2017-2018学年天津市和平区高一上学期期末考试数学卷 扫描版 含答案

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（文）学科第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】求解二次不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C选项.2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】关于的方程有实数根，则，据此可知：“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件.本题选择A选项.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 7C. -3D. -7【答案】B本题选择B选项.4. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，则双曲线的一条渐近线为：，据此有：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 56B. 72C. 84D. 90【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.本题选择B选项.6. 将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】结合函数平移的结论可得：将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为.本题选择D选项.7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由平面向量数量积的坐标运算法则有：.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则时，的零点不唯一，选项A错误；当时，，则时，的零点不唯一，选项B错误；当时，，函数在上单调递增，则不存在实数，使得函数的零点不唯一，选项D错误.本题选择C选项.点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数__________．【答案】60【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：11. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知函数，若，则的值为【答案】-1【解析】函数有意义，则必须满足：，此时，则：，据此整理函数的解析式：，据此可得，结合可得：.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．13. 已知，则的最小值为__________．【答案】4【解析】由题意可得：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为4.14. 已知数列的通项，若数列的前项和为，则__________．（用数字作答）【答案】480【解析】结合数列的通项公式分组求和有：,则.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率. （Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)2000元.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得：甲生产三等品的测试指标小于80，据此结合古典概型计算公式可得. (Ⅱ)由题意可得：乙生产一件产品的测试指标不小于80，据此结合古典概型计算公式可得.(Ⅲ)由题意结合古典概型计算公式可得甲生产三等品，二等品一等品的件数为6，21,3，乙生产三等品，二等品一等品的件数为4,24,12，据此估计可得甲、乙两人一天共为企业创收2000元.试题解析：（Ⅰ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于80，所求概率为：.（Ⅱ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，所求概率为：.（Ⅲ）甲一天生产30件产品，其中：三等品的件数为，二等品的件数为，一等品的件数为；乙一天生产40件产品，其中：三等品的件数为，二等品的件数为，一等品的件数为.则.∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，，为的中点，为线段上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：平面平面.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：(1)连接交于点，则为的中点，连接.由三角形中位线的性质可得.结合线面平行的判定定理可得平面.(2)连接.由几何关系可证得四边形是平行四边形.则，结合直角三角形的性质和题意可得，则.(3)由题意可知为等边三角形，则.同理可得.利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.试题解析：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接.∵在中，为的中点，为的中点.∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）连接.∵四边形是矩形，，∴，且.∵，，，∴.∵，，∴.∴四边形是平行四边形.∴，.∵在中，，，，∴.∵在中，，，，∴是直角三角形.∴.∴.（Ⅲ）∵在中，，∴为等边三角形.∵为的中点，∴.同理，由为等边三角形，可得.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，. （Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.(Ⅲ)构造函数，其中，结合导函数讨论函数的单调性有.构造函数，则在内单调递减，，据此讨论可得在区间内有两个零点，即方程在区间内实根的个数为2.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立. （Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。

2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.sin13π6等于（）A. −32B. −12C. 12D. 322.已知cos（π2+α）=55，且|α|＜π2，则tanα等于（）A. −2B. −12C. 2 D. 123.已知cosα=255，则cos2α的值为（）A. −45B. 45C. −35D. 354.要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数y=sin(2x+π6)的图象（）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度5.下列函数中，周期为π，且在（0，π2）上为增函数的是（）A. y=sin(2x+π2)B. y=cos(2x+π2)C. y=cos(x−π2) D. y=sin(2x−π2)6.已知函数y=3tan x2，x≠（2k+1）π（k∈Z），若y=1，则（）A. x=kπ+π3(k∈Z) B. x=2kπ+π3(k∈Z)C. x=kπ+π6(k∈Z) D. x=2kπ+π6(k∈Z)7.已知平面向量a=（1，-2），b=（-2，m），且a ∥b，则3a+2b等于（）A. (−2,1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (2,−1)8.若向量a，b满足|a|=|b|=2，a与b的夹角为120°，则a（a+b）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 69.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE•BD等于（）A. 1B. 2C. 3D. 410.在△ABC中，若cos A=45，cos B=-35，则cos C的值为（）A. 725B. 1825C. 2425D. −2425二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知cosx1+sinx =-12，则sinx−1cosx=______．12.已知向量a=（2，1），b=（3，4），若向量a与向量λa+b垂直，则λ的值为______．13.函数y=1-8cos x-2sin2x的最大值是______．14.计算cosπ9•cos2π9•cos4π9=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，BE=λAC-AB，且AD•BE=-4，则λ的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知向量b与向量a=（1，-2）的方向相反，且|b|=35．（1）求向量b的坐标；（2）若c=（2，3），求（c-a）•（c-b）的值．17.若5sinα−cosαcosα+sinα=1．（1）求tanα的值；（2）求cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα的值．18.已知α，β∈（0，π2），cosα=45，cos（α+β）=35．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．19.已知a=（1，3），b=（2，m）．（1）当3a-2b与a垂直时，求m的值；（2）当a与b的夹角为120°时，求m的值．20.已知函数f（x）=4cos x sin（x-π6）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值与最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：由cos（+α）=，得-sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴-，则cosα==，则tanα=．故选：B．由已知求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴．故选D．4.【答案】C【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-]=cos2x的图象，故选：C．已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=-sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．由已知可得，即，k∈Z，则x值可求．本题考查由已知三角函数值求角，考查了三角方程的解法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：向量=（1，-2），=（-2，m），且∥，∴1×m-（-2）×（-2）=0，解得m=4，∴=（-2，4），∴3+2=（3，-6）+（-4，8）=（-1，2）．故选：C．根据平面向量的共线定理求出m的值，再计算3+2．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°-60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2-1=1，故选：A．通过=+，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为+．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=-，得sinB=，∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．由已知利用平方关系分别求得sinA，sinB的值，再由两角和的余弦求得cosC 的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的余弦，是基础的计算题．11.【答案】12【解析】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1-sin2x=cos2x，则（1-sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=-，∴=-=，故答案为：．由同角三角函数基本关系式可得=-，结合已知得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】-2【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=-2；故答案为：-2根据题意，由向量的坐标计算公式可得λ+的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积与向量垂直的关系．13.【答案】9【解析】解：函数y=1-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9，当cosx=-1时，函数y取得最大值是2×（-1-2）2=9．故答案为：9．把函数y化为关于cosx的二次关系，求出函数y的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】18【解析】解：cos•cos•cos====．故答案为：把要化简的式子分子分母同时乘以最小角的正弦，依次利用倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础题．15.【答案】311【解析】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，∵=λ-，∴•=（+）•（λ-）=（-）••-+=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4，解得λ=，故答案为：根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）设b=-λa，λ＞0，则b=（-λ，2λ），则|b|2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=-3（舍去），∴b（-3，6），（2）∵c（2，3）∴c-a=（2，3）-（1，-2）=（1，5），c-b=（2，3）-（-3，6）=（5，-3），∴（c-a）•（c-b）=5-15=-10．【解析】（1）设=-λ，λ＞0根据向量的模即可求出，（2）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.【答案】解：（1）由5sinα−cosαcosα+sinα=1，得5tanα−11+tanα=1，即5tanα-1=1+tanα，解得tanα=12；（2）cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα=1+tanα1−tanα+sinαcosαsinα+cosα=1+tanα1−tanα+tanαta nα+1=1+121−1+121+1=175．【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．（1）把已知等式化弦为切，求解可得tanα的值；（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tanα得答案．18.【答案】解：（1）∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），又cosα=45，cos（α+β）=35，则sinα=2α=35，sin（α+β）=1−cos2(α+β)=45，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=4 5×45−35×35=725；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=3 5×45−35×45=0，由α，β∈（0，π2），得2α+β∈（0，32π），∴2α+β=π2．【解析】（1）由已知分别求得sinα，sin（α+β）的值，由sinβ=sin[（α+β）-α]，展开两角差的正弦得答案；（2）由cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]，展开两角和的余弦求得cos（2α+β），结合角的范围可得2α+β的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的正弦、余弦，训练了利用已知角的三角函数值求角，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，a=（1，3），b=（2，m），则3a-2b=（-1，33-2m），若3a-2b与a垂直时，则有（3a-2b）•a=-1+9-23m=0，解可得m=433；（2）a=（1，3），b=（2，m），则|a |= 1+3=2，|b |= m 2+4，且a •b =2+ 3m ，又由a 与b 的夹角为120°， 则有cos120°=a ⋅b |a ||b|= 3m 2 m 2+4=-12， 变形可得：2+ 3m + m 2+4=0解可得m =-2 3，故m =-2 3． 【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3-2的坐标，又由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m 的值， （2）根据题意，由向量夹角公式计算可得cos120°=，代入数据可得=-，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量夹角公式的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=4cos x sin （x -π6）+1=4cos x （sin x cos π6-cos x sin π6）+1=2 3sin x cosx-2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x=2（ 32sin2x -12cos2x ） =2sin （2x -π6），所以f （x ）的最小正周期为T =2πω=π；（2）x ∈[π4，2π3]，则2x -π6∈[π3，7π6]；当x ∈[π4，π3]时，2x -π6∈[π3，π2]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递增； 同理，x ∈[π3，2π3]时，2x -π6∈[π2，7π6]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递减；又f （π4）=2sin π3=2，f （π3）=2sin π2=2，f （2π3）=2sin 7π6=-1，f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的性质求出它的最小正周期；（2）求出x∈[，]时2x-的取值范围，根据正弦函数的正弦求出它的最大和最小值．本题主要考查了角函数图象和性质应用问题，根据三角恒等变换进行化简是解题的关键．。

