高等数学第六版上下册(同济大学出版社)

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-6仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12(-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为 000000cz z z by y y ax x x -=-=-.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢68. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程. 解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为 a z y x a az ay ax =++=++)(000000.。

高等数学主要版本教材高等数学作为大学的一门基础课程，对于学生的数学素养和逻辑思维能力的培养具有重要意义。

不同于中学的数学教学，高等数学的内容更加深入和抽象，因此教材的选择对于学生的学习效果具有决定性的影响。

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一、教材一：《高等数学》（第六版），同济大学出版社同济大学出版社的《高等数学》（第六版）是目前国内高等数学教材中最主要的版本之一。

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同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2 1. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数. 解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+x y ttdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 解 方程两对x 求导得0cos =+'x y e y ,于是 ye x dx dy cos-=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=x t dt te x I 02)(有极值？ 解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0,所以x =0是函数I (x )的极小值点.5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt tdx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ)cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-=)sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分:(1)⎰+-adx x x 02)13(; 解 a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx xx ; 解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=. (4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+a x a dx 3022; 解 a a a a xa x a dx aa 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰. (7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=. (9)⎰---+211e x dx ; 解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ; 解 4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d . (11)dx x ⎰π20|sin |; 解 ⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f . 解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin . 证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k k k k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdx 0cos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx . 证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)x dt t x x ⎰→020cos lim;(2)⎰⎰→x t x t x dt te dt e 0220022)(lim .解 (1)11cos lim cos lim 20020==→→⎰x x dt t x x x . (2)22222200002200)(2lim )(lim x xt x t x xt x t x xe dt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→ 22222002002lim 2lim x x t x x x xt x xe dt e xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xx ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x x xx ϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x -=+==⎰⎰⎰ 10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(. 12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx . (7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x .(8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x .(10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令kk k x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx x x x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+D d y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+D d y x σ)23(y d y x dx x ⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=20022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 ⎰⎰++D d y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+D d y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π0)][sin(dx y x x x ⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=. . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是 ⎰⎰D d y x σ⎰⎰=102dy y x dx x x ⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x . (2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y D σ 1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=11101101x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d eσ ⎰⎰+---+--+=10110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=101201112)()(dx e e dx e e x x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y D σ 613)832419(2023=-=⎰dy y y . 3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而 ⎰⎰=⋅dc d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a dc D ⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dc dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-},或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},所以 ⎰⎰--=220),(x r r r dy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线xy 1=(x >0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21}, 或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x yy }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y }, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy I .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 (4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=byb a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 ⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=x a b a dy y x f dx ),(, 或⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=b yb a dx y x f dy ),(.因此 ⎰⎰⎰⎰=by b a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(. 6. 改换下列二次积分的积分次序:(1)⎰⎰ydx y x f dy 010),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=110010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy . (2)⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以 ⎰⎰y y dx y x f dy 2202),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx . (3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y y dy y x f dx dx y x f dy (4)⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ;解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以 ⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ⎰⎰-+-=101122),(y y dx y x f dy . (5)⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(ee y dx y xf dy (6)⎰⎰-x xdy y x f dx sin 2sin 0),(π(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域}sin 2sin ,0|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=π, 如图. 因为积分区域还可以表示为}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+=y y y x xdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx arcsin arcsin 10arcsin 201sin 2sin 0),(),(),(πππ.7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=D d y x M σμ),(⎰⎰+=D d y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(y y dx y x dy ⎰-+-=10323]372)2(31[dy y y y 34=. 8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为⎰⎰--=D dxdy y x V )326(⎰⎰--=1010)326(dy y x dx ⎰--=10102]2326[dx y xy y ⎰=-=1027)229(dx x .9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x }, 所求立体的体积为以曲面z =6-x 2-y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即⎰⎰--=D d y x V σ)6(22⎰⎰---=101022)6(x dy y x dx 617=. 10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262yx z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰+---=D d y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x . 11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰D dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ200)sin ,cos (d f d a. (2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (ba d f d . (4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以 ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101⎰⎰=40sec 0)sin ,cos (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24csc 0)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 3222)(;解 积分区域D 如图所示, 并且 }sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D , 所示 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示, 并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示, 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=. (2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxa d d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a . (3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解 积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ21212212)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a ad d dx y x dy θρρρ2022022)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以 ⎰⎰⎰⎰=+DDy xd de d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xyDarctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d .15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. 解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以dxdy y x D22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=. (2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰. (4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ. 16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd .17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }. ⎰⎰--=Ddxdy y x R V 222k R d R d kRarctan 313arctan 022=-=⎰⎰ρρρθ.18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--.。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n na b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→nn n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()(; (2)ab dx dx ba ba -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(x x x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x . 又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .。