北师大版高中数学选修4-4同步精练：第二章4平摆线和渐开线.docx

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)一、选择题1.如图2­4­1为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为()图2­4­1A.π3 B.2π3 C.4π3 D.π【解析】 由圆的渐开线的形成过程知|BM |＝AB ＝π3×2＝2π3. 【答案】 B2.摆线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t (t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈1.已知平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 α－sin α ，y ＝2 1－cos α (α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数α的值是( )A.πB.2πC.4πD.3π 【解析】 因⎩⎪⎨⎪⎧ 2 α－sin α ＝4π，2 1－cos α ＝0. ①②由②得cos α＝1，∴α＝2k π(k ∈Z ).代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )，即2k π＝2π(k ∈Z )，所以取k ＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.【答案】 B2.如图2­4­2，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是( )【导学号：12990034】图2­4­2A.3πB.4πC.5πD.6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 【答案】 C3.已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________.【解析】 由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1· α－sin α ，y ＝1· 1－cos α ，知基圆半径为r ＝1，∴拱高为2r ＝2，周期为2π.【答案】 2 2π4.已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平摆线和x 轴的交点.【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6， 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ).代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z ).。

第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。

姓名，年级：时间：第二章 综合练习1．下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( ）A.错误!B.错误! C 。

错误!D.错误! 答案 B2．若圆的参数方程为错误!（θ为参数)，直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离答案 B3．设圆的半径为r>0，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φy ＝rsin φ（φ为参数）直线的方程为xcos θ＋ysin θ＝r ，则直线与圆的位置关系（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与r 的大小有关答案 A4．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k 〈－错误!B ．k ≥－错误!C ．k ∈RD ．k ∈R 且k≠0 答案 A5．直线l 的参数方程是错误!（t∈R），则l 的方向向量是（ )A ．（1，2)B ．（2,1)C ．（－2,1）D ．（1，－2) 答案 C解析 化为普通方程为y ＝－错误!x ＋错误!，∴方向向量为(－2，1）6．直线l ：错误!(t 为参数)与圆错误!（α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为（ ）A.错误!或错误!B 。

错误!或错误! C.π3或错误! D ．－错误!或－错误! 答案 A7．曲线错误!上的点与x轴的距离的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案C解析曲线错误!的普通方程为(x－1)2＋（y＋2)2＝1,曲线的中心即圆心坐标为（1，－2)，半径为1，圆心到x轴的距离为2，所以圆上的点与x轴的距离的最大值为2＋1＝3. 8．(2015·重庆理)已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4（ρ〉0，错误!〈θ〈错误!),则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．答案(2，π）解析对错误!(t为参数）消去参数t，得x－y＋2＝0.ρ2cos2θ＝ρ2（2cos2θ－1）＝2ρ2cos2θ－ρ2＝2x2－（x2＋y2)＝x2－y2.又34π〈θ〈错误!，联立错误!得交点坐标（－2,0），化为极坐标为(2,π）．9．已知圆C的参数方程为错误!(θ为参数），则点P(5，3）与圆C上的点的最远距离是________．答案7解析圆C:错误!的普通方程为（x－1)2＋y2＝4，故圆心C（1,0)，半径r＝2,由于点P（5，3）在圆外部，所以点P与圆C上的点的最远距离为｜PC｜＋2＝错误!＋2＝7。

4.1 平摆线4.2 渐开线教学建议对于本节内容,课标中定位为了解,高考中也很少涉及,因此在教学中要控制好教学深度,只要能够让学生通过实例,了解平摆线、渐开线的定义及形成过程,以及二者参数方程的形式,注意参数方程中字母和参数的含义即可,无需人为地设置一些综合性较强的题目.备选习题我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图①.图中画出的关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).方案二:圆的渐开线,如图②.图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线 (以下同).受方案二的启示,可得方案三:正方形的渐开线,如图③.请根据图①②③,写出图③对应曲线的方程.分析:本题是数学美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解:在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连接的,建立如题图中图③所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段弧的方程如下(式中n∈N):(0≤x<1,≤y<0);x2+(y-1)2=2(4n-3)2〔4n-3≤x<(4n-3),-4n+4≤y<4n-2〕;(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x<4n-3,4n-2≤y<(4n-2)〕;x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x<-4n+1,-4n≤y<4n-2〕;(x-1)2+y2=2(4n)2(-4n+1≤x<4n+1,-4n≤y<-4n).。

