高中数学人教A版选修4-4检测：第二讲四渐开线与摆线 Word版含解析

预习导航1．渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程： (cos sin ),(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． (2)圆的摆线的参数方程：(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 名师点拨 圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既繁琐又没有实际意义．思考1 圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度．如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．思考2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程吗？提示：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便．有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义．如圆的渐开线普通方程，可以根据其参数方程(cos sin),(sin cos)x ry rϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)消去参数φ，得普通方程，但根据方程画出曲线十分费时．而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难．而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观．所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程．。

四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ＋φsin φ ，y ＝r sin φ－φcos φ (φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos θ＋θsin θ ，y ＝4 sin θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2 cos t ＋t sin t ，y ＝2 sin t －t cos t(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 cos φ＋φsin φ ，y ＝5 sin φ－φcos φ .这就是所求的圆的渐开线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 α－sin α ，y ＝2 1－cos α .这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋ 3－2 2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r 1－cos φ ，y ＝r φ－sin φ (φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)． 又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ ，y ＝12k π 1－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线． 由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ ，y ＝a 1－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)， 即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ (φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ ，y ＝1π sin φ－φcos φ(φ为参数)．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6. 答案：B3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ，y ＝10sin φ(φ为参数)的渐开线方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ＋5φsin φ，y ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ－5φsin φ，y ＝5sin φ＋5φcos φ(φ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ－10φsin φ，y ＝10sin φ＋10φcos φ(φ为参数) 解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ 解析：易知点M 的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C. 答案：C5．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos 2π＋2πsin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.故选C. 答案：C6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)7．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎫22＋2π8，22－2π8 8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)．9．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解析：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2，∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．[B 组 能力提升]1．t ＝π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos t ＋t sin t )，y ＝5(sin t －t cos t )上的点的坐标为( )A ．(－5,5π)B ．(－5，－5π)C ．(5,5π)D ．(5，－5π)解析：将t ＝π代入参数方程易得x ＝－5，y ＝5π.故选A. 答案：A2．已知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2k π(k ∈Z)，不妨分别取k ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4.答案：D3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 34．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝42＋2π，y ＝42－2π，由此可得对应的坐标为(42＋2π，42－2π)．答案：16 (42＋2π，42－2π)5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．解析：令y ＝0得r (1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 则x ＝r (2k π－sin 2k π)＝4，即得r ＝2k π(k ∈Z)．又r >0，易知，当k ＝1时，r 取最大值为2π.圆的渐开线的参数方程是：⎩⎨⎧x ＝2π(cos φ＋φsin φ)，y ＝2π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．6．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．解析：(1)圆C 平移后的圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．。

四 渐开线与摆线练习1已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝2π对应的点A 与点B (32π，2)之间的距离为( )． A.2π－1 B.2 C.10 D.312π- 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，,,EF FG GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．4已知一个圆的摆线方程是44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积为________，对应圆的渐开线方程为________．5给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．6有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．7已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．8已知一个参数方程是2cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．9如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝2r 或|AQ |＝32r ，请推出Q 的轨迹的参数方程．参考答案1. 答案：C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)，把φ＝2π代入参数方程中可得3(1),23,x y π⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即A 33,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴|AB |＝22333(32)1022ππ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭. 2. 答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为2π，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为32π；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 3．答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数) 4. 答案：16π 4cos 4sin ,4sin 4cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数) 5. 答案：解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是3cos 3sin ,3sin 3cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为33sin ,33cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)． 6. 答案：分析：直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为11(cos sin ),11(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 7. 答案：解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 8. 答案：解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为(sin ),(1cos )x t y t ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)．9. 答案：解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ 当|AQ |＝2r 时，有002,2,x x r y y r θ=-⎧⎨=-⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ ∴点Q 的轨迹的参数方程为1(),21(1cos )2x r sin y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．当AQ ＝32r 时， 有002,32,3r x x r y y θ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩∴点Q 的轨迹方程为3(sin )2,3(1cos )2x r y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．。

四、渐开线与摆线A 级 基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.答案：B3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是( ) A ．(π，0)B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)答案：B 4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， 所以|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10. 答案：C二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 38．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)． 答案：(π，2)三、解答题9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程． 解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ是参数)． B 级 能力提升1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0.因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。

第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线A 级 基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B. 答案：B3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是( )A ．(π，0)B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)答案：B4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫π2－1，3，所以|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案：C 二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 38．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)． 当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．答案：(π，2) 三、解答题9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为⎩⎨⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ是参数)． B 级 能力提升1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0.因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎨⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。