2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）sin等于（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．2．（4分）已知cos（+α）=，且|α|＜，则tanα等于（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【解答】解：由cos（+α）=，得﹣sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴﹣，则cosα==，则tanα=．故选：A．3．（4分）已知cosα=，则cos2α的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=．故选：D．4．（4分）要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：把函数=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，故选：C．5．（4分）下列函数中，周期为π，且在（0，）上为增函数的是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+） C．y=cos（x﹣） D．y=sin（2x﹣）【解答】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=﹣sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x﹣）=cos（﹣x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x﹣）=﹣sin（﹣2x）=﹣cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．6．（4分）已知函数y=tan，x≠（2k+1）π（k∈Z），若y=1，则（）A．x=kπ+（k∈Z）B．x=2kπ+（k∈Z）C．x=kπ+（k∈Z）D．x=2kπ+（k∈Z）【解答】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．7．（4分）已知平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，m），且∥，则3+2等于（）A．（﹣2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【解答】解：向量=（1，﹣2），=（﹣2，m），且∥，∴1×m﹣（﹣2）×（﹣2）=0，解得m=4，∴=（﹣2，4），∴3+2=（3，﹣6）+（﹣4，8）=（﹣1，2）．故选：C．8．（4分）若向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）等于（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．9．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°﹣60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1，故选：A．10．（4分）在△ABC中，若cosA=，cosB=﹣，则cosC的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=﹣，得sinB=，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）已知=﹣，则=．【解答】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1﹣sin2x=cos2x，则（1﹣sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=﹣，∴=﹣=，故答案为：．12．（4分）已知向量=（2，1），=（3，4），若向量与向量λ+垂直，则λ的值为﹣2．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=﹣2；故答案为：﹣213．（4分）函数y=1﹣8cosx﹣2sin2x的最大值是9．【解答】解：函数y=1﹣8cosx﹣2sin2x=2cos2x﹣8cosx﹣1=2（cosx﹣2）2﹣9，当cosx=﹣1时，函数y取得最大值是2×（﹣1﹣2）2=9．故答案为：9．14．（4分）计算cos•cos•cos=．【解答】解：cos•cos•cos====．故答案为：15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若=2，=λ﹣，且•=﹣4，则λ的值为．【解答】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，∵=λ﹣，∴•=（+）•（λ﹣）=（﹣）••﹣+=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，解得λ=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共40分）16．（6分）已知向量与向量=（1，﹣2）的方向相反，且||=3．（1）求向量的坐标；（2）若=（2，3），求（﹣）•（﹣）的值．【解答】解：（1）设=﹣λ，λ＞0，则=（﹣λ，2λ），则||2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=﹣3（舍去），∴（﹣3，6），（2）∵（2，3）∴﹣=（2，3）﹣（1，﹣2）=（1，5），﹣=（2，3）﹣（﹣3，6）=（5，﹣3），∴（﹣）•（﹣）=5﹣15=﹣10．17．（8分）若=1．（1）求tanα的值；（2）求+sinαcosα的值．【解答】解：（1）由=1，得，即5tanα﹣1=1+tanα，解得tan；（2）+sinαcosα===．18．（8分）已知α，β∈（0，），cosα=，cos（α+β）=．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．【解答】解：（1）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），又cosα=，cos（α+β）=，则sin，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα=，由α，β∈（0，），得2α+β∈（0，），∴2α+β=．19．（8分）已知=（1，），=（2，m）．（1）当3﹣2与垂直时，求m的值；（2）当与的夹角为120°时，求m的值．【解答】解：（1）根据题意，=（1，），=（2，m），则3﹣2=（﹣1，3﹣2m），若3﹣2与垂直时，则有（3﹣2）•=﹣1+9﹣2m=0，解可得m=；（2）=（1，），=（2，m），则||==2，||=，且•=2+m，又由与的夹角为120°，则有cos120°===﹣，变形可得：2+m+=0解可得m=﹣2，故m=﹣2．20．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+1=4cosx（sinxcos﹣cosxsin）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），所以f（x）的最小正周期为T==π；（2）x∈[，]，则2x﹣∈[，]；当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，函数f（x）=2sin（2x﹣）单调递增；同理，x∈[，]时，2x﹣∈[，]，函数f（x）=2sin（2x﹣）单调递减；又f（）=2sin=2，f（）=2sin=2，f（）=2sin=﹣1，f（x）在区间[，]上的最大值是2，最小值是﹣1．。

2017-2018 学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1．（4.00 分）设集合 U={1，2，3，4，5}，集合 A={1，2，3}，则 U A=（ ）A ．{1，2，3}B ．{4，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．∁24.00 60°=1 =2 •= ．（分）已知向量 ， 的夹角为 ，且| || ，则 （ ） ，| ∅ A ． B ．C ．1 D ．23．（4.00 分）下列运算的结果正确的是（）A ．log 43=2log 23B ．（﹣a 2）3=﹣a 6C ．（ ﹣1）0=0 D ．lg2+lg3=lg54．（4.00 分）函数 f （x ）= ﹣x +1 的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）5．（4.00 分）将函数 y=sin2x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（ ）A ．y=sin （x +）B ．y=sin （2x +） C ．y=sin （x +） D ．y=sin （x +）6．（4.00 分）已知函数 f （x ）=a x（a ＞0，a ≠1），若 f （﹣2）＜f （﹣3），则 a的取值范围是（ ）A ．2＜a ＜3B ．＜a ＜C ．a ＞1D ．0＜a ＜17．（4.00 分）若非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |，则（ ）A ． ⊥B ． ∥C ．| |=| |D ．| |≥| |8．（4.00 分）若α为第二象限的角，且 tanα=﹣ ，则 cosα=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．（4.00 分）已知集合 P={x |y= }，Q={x |y=lg （x ﹣1）}，则 P ∩Q=（） A ．{x |1≤x ≤3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |x ＜1，或 x ≥3}10．（4.00 分）已知偶函数 f （x ）在[0，+∞）上单调递减，若 a=f （ln2.1），b=f（1.11.1），c=f （﹣3），则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11．（4.00 分）sin（﹣）= ．12．（4.00 分）已知幂函数 f（x）经过点（2，8），则 f（3）= ．13．（4.00 分）设集合 A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若 A∪B=B，则实数 a 的取值范围是．14．（4.00 分）已知 sin（α﹣）=，则sin（﹣α）=．15．（4.00 分）在平行四边形 ABCD 中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点 P 在 CD 上，且=3，则•=．三、解答题（本大题共 60 分）16．（12.00 分）已知向量=（1，2），=（2，λ），=（﹣3，2）．（1）若∥，求实数λ的值；（2）若 k+与﹣2垂直，求实数k的值．17．（12.00 分）已知函数 f（x）=．（1）求 f（2）及 f（f（﹣1））的值；（2）若 f（x）≥4，求 x 的取值范围．18．（12.00 分）已知在△ABC 中，sinA=，cosB=﹣．（1）求 sin2A 的值；（2）求 cosC 的值．19．（12.00 分）已知函数 f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求 a，b 的值；（2）判断函数 f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．20．（12.00 分）已知函数 f（x）=2sinxcos（x+）+．（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值．2017-2018 学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）∅1．（4.00 分）设集合 U={1，2，3，4，5}，集合 A={1，2，3}，则U A=（）A．{1，2，3} B．{4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∁【分析】由集合的补集的定义，即由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，即可得到所求．【解答】解：集合 U={1，2，3，4，5}，集∁合A={1，2，3}，则U A={4，5}．故选：B．2．（4.00 分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•=（）A． B． C．1D．2【分析】利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可．【解答】解：向量，的夹角为60°，且| |=1，| |=2，则•===1．故选：C．3．（4.00 分）下列运算的结果正确的是（）A．log43=2log23 B．（﹣a2）3=﹣a6C．（﹣1）0=0D．lg2+lg3=lg5【分析】利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵log43=，∴选项A错误；∵（﹣a2）3=﹣（a2）3=﹣a6，∴选项 B 正确；由 a0=1（a≠0），可得（﹣1）0=1，故C错误；∵lg2+lg3=lg（2×3）=lg6，∴D 错误．∴计算结果正确的是（﹣a2）3=﹣a6，故选：B．4．（4.00 分）函数 f（x）=﹣x+1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】据函数零点的判定定理，判断 f（2），f（3）的符号，即可求得结论．【解答】解：函数 f（x）=﹣x+1是连续函数，f（2）=﹣2+1＞0，f（3）=＜0，故有 f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知：函数 f（x）=﹣x+1的零点所在的区间是（2，3）故选：C．5．（4.00 分）将函数 y=sin2x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（）A．y=sin（x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）【分析】按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），求出解析式即可．【解答】解：把函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y=sin（x+）的图象；故选：A．6．（4.00 分）已知函数 f（x）=a x（a＞0，a≠1），若 f（﹣2）＜f（﹣3），则 a 的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．＜a＜ C．a＞1D．0＜a＜1【分析】根据指数函数的单调性即可得出 a 的取值范围．【解答】解：函数 f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（﹣2）＜f（﹣3），则 f（x）是单调减函数，∴a 的取值范围是 0＜a＜1．故选：D．7．（4.00 分）若非零向量，满足|+|=|﹣|，则（）A．⊥ B．∥ C．||=||D．||≥||【分析】利用向量的几何意义解答．【解答】解：如图，设=，=，则|+|=||，|﹣|=||，则||=||，所以四边形 ABCD 为矩形，所以 AB⊥BC，所以⊥．故选：A．8．（4.00 分）若α为第二象限的角，且tanα=﹣，则cosα=（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．