§平摆线和渐开线[对应学生用书]．平摆线()平摆线的概念：的运动轨迹叫作一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点平摆线(或)．旋轮线()摆线的参数方程：①定点在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为，圆在轴上滚动，开始时点在原点(如图)．设圆转动的角度为α时，圆和轴的切点是，圆心是，的坐标为(，)，取角度α为参数．连接，，过作轴的垂线，垂足为点，过作的垂线，垂足为.因为∠＝α，所以＝＝α.这就是圆周上的定点在圆沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图()，由①分析可得：＝＝－＝－＝α－α＝(α－α)，＝＝＝－＝－α＝(－α)．图()所以摆线的参数方程是(\\(＝(α－α(，＝(－α())(－∞<α<＋∞)．．渐开线()渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线基圆．，相应的定圆叫作渐开线的()渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图()，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点，它的初始位置记作，绳子离开圆盘的位置记作，随着绳子逐渐展开，动点从点出发在圆周上运动，动点满足以下条件：(Ⅰ)与圆相切于；(Ⅱ)的长度与在圆周上走过的弧长相等，即＝.图() 图()②渐开线的参数方程：如图()，以基圆圆心为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为，则动点的初始位置的坐标为()，设动点的坐标为(，)，φ是以为始边、为终边的正角，令φ为参数，此时的弧长为φ.作⊥，⊥，垂足分别为，；作⊥，垂足为，则∠＝∠＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：(\\(＝( φ＋φ φ(，＝( φ－φ φ())φ(其中是参数)．．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)．在图()中点，间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长π，拱高等于圆的直径.其中为滚动圆的半径．[对应学生用书][]已知一个圆的平摆线过一定点()，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨]本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程(\\(＝(α－α(，＝(－α())(α为参数)和渐开线的参数方程(\\(＝( φ＋φ φ(，＝( φ－φ φ())(φ为参数)，只需把点()代入参数方程求出的表达式，根据表达式求出的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析]令＝，可得(－α)＝，由于>，即得α＝，所以α＝π(∈)．代入＝(φ－φ)，而φ＝α得＝(π－π)．又因为＝，所以(π－π)＝，即得＝(∈)．又由实际可知>，所以＝(∈＋)易知，当＝时，取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为。

2.4 平摆线和渐开线1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点)教材整理1 平摆线及其参数方程1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线.2.设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(－∞<α<＋∞).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.2.设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ是参数).关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号). ①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形；③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同. 【解析】 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.【答案】 ③预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：. 【精彩点拨】 定点，―→滚动圆的半径―→平摆线的参数方程【自主解答】 令r (1－cos α)＝0，可得cos α＝1. ∴α＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又由题意可知，r 是圆的半径，故r ＞0. ∴应有k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋. ∴所求平摆线的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πα－sin α，y＝12k π－cos α(α为参数，k ∈N ＋).根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r－cos α(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.1.平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π，∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2).故选A. 【答案】 AA ，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离.【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出.【自主解答】 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数).当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1. 当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋＋2＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数).根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.【导学号：12990031】【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4).【答案】 4 (2π，4)1.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ) A.①③ B.②④ C.②③D.①③④【解析】 结合圆的渐开线的知识可知②③正确. 【答案】 C2.当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ上的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6，－12π)D.(－π，12π)【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程. ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C3.半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12πD.14π【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数).把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z ).故应选C.【答案】 C4.已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________.【解析】 圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.【答案】 35.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程.【导学号：12990032】【解】 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z ).又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z ). 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πα－sin α，y＝1π－cos α(α为参数).我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。

圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3cos φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，又12OM k =.∴弦所在直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －1＝－2(x －2)． 2答案：A 由=5cos =3sin x y θθ⎧⎨⎩，，得22259x y +＝1， ∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos =3tan x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y -＝1， ∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x －2)2＋y 2＝1，圆心O (2,0)，另一定点M (5，－4)，∴|OM |＝225240(-)+(--)＝5.∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36. 5 答案：42 (－3，－1) 椭圆参数方程为=23cos =2sinx y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|23cos 2sin 4|2θθ+-π|4sin 4|3=2θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 当π3π=32θ+时，max 42d ＝. 此时，点M 的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos ,=1sin x y θθ+⎧⎨+⎩π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且 由于动点C 在该椭圆上运动，故可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)， 由重心坐标公式可知有606cos ==22cos ,3033sin ==1sin 3x y θθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩ π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且. 7 答案：分析：把x ，y 含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x ＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos =194y ϕ+，∴y 2＝4(1－cos 2φ)＝4sin 2φ，即y ＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y ＝2sin φ. ∴22=194x y +的参数方程为=3cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)． (2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +. ∴x 2＝9(1－t 2)，∴2=31x t ±-. ∴参数方程为2=31,=2x t y t ⎧⎪-⎨⎪⎩(t 为参数)或2=31,=2x t y t⎧⎪--⎨⎪⎩(t 为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化． 证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离，因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11tan cos =2d αα-，21tan cos =2d αα+， d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-， 故d 1与d 2的乘积是常数．。

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)一、选择题.如图­­为圆的渐开线，已知基圆的半径为，当∠＝时，圆的渐开线上的点到基圆上点的距离为( )图­­.π【解析】由圆的渐开线的形成过程知＝＝×＝.【答案】.摆线(\\(＝－，＝－))(为参数，≤<π)与直线＝的交点的直角坐标是( ).(π－)，(π＋).(π－)，(π＋).(π，)，(－π，).(π－)，(π＋)【解析】由＝(－ )得＝.∵∈.已知平摆线的参数方程(\\(＝α－α，＝－α))(α为参数)，则摆线上的点(π，)对应的参数α的值是( )π.πππ【解析】因(\\(α－α＝π，－α＝.))(\\(①,②))由②得α＝，∴α＝π(∈).代入①得(π－π)＝π(∈)，即π＝π(∈)，所以取＝，此时α＝π，因此点(π，)对应的参数值为α＝π.【答案】.如图­­，是边长为的正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按，，，循环，它们依次相连结，则曲线的长是( )【导学号：】图­­ππππ【解析】根据渐开线的定义可知，是半径为的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为的圆周长，长度为π；是半径为的圆周长，长度为；是半径为的圆周长，长度为π.所以曲线的长是π.【答案】.已知平摆线的方程为(\\(＝α－α，＝－α))(α为参数)，则该平摆线的拱高是，周期是.【解析】由已知方程可化为(\\(＝α－α，＝－α，))知基圆半径为＝，∴拱高为＝，周期为π.【答案】π.已知圆的参数方程是(\\(＝＋α，＝＋α))(α为参数)和直线对应的普通方程是－－＝.()如果把圆心平移到原点，平移后圆和直线有什么关系？()写出平移后圆的平摆线方程；()求平摆线和轴的交点.【解】()圆平移后圆心为()，它到直线－－＝的距离为＝＝，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.()由于圆的半径是，所以可得平摆线方程是。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2-4-1为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为( )图2-4-1A.π3 B.2π3 C.4π3D.π【解析】 由圆的渐开线的形成过程知|BM |＝AB ＝π3×2＝2π3.【答案】 B2.摆线⎩⎨⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0. ∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2). 【答案】 A3.圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )A.(－2,2π)B.(－2，－2π)C.(4,2π)D.(－4,2π)【解析】 把φ＝π代入得x ＝－2，y ＝－2π. 【答案】 B4.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )【导学号：12990033】A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3(α－sin α)，y ＝3(1－cos α)(α为参数)，把α＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.【答案】 C5.半径为2的基圆的渐开线方程是( ) A.⎩⎨⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ) B.⎩⎨⎧x ＝2(sin φ＋φcos φ)，y ＝2(cos φ－φsin φ)C.⎩⎨⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ－φsin φ)D.⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ) 【解析】 由圆的渐开线参数方程可知D 正确. 【答案】 D 二、填空题6.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8， 由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 7.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线⎩⎨⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________. 【解析】 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝r (1－cos α)，y ＝r (α－sin α)(α为参数)8.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数). 当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2). 【答案】 (π，2) 三、解答题9.有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子的半径为r ，在轮幅上有一点P 与轮子中心的距离为a (a ＜r )，点P 的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程.【解】 设圆滚动所沿直线为x 轴，圆心和P 点连线为y 轴建立坐标系，圆滚动α角后圆心在B 且与x 轴切于点A ，作PD ⊥Ox ，PC ⊥BA ，垂足分别为D ，C ，那么OA ＝MA ︵＝rα，设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝OD ＝OA －DA ＝rα－a sin α，y ＝DP ＝AC ＝AB －CB ＝r －a cos α， ∴所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝rα－a sin α，y ＝r －a cos α.10.渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标.【解】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0).[能力提升]1.已知平摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α)(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数α的值是( )A.πB.2πC.4πD.3π【解析】 因⎩⎨⎧ 2(α－sin α)＝4π，2(1－cos α)＝0.①②由②得cos α＝1，∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )， 即2k π＝2π(k ∈Z )， 所以取k ＝1，此时α＝2π， 因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π. 【答案】 B2.如图2-4-2，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是( )【导学号：12990034】图2-4-2A.3πB.4πC.5πD.6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C3.已知平摆线的方程为⎩⎨⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________.【解析】 由已知方程可化为 ⎩⎨⎧x ＝1·(α－sin α)，y ＝1·(1－cos α)，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π4.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程； (3)求平摆线和x 轴的交点.【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6， 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是 ⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数). (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ).代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )， 即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z ).。

