232第9章 线性离散系统初步从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。
随着计算机被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。
离散控制系统是以微处理器及微型计算机为基础,融汇计算机技术、数据通信技术、CRT 屏幕显示技术和自动控制技术为一体的计算机控制系统,它对生产过程进行集中操作管理和分散控制。
离散系统与连续系统相比，有许多分析研究方面的相似性。
利用z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。
本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍z 变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。
9.1 离散系统通常，当离散控制系统中的离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而当离散系统中的离散信号是数码序列形式时，称为数字控制系统或计算机控制系统。
在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散系统。
9.1.1 采样控制系统采样器在采样控制系统中可以有多个位置，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统，其典型结构图如图9-1所示。
图中，S 为采样开关，)(s G h 为保持器的传递函数，)(0s G 为被控对象的传递函数，)(s H 为测量元件的传递函数。
233*图9-1 采样系统典型结构图9.1.2 数字控制系统数字控制系统的典型原理图如图9-2所示。
它由工作于离散状态下的计算机（数字控制器）)(s G c ，工作于连续状态下的被控对象)(0s G 和测量元件H(s)组成。
在每个采样周期中，计算机先对连续信号进行采样编码(即D A 转换)，然后按控制律进行数码运算,最后将计算结果通过A D 转换器转换成连续信号控制被控对象。
因此，D A 转换器和A D 转换器是计算机控制系统中的两个特殊环节。
图9-2 计算机控制系统典型原理图1. D A 转换器A D 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。
A D 转换包括两个过程：一是采样过程，即每隔T 秒对连续信号()e t 进行一次采样，得到采样信号*()e t 如图9-3所示；二是量化过程，在计算机中，任何数值都用二进制表示，因此，幅值上连续的离散信号)(*t e 必须经过编码表示成最小二进制数的整数倍，成为离散数字信号)t (e *，才能进行运算。
数字计算机中的离散数字信号)(*t e 在时间和幅值上都是按断续的。
234图9-3 A ／D 转换过程2. A D 转换器A D 转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。
A D 转换也有两个过程：一是解码过程，把离散数字信号转换为离散的模拟信号；二是复现过程，经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
如果量化单位q 足够小，则由量化引起的幅值的断续性（即量化误差）可以忽略。
若认为采样编码过程瞬时完成，则D A 转换器就可以用一个每隔T 秒瞬时闭合一次的理想采样开关S 来表示。
这样，数字控制系统等效于采样控制系统。
在离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列或数码，控制的过程是不连续的；不能沿用连续系统的研究方法。
研究离散系统的工具是z 变换，通过z 变换，可以把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念应用于离散系统。
9.2 信号采样与保持采样和保持对于离散系统来说非常重要，因此，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
9.2.1 信号采样在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。
实现采样的装置称为采样器，或采样开关。
用T 表示采样周期，单位为s 。
f s 1=表示采样频率，单位为s 1；s ω＝2s f π＝2π/T 表示采样角频率，单位为rad 。
在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间τ远小于采样周期T ，也远小于系统连续部分的最大时间常数。
1. 采样信号的数学表示235 一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图9-4所示。
图9-4 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ= （9-1）理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ (9-2)其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲，故式(9-1)可以写为∑∞=-=0*)()()(n nT t t e t e δ 由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(<∀=t t e 所以)(*t e 又可表示为*0()()()n e t e nT t nT δ∞==-∑ （9-3） 2. 采样信号的拉氏变换对采样信号)(*t e 进行拉氏变换，可得 )]([)(])()([)]([)(00**nT t L nT e nT t nT e L t e L s E n n -=-==∑∑∞=∞=δδ (9-4) 根据拉氏变换的位移定理，有nTs st nTs e dt e t e nT t L -∞--==-⎰0)()]([δδ236所以，采样信号的拉氏变换∑∞=-=0*)()(n nTs e nT e s E (9-5)3. 香农采样定理 前已指出，要对对象进行控制，通常要把采样信号恢复成原连续信号。