【解答】解：∵α是第二象限角，且tanα==﹣，∴sinα=﹣cosα，∵cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α=1，∴（﹣cosα）2+cos2α=1，可得：cosα=﹣，故选：D．9．（4.00 分）已知集合 P={x|y=}，Q={x|y=lg（x﹣1）}，则P∩Q=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|x＜1，或 x≥3}【分析】由偶次根式被开方式非负，化简集合 P，对数的真数大于 0，化简集合Q，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合 P={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，Q={x|y=lg（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则P∩Q={x|1＜x≤3}，故选：C．10．（4.00 分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）上单调递减，若 a=f（ln2.1），b=f （1.11.1），c=f（﹣3），则 a，b，c 的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．【解答】解：∵偶函数 f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（﹣3）=f（3），∵0＜ln2.1＜1，1＜1.11.1＜3，则0＜ln2.1＜1.11.1＜3，∴f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（3），即f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（﹣3），则 c＜b＜a，故选：B．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11．（4.00 分）sin（﹣）=﹣．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：sin（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．12．（4.00 分）已知幂函数 f（x）经过点（2，8），则 f（3）= 27．【分析】设 f（x）=x n，代入（2，8），求得 n，再计算 f（3），即可得到所求值．【解答】解：设 f（x）=x n，由题意可得2n=8，解得 n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．13．（4.00 分）设集合 A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若 A∪B=B，则实数 a 的取值范围是a≤2．⊆【分析】根据 A∪B=B 得出 A B，从而写出实数 a 的取值范围．【解答】解：集合⊆ A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若 A∪B=B，则A B，∴a≤2，∴实数 a 的取值范围是 a≤2．故答案为：a≤2．14．（4.00 分）已知 sin（α﹣）=，则sin（﹣α）= ．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（﹣α）=sin（π+﹣α）=﹣sin（）=sin（α﹣）=，故答案为：．15．（4.00 分）在平行四边形 ABCD 中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点 P 在 CD上，且=3，则•=12．【分析】建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．【解答】解：以 A 为原点建立坐标系，则 A（0，0），B（8，0），D（3，3），∵=3，∴DP=2，即P（5，3），∴=（5，3），=（﹣3，3），∴=﹣15+27=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共 60 分）16．（12.00 分）已知向量=（1，2），=（2，λ），=（﹣3，2）．（1）若∥，求实数λ的值；（2）若 k+与﹣2垂直，求实数k的值．【分析】（1）利用向量平行的性质能出实数λ的值；（2）先利用平面向量坐标运算法则求出 k+，﹣2，由此利用向量垂直的性质能求出实数 k 的值．【解答】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，λ），=（﹣3，2）．∥，∴，解得实数λ=4．（2）k+=（k﹣3，2k+2），=（7，﹣2），∵k+与﹣2垂直，∴（k）•（）=7k﹣21﹣4k﹣4=0，解得实数 k=．17．（12.00 分）已知函数 f（x）=．（1）求 f（2）及 f（f（﹣1））的值；（2）若 f（x）≥4，求 x 的取值范围．【分析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．（2）根据分段函数的表达式，讨论 x 的取值范围进行求解即可．【解答】解：（1）f（2）=﹣2×2+8=﹣4+8=4，f（f（﹣1））=f（﹣1+5）=f（4）= ﹣2×4+8=0．（2）若 x≤1，由 f（x）≥4 得 x+5≥4，即 x≥﹣1，此时﹣1≤x≤1，若x＞1，由 f（x）≥4 得﹣2x+8≥4，即 x≤2，此时 1＜x≤2，综上﹣1≤x≤2．18．（12.00 分）已知在△ABC 中，sinA=，cosB=﹣．（1）求 sin2A 的值；（2）求 cosC 的值．【分析】（1）由已知可得 B 为钝角，分别求出 sinB，cosA 的值，由二倍角公式求得 sin2A；（2）利用三角形内角和定理可得 cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B），展开两角和的余弦得答案．【解答】解：（ 1 ）在△ ABC 中，由 cosB= ﹣，可知B为钝角，且sinB=，又sinA=，得cosA=．∴sin2A=2sinAcosA=2×；（2）cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcocB+sinAsinB=﹣+=．19．（12.00 分）已知函数 f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求 a，b 的值；（2）判断函数 f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）==1，即 a﹣1=1+b，则 a=2+b，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即﹣x+b=﹣x﹣b，则b=﹣b，b=0，得a=2．（2）∵b=0，a=2，∴f（x）==2x1﹣﹣2x2+=2（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（2+）∵x1，x2为（0，+∞）上任意两个自变量，且 x1＜x2∴x1﹣x2＜0，2+＞0，∴（x1﹣x2）（2+）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2）第 11页（共 12页）∴函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数．20．（12.00 分）已知函数 f（x）=2sinxcos（x+）+．（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值．【分析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由 x 的范围求得相位的取值范围，则 f（x）在区间[﹣，]上的最大值可求．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x+）+=2sinx（cosxcos）+=2sinx（）=sin2x﹣===．（1）f（x）的最小正周期 T=；（2）由，得0，∴sin（）∈[0，1]，则∈[﹣，1﹣]，∈则 f（x）在区间[﹣，]上的最大值为．第 12页（共 12页）。

2017-2018学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A. 2，B.C. 2，3，4，D.2.已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•=（）A. B. C. 1 D. 23.下列运算的结果正确的是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（）A. B. C. D.5.将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.若非零向量，满足|+|=|-|，则（）A. B. C. D.8.若α为第二象限的角，且tanα=-，则cosα=（）A. B. C. D.9.已知集合P={x|y=}，Q={x|y=lg（x-1）}，则P∩Q=（）A. B.C. D. ，或10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3），则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.sin（-）=______．12.已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=______．13.设集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是______．14.已知sin（α-）=，则sin（-α）=______．15.在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点P在CD上，且=3，则•=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．（1）若 ∥，求实数λ的值；（2）若k+与-2垂直，求实数k的值．17.已知函数f（x）=．（1）求f（2）及f（f（-1））的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18.已知在△ABC中，sin A=，cos B=-．（1）求sin2A的值；（2）求cos C的值．19.已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．20.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁U A={4，5}．故选：B．由集合的补集的定义，即由U中不属于A的元素构成的集合，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，运用定义法解题是关键．2.【答案】C【解析】解：向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则•===1．故选：C．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可．本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：∵log43=，∴选项A错误；∵（-a2）3=-（a2）3=-a6，∴选项B正确；由a0=1（a≠0），可得（-1）0=1，故C错误；∵lg2+lg3=lg（2×3）=lg6，∴D错误．∴计算结果正确的是（-a2）3=-a6，故选：B．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：函数f（x）=-x+1是连续函数，f（2）=-2+1＞0，f（3）=＜0，故有f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=-x+1的零点所在的区间是（2，3）故选：C．据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3）的符号，即可求得结论．本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．5.【答案】A【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；故选：A．按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），若f（-2）＜f（-3），则f（x）是单调减函数，∴a的取值范围是0＜a＜1．故选：D．根据指数函数的单调性即可得出a的取值范围．本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，设=，=，则|+|=||，|-|=||，则||=||，所以四边形ABCD为矩形，所以AB BC，所以．故选：A．利用向量的几何意义解答．本题考查了向量的模．解题时，借用了矩形的判定与性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．【解答】解：∵α是第二象限角，且tanα==-，∴sinα=-cosα，∵cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α=1，∴（-cosα）2+cos2α=1，可得：cosα=-，故选D．9.【答案】C【解析】解：集合P={x|y=}={x|3-x≥0}={x|x≤3}，Q={x|y=lg（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，则P∩Q={x|1＜x≤3}，故选：C．由偶次根式被开方式非负，化简集合P，对数的真数大于0，化简集合Q，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，考查函数的定义域的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴a=f（ln2.1），b=f（1.11.1），c=f（-3）=f（3），∵0＜ln2.1＜1，1＜1.11.1＜3，则0＜ln2.1＜1.11.1＜3，∴f（ln2.1）＜f（1.11.1）＜f（3），即f（ln2.1）>f（1.11.1）>f（-3），则c＜b＜a，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．11.【答案】-【解析】解：sin（-）=sin（-）=-sin=-，故答案为：-．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.【答案】27【解析】解：设f（x）=x n，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．设f（x）=x n，代入（2，8），求得n，再计算f（3），即可得到所求值．本题考查幂函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a≤2【解析】解：集合A={x|2＜x＜3}，B={x|x＞a}，若A∪B=B，则A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．故答案为：a≤2．根据A∪B=B得出A⊆B，从而写出实数a的取值范围．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（α-）=，∴sin（-α）=sin（π+-α）=-sin（）=sin（α-）=，故答案为：．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．15.【答案】12【解析】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（8，0），D（3，3），∵=3，∴DP=2，即P（5，3），∴=（5，3），=（-3，3），∴=-15+27=12．故答案为：12．建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，λ），=（-3，2）．∥，∴，解得实数λ=4．（2）k+=（k-3，2k+2），=（7，-2），∵k+与-2垂直，∴（k）•（）=7k-21-4k-4=0，解得实数k=．【解析】（1）利用向量平行的性质能出实数λ的值；（2）先利用平面向量坐标运算法则求出k+，-2，由此利用向量垂直的性质能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量平行、平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）f（2）=-2×2+8=-4+8=4，f（f（-1））=f（-1+5）=f（4）=-2×4+8=0．（2）若x≤1，由f（x）≥4得x+5≥4，即x≥-1，此时-1≤x≤1，若x＞1，由f（x）≥4得-2x+8≥4，即x≤2，此时1＜x≤2，综上-1≤x≤2．【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．（2）根据分段函数的表达式，讨论x的取值范围进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）在△ABC中，由cos B=-，可知B为钝角，且sin B=，又sin A=，得cos A=．∴sin2A=2sin A cosA=2×；（2）cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cos AcocB+sin A sin B=-+=．【解析】（1）由已知可得B为钝角，分别求出sinB，cosA的值，由二倍角公式求得sin2A；（2）利用三角形内角和定理可得cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），展开两角和的余弦得答案．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的余弦，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）==1，即a-1=1+b，则a=2+b，则f（-x）=-f（x），即=-，即-x+b=-x-b，则b=-b，b=0，得a=2．（2）∵b=0，a=2，∴f（x）==2x1--2x2+=2（x1-x2）+=（x1-x2）（2+）∵x1，x2为（0，+∞）上任意两个自变量，且x1＜x2∴x1-x2＜0，2+＞0，∴（x1-x2）（2+）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质和定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．20.【答案】解：f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x（cos x cos）+=2sin x（）=sin2x-===．（1）f（x）的最小正周期T=；（2）由，得0，∴sin（）∈[0，1]，则∈[-，1-]，∴f（x）∈[-，1-]，则f（x）在区间[-，]上的最大值为．【解析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由x的范围求得相位的取值范围，则f（x）在区间[-，]上的最大值可求．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查两角和的余弦，是中档题．。

