第七章 蚂蚁行程(初中数学)

1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a +b ）2，整理得b 2+c 2+2ab ＝2ab +c 2，∴c 2＝a 2+b 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．考点一：行程最短问题 【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm ．（π取3）➢变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm ，母线长为40cm ，C 为母线P A 的中点，一只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是 cm ．例题精讲【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．➢变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤92．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．304．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE 于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上说法正确的是.（填写序号）15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．。

七年级下册数学知识点蚂蚁七年级下册数学知识点——蚂蚁蚂蚁，在自然界中是一种小型昆虫，但在数学中，蚂蚁也是一种重要的概念。

在七年级下册的数学学习中，我们需要学习和掌握一些和蚂蚁有关的知识点。

一、蚂蚁爬杆问题蚂蚁爬杆问题是指，在一根长度为l的杆子上，有两只蚂蚁在爬行，它们的爬行速度相同，但方向相反。

当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头往反方向爬。

我们假设两只蚂蚁在相遇时不停顿，而是立即掉头。

那么问题来了：两只蚂蚁分别从杆子的两端出发，它们一开始的位置随机，速度相同。

求出当两只蚂蚁相遇时，它们离杆子两端的距离是多少？这个问题可以通过数学思维和逻辑推断来解决，对于初学者来说可能比较困难，但是只要耐心理解，就可以掌握其中的奥妙。

二、蚂蚁爬墙问题蚂蚁爬墙问题也是一个比较有趣的问题。

假设在一个正方形的房间里有一只蚂蚁和一堵墙，墙的宽度和蚂蚁的身长相同。

蚂蚁从房间的一角出发，沿着房间的边爬行，当它爬到墙的边缘时，它会沿着墙的边缘前进。

那么问题来了：当蚂蚁爬到房间的对角时，它需要爬多长的路程？这个问题需要我们用到初中数学的几何知识，通过观察和思考，我们可以推导出蚂蚁需要爬的路程的大小。

三、蚂蚁走迷宫问题蚂蚁走迷宫问题是一个比较复杂的问题，在学习过程中需要有足够的耐心和热情。

假设一只蚂蚁在一个迷宫中，它需要走到迷宫的出口。

迷宫中的每个方格都有一个数字，表示从该方格出发能够走多远。

蚂蚁每次只能向上、下、左、右四个方向行走，而且不能走到已经走过的方格上。

那么问题来了：蚂蚁走到迷宫出口，需要走的最短路线是什么？这个问题需要我们用到初中解析几何和算法知识，需要进行反复的试验和调整才能得到正确的答案。

总之，蚂蚁在数学中的应用非常广泛，需要我们掌握和应用不同的知识点和技巧，才能解决各种不同的问题。

在学习过程中，我们需要认真思考，勤于实践，才能取得更好的成绩和表现。

初二数学蚂蚁爬行最短路径问题
假设一只蚂蚁从点A出发，沿着正方形边走到点 B，然后再沿着正方形边回到点 A。

若蚂蚁只能沿着正方形边爬行，且每次只能向前或向右走一格，问蚂蚁走的最短路径是多少？
解题思路：
首先，我们画出正方形并在其上标出点 A、B。

接着，我们可以考虑蚂蚁从点 A 出发，第一步只有两种选择：向右或向上走一格。

如果向右走一格，接下来的步骤就变成了一个从点 A 右侧到点 B 的子问题。

同理，如果向上走一格，接下来的步骤就变成了一个从点 A 上方到点 B 的子问题。

因此，我们可以得到以下递归式：
f(x, y) = min{f(x+1, y), f(x, y+1)} + w(x, y) 其中，f(x, y) 表示从点 (x, y) 到点 B 的最短路径长度，w(x, y) 表示点 (x, y) 到其相邻右侧点或下方点的距离。

最终，我们得到的 f(A) 就是从点 A 出发，沿着正方形边走到点 B，再回到点 A 的最短路径长度。

代码实现：
下面是用 Python 实现的代码。

为了简化问题，我们假设正方形边长为 5，点 A 在正方形左下角，点 B 在正方形右上角。

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1 / 4 1AB A 1B 1DC D 1C 124最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．第9题 第10题 第11题 第12题10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解专题12 12 蚂蚁行程蚂蚁行程蚂蚁行程模型模型 1 1 立体图形展开的最短路径立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬行一周，到点 B 的最短路径就是展开图中 AB′的长。

做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之 和大于第三边”准确找出最短路径。

模型实例模型实例例 1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处 开始绕油罐一周建造房子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？例 2．如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是多少？例3．已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A处出发到 B 处觅食，求它所走的最短路径。

（结果保留根号）模型练习模型练习1．有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧 面爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。

2．如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A 点到 B 点，路线如图，则最短路程是多少？3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口 内壁离杯口距离 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

4．已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 的中点，一只小蚂蚁 从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）5．如图，一只蚂蚁沿着边长为到点 B，如果它运动的路径是6．如图是一个边长为 6 的正蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬7．如图，是一个三级台阶，边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 路径是最短的，则最短距离为多少？的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。

蚂蚁的行程问题广东 许少华侧面展开图除了可以帮助我们顺利地求几何体的表面积之外，它还可以帮助我们做什么呢？问题1：如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？探究：我们来分析一下蚂蚁的爬行路线：（1）当蚂蚁首先沿正对我们的这个面爬行时，下一步有可能沿上面的面爬行也有可能沿右侧面爬行，为了求得最短路程，我们可以分两种情况展开，如图2，此时，最短路程只可能是连结A B 的线段长．于是，由勾股定理得1AB ==或2AB ==cm ；（2）当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿里面的面或沿右侧面． 如图3，得1AB ==或2AB ==；（3）当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿里面的面或沿上面的面．如图4，得1AB ==或2AB ==．综合（1），（2），（3）cm ．问题2：如图5，圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C的最近距离．探究：（1）从图5中很难求出蚂蚁爬过的最短路程，我们沿C A将圆锥侧面展开，得到一个半圆，如图6，此时，B是半圆弧的中点，显然，蚂蚁沿弦A B爬行时，爬行的路程最短．由CA CB==，且90BCA∠= ，得4A B=，即蚂蚁爬过的最短路程为4cm；（2）自C作C D AB⊥于D，则C D即为爬行路程最短时，蚂蚁离圆锥顶点C的最近距离，由于C D是等腰直角三角形斜边上的高，因此，122C D A B==，即蚂蚁离圆锥顶点C的最近距离为2cm．噢！原来侧面展开图不仅可以帮我们求表面积，还可以帮我们求表面上折线（或曲线）的最小值．。