2016年中考数学 专题22 圆的有关性质试题(含解析)

六，圆（1）圆的有关概念和性质7．（3分）（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．B．2C．1D．211．（4分）（2018•广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．9．（3分）（2017•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130° B．100°C．65° D．50°具体分析：2021-7，2018-11，2017-9均考察圆的有关概念和性质。

其中，2021-7考察圆周角定理的推论（直径所对的圆周角是直角），2018-11考察圆周角定理，2017-9考察圆的内接四边形的性质考查角度：圆的有关概念和性质。

包括圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理和推论，垂径定理和推论，除了通过选择题和填空题直接考查，也会出现在圆的综合题中综合考察13．（4分）（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为4﹣π．22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．15．（4分）（2018•广东）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O 与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为．（结果保留π）14．（4分）（2016•广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是cm（计算结果保留π）．具体分析：2022-15、2021-13、2020-16、2019-22、2018-15、2016-14均考察与圆有关的计算问题。

2016年全国中考数学真题分类与圆有关的位置关系一、选择题10．（2016安徽，10，4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．18．（2016湖南湘西，18，4分）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．11．（2016•四川凉山州，11，4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．6．(2016上海，6，4分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边沉BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D 外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【答案】B．二、填空题16. (2016四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1a -，0），C （1a +，0）（0a >），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是 .【答案】6（2016湖南永州，20，4分）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM=d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d=0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m= 1 ；（2）当m=2时，d 的取值范围是 0＜d ＜3 ．【考点】直线与圆的位置关系．y xP A O D B C【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【解答】解：（1）当d=3时，∵3＞2，即d＞r，∴直线与圆相离，则m=1，故答案为：1；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，∴直线与圆相交或相切或相离，∴0＜d＜3，∴d的取值范围是0＜d＜3，故答案为：0＜d＜3．三、解答题24．（2016湖北省十堰市，24，10分）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA 的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．（2016广东梅州，20，9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C 在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接O C．………………………1分∵AC =CD ，∠ACD =120°，∴∠CAD =∠D =30°． ………………………2分 ∵OA =OC ，∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ） ……………3分 ∴∠OCD =∠ACD —∠ACO =90°，即OC ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线． ………………………4分（2）解：由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°） …………………5分∴323602602ππ=⨯=BOC S 扇形． ………………………6分 在R t △OCD 中，∵OCCD =︒60tan ，2=OC ∴32=CD ． (7)分∴323222121=⨯⨯=⨯=∆CD OC S OCD Rt，…………………8分 ∴图中阴影部分的面积为3232π-=阴影S ． …………………9分 20．（2016四川资阳，20，8分）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD ．（1）求证：∠A=∠BDC ；（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长．【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB ，可得答案；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DC M ，即∠DMN=∠DNM ，根据勾股定理可求得MN 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB+∠ODB=90°， ∵OD=OB ，∴∠ABD=∠ODB ，∴∠A=∠BDC ；（2）∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM=∠ACM ，又∵∠A=∠BDC ，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM ，即∠DMN=∠DNM ，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．（2016青海西宁，26，10分）如图11，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CBD CDA ∠=∠．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，6=BC ，32=BD AD ．求BE 的长．（1）证明：连结OD∵OD OB =∴BDO OBD ∠=∠∵CBD CDA ∠=∠∴ODB CDA ∠=∠又∵AB 是O ⊙的直径∴90ADB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）∴︒=∠+∠90ODB ADO∴︒=∠+∠90CDA ADO 即︒=∠90CDO ∴CD OD ⊥ ∵OD 是O ⊙半径∴CD 是O ⊙的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（2）解：∵C C ∠=∠，CBD CDA ∠=∠∴CDA ∆∽CBD ∆∴BD AD BC CD = ∵32=BD AD 6=BC ∴4=CD ∵CE ，BE 是O ⊙的切线∴DE BE = ， BC BE ⊥∴222EC BC BE =+ 即()22264BE BE +=+ 解得25=BE EO D A23．（2016四川宜宾，23，10分）如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=，求EH的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．【解答】证明：（1）如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分线，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半径，∴OH是⊙O的半径，∵OH⊥PE，∴直线PE是⊙O的切线．（2）如图2，连接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切线，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周长为4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切线，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴===，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，∴EH=．（2016湖南娄底，25，10分）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；（2）（i）因为BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE 的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵BC2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．（2016新疆内高班，22，11分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==（2016湖南永州，25，10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB 为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA===，求出BD=AB=，即可得出CE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．（2016江苏苏州，27，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴BD===10，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°=∠C，∵∠PBQ=∠DBC，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，∴t=，故答案为．（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴=，∴t=（s），∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴点O在直线QM左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM 与CD交于点E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴=，∴t=．∴t=s时，⊙O与直线QM相切．连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，∴MH=0.8（+1），由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．25.（2016北京，25，5分） 如图，AB 为于点D ，过点D作的切线，交BA 的延长线于点E.(1) 求证：AC ∥DE:(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。

2016年圆概念，性质一．选择题（共11小题）1．如图，已知O为⊙O′上一点，⊙O和⊙O′相交于A，B，CD是⊙O的直径，交AB于F，DC的延长线交⊙O′于E，且CF=4，OF=2，则CE的长为（）A．12 B．8 C．6 D．42．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．3．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点，已知∠AO1B=60°，那么∠APB的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°5．如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x2﹣12x+24=0的两根，则此圆的直径为（）A．B． C． D．6．如图，在直角坐标系中，经过点A（0，2），B（2，0）和原点O（0，0）三点作⊙C，点P为⊙C上任一点（点P与点O、B不重合），则∠OPB的度数为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．无法确定7．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°8．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥CD，AB=4，CD=2，并且，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．1810．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB交⊙O于C，P为BC延长线上一动点，D为AP 中点，DE⊥PA，交半径OC于E，连CD．下列结论：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+CE为定值．其中正确结论的个数为（）A．l个B．2个C．3个D．4个11．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．①∠BAC=45°；②四边形AFHG是正方形；③BC=BG+CF；④若BD=6，CD=4，则AD=10．以上说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共19小题）12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O 于E，CF=2，AF=3，则EF的长是．13．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为．14．如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE=；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是．15．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=度．16．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65度．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．17．如图，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O为△ABC的外接圆，P为弧BC上任一点，则四边形OABP的周长的最大值是cm．18．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．19．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=°．20．已知正方形内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，（如图），则∠ABP+∠DCP=．21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=30°，则∠ADC=．22．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为°．23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，反比例函数图象经过点P，则k的值为．24．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=3cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以3cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t值为s时，△BEF是直角三角形．25．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O 于D．则弦AD的长是cm．26．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC=．27．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．28．如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．问：是否存在点P，使得QP=QO；（用“存在”或“不存在”填空）．若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由：．29．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长度为．30．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是．2016年圆概念，性质参考答案一．选择题（共11小题）1．A；2．A；3．C；4．D；5．A；6．C；7．B；8．B；9．B；10．D；11．B；二．填空题（共19小题）12．4；13．36；14．①③；15．38；16．3；17．15+5；18．8；19．65；20．45°；21．120°；22．30或90；23．9；24．1或或；25．5；26．60°；27．61°；28．存在；符合条件的点P共有3个：当点P在线段AO上时，∠OCP=40°；当点P在OB的延长线上时，∠OCP=20°；当点P在OA的延长线上时，∠OCP=100°；29．；30．；。

课后练习22圆的基天性质A组1．(2015 ·州模拟杭 )在一个三角形中，已知AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5cm的圆，则以下说法正确的选项是()A ．点 A 在⊙D外B ．点B在⊙D上C．点C 在⊙D内 D ．没法确立2． (2016·节毕 )如图，点A，B， C在⊙ O 上，∠A＝ 36°，∠ C＝28°，则∠B＝ ()A ． 100°B． 72°C． 64°D． 36°第2题图︵3．(2017 ·州模拟温 )如图，已知点 A，B，C 在⊙ O 上，ACB为优弧，以下选项中与∠AOB 相等的是()A．2∠C C．4∠ A B．4∠B D．∠ B＋∠ C第3题图4．(2017湖·州模拟)如图，A、D是⊙ O 上的两个点，BC 是直径．若∠ D＝ 32°，则∠ OAC ＝()A 64 C．72°B 58 D． 55°第4题图5． (2017·北模拟河)如图，已知⊙O 是正方形ABCD的外接圆，点 E 是弧AD上随意一点，则∠BEC 的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°第5题图6． (2017·波市镇海区模拟宁)如图，圆O 的内接四边形ABCD中， BC＝ DC ，∠ BOC ＝130°，则∠BAD的度数是()A ． 120°B．130°C．140° D ．150°第6题图第 7题图7． (2016攀·枝花 )如图，点 D(0， 3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙ A 上， BD 是⊙ A 的一条弦，则 sin∠OBD ＝ ()1343A. 2B. 4C.5D. 58． (2016·林吉)如图，四边形ABCD 内接于⊙ O，∠ DAB ＝ 130°，连接 OC，点 P 是半径 OC 上随意一点，连接DP ， BP，则∠ BPD 可能为度 (写出一个即可 )．第8题图9．(2017北·京市旭日区模拟)如图，在△ABC中，∠ A＝25°，以点 C 为圆心，BC 为半︵径的圆交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E，则 BD 的度数为 ____________________ ．第9题图10．(2017 ·京市海淀区模拟北 )如图，⊙ O 的半径是2，直线 l 与⊙ O 订交于 A、B 两点，M、N 是⊙ O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若∠ AMB ＝ 45°，则四边形 MANB 面积的最大值是 ____________________．第10题图11．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦 CD 订交于点P，∠ CAB＝ 40°，∠ APD ＝ 65° .(1)求∠ B 的大小；(2)已知 AD＝ 6，求圆心O 到 BD 的距离．第 11题图B 组12．如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，此中量角器 0 端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，角器的半圆弧交于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是刻度线的CP 与量度．第 12题图13．如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC＝ 120°， AB＝ AC， BD 为⊙ O 的直径， AD＝ 6，则DC＝.第13题图14．已知：如图，AB 为⊙ O 的直径， AB ＝AC， BC 交⊙ O 于点 D ， AC 交⊙ O 于点 E，∠BAC ＝ 45°.第14题图(1)求∠ EBC 的度数；(2)求证： BD ＝CD .C 组15．(2015·台烟 )如图，以△ ABC的一边AB 为直径的半圆与其余两边AC，BC的交点分︵︵别为 D 、E，且 DE＝ BE.(1)试判断△ ABC 的形状，并说明原因；(2)已知半圆的半径为5， BC＝ 12，求 sin ∠ABD 的值．第15题图课后练习22圆的基天性质A 组1．9． 50°211． (1)∵∠ APD＝∠ C＋∠ CAB，∠ CAB＝40°，∠ APD ＝ 65°，∴∠ C＝ 65°－ 40°＝1 25°.∴∠ B＝∠ C＝25° .(2)过点 O 作 OE⊥ BD 于 E，则 DE＝BE，又∵ AO＝BO，∴ OE＝2 1AD ＝2× 6＝ 3.∴圆心 O 到 BD 的距离为 3.第 11题图B 组12．314． (1)∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB＝ 90° .又∵∠ BAC ＝ 45°，∴∠ ABE＝ 45° .又∵AB ＝AC，∴∠ ABC＝∠ C＝° .∴∠ EBC＝° . (2)连接 AD，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝90° .∴ AD⊥ BC.又∵ AB＝ AC，∴ BD＝CD .第14题图C组︵ ︵15． (1)△ ABC 为等腰三角形． 原因以下：连接 AE ，如图，∵ DE ＝ BE ，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 均分∠ BAC ，∵ AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥BC ，∴△ ABC 为等腰三角形；(2) ∵△ ABC 为等腰三角形，1 1AE ⊥BC ，∴ BE ＝ CE ＝ BC ＝× 12＝ 6，在 Rt △ ABE 中，∵ AB22＝10，BE ＝ 6，∴ AE ＝ 10 221 1－ 6 ＝ 8，∵ AB 为直径， ∴∠ ADB ＝ 90°，∴AE ·BC ＝ BD ·AC ，228× 12 48482214∴BD ＝ 10 ＝ 5 ，在 Rt △ ABD 中，∵ AB ＝ 10，BD ＝ 5 ，∴AD ＝AB － BD ＝ 5 ，∴ sin14 ∠ABD ＝AD ＝ 5＝7AB10 25.第15题图。

