2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线

四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是( )①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数)上的是( )A .(π,0)B .(π,1)C .(2π,2)D .(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数)上对应的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=3π2时,圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 .π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3,那么该点的坐标为 .r=3,所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ(φ为参数).把φ=π3代入得x=π-3√32,y=3-32=32.故该点的坐标为(π-3√32,32).-3√32,32) 6.已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ(φ为参数).7.已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα(α为参数),直线l 的普通方程是x-y-6√2=0.(1)如果把圆心平移到原点O ,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C 平移后的圆心为O (0,0),它到直线x-y-6√2=0的距离为d=√2√2=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是{x =6cosφ+6φsinφ,y =6sinφ-6φcosφ(φ为参数).8.导学号73574057当φ=3π2,π时,求出渐开线{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ(φ为参数)上的对应点A ,B ,并求出A ,B 两点间的距离.φ=3π2代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ, 得{x =cos3π2+3π2sin 3π2=-3π2,y =sin 3π2-3π2cos 3π2=-1,所以A (-3π2,-1).将φ=π代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ,得{x =cosπ+πsinπ=-1,y =sinπ-πcosπ=π,所以B (-1,π).故A ,B 两点间的距离为|AB|=√(3π2-1)2+(1+π)2=√134π2-π+2.9.已知圆的半径为r ,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,圆上点M 从起始处(点O 处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹的参数方程.x M =r ·φ-r ·cos (φ-π2)=r (φ-sin φ),y M =r+r ·sin (φ-π2)=r (1-cos φ).故点M 的轨迹的参数方程为{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数).B 组1.我们知道图象关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为( ) A.{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数) B.{x =r (1-cosφ),y =r (φ-sinφ)(φ为参数) C.{x =rsinφ,y =r (1-cosφ)(φ为参数) D.{x =r (1-cos φ),y =rsinφ(φ为参数)y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线关于直线y=x 对称的曲线方程,只需把其中的x 与y 互换.2.已知一个圆的参数方程为{x =3cosθ,y =3sinθ(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=π2对应的点A 与点B (3π2,2)之间的距离为( ) A.π2-1 B.√2C.√10D.√3π2-1,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为{x =3(φ-sinφ),y =3(1-cosφ)(φ为参数),把φ=π2代入参数方程中可得{x =3(π2-1),y =3,即A (3π2-3,3),所以|AB|=√(3π2-3-3π2)2+(3-2)2=√10.3.导学号73574058如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”,其中AE⏜,EF ⏜,FG ⏜,GH ⏜,…的圆心依次按B ,C ,D ,A 循环,则曲线段AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π,AE⏜是半径为1的14圆周长,长度为π2;EF ⏜是半径为2的14圆周长,长度为π;FG ⏜是半径为3的4圆周长,长度为3π2;GH ⏜是半径为4的14圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.4.已知渐开线{x =7(cosφ+φsinφ),y =7(sinφ-φcosφ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .r=7,其方程为x 2+y 2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为(12x)2+y 2=49,整理可得x 2196+y 249=1,这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c=√a 2-b 2=√196-49=√147=7√3.故焦点坐标为(7√3,0)和(-7√3,0).√3,0)和(-7√3,0) 5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r (1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).将其代入x=r (φ-sin φ),得x=r (2k π-sin2k π)(k ∈Z ).又因为x=2,所以r (2k π-sin2k π)=2,即得r=1kπ(k ∈Z ).又由实际可知r>0,所以r=1kπ(k ∈N *).易知,当k=1时,r 取最大值1π.故所求圆的摆线的参数方程为{x =1π(φ-sinφ),y =1π(1-cosφ)(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为{x =1π(cosφ+φsinφ),y =1π(sinφ-φcosφ)(φ为参数). 6.设圆的半径为4,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,记圆上动点为M ,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y 的最大值.M 的轨迹是摆线,其参数方程为{x =4(φ-sinφ),y =4(1-cosφ)(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y 有最大值8,故该曲线上纵坐标y 的最大值为8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。

（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。