2017-2018学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．3844．设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．27．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．108．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）二、填空题：每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，计算的结果为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．12．已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为．13．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是．14．（5分）（2018济宁二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2018秋和平区期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．16．（13分）（2018秋和平区期末）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（Ⅱ）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？17．（13分）（2018秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．18．（13分）（2013山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．（14分）（2018秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．（14分）（2018秋和平区期末）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（Ⅰ）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=mx﹣6x2﹣2f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．2017-2018学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【分析】先化简集合M，再根据集合的并集运算求出M∪N={x|x＜2}，这时发现{x|x＜2}∪{x|x≥2}=R，问题得以解决．【解答】解：∵M={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜2}，∴∁R（M∪N）={x|x≥2}，故选：D．【点评】此题考查的分式不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，先求出基本事件总数，再求出其和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出其和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数n==21，其和为偶数包含的基本事件个数m==9，∴其和为偶数的概率p===．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．384【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当满足n＜8时，用s×n的值代替s得到新的s值，进入下一步判断，直到条件不满足时输出最后的S值，由此即可得到本题答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=2满足条件n＜8，S=2，n=4满足条件n＜8，S=8，n=6满足条件n＜8，S=48，n=8不满足条件n＜8，退出循环，输出S的值为48．故选：C．【点评】本题给出程序框图，求最后输出的结果值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．4．设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由2x2﹣5x﹣3＜0，解得，即可判断出结论．【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＜0，解得，∴“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交⊙O于点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知ADDE=BDDC，得故选C【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．6．若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的a，b，c，解方程可得p2=36，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=36，可得c=3，则离心率e===．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点坐标，以及双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．7．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象，依题意，由图象即可求得max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的求法，在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象是关键，考查数形结合的思想方法，属于中档题．8．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【分析】f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g（x）=|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及数形结合是解决本题的关键．二、填空题：每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，计算的结果为2﹣．【分析】直接利用复数代数形式乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π【点评】本题主要考查三视图的应用以及空间几何体的体积计算，根据三视图判断几何体的结构是解决本题的关键．11．（5分）（2011新余二模）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．【分析】解出关于三角函数的不等式，使得cosx的值介于0到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率．【解答】解：∵0＜cosx，∴x∈（2kπ+，2kπ+）当x∈[﹣，]时，x∈（﹣，﹣）∪（，）∴在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率P==，故答案为：．【点评】本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．12．已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为18．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，则2x+y=（2x+y）=10++≥10+2=18，当且仅当y=2x=2+8时取等号．故答案为：18．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是[﹣，4]．【分析】由条件利用三角函数的周期性求得ω的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即=，∴ω=2，f（x）=3sin（2x﹣）+1．当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴函数f（x）的值域为[﹣+1，4]，即函数f（x）的值域是[﹣，4]，故答案为：[﹣，4]．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．14．（5分）（2018济宁二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则的取值范围是[﹣3，0]．【分析】由条件可以求出，而根据B，D，C三点共线，便可得到，从而得到，进行数量积的运算便可得出，【解答】解：根据条件，；∵B，D，C三点共线，∴存在实数λ使，0≤λ≤1；∴；∴；∴==1﹣2λ﹣4（1﹣λ）+λ=3λ﹣3；∵0≤λ≤1；∴﹣3≤3λ﹣3≤0；∴的取值范围为[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，共线向量基本定理，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及不等式的性质．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2018秋和平区期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．【分析】（I）由asinA+csinC﹣asinC=bsinB，利用正弦定理可得：=b2，再利用余弦定理可得：cosB．（II ）A=π﹣B ﹣C=，由正弦定理可得：a=，而sinC=．可得c=．【解答】解：（I ）由asinA+csinC ﹣asinC=bsinB ，利用正弦定理可得：=b 2，由余弦定理可得：cosB==，∵B ∈（0，π），∴B=．（II ）A=π﹣B ﹣C=，由正弦定理可得：a===，而sinC==+=．∴c==1+．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2018秋和平区期末）某企业生产A 、B 两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A 产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B 产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品 煤（吨） 水（吨） 电（千瓦） A B（Ⅱ）设分别生产A 、B 两种产品x 吨、y 吨，总产值为z 万元，请列出x 、y 满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【分析】（Ⅰ）根据题意，即可填写表格；（Ⅱ）由题意可得组，目标函数z=7x+12y；（Ⅲ）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，平移直线l0：，由图象观察可得经过直线3x+10y=300和直线4x+5y=200的交点时，取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）A 9 3 4B 4 10 5（Ⅱ）x，y满足的不等式组，目标函数z=7x+12y；（Ⅲ）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，由，解得M（20，24），平移直线l0，当经过点M（20，24），取得最大值，且为z=7×20+12×24=428．则生产A种产品20吨，B种产品24吨，才能获得最大利润428万元．【点评】本题考查线性规划的运用，考查数形结合的思想方法，以及平移法，考查运算能力，属于中档题．17．（13分）（2018秋和平区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【分析】（Ⅰ）推导出B1C⊥BC1，B1C⊥A1B，从而B1C⊥平面A1BC1，由此能证明平面AB1C垂直平面A1BC1．（Ⅱ）设BC1∩B1C于点E，连DE，推导出DE∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1CD．（Ⅲ）侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，侧面ACC1A1是一个正方形，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1，∵B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C垂直平面A1BC1．（Ⅱ）设BC1∩B1C于点E，连DE，∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，∴DE∥A1B，∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．解：（Ⅲ）依题意，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，两底面是边长为2的正三角形，面积均为，侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，面积均为2，侧面ACC1A1是一个正方形，面积为4，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱柱的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（13分）（2013山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．19．（14分）（2018秋和平区期末）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线AF1的方程为3x﹣4y+6=0，求出直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，与椭圆联立，得19x2﹣16x﹣44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，则，解得a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）∵椭圆C的方程为，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，由，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，，∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的另一个交点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．20．（14分）（2018秋和平区期末）设函数f （x ）=x 3﹣x 2+6x+m ．（Ⅰ）对于x ∈R ，f ′（x ）≥a 恒成立，求a 的最大值；（Ⅱ）若方程f （x ）=0有且仅有一个实根，求m 的取值范围；（Ⅲ）若g （x ）=mx ﹣6x 2﹣2f （x ）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围．【分析】（1）求出f （x ）的导数，得到3x 2﹣9x+（6﹣a ）≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出a 的范围即可；（2）求出f （x ）的极大值和极小值，从而求出m 的范围即可；（3）求出g （x ）的导数，得到函数的单调性，求出函数的g ′（x ）的最大值，从而求出m 的范围即可．【解答】解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣9x+6，x ∈R ，f ′（x ）≥a 恒成立，即3x 2﹣9x+（6﹣a ）≥0恒成立，∴△=81﹣12（6﹣a ）≤0，解得：a ≤﹣，∴a 的最大值是﹣；（2）由f ′（x ）=3（x ﹣1）（x ﹣2），令f ′（x ）＞0，解得：x ＞2或x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜2，∴f （x ）极大值=f （1）=+m ，f （x ）极小值=f （2）=2+m ，故f （2）＞0或f （1）＜0时，方程f （x ）=0仅有1个实数根，∴m 的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣2，+∞）； （3）∵g （x ）=﹣2x 3+3x 2+（m ﹣12）x ﹣2m ，∴g ′（x ）=﹣6+（m ﹣），当x ∈[1，+∞）时，g ′（x ）的最大值是g ′（1）=m ﹣12， 令g ′（1）＞0，解得：m ＞12， ∴m 的范围是（12，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．。

