第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线
A 级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线
B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C ．正方形也可以有渐开线
D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），
y ＝5（1－cos φ）
(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，
y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是
( )
A ．(π，0)
B ．(π，1)
C ．(2π，2)
D ．(2π，0)
答案：B
4．圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那
么其横坐标可能是( )
A ．π
B ．3π
C ．6π
D ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的
摆线方程中与参数φ＝π
2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2之间的距离为
( )
A.π
2
－1 B. 2 C.10 D. 3π2
－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的
参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中
可得⎩⎨
⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－1，
y ＝3，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－1，3，
所以|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
－1－3π22
＋（3－2）2＝10.
答案：C 二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，
y ＝3－3cos φ
(φ为参数)，
则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），
y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知
圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），
y ＝6（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)的基圆的圆心在
原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2
＋y 2
＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24
＋y 2
＝36，
即x 2144＋y 2
36＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.
答案：12 3
8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应
的参数φ＝π
2
，则点P 的坐标为________．
解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)． 当φ＝π
2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．
答案：(π，2) 三、解答题
9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参
数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，
y ＝2－2cos φ
(φ是参数)．