但是信号能否恢复到原来的形状，主要决定于采样信号是否包含反映原信号的全部信息。
实际上这又与采样频率有关。
下面分析采样前后信号频谱的关系。
式(9-2)表明，理想单位脉冲序列)(t T δ是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即∑+∞-∞==n t jn n T s e c t ωδ)( (9-6)式中，T s /2πω=，为采样角频率；n c 是傅氏系数，其值为/2/21()s T jn t n T T c t e dt T ωδ--=⎰ 由于在]2,2[T T -区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且1|0==-t t jn s e ω，所以0011()n c t dt T Tδ+-==⎰ （9-7） 将式(9-7)代入式(9-6)，得 ∑+∞-∞==n t jn T s e Tt ωδ1)( （9-8）再把式(9-8)代入式(9-1)，有 ∑+∞-∞==n t jn s e t e T t e ω)(1)(*（9-9） 上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到∑+∞-∞=+=n s jn s E T s E )(1)(*ω (9-10) 令ωj s =，得到采样信号)(*t e 的傅氏变换∑+∞-∞=+=n s n j E T j E )]([1)(*ωωω （9-11) 其中，)(ωj E 为非周期连续信号)(t e 的傅氏变换，即237⎰+∞∞--=dt e t e j E j ωω)()( （9-12） 它的频谱)(ωjE 是频域中的非周期连续信号，如图9-5所示，其中h ω为频谱)(ωj E 中的最大角频率。
图9-5 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(ωj E *(h s ωω2>)的比较采样信号)(*t e 的频谱|)(|*ωj E ，是连续信号频谱)(ωj E 以采样角频率s ω为周期的无穷多个频谱的延拓，如图9-5所示。
其中，0=n 的频谱称为采样频谱的主分量，如曲线1所示，它与连续频谱)(ωj E 形状一致，仅在幅值上变化了1，其余频谱( ,2,1±±=n )都是由于采样而引起的高频频谱。
图9-5表明的是采样角频率s ω大于两倍h ω的情况，采样频谱中没有发生频率混叠，利用图9-6所示的理想低通滤波器可恢复原来连续信号的频谱。
如果加大采样周期T ，采样角频率s ω相应减小，当h s ωω2<时，采样频谱的主分量与高频分量会产生频谱混叠，如图9-7所示。
这时，即使采用理想滤波器也无法恢复原来连续信号的频谱。
因此，要从采样信号)(*t e 中完全复现出采样前的连续信号)(t e ，对采样角频率s ω应有一定的要求。
238图9-6 理想低通滤波器的频率特性图9-7 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(*ωj E (2s h ωω<)的比较香农采样定理指出：如果采样器的输入信号)(t e 具有有限带宽，即有直到h ω的频率分量，若要从采样信号)(*t e 中完整地恢复信号)(t e ，则模拟信号的采样角频率s ω，或采样周期T 必须满足下列条件： hh s T ωπωω≤≥或2 (9-13) 这就是说，如果选择的采样角频率足够高，使得对连续信号所含的最高次谐波，能做到在一个周期内采样两次以上的话，那么经采样后所得到的脉冲序列，就包含了原连续信号的全部信息。
就有可能通过理想滤波器把原信号毫无失真地恢复出来。
否则采样频率过低，信息损失很多，原信号就不能准确复现。
由图9-5可见，在满足香农采样定理的条件下，要想不失真地将采样器输出信号复现成原来的连续信号，需要采用图9-6所示的理想低通滤波器，然而理想低通滤波器物理上不可239实现，因此工程上常用零阶保持器。
在设计离散系统时，香农采样定理是必须严格遵守的一条准则，它指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号的采样周期T 的上界或采样角频率s ω的下界。
9.2.2 信号复现在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现。
实现复现过程的装置称为保持器。
因为采样器输出的是脉冲序列)(*t e ，如果直接加到连续系统上，则)(*t e 中的高频分量会给系统中的连续部分引入噪声，影响控制质量，严重时还会加剧机械部件的磨损，因此，需要在采样器后面串联一个保持器，以使脉冲序列)(*t e 复原成连续信号，再加到系统的连续部分。
如图9-8所示，最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲序列复现为阶梯信号。
当采样频率足够高时，阶梯接近于原连续信号。
图9-8 信号的复现零阶保持器把前一采样时刻nT 的采样值)(nT e 一直保持到下一采样时刻T n )1(+到来之前。
给零阶保持器输入一个理想单位脉冲)(t δ，则其单位脉冲响应函数)(t g h 是幅值为1，持续时间为T 的矩形脉冲，它可分解为两个单位阶跃函数的和，即 )(1)(1)(T t t t g h --= （9-14）对脉冲响应函数h g (t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数 s e se s s G TsTs h ---=-=11)( （9-15） 在式(9-15)中，令ωj s =，得零阶保持器的频率特性：/2/2/2/212()sin(/2)()2/2j T j t j t j t jT h e e e e T G j T e j j T ωωωωωωωωωω------=== (9-16)240若以采样角频率T s /2πω=来表示，则上式可表示为)()()(sin 2)(s j s s s h e j G ωωπωωπωωπωπω-⋅= （9-17） 根据上式，可画出零阶保持器的幅频特性和相频特性图。