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷 数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}212B x x =<，则A B =I （ ）A ．{}4B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---2．“2a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设变量x y 、满足约束条件24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为（ ）A ．9B ．5C ．1D ．-54．已知双曲线221412x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．( C．⎡⎢⎣⎦D．⎡⎣ 5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（ ）A ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到图象对应的解析式为（ ）A ．1sin2y x = B ．12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，2DF FC =u u u r u u u r，且AE 与BF 相交于点G ，则AG BF ⋅uuu r uu u r的值为（ ）A ．47 B ．47- C ．35 D ．35- 8．已知函数()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若始终存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-的零点不唯一，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,4B ．(),2-∞C ．(),4-∞D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知i 是虚数单位，则复数3i2i-=+ ． 10．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答） 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12．已知0a >，则()()141a a a--的最小值为 ．13．已知函数()f x =，若()4f a =-，则()f a -的值为 ．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22a bc =. （Ⅰ）若sin sin A C =，求cos A ；（Ⅱ）若cos23A =，6a =，求ABC ∆的面积. 16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为PC 的中点，E 为AD 的中点，点F 在线段PB 上，4PA AC ==，2BC =.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若34PF PB =，求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅲ）求PE 与平面ADB 所成角的正弦值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中111a b ==，234a b a +=，347a b a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线0x y -=相切.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD AB ∥，求证：2CDAB为定值.20．已知函数()2f x ax x =-，()lng x b x =，且曲线()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅲ）当[)6,n ∈+∞时，求方程()()f x x ng x +=在区间()1,ne 内实根的个数.和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．1i - 10．60 11．4233π+ 12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由sin sin A C =及正弦定理，得a c =. ∵22a bc =， ∴2a c b ==.由余弦定理，得222cos 2b c a A bc +-=222244144b b b b +-==.（Ⅱ）由已知22a bc =，6a =，得18bc =.∵在ABC ∆中，2A 为锐角，且cos 2A =∴1sin23A ==.∴1sin 2sincos 222339A A A ==⨯⨯=.由18bc =，sin 9A =及公式1sin 2S bc A =，∴ABC ∆的面积11829S =⨯⨯=. 16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ， 则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC U . ∵ABC 与ABC 互斥，且,,A B C 彼此独立， ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=， ()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=，()321134324P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为数学期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥.∵AC BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC . ∵AD ⊂平面PAC ， ∴BC AD ⊥.∵PA AC =，D 为PC 的中点， ∴AD PC ⊥. ∵PC BC C =I ， ∴AD ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：依题意，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，如图，以A 为原点，分别以,,CB AC AP u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得()0,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,2,2D ，()0,1,1E ，3,3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵平面ABC 的一个法向量()0,0,4AP =uu u r ，3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r ，∴0AP EF ⋅=uu u r uu u r，即AP EF ⊥.∵EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .（Ⅲ）解：设平面ADB 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AD ⋅=r uuu r ，0n AB ⋅=r uu u r. 由()0,2,2AD =uuu r ，()2,4,0AB =uu u r ，得220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1z =，得1y =-，2x =，即()2,1,1n =-r.设PE 与平面ADB 所成角为θ，∵()0,1,3PE =-uur，∴sin cos ,PE nPE n PE nθ⋅==⋅uur ruur r uur r==∴PE 与平面ADB 18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由111a b ==，得()11n a n d =+-，1n n b q -=， 由234a b a +=，347a b a +=，得22q d =，34q d =， ∴2d q ==.∴{}n a 的通项公式21n a n =-，{}n b 的通项公式12n n b -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n a a a n +++=L ，1221n n b b b +++=-L ， 故()21212nn n c n n n n=-=⋅-. 则()()21222212nn S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L .令231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，① 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，②由②-①，得()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+.∴()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222nn n n ++-⋅-+. 19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线0x y -=的距离为b ，则有b ==12=，得22443a b ==.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，CD =则24CDAB=. （2）当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AB x =-= ()2212134k k +=+.由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则34x x -=34CD x =-=∴()()2222248134434121k CD k ABk k ++=⋅=++. 综合（1）（2），24CDAB=为定值.20．解：（Ⅰ）∵()11f a =-，()10g =，()()11f g =， ∴1a =.∵()21f x ax '=-，()bg x x'=， ∴()121f a '=-，()1g b '=. ∵()()11f g ''=，即21a b -=， ∴1b =.（Ⅱ）证明：设()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->，()()()211121x x u x x x x+-'=--=. 令()0u x '=，则有1x =.当x 变化时，()(),u x u x '的变化情况如下表：∴()()10u x u ≥=，即()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立.（Ⅲ）设()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-，其中()1,n x e ∈，()22x x n h x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=-.令()h x '，则有2x =当x 变化时，()(),h x h x '的变化情况如下表：∴()ln 1222n n h x h ⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎭极大值()3ln310≥->. ()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-，设()x t x x e =-，其中()6,x ∈+∞，则()10xt x e '=-<， ∴()t x 在()6,+∞内单调递减，()()60t x t <<，∴x x e <，故()0n h e <，而()11h =-.结合函数()h x 的图象，可知()h x 在区间()1,n e 内有两个零点，∴方程()()f x x ng x +=在区间()1,n e 内实根的个数为2.。

2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.sin等于（）A. B. C. D.2.已知cos（+α）=，且α ＜，则tanα等于（）A. B. C. 2 D.3.已知cosα=，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.下列函数中，周期为π，且在（0，）上为增函数的是（）A. B. C. D.6.已知函数y=tan，x≠（2+1）π（∈），若y=1，则（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈7.已知平面向量=（1，-2），=（-2，m），且 ∥，则3+2等于（）A. B. C. D.8.若向量，满足= =2，与的夹角为120°，则（+）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 69.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•等于（）A. 1B. 2C. 3D. 410.在△ABC中，若cos A=，cos B=-，则cos C的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知=-，则=______．12.已知向量=（2，1），=（3，4），若向量与向量λ+垂直，则λ的值为______．13.函数y=1-8cos x-2sin2x的最大值是______．14.计算cos•cos•cos=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若=2，=λ-，且•=-4，则λ的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知向量与向量=（1，-2）的方向相反，且=3．（1）求向量的坐标；（2）若=（2，3），求（-）•（-）的值．17.若=1．（1）求tanα的值；（2）求+sinαcosα的值．18.已知α，β∈（0，），cosα=，cos（α+β）=．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．19.已知=（1，），=（2，m）．（1）当3-2与垂直时，求m的值；（2）当与的夹角为120°时，求m的值．20.已知函数f（x）=4cos x sin（x-）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[，上的最大值与最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：由cos（+α）=，得-sinα=，即sinα=，又α ＜，∴-，则cosα==，则tanα=．故选：B．由已知求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴．故选D．4.【答案】C【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-=cos2x的图象，故选：C．已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=-sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，∈．则x=2 π+（∈）．故选：B．由已知可得，即，∈，则x值可求．