平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。

2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。

3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。

难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。

【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。

2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。

§4 平摆线和渐开线4．1 平摆线4．2 渐开线1．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4θ－4sin θ，y ＝4－4cos θ(θ为参数)，则该圆的面积是( ) A ． 6πB ．12πC ．16πD ．32π解析：因为圆的半径r ＝4，所以S ＝16π.故选C ．答案：C2．下列关于渐开线与平摆线的命题，为真的是( )A ．对于同一个圆，直角坐标系建立的位置不同，画出的渐开线的形状就不同B ．平摆线与渐开线一样，只是绘图的方法不同，才得到不同的图像C ．圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程D ．平摆线一个拱的宽度等于半圆的周长，拱高等于半径解析：若圆的半径确定，则其渐开线就确定；平摆线与渐开线是完全不同的，得出的图像也不同；圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程；平摆线一个拱的宽度等于圆的周长，拱高等于直径．答案：C3．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则此渐开线的基圆的直径是( )A ．3B ．4C ．5D ． 6解析：由圆的渐开线的参数方程，知基圆的半径r ＝2，则其直径为4.答案：B4．已知某渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以得出该渐开线的基圆半径为________，当φ＝π2时，对应的曲线上的点的坐标为________. 解析：基圆半径为r 的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)， 与题中所给参数方程对照可知r ＝3，φ＝π2时对应的点为⎝⎛⎭⎫3π2，3. 答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3 5．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x t y t =+︒⎧⎨=︒⎩(t 为参数)的倾斜角是( )． A ．20° B ．70° C ．110° D ．160° 2直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )． A ．3＋1 B ．6(3＋1)C ．6＋3D ．63＋13直线23,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )． A ．1 B ．10 C ．10 D ．224过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是( )． A ．16 B ．3 C ．163 D ．3165直线12,2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝__________.6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是32的直线l 的参数方程为__________． 7已知直线l 经过点P (1，33-)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20y t ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°. 又α∈[0，π)，∴α＝70°. 2答案：B 由题意可得直线l 的参数方程为1=1,23=52x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －352t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式，得所求距离为222510=10(-)+(--).4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,23=2x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x 得到231=4122t t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0. 设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|＝212124t t t t (+)- 286416==333⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故弦AB 的长为163. 5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程， 得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝2211=2+，|PB |＝2222=22+. ∴|PA |·|PB |＝222⨯＝4.6 答案：3=621=72x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数) ∵3cos =2α，∴1sin =2α. ∴3=621=72x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． 7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l ′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P (1，33-)，倾斜角为π3， ∴l 的参数方程为π=1cos ,3π=33sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)，即1=1,23=332x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)． 代入y ＝x －23，得3133=1+2322t t -+-， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝|PQ |，∴|PQ |＝4＋23.8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l 的参数方程为3=121=12x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。