下表。

工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄

140

244

340

441

533

640

745

842 1036

1131

1238

1339

1443

1545

1639

1738 1927

2043

2141

2237

2334

2442

2537

2644 2834

2939

3043

3138

3242

3353

3437

3549

943 1836 2742

3639

（1】用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2】计算（1】中样本的平均值x和方差2s；

（3】36名工人中年龄在sx与sx之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％】？

【答案】（1】44，40，36，43，36，37，44，43，37；（2】40x，21009s；（3】23，约占63.89%．

【考点定位】本题考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等知识，属于中档题．

18．（本小题满分14分】

如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4PDPC==，6AB=，3BC=.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且2AFFB=，2CGGB=.

图2ADCBHFGE

（1】证明：PEFG；

（2】求二面角PADC--的正切值；

（3】求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

【答案】（1】见解析；（2】73；（3】9525．

【解析】（1】证明：∵ PDPC且点E为CD的中点，

∴ PEDC，又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，

∴ PE平面ABCD，又FG平面ABCD，

∴ PEFG；

（2】∵ ABCD是矩形，

∴ ADDC，又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，AD平面ABCD，

∴ AD平面PCD，又CD、PD平面PDC，

∴ ADDC，ADPD，

∴ PDC即为二面角PADC的平面角，

在RtPDE中，4PD，132DEAB，227PEPDDE，

∴ 7tan3PEPDCDE即二面角PADC的正切值为73；

（3】如下图所示，连接AC，

∵ 2AFFB，2CGGB即2AFCGFBGB，

∴ //ACFG，

∴ PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，

在PAC中，225PAPDAD，2235ACADCD，

由余弦定理可得222222535495cos2252535PAACPCPACPAAC， P

A B C D E

F G

P

A B C D E

F G