本题考查由已知三角函数值求角，考查了三角方程的解法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：向量=（1，-2），=（-2，m），且∥，∴1×m-（-2）×（-2）=0，解得m=4，∴=（-2，4），∴3+2=（3，-6）+（-4，8）=（-1，2）．故选：C．根据平面向量的共线定理求出m的值，再计算3+2．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：向量，满足= =2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°-60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2-1=1，故选：A．通过=+，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为+．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=-，得sinB=，∴cosC=cos[π-（A+B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．由已知利用平方关系分别求得sinA，sinB的值，再由两角和的余弦求得cosC 的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的余弦，是基础的计算题．11.【答案】【解析】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1-sin2x=cos2x，则（1-sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=-，∴=-=，故答案为：．由同角三角函数基本关系式可得=-，结合已知得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】-2【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=-2；故答案为：-2根据题意，由向量的坐标计算公式可得λ+的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积与向量垂直的关系．13.【答案】9【解析】解：函数y=1-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9，当cosx=-1时，函数y取得最大值是2×（-1-2）2=9．故答案为：9．把函数y化为关于cosx的二次关系，求出函数y的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：cos•cos•cos====．故答案为：把要化简的式子分子分母同时乘以最小角的正弦，依次利用倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础题．15.【答案】【解析】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，∵=λ-，∴•=（+）•（λ-）=（-）••-+=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4，解得λ=，故答案为：根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）设=-λ，λ＞0，则=（-λ，2λ），则2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=-3（舍去），∴（-3，6），（2）∵ （2，3）∴ -=（2，3）-（1，-2）=（1，5），-=（2，3）-（-3，6）=（5，-3），∴（-）•（-）=5-15=-10．【解析】（1）设=-λ，λ＞0根据向量的模即可求出，（2）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.【答案】解：（1）由=1，得，即5tanα-1=1+tanα，解得tan；（2）+sinαcosα===．【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．（1）把已知等式化弦为切，求解可得tanα的值；（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tanα得答案．18.【答案】解：（1）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），又cosα=，cos（α+β）=，则sin，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）-α =sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α =cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=，由α，β∈（0，），得2α+β∈（0，），∴2α+β=．【解析】（1）由已知分别求得sinα，sin（α+β）的值，由sinβ=sin[（α+β）-α ，展开两角差的正弦得答案；（2）由cos（2α+β）=cos[（α+β）+α ，展开两角和的余弦求得cos（2α+β），结合角的范围可得2α+β的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的正弦、余弦，训练了利用已知角的三角函数值求角，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，=（1，），=（2，m），则3-2=（-1，3-2m），若3-2与垂直时，则有（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m=；（2）=（1，），=（2，m），则==2，=，且•=2+m，又由与的夹角为120°，则有cos120°===-，变形可得：2+m+=0解可得m=-2，故m=-2．【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3-2的坐标，又由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m的值，（2）根据题意，由向量夹角公式计算可得cos120°=，代入数据可得=-，解可得m的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量夹角公式的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．20.【答案】解：（1）函数f（x）=4cos x sin（x-）+1=4cos x（sin x cos-cos x sin）+1=2sin x cosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），所以f（x）的最小正周期为T==π；（2）x∈[，，则2x-∈[，；当x∈[，时，2x-∈[，，函数f（x）=2sin（2x-）单调递增；同理，x∈[，时，2x-∈[，，函数f（x）=2sin（2x-）单调递减；又f（）=2sin=2，f（）=2sin=2，f（）=2sin=-1，f（x）在区间[，上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的性质求出它的最小正周期；（2）求出x∈[，时2x-的取值范围，根据正弦函数的正弦求出它的最大和最小值．本题主要考查了角函数图象和性质应用问题，根据三角恒等变换进行化简是解题的关键．。

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）B.C. D.【答案】C，集合故选C2. ”是“关于的方程）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵若关于故选A3. ）A. 9B. 5C. 1D. -5【答案】B【解析】由约束条件目标函数故选B点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.则该直线斜率的取值范围是（）【答案】D【解析】∵双曲线的方程为，右焦点故选D5. ）A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．6. ）B.D.【答案】D故选D7. 2的中点，）【答案】A【解析】以为原点，所在的直线分别为的方程为，得，故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8.则的取值范围是（）【答案】C个数不唯一的抛物线，，则分上为减函数，为常数函数）∴始终存在实数使得在上为增函数，且故选C点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. ．【答案】10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】60【解析】得的系数为故答案为6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. __________．【答案】-1【解析】∵最小值为故答案为点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用能否同时成立）.13. __________．【答案】4，即故答案为414. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__________．【答案】480【解析】假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,.故答案为480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（Ⅰ）若（Ⅱ）若.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】试题分析：(Ⅰ)(Ⅱ)据此结合三角形面积公式有的面积试题解析：（.（Ⅱ）由已知为锐角，且，及公式的面积.16. 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为..【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、则则事件“甲同学进入复赛的”能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件则事件“甲同学进入复赛的”（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3..所以，随机变量的分布列为数学期望17. 如图，在三棱锥中，平面，，的中点，（Ⅱ）若，求证：（Ⅲ）求与平面.【解析】试题分析：（Ⅰ，由及）依题意，，个法向量，再根据(Ⅲ) 求出平面所成角为，根据，即可求出与平面.试题解析：（Ⅰ平面，（Ⅱ为原点，分别以.平面（Ⅲ的法向量为.，与平面所成角的正弦值为.点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．18.（Ⅱ）记【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式的通项公式(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)错位相减结合等差数列前n项和公式试题解析：（（①②由②-点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19.相切...【解析】试题分析：(Ⅰ)则的方程为(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：的斜率不存在时，当直线联立直线方程与椭圆方程有计算可得.据此可得：.试题解析：（的距离为，得∴椭圆的方程为（Ⅱ）证明：（1）当直线（2）当直线的方程为.由.∴综合（1）（2），为定值.20. ，且曲线.（Ⅲ）当.【解析】试题分析：(Ⅰ)(Ⅱ)立，讨论函数的单调性可得.试题解析：（Ⅰ）.（令，则有..（令，则有.，，其中结合函数2.。

天津一中2017—2018—1高一年级数学学科期末质量调查试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．若tan 3α=，则2sin2cos αα的值等于（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】22sin22sin cos sin 22tan 6cos cos cos αααααααα====． 故选D ．2．函数22ππ()sin cos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是（）． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 【答案】A 【解析】22ππ()sin cos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πcos 22x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ sin 2x =-．∴sin 2y x =-最小正周期为：2ππ2T ==， ()sin(2)sin 2()f x x x f x -=--==-．∴函数为奇函数．故选A ．3．设函数π()sin()cos()0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=>< ⎪⎝⎭+++的最小正周期为π，且()()f x f x =-则（）． A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B ．()f x 在π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D ．()f x 在π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 【答案】C【解析】()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++π4x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵2ππT ω==，得2ω=，∴π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由()()f x f x -=，得：πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ， ∴ππ4k ϕ=+，（k ∈Z ）． ∵π||2ϕ<， ∴π4ϕ=．则π()22f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 此函数在02πx <<递减， 即函数在π02x <<递减． 故选C ．4．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）．A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】由题意知 函数的周期为π(*)3n n∈N ， 故2π6(*)π3n n nω==∈N ，∴ω最小值为6．故选C ．5．在ABC △中的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）． A ．10b =，45A =︒，70C =︒B ．60a =，48c =，60B =︒C ．7a =，5b =，80A =︒D ．14a =，16b =，45A =︒ 【答案】D【解析】∵14a =，16b =，45A =︒，∴由正弦定理得sin B =∵a b <，∴A B <,∴三角形有两个解．故选D ．6．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 的取值范围是（）． A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由正弦定理知：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤转化为222a b c bc +-≤．再由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-， 两式结合：1cos 2A ≥，且(0,π)A ∈． 解得：π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C ．7．函数π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位长度后是奇函数，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）．A ．12BC ．12-D ． 【答案】D 【解析】平移后得到函数πsin 23y x φ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵函数πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数， 故ππ3k ϕ+=． ∵π||2ϕ<， ∴π3ϕ=-， ∴函数为πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ∴ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，0x =时，函数取得最小值为． 故选D ．8．已知函数()sin cos f x x a x =+的图像关于5π3x =对称，则函数()sin cos g x a x x =+的图像的一条对称轴是（）．A ．π4x =B ．π3x =C ．11π6x =D ．2π3x =【答案】C【解析】由题意知10π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1010πsin πcos 33a a =+，∴12a a =．得：a =．∴()cos g x x x =+2π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 对称轴2πππ32x k +=+，k ∈Z ， ππ6x k =-，k ∈Z ． 当2k =时，11π6x =． 故选C ．9．设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（）． A ．[4,2]-- B ．[2,0]- C ．[0,2] D ．[2,4]【答案】A【解析】将()f x 的零点转化为函数()4sin(21)g x x =+与()h x x =的交点， 可知其在[4,2]--不存在零点．故选A ．10．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】D【解析】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-． 令12()2log 0x g x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =．21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >，∴a b c <<．故选D ．二、填空题（每小题4分，共24分）11．已知5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是__________．【答案】b a c <<【解析】5log 4(0,1)a =∈，4log 51c =>，5log 3(0,1)∈，且550log 3log 41<<<，∴255(log 3)log 41<<，即b a c <<．12．已知π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，则tan 2α=__________． 【答案】43- 【解析】根据α取值范围可知cos 0α<，cos α=， 1tan 2α=-， ∴22tan tan21tan ααα=- 1114-=- 43=-．13．已知2tan()3αβ+=，πtan 14β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．2x【答案】5 【解析】πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ πtan ()4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ πtan()tan 4π1tan()tan 4αββαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 213521(1)3+==+⨯-．14．在ABC △中的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，4a =，5b =，6c =，则s i n2s i n A C=__________． 【答案】1【解析】由正弦定理得2222sin 22sin cos 2sin sin b c a a A A A bc C C C +-⋅==． ∵4a =，5b =，6c =， ∴原式2536162424516+-⨯⨯⨯⨯==． 15．在ABC △中的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值是__________．【答案】8【解析】由题意知1sin 2S bc A == 2b c -=，sin A = 联立得：6b =，4c =，2221cos 24b c a A bc +-==． 得8a =．16．平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．【答案】【解析】∵75A B C ∠=∠=∠=︒，∴135D ∠=︒．∵2BC =．∴当D 与C 重合时， 由正弦定理可得：sin30sin75AB BC =︒︒，解得：AB =．当D 与A 重合时， 由正弦定理得：sin75sin30AB BC =︒︒，解得：AB =．∵ABCD 为平行四边形，∴AB ∈．三、解答题（共4题，46分）17．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． （2）若06()5f x =，0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值． 【答案】（1）2，1-．（2【解析】（1）2()cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴2ππ2T ==． ∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴ππ7π2666x +≤≤， ∴当ππ262x +=，即π3x =时， ()f x 有最大值2=． 当π7π266x +=，即π2x =时， ()f x 有最小值1=-． （2）06()5f x =，0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 0π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴0π4cos 265x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 00ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 00ππππcos 2cos sin 2sin 6666x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=18．在ABC △中的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． （1）求A 的大小．（2）求sin sin B C +最大值．【答案】（1）2π3．（2）1．【解析】（1）由正弦定理得：原式22(2)(2)a b c b c b c ==+++，整理得：222a b c bc =++，由余弦定理得：1cos 2A =-， ∴2π3A =．（2）sin sin B C +πsin sin 3B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 2B B +πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故当π6B =时，sin sin B C +取最大值1．19．已知函数21ππ()1sin sin sin tan 44f x x m x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）当0ω=时，求()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．（2）当tan 2α=时，3()5f α=，求m 的值．【答案】（1）⎡⎢⎣⎦．（2）2m =-．【解析】（1）当0m =时，2cos ()1sin sin x f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin sin cos x x x =+1cos2sin22x x -+=1π2124x ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦． ∵π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π24x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦． 从而得：()f x值域为⎡⎢⎣⎦． （2）21ππ()1sin sin sin tan 44f x x m x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2πcos cos22sin sin cos 2m x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++ 11[sin2(1)cos2]22x m x =-++． ∴113()(sin2(1)cos2]225f m ααα=-++=． 当tan 2α=，222sin cos 2tan 4sin2sin tan 1tan 5ααααααα===++， 3cos25α=-， 代入得2m =-．20．在ABC △中的内角A 、B 、C ，sin()sin sin A B C B -=-，D 是边BC 的三等分点（靠近点B ），s i n s i n ABD t BAD∠=∠． （1）求A 的大小．（2）当t 取最大值时，求tan ACD ∠的值．【答案】（1）π3A =． （2）2【解析】（1）∵πA B C ++=，∴sin()sin()sin A B A B B -=+-sin cos cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A -=+- 化简得sin 2cos sin B A B =．∵(0,π)B ∈，∴1cos 2A =， π3A =． （2）设BD x =，BAD θ∠=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2BD x =，sin sin B t B =． 由正弦定理得：AD tx =， sin πsin sin 23AD DAC t C DC θ∠⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 又2πsin sin 3C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 2B B +sin 2t B θ+．πsin sin 223t t B θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 得：πcos cos 3B t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵22222πsin cos sin 13B B t t θθ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭， ∴2221πsin cos 3t θθ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 22π1cos2cos 23θθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2π226θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴πππ2662θ-<-<， 当π206θ-=，即π12θ=时， t1．此时，sin 1)B ==， ∴π4B ∠=． ππtan tan π34ACD ⎛⎫∠=-- ⎪⎝⎭= 2。

天津市和平区2017-2018学年高一上学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集}5,4,3,2,1{=A ，}.12|{A x x y y B ∈-==，则B A 等于( )A ．}4,2{B ．}5,3,1{C ．}9,7,4,2{D ．}9,7,5,4,3,2,1{2．函数|1||1|--+=x x y 的值域为( )A ．),0(+∞B ．),2(+∞C ．),0[+∞D ．),2[+∞3．已知点)223,32(在幂函数)(x f 的图象上，则)(x f ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数4．在下列个区间中，存在着函数932)(3--=x x x f 的零点的区间是( )A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2(5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ，6)2(-=f t ，则)(t f 的值为( ) A ．3- B ．3 C ．4- D ．46．下列各式中，不成立的是( )A ．5.1222<B ．6.04.0618.0618.0>C ．1.3lg 7.2lg <D ．4.0log 6.0log 3.03.0>7．函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．坐标原点对称 C ．直线x y =对称 D ．直线x y -=对称8．已知偶函数)(x f 在区间]0,(-∞上单调递减，则满足)3()12(f x f <+的x 的取值范围是( )A ．)2,1(-B ．)1,2(-C ． )1,1(-D ．)2,2(-9．已知xx x f -=1)1(，则)(x f 的解析式为( ) A ．0(1)(≠-=x x x x f ，且)1≠x B ．0(11)(≠-=x xx f ，且)1≠x C ． 0(11)(≠-=x x x f ，且)1≠x D ．0(1)(≠-=x x x x f ，且)1≠x 10．已知函数)1(13)(≠--=m m mx x f ，且)(x f 在区间]1,0(上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．]3,1()1,( -∞B ．]3,1(]0,( -∞C ． )3,1()0,( -∞D ．]3,1()0,( -∞ 第Ⅱ卷(共60分)二、填空题(每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)11．计算=⋅32log 3log 98 .12．已知xx x f 212)(+=，若5)(=a f ，则=)2(a f . 13．若关于x 的方程0922=-+ax x 的两个实数根分别为21,x x ，且满足212x x <<，则实数a 的取值范围是 ．14．函数651)(2--=x x x f 的单调递增区间是 ．15．若关于x 的不等式0log 2<-x x a 在)22,0(内恒成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题 (本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．已知函数328)(++-=x x x f . (1)求函数)(x f 的定义域；(2)求)2(-f 及)6(f 的值．17．已知函数132)(+-=x x x f ． (1)判断函数)(x f 在区间),0[+∞上的单调性，并用定义证明其结论；(2)求函数)(x f 在区间]9,2[上的最大值与最小值．18．设xxx f 2121)(+-=. (1)判断函数)(x f 的奇偶性；(2)求函数)(x f 的单调区间．19．已知函数ax x f x ++=)12(log )(22．(1)若)(x f 是定义在R 上的偶函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若2)()(-=x f x g ，求函数)(x g 的零点．20．已知函数)1(102)(2>+-=m mx x x f ．(1)若1)(=m f ，求函数)(x f 的解析式；(2)若)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，且对于任意的]1,1[,21+∈m x x ，9|)()(|21≤-x f x f 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若)(x f 在区间]5,3[上有零点，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BDACA 6-10:DBBCD二、填空题11．65 12．3 13．)45,(-∞ 14．)1,(--∞ 15．)1,21[ 三、解答题16．(1)解:依题意，02≠-x ，且03≥+x ，故3-≥x ，且2≠x ，即函数)(x f 的定义域为),2()2,3[+∞- . (2)132228)2(-=+-+--=-f ， 536268)6(=++-=f . 17．(1)解:)(x f 在区间),0[+∞上是增函数.证明如下:任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，132132)()(221121+--+-=-x x x x x f x f )1)(1()1)(32()1)(1()1)(32(21122121+++--+++-=x x x x x x x x )1)(1()(52121++-=x x x x . ∵0)1)(1(,02121>++<-x x x x ，∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <.∴函数)(x f 在区间),0[+∞上是增函数.(2)由(1)知函数)(x f 在区间]9,2[上是增函数，故函数)(x f 在区间]9,2[上的最大值为2319392)9(=+-⨯=f ， 最小值为3112322)2(=+-⨯=f .18、解:对于函数)(x f ，其定义域为),(+∞-∞∵对定义域内的每一个x ， 都有)(212112122121)(x f x f xxx x x x -=+--=+-=+-=---， ∴函数x xx f 2121)(+-=为奇函数. (2)设21,x x 是区间),(+∞-∞上的任意两个实数，且21x x <， 则221121212121)()(21x x x x x f x f +--+-=- )21)(21()22(22112x x x x ++-=. 由21x x <得02212>-x x ，而021,02121>+>+x x ，于是0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >.所以函数)(x f 是),(+∞-∞上的减函数.19、(1)解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数.∴)1()1(f f =-，即a a +=-5log 45log 22故1241log 25log 45log 222-==-=a . (2)依题意2)12(log )(22--+=x x g x22222log )12(log +-+=x x .则由22212+=+x x ，得01)2(4)2(2=+-x x ， 令)0(2>=t t x ，则0142=+-t t 解得32,3221+=-=t t . 即)32(log ),32(log 2221+=-=x x .∴函数)(x g 有两个零点，分别为)32(log 2-和)32(log 2+.20、(1)解:依题意110222=+-m m ，解得3=m 或3-=m (舍去)， ∴106)(2+-=x x x f .(2)解:由)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，得2≥m ，∴当]1,1[+∈m x 时， m f x f m m f x f 211)1()(,10)()(max 2min -==-==.∵对于任意的]1,1[,21+∈m x x ，9|)()(|21≤-x f x f 恒成立， ∴9)()(min max ≤-x f x f ，即0822≤--m m ，解得42≤≤-m .∴实数m 的取值范围是]4,2[.(3)解:∵)(x f 在区间]5,3[上有零点，∴关于x 的方程01022=+-mx x 在]5,3[上有解.由01022=+-mx x ，得x x m 102+=， 令xx x g 10)(+=， ∵)(x g 在]10,3[上是减函数，在]5,10[上是增函数， ∴7)(102≤≤x g ，即2710≤≤m ∴求实数m 的取值范围是]27,10[.。