中考专题复习：圆的综合题1如图，△ ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D, / ACD/ ABC(1)求证：CA是圆的切线;(2)若点E是BC上一点，已知BE=6，tan / ABC? , tan / AE(=5，求圆的直径. 3 3V^ACP= ZABC. A Z DCF」90’. A EC丄CA *ACA是9Q的切St⑵在RtZSAEC中也nZA£C=号打豊二专屁二寻山少AC ?3在Ri^ABC中-j-»二瓦h可■』匚=丁山心V SC-EC-BE,BE-6 ・A 寺A A 冷MA取MW AC-y,的直徑为io*2. 如图右，已知直线PA交O 0于A、B两点，AE是O 0的直径.点C为O 0上一点，且AC 平分/ PAE过C作CDL PA,垂足为D。

(1)求证：CD为O 0的切线；⑵若DC+DA=6 O 0的直径为10 ,求AB的长度.1. (1)证明：连接OC,•••点C在O 0 上，0A=OC/./ OCA M OAC ：CD丄PA /•/ CDA=90 , 有/ CAD+M DCA=90 ,v AC平分/ PAE /-Z DAC M CAO •••/ DC0=/ DCA+Z ACO Z DCA M CAO Z DCA+Z DAC=90。

又•••点C在O O上，OC为O 0的半径，• CD为O 0的切线.⑵解：过0 作0F丄AB,垂足为F,/.Z OCA Z CDA M OFD=90 ,•四边形OCDF为矩形，• 0C=FD OF=CD.•/ DC+DA=6 设AD=x 贝U OF=CD=6-x vO O的直径为10,/ DF=OC=5 •- AF=5-x,在Rt △ AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5 x)2(6 x)225 ,化简得：2x 11x 18 0解得x 2或x 9。

由AD<DF知0 x 5，故x 2。

从而AD=2, AF=5-2=3. v OF丄AB,由垂径定理知，F为AB的中点，• AB=2AF=6.3. (已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点(不与点A、B重合)，连接PA PB PC PD.(1) 如图①，当PA的长度等于▲时，/ PAB= 60°;当PA的长度等于▲时，△ PAD是等腰三角形；(2) 如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点0，把厶PAD△ PAB △ PBC的面积分别记为S、S2、S.坐标为(a，b)，凋a试求2 S i S3-S22的最大值，并求出此时a, b的值.& R解：(1)2；2迈或丁•(2)如图’过点P分别作PE丄月殆PFLAD・垂足分别为E. F.延长卜十交RC于点① 则丹3丄£匕点坐标为 3, 6人二FE= b、FF=心PG=4—业在厶PAD. /XPAB及△尸Z?「中.Sz=2h,h=SJ—2小为直径’/. ZAPH=W .「P*AE BE・即4 M4-n).•■的曲_豁=4朋-2口)-轻'「■当a- 2时,b-2* 2$迄厂有最大值16.4、汕r>如Rh加#绘半関。

2016中考《圆》试题1．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（C）A．28° B．38° C．48° D．882．用若干个大小相同的小正方形体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是（C）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（Ｂ）A．45° B．50° C．55° D．60°4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（Ａ）A．115° B．120° C．130° D．140°5．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（Ｂ）A．169米B．204米C．240米D．407米6．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（B）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（Ｄ）A．1：B．1：C．1：2 D．2：38．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．9．如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（Ｂ）A．B．C．D．10．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．11．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．12．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，∴DA=DC，∴四边形ADCF是菱形．14．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF=BG；网]（2）若AB=4，求DC的长．（1）证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点，∴=，∴∠AOF=∠BOF，∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠AOF=∠ABG，∴FO∥BG，∵AO=BO，∴FO是△ABG的中位线，∴FO=BG；（2）解：在△FOE和△CBE中，，∴△FOE≌△CBE（ASA），∴BC=FO=AB=2，∴AC==2，连接DB，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴=，∴=，解得：DC=．15．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．。

