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有效数字及实验数据处理有效数字是指在一组数字中，除去前导零和尾随零之后的数字部分。
在科学研究和实验数据处理中，正确使用有效数字是非常重要的。
本文将介绍有效数字的概念，以及在实验数据处理中如何正确使用有效数字。
一、有效数字的概念有效数字是指数字中能够提供有效信息的数字部分。
有效数字的个数代表了测量结果的精确度。
在有效数字中，除去前导零和尾随零，所有非零数字都是有效数字。
例如，数字123.4500中，有效数字为123.45，小数点前面的0和小数点后面的0都不是有效数字。
有效数字的确定是根据测量工具的精确度来决定的。
例如，一个测量仪器的精确度为0.01，则测量结果应该保留两位有效数字。
如果测量结果为12.345，则应该表示为12.35。
二、实验数据处理中的有效数字在科学实验中，实验数据的处理需要使用有效数字。
首先，测量数据应该尽可能准确地记录下来。
然后，在数据处理过程中，需要根据测量仪器的精确度确定有效数字的个数。
在进行计算时，应该按照最不精确的数据的有效数字来确定结果的有效数字。
例如，如果一个测量结果保留两位有效数字，而另一个测量结果保留三位有效数字，那么在进行计算时，结果应该保留两位有效数字。
在进行加减乘除等运算时，也需要注意有效数字的处理。
在加减运算中，结果的小数位数应该与最不精确的数据一致。
在乘除运算中，结果的有效数字个数应该与最不精确的数据一致。
三、实验数据处理的例子为了更好地理解有效数字的应用，我们举一个实验数据处理的例子。
假设我们进行了一次测量，测得物体的长度为12.3456 cm。
测量仪器的精确度为0.001 cm。
首先，我们需要确定有效数字的个数，根据测量仪器的精确度，我们可以保留四位有效数字。
接下来，假设我们进行了另一次测量，测得物体的宽度为10.2 cm。
测量仪器的精确度为0.1 cm。
根据最不精确的数据，我们可以保留两位有效数字。
现在我们需要计算物体的面积，根据乘法运算的规则，结果的有效数字个数应该与最不精确的数据一致。
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字运算规则
间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题。
严格说来，应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。
但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。
有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位(最多两位)欠准确数字。
1．加减运算
根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度，等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。
如：
y x N +=
x y x N U U U U >+=22(或y U )
因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐，或根据有效数字与不确定度的关系，计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。
下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。
【例3】235.31.32+和652.19.116-的计算结果各应保留几位数字？
【解】先观察一下具体计算过程：
533.355
23.31
.32+ 842.115265.19.116-
可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减，其结果必然是欠准确数字。
例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则
3.35235.31.32=+ 2.115652.19.116=-
分别为三位有效数字和四位有效数字，
2．乘除运算
乘除运算结果的相对不确定度，等于参与运算各量的相对不确定度平方和的开方，因此运算结果的相对不确定度大于参与运算各量中的最大相对不确定度。
我们知道，有效数字位数越少，其相对不确定度越大。
所以，乘除运算结果的有效数字位数，与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。
【例4】11.11111.1⨯的计算结果应保留几位数字？
【解】计算过程如下：
因为一个数字与一个欠准确数字相乘，其结果必然是欠准确数字。
所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其后的数字都是欠准确数字。
按照保留一位欠准确数字的原则
23.111.11111.1=⨯
为三位有效数字。
这与上面叙述的乘除运算法则是一致的。
即在该例中，五位有效数字与三1111.1 11.1⨯ 1111111111 11111
123332.1
位有效数字相乘，计算结果应为三位有效数字，即与有效数字位数少的相同。
除法是乘法的逆运算，取位法则与乘法相同，这里不再举例说明。
对于一个间接测量，如果它是由几个直接测量值通过相乘除运算而得到的，那么，在进行测量时应考虑各直接测量值的有效数字位数要基本相仿，或者说它们的相对不确定度要比较接近。
如果相差悬殊，那么精度过高的测量就失去意义。
3．乘方、立方、开方运算
运算结果的有效数字位数与底数的有效位数相同。
4．对数、三角函数运算
前面介绍的有效数字四则运算法则，是根据不确定度合成理论和有效数字的定义总结出来的。
所以，对数、三角函数的计算必须按照不确定度传递公式，先求出函数值的不确定度，然后根据测量结果最后一位数字与不确定度对齐的原则来决定有效数字。
【例5】23068±=a ，求?ln ==a y
【解】按照不确定度传递公式
0007.02306811=⨯==a y U a U
所以 0288.8ln ==a y
或 0007.00288.8±=y
【例6】3060'±'︒=θ，求?sin ==θx
【解】由不确定度传递公式
0004.0180603|
60cos ||cos |=⨯⨯︒==πθθU U x
所以 8660.0060sin ='︒=x 或 0004.08660.0±=x
当直接测量的不确定度未给出时，上述过程也可简化为通过改变自变量末位的一个单位，观察函数运算结果的变化情况来确定其有效数字。
例如620'︒=α中的“6'”是欠准确数字，由计算器运算结果为 343659695.0620sin ='︒， 343932851.0720sin ='︒，两种结果在小数点后面第四位出现了差异，所以
3436.0620sin ='︒
同理 393590754.6598ln =， 395261598.6599ln =，所以
394.6598ln =
但是，这种方法是较粗糙的，有时与正确结果会出现明显差异。
5．常数
公式中的常数，如π、e 、2等，它们的有效数字位数是无限的，运算时一般根据需要，比参与运算的其它量多取一位有效数字即可。
例如：
2r S π=，cm 042.6=r ，π取为1416.3，22cm 7.114042.61416.3=⨯=∴S 。
πθ+=3.129，π取为14.3，rad 4.13214.33.129=+=θ。
应该指出的是，上述的运算规则不是绝对的。
一般说来，为了避免在运算过程中因数字的取舍而引入计算误差，则在运算过程中的中间结果应多保留一位数字为妥，但最后结果仍
应删去，以间接测量值最后一位数字与不确定度对齐的原则为准。
上节介绍的不确定度，只能在数量级上对测量结果的可靠程度作出一个恰当的评价，因此它的数值没有必要计算得过于精确。
4. 4 测量结果数字取舍规则
数字的取舍采用“四舍六入五凑偶”规则，即欲舍去数字的最高位为4或4以下的数，则“舍”；若为6或6以上的数，则“入”；被舍去数字的最高位为5时，前一位数为奇数，则“入”，前一位数为偶数，则“舍”，即通过取舍，总是把前一位凑成偶数。
其目的在于使“入”和“舍”的机会均等，以避免用“四舍五入”规则处理较多数据时，因入多舍少而引入计算误差。
例如，将下列数据保留到小数点后第二位：
0850
.8
.8→，08
0754
.8→，06
.8→
0656
.8
0845
.8
09
0861
.8
.8→，08
.8
.8→，08
有效数字运算规则和数字取舍规则的采用，目的是保证测量结果的准确度不致因数字取舍不当而受到影响。
同时，也可以避免因保留一些无意义的欠准确数字而做无用功，浪费时间和精力。
现在由于计算器的应用已十分普及，计算过程多取几位数字也并不花费多少精力，不会给计算带来什么困难。
但是，实验结果的正确表达仍然值得重视的，实验者应该能正确判断实验结果是几位有效数字，正确结果该怎么表示。