2017-2018学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若tanα=3，则的值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 62.设函数f（x）=sin2（x+）-cos2（x+）（x∈R），则函数f（x）是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数3.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＞，＜的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（）A. 在单调递减B. 在单调递减C. 在单调递增D. 在单调递增4.设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A. B. 3 C. 6 D. 95.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，6.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C，则A的取值范围是（）A. B. C. D.7.函数，＜向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在，上的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数y=sin x+a cos x的图象关于对称，则函数y=a sin x+cos x的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.9.设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2-x+log2x，h（x）=2x•log2x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知a=log54．b=（log53）2，c=log45，则a，b，c从小到大的关系是______．12.已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=______．13.已知tan（α+β）=，tan（）=-1，则tan（）=______．14.在△ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c，a=4，b=5，c=6，则=______．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b-c=2，cos A=-，则a的值为______．16.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）17.已知函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1．（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A=（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sin B+sin C的最大值．19.已知函数f（x）=（1+）sin2x+m sin（x+）sin（x-）（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的取值范围；（2）当t a na=2时，f（a）=，求m的值．20.在△ABC中，sin（A-B）=sin C-sin B，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记．（1）求A的大小；（2）当t取最大值时，求tan∠ACD的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：==2tanα=6故选D利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础知识的运用．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，其中利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，是解答本题的关键．利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，进而求出其周期，并判断其奇偶性，可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）-cos2（x+）=-cos2（x+）=-cos（2x+）=sin2x，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=π，又∵f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），故f（x）为奇函数．故函数f（x）是最小正周期为π的奇函数．故选A．3.【答案】A【解析】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（-x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．4.【答案】C【解析】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．5.【答案】D【解析】解：A、∵A=45°，C=70°，∴B=65°，又b=10，∴由正弦定理==得：a==，c=，此时三角形只有一解，不合题意；B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3600+2304-2880=3024＞0，∴此时三角形有一解，不合题意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理=得：sinB=，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理=得：sinB==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解，符合题意，故选：D．A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，∴a2≤b2+c2-bc，∴bc≤b2+c2-a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7.【答案】A【解析】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是-．所以函数为y=sin（2x-）．x∈，所以2x-∈[-，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2（x++φ））的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得φ的值，然后函数f（x）在上的最小值．本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，∴函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+-θ又tanθ=-，故θ=k1π-，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k1）π++=（k-k1）π+，k-k1∈z，当k-k1=1时，对称轴方程为x=故选：A．函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．9.【答案】A【解析】解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象如下图示：由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象在区间[-4，-2]上无交点，由图可知函数f（x）=4sin（2x+1）-x在区间[-4，-2]上没有零点故选：A．将函数f（x）的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的交点，在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考查，对能力要求较高，属较难题．函数F（x）=f （x）-g（x）有两个零点，即函数f（x）的图象与函数g（x）的图形有两个交点．10.【答案】D【解析】解：f（x）=2x+log2x=0，可得log2x=-2x，g（x）=2-x+log2x=0，可得log2x=-2-x，h（x）=2x log2x-1=0，可得log2x=2-x，∵函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为a，b，c，作出函数y=log2x，y=-2x，y=-2-x，y=2-x的图象如图，由图可知：a＜b＜c．故选：D．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】b＜a＜c【解析】解：∵log45＞1，0＜log54＜1，0＜log53＜1，∴log54＞log53＞（log53）2，即b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c根据对数的性质进行估算即可．本题主要考查对数值的大小比较，根据对数的性质进行估算是解决本题的关键． 12.【答案】-【解析】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=-，tanα==∴tan2α==-故答案为：-利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题． 13.【答案】5【解析】解：∵已知tan （α+β）=，tan （）=-1，∴tan （）===5，故答案为：5．由题意利用两角差的正切公式，求得tan （）的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 14.【答案】1【解析】解：∵a=4，b=5，c=6，∴======1．故答案为：1．由已知及正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 15.【答案】8【解析】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化为bc=24，又b-c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=36+16-48×=64．解得a=8．故答案为：8．由cosA=-，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b-c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA即可得出．本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】（-，+）【解析】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m-x=+-x，∴AB的取值范围是（-，+）．故答案为：（-，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为-；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（-，+）．如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1．=，=，所以函数的最小正周期为：．由于x∈[0，]，则：∈，，所以函数的最大值2，函数的最小值1;（2）由于f（x）=，所以：，∈，则：，=+，=，=.【解析】（1）直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．（2）利用整体的角的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换的应用．18.【答案】解：（Ⅰ）设则a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C∵2a sin A=（2b+c）sin B+（2c+b）sin C方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A故cos A=-，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin B+sin C=sin B+sin（60°-B）=cos B+sin B=sin（60°+B）故当B=30°时，sin B+sin C取得最大值1．【解析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．19.【答案】解：（1）当m=0时，函数f（x）=（1+）sin2x=•sin2x=sin2x+sin x cosx=+sin2x=+sin（2x-）．∵≤x≤，∴0≤2x-≤，∴-≤sin（2x-）≤1，0≤f（x）≤，故f（x）在区间[，]上的取值范围为[0，]．（2）∵当t a na=2时，f（a）=，∴sin2a=，cos2a=．再由f（a）=（1+）sin2a+m sin（a+）sin（a-）=sin2a+m（sin2a-cos2a）=，可得=，解得m=-2．【解析】（1）当m=0时，利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为+sin （2x-），再根据x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[，]上的取值范围．（2）由tana=2时，f（a）=，利用同角三角函数的基本关系求得sin2a=，cos2a=．化简tan（a）等于，可得=，由此解得m的值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定于域和值域，属于中档题．20.【答案】解：（1）因为sin（A-B）=sin C-sin B，所以sin B=sin C-sin（A-B），即sin B=sin（A+B）-sin（A-B），整理得sin B=2cos A sin B．又sin B≠0，所以，即．（2）设BD=x，∠BAD=θ，∈，，则DC=2x，sin B=t sinθ．由正弦定理得AD=tx，．又，由，得．因为，所以，=，=．因为∈，，所以＜＜．所以当，即时，t取得最大值，此时，所以，．【解析】（1）直接利用已知条件，对三角函数的关系式进行恒等变换，进一步求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用已知条件和正弦定理建立联系，最后求出最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用及函数的最值问题．。