第二十四章圆检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是( )A.35°B.140°C.70°D.70°或140°2.如图，⊙O的直径AB=8，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是( )A.2B.22C.23D.43.如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A.2B.3C.22D.234.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是劣弧AB上的一个点，若∠P=40°，则∠ACB 的度数是( )A.80°B.110°C.120°D.140°5.如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为( )A.2rB.3rC.rD.2r6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是( )A.25πB.65πC.90πD.130π7.下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，连接OD 、CB 、AC ，∠DOB=60°，EB=2,那么CD 的长为( )A.3B.23C.33D.439.如图，Rt △AB ′C ′是Rt △ABC 以点A 为中心逆时针旋转90°而得到的，其中AB=1，BC=2，则旋转过程中弧CC ′的长为( )A.25π B.25π C.5πD.5π10.如图所示，直线CD 与以线段AB 为直径的圆相切于点D ，并交BA 的延长线于点C ，且AB=2，AD=1，P 点在切线CD 上移动.当∠APB 的度数最大时，∠ABP 的度数为( ) A.15°B.30°C.60°D.90°二、填空题(每小题4分，共24分)11.在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为_____12.如图，点A 、B 、C 、D 分别是⊙O 上四点，∠ABD=20°，BD 是直径，则∠ACB=_____ 13.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为_____14.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm ，弧长是6π cm ，那么这个圆锥的高是_____15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是_____16.如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为_____三、解答题(共46分)17.(8分)在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数.18.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长.19.(10分)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为弧BC的中点.(1)求证AB=BC；(2)求证四边形BOCD是菱形.20.(10分)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆⊙O的切线；(2)若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长.21.(10分)ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.(1)求圆心O到CD的距离；(2)求由弧AE，线段AD，DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留π和根号)。

专题22圆的相关性质（34题）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交 AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若 AC BC=，36AOC ∠= ，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．45 10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为43点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A ．63B ．223C ．32D ．22二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB 是O 的直径，位于AB 两侧的点C ，D 均在O 上，30BOC ∠=︒，则ADC ∠=度．15．（2024·北京·中考真题）如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠=︒16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠=．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠︒．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，5BD =BC 的长为．19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是 BC所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为．21．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将 DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为．22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为.三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为 AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长．27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长．28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求 AC 的长．30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ．O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,3C CD ∠=︒=OBD 的面积．33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =，O 是ABC 的外接圆，点D 在 O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD -与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．。

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

2016年全国中考数学真题分类与圆有关的位置关系一、选择题1.（2016山东临沂， 10，3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB＝30°，AB＝3，则阴影部分的面积为( )A．3B．6πC．3－6πD．3－6π【答案】C9．（2016·山西，9，3分）如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD 相交于点F，已知AB=12，︒=∠60C，则FE的长为（）A．3πB．2πC．πD．π2【答案】C2.（2016江苏无锡，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，∠AOD则的度数为（）A．70° B．35° C．20° D．40°【答案】D．10．（2016台州，10 ，4分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值第10题图DOC的和是（ ）A ．6B ．2131+C ．9D ．323【答案】C3.（2016山东德州，11，3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”A.3步B.5步C.6步D.8步思路分析：∵BC=8,AC=15,∴2281517+=.由11111r()22222S ABC AC BC AB r AC r BC r AB AC BC ∆=⋅=⋅+⋅+⋅=++,∴815381517AC BC r AB AC BC ⋅⨯===++++，所以直径为6.故选C. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题.(2016山东泰安，22，3分)如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为_______.答案：3.（2016，山东淄博，17，4分）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为．【答案】41.(2016湖南益阳，13，5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．【答案】115°；2.（2016江苏无锡，18，2分）如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动；与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s 的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了▲ s时，以点C 为圆心、1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【答案】178．FE OBC3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题22．（2016四川南充，22，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．【解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M，∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，∴OC=OM，∴AB是⊙O的切线，（2）设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1 ①，∵cosB==，∴=，∴x2+3x=y2+y ②，由①②可以得到：y=3x﹣1，∴（3x﹣1）2﹣x2=1，∴x=，y=，∴cosB==．24、（2016广东，24，9分）如图11，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.2-1-c-n-j-y（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若3=AOCS△，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线.图11解析：（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，又∠ABC=30°，∴∠ACB=60°，又OA=OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠CAF=∠AFC=30°，CO FDEBA∵DE 为⊙O 的切线， ∴∠DBC =∠OBE =90°， ∴∠D =∠DEA =30°，∴∠D =∠CAF ，∠DEA =∠AFC ， ∴△ACF ∽△DAE ；（2）∵△AOC 为等边三角形， ∴S △AOC =23OA =3， ∴OA =1， ∴BC =2，OB =1， 又∠D =∠BEO =30°， ∴BD =23，BE =3， ∴DE =33；（3）如图，过O 作OM ⊥EF 于M ，∵OA =OB ，∠OAF =∠OBE =90°，∠BOE =∠AOF ， ∴△OAF ≌△OBE ， ∴OE =OF ， ∵∠EOF =120°， ∴∠OEM =∠OFM =30°，∴∠OEB =∠OEM =30°，即OE 平分∠BEF ， 又∠OBE =∠OME =90°， ∴OM =OB ， ∴EF 为⊙O 的切线.24．（2016湖南长沙，24，6分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数； （2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC=2DE ，求tan ∠ABD 的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴=，∴DC2=ADDE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，则AC2﹣AD2=ADDE，期（2x）2﹣AD2=ADx，整理得：AD2+ADx﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．23．（2016山东烟台，23，10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．【解答】（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．19.（2016湖北黄石，19，7分）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于BAD⊥.A,），CD （1）若BC=3，5=AB，求AC的值；（2）若AC是DAB∠的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.DC图13（1）解：AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，︒=∠∴90ACB又4,5,3=∴==AC AB BC（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴又︒=∠=∠∴⊥90,ACB ADC DC ADADC ∆∴∽CBA DCA ACB ∠=∠∴∆,又OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴︒=∠=∠+∠∴︒=∠+∠90,90OCD ACD OCA OBC OACDC ∴是⊙O 的切线.解法二（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴圆的性质OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴OCA DAC ∠=∠∴即AD ∥OC ,又DC AD ⊥ ，DC OC ⊥∴DC ∴是⊙O 的切线(2016四川乐山，24,10分）如图13，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若32EB =,且3sin 5CFD ∠=,求⊙O 的半径与线段AE 的长.图2E D O C FB A 解析：（1）证明：如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .…………（2分）∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线…………（5分）（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中， ∵3sin 5CFD ∠=，∴35OD AE OF AF == . 设3OD x =，则5OF x =.∴6AB AC x ==，8AF x =.…………（6分） ∵32EB =，∴362AE x =-.…………（7分） ∴363285x x -=，解得x =54，…………（9分） ∴⊙O 的半径长为154 ，AE =6……………………（10分） 22．(2016年湖北荆门，22，10分)如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C ．过点C 作CF ⊥DF ，垂足为E ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．(1)证明：如图，连接CO ．∵AC 平分∠FAB ，∴∠CAF ＝∠CAB ．∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠CAF ．∴∠CAF ＝∠OCA ．∴OC ∥FD ．∵CE ⊥FD ，∴CE ⊥OC ．∴CE 与⊙O 相切．第22题图答案图(2)连接BC ．在Rt ACE 中，由勾股定理，得AC ＝5．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠AEC ＝∠ACB ．又∠CAE ＝∠BAC ，∴△ACE ∽△ABC ．∴AB AC ＝AC AE ，即5AB ＝5 ∴AB ＝5．∴⊙O 的半径是52． 21．（2016浙江衢州，21，6分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线．（2）若CD ＝23，OP ＝1， 求线段BF 的长．（1）证明：∵ ∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠A DC∴∠AFB ＝∠ADC∴CD ∥BF ∴∠APD ＝∠ABF∵CD ⊥AB ∴AB ⊥BF ∴直线BF 是⊙O 的切线（2）连接OD ∵CD ⊥AB ∴ PD=CD= OP=1∴OD=2∵∠PAD=∠BAF ，∠APD=∠ABF=90°∴△APD ∽△ABF∴AP PD AB BF = ∴334= ∴431.(2016年甘肃白银、张掖，27，10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．证明：(1)如图，连接AD ．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°．∴AB 是⊙O 的直径；(2)DE 与⊙O 相切，理由如下：连接OD ．∵O ，D 分别是BA ，BC 的中点，∴OD ∥AC ．∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ．∴DE 与⊙O 相切．(3)当∠BAC ＝60°时，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∴BC ＝AB ＝6，∠C ＝60°．∴DC ＝12BC ＝3． ∴DE ＝DC ·sin C ＝33332.(2016浙江丽水，22，10分）如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E ． O 答案图 D C B A E O第27题图 D C BAE（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．【解答】（1）证明：连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴的长==π．3.（2016四川广安，25，9分）如图，以△ABC的边BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E．点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（3分）（2）若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sin B(6分)【答案】解：（1）证明：连接AO、DO．∵D为CE的下半圆弧的中点，∴∠EOD＝90°，…………1分∵AB＝BF，OA＝OD＝r，∴∠BAF＝∠BFA＝∠OFD，∠OAD＝∠ADO，∴∠BAF＋∠OAD＝∠OFD＋∠ADO＝90°即∠BAO＝90°∴AB是⊙O的切线…………3分（2）∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝10，∴在Rt△OFD中OF2＋OD2＝DF2即r2＋(4－r)2＝(10)2∴r1＝3，r2＝1（舍去），∴半径r＝3，…………6分∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1，…………7分在Rt△OFD中，AB2＋AO2＝BO2∴AB2＋32＝(AB＋1) 2∴AB＝4，BO＝5∴sin B＝AOBO＝35，…………9分4.(2016山东滨州，21，9分)如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF.(1)求证：EF平分∠BFD；(2)若tan∠FBC=34，DF=5，求EF的长.答案：(1)证明：连接OE，∵⊙O与AD相切，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∴OE∥CD，∴∠OEF=∠EFD，∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE，∴∠OFE=∠EFD，∴EF平分∠BFD.(2) 过点O作OG⊥CD，∴四边形OEDG是矩形，∴OG=ED，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠C=90°，∵tan∠FBC=34，DF=5，∴CFBC=34，∴CF=35，BC=45，∴BF=55，∵△FOG∽△FBC，∴BC=2OG，∴OG=25，∴ED=25,∴EF=22ED DF=5.5.（2016山东德州，22，10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF;（3）在（2）的条件下，若DE=4,DF=3,求AF的长.解：（1）直线l与⊙O相切.理由如下：连接OE,OB,OC.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴BE CE=,∴∠BOE=∠COE.∵OB=OC,∴OE⊥BC.又∵l∥BC，∴OE⊥l,∴直线l与⊙O相切.（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBF=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB, ∴BE=EF.（3）由（2）知，BF=EF=DE+DF=7.在△BED和△AEB中，∠DBE=∠BAE,∠DEB∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DE BEBE AE=,即4749,74AEAE=∴=.∴4921744AF=-=.7. （2016兰州，27，10分）如图，ΔABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC，CF于点E、D，且DE=ＤＣ.（1）求证：CF是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为5，BC=10，求ＤＥ的长.【答案】（1）证明：连接OC，则∠A=∠OCA∵OD⊥AB∴∠A+∠AEO=900∵DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵∠AEO=∠DEC ∴∠AEO=∠DCE ∴∠OCE+∠DCE=900 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）作DH ⊥EC ，则∠EDH=∠A ∵DE=DC∴EH=HC=21EC∵⊙O 的半径为5 ,BC=10 ∴AB=10,AC=310 ∵ΔAEO ∽ΔABC ∴AB AEAC AO = ∴AE=310510310×5= ∴EC=AC-AE=310-3105=3104 ∴EH=21EC=3102∵∠EDH=∠A ∴sin ∠A=sin ∠EDH 即DEEH AB BC = ∴DE=10310210⨯=⋅BCEHAB =3206.（2016山东济宁，21，9分）已知P （x 0,y 0）和直线y=kx+b 的距离d可用公式d =算.例如：求点P （-1，2）到直线y=3x+7的距离.解：因为直线y=3x+7，其中k=3,b=7,所以点P （-1，2）到直线y=3x+7的距离为：5d ====. 根据以上材料解答问题：（1）求点P （1，-1）到直线y=x-1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q与直线9y =+的位置关系，并说明理由；（3）已知直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，求这两条直线之间的距离.解：（1）直线y=x-1中k=1,b=-1,所以点P （1，-1）到直线y=x-1的距离为：2d ====;直线9y =+中，b=9,所以Q （0，5）到直线9y =+的距离为：422d ====直线y=-2x+4过点M （2，0），直线y=-2x-6中k=-2，b=-6.点M （2，0）到直线y=-2x-6的距离为：d ====所以y=-2x+4与直线y=-2x-6的距离为7.（2016山东菏泽，21，10分）如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若PC=3，PF=1，求AB 的长．解：（1）如图，连接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线．（2）延长PO交圆于G点，∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．8.（2016山东枣庄，23，8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA=∠C．⑴求证：PB是⊙O的切线；⑵连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为22，求BC的长．⑴证明：如图所示，连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA.∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线．⑵解：⊙O的半径为22，∴OB=22，AC=42．∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC=∠C.又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴BC ACOB OP=，即4222=.∴BC=2．23．（2016浙江宁波，23，10分）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．第23题图【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF===4．∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．9.．(2016四川宜宾，23，10分)如图(1)，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心、OA为半径作圆交AE于点G．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)在图(2)中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧AB上的一点，过点D作⊙O．求EH的长．的切线，交PA于点B，交PE于点C．已知△PBC的周长为4，tan∠EAH＝12(1)证明：过点O作OM⊥PE于点M．∵∠PAE＝90°，∴OA⊥PA．∵OP平分∠APE，OA⊥PA，OM⊥PE，∴OM＝OA，即圆心O到直线PE的距离等于⊙O的半径．∴PE与⊙O相切．(2)连接OH．由切线长定理可知BD＝BA，CD＝CH，PA＝PB，∴△PBC的周长＝PB＋BC＋PC＝PB＋(BD＋DC)＋PC＝(PB＋BA)＋(CH＋PC)＝PA＋PB＝2PA．∵△PBC的周长＝4，∴2PA＝4．∴PA＝2．由等腰三角形的“三线合一”性可知OP⊥AH，∴∠APO＋∠PAH＝90°．∵∠PAH＋∠EAH＝90°，∴∠APO＝∠EAH．∴tan∠APO＝tan∠EAH＝12．在Rt△APO中，AO＝PA·tan∠APO＝2×12＝1．∴OH＝OA＝1．∵∠EHO∠EAP＝90°，∠E＝∠E，∴△EOH∽△EPA．∴EHEA ＝OHPA＝12，即EA＝2EH．设EH＝x，则EA＝2x，EP＝x＋2．在Rt△PAE中，22＋(2x)2＝(x＋2)2．解得x＝43．∴EH的长为43．POAE图(1)POAE图(2)DGHCB第题图10.21．（2016四川自贡，21，10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．CB ADEO BAD ECO F （第22题图1） （第22题图2）11.（2016，浙江金华，13,10分）四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE=EC,BE=ED ,以AB 为直径的半圆过点E ，圆心为O . （1）利用图1，求证：四边形ABCD 是菱形.（2）如图2，若CD 的延长线与半圆相切于点F ，已知直径AB =8.①连结OE ,求△OBE 的面积. ②求弧AE 的长.（1）∵AE=EC,BE=ED ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AB 为直径，且过点E ， ∴∠AEB =90°，即AC ⊥BD. 而四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形. （2）①连结OF .∵CD 的延长线与半圆相切于点F ， ∴OF ⊥CF . ∵FC ∥AB ,∴OF 即为△ABD 的AB 边上的高.S △ABD 11=841622AB OF ⨯=⨯⨯=.∵点O ，E 分别是AB,BD 的中点，D ECF （第22题图）∴182ABE ABDS S==△△,所以，S△OBE=12S△ABE=4.②过点D作DH⊥AB于点H.∵AB∥CD，OF⊥CF,∴FO⊥AB,∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.在Rt△DAH中，sin∠DAB＝DHAD＝21, ∴∠DAH=30°.∵点O,E分别为AB,BD中点，∴OE∥AD,∴∠EOB＝∠DAH=30°.∴∠AOE＝180°－∠EOB＝150°.∴弧AE的长=1504101803ππ⨯=.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。