初中数学行程问题(教师版)

列方程解行程问题一、概念一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数）2.只含有一个未知数3.经整理后未知数的最高次数为12、解一元二次方程三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）行程问题解决方法：画图分析法4、 常见的行程问题中的类型直线型的行程问题（1） 相遇问题1、 同时相遇甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间]100x+140x=480x=2答：2小时后相遇2、先后相遇甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480答：小时后两车相遇。

3、同时不相遇（相距）甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？情况一：相遇前相距慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480答：小时后相距60公里情况二：相遇后相距慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480答：小时后相距60公里慢车速×时间1+慢车速×时间2+快车速×时间2=总路程总结：慢车速×时间+快车速×时间= 总路程相遇慢车速×时间+ 快车速×时间± 相互距离= 路程相距速度差×时间差=路程差同时出发先后出发列方程：A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千米，一列快车从B地开出，每小时走65千米．(1)两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由此条件列出的方程是________;(2)两车同时开出，相背而行，x小时之后，两车相距620千米，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿；(3)慢车先开1小时，相向而行，快车开出x小时相遇，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(4)两车同时开出，同向而行，快车在慢车后面，x小时之后快车追上慢车，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿；(5)两车同时开出，慢车在快车后面，同向而行，x小时之后快车与慢车相距640千米，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿．（2）追击问题1. 同地不同时的追及问题A、B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车也从A地去B地．已知甲每小时行12千米，乙每小时行28千米．问乙出发后多少小时追上甲?慢者行驶的路程+先行的路程=快者行驶的路程解：设乙出发后x小时追上甲。

第十六讲行程问题（专项复习讲义）小升初数学专项复习讲义（苏教版）（含答案）第十六讲行程问题（专项复习讲义）（知识梳理+专项练习）1、行程问题行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

2、解题关键及规律同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

一、选择题1．从家到学校，小明要走8分钟，小红要走12分钟，则小明与小红的速度比为（）A．8：12 B．2：3 C．3：2 D．12：82．平平骑自行车从甲地到乙地，开始时0.2时骑了3千米，剩下的路又以每分钟0.3千米的速度骑了18分钟，平平从甲地到乙地骑自行车的平均速度是（）千米/时。

A．8.4 B．12 C．14 D．16.83．一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（）A．1200×2＋200 B．1200×2－200 C．（1200＋200）×2 D．（1200－200）×24．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行a米，回来时每分钟行b米，求小明来回的平均速度的正确算式是（）。

A．（a＋b）÷2 B．2÷（a＋b）C．1÷（＋）D．2÷（＋）5．芳芳和媛媛各走一段路．芳芳走的路程比媛媛多，芳芳用的时间比媛媛多，芳芳和媛媛的速度比是( )．A．5:8 B．8:5 C．27:20 D．16:156．船在水中行驶的时候，水流增加对船的行驶时间（）。

A．增加B．减小C．不增不减D．都有可能二、填空题7．甲、乙二人分别从，两地出发相向而行.如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲先出发2小时后，乙再出发，则3小时后二人共走完全程的.甲、乙二人的速度比是( ).8．从甲城到乙城，汽车要8小时，客车要10小时，则汽车的速度比客车快25%。

行程问题例1.A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。

解：后半段路程长：240÷2=120（千米）后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时）后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)原计划速度为：240÷6=40（千米/时）汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。

答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。

例2.两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。

解：轮船顺水速度为：231÷11=21（千米/时）轮船逆水速度为：21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

例3.汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。

分析：求平均速度，就要考虑用总路程除以总时间。

解：设从甲地到乙地距离为S 千米。

则汽车往返用的时间为：S ÷48＋S ÷72= ＋ = 平均速度为：2S ÷ =144÷5×2=57.6(千米/时) 答：该车的平均速度为57.6千米/时例4.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均 速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。

解：剩下的路程为300－120=180（千米）计划总时间为：300÷50=6（小时）剩下的路程计划用时为：6－120÷40=3（小时）剩下的路程速度应为：180÷3=60（千米/小时）答：剩下的路程应以60千米/时行驶。

行程问题教案初中一、教学目标：1. 让学生理解行程问题的基本概念，如速度、时间和路程的关系。

2. 培养学生解决行程问题的能力，能够运用行程公式进行计算。

3. 培养学生分析问题、解决问题的思维能力，提高学生的数学思维水平。

二、教学内容：1. 行程问题的基本概念：速度、时间和路程。

2. 行程公式：s = vt，v = s/t，t = s/v。

3. 行程问题的解决步骤：分析问题、列出公式、计算解答。

三、教学重点与难点：1. 重点：行程问题的基本概念和行程公式的运用。

2. 难点：分析问题、列出公式、计算解答。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中掌握行程知识。

2. 运用实例分析，让学生直观地理解行程问题。

3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过一个实际生活中的行程问题，引发学生对行程问题的兴趣。

2. 讲解行程问题的基本概念，如速度、时间和路程，让学生理解它们之间的关系。

3. 介绍行程公式，并解释每个字母代表的含义。

4. 讲解行程问题的解决步骤，让学生明确解决行程问题的方法。

5. 进行实例分析，让学生跟随步骤解决问题，并总结经验。

6. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

7. 课堂小结，回顾本节课所学内容，总结行程问题的解决方法。

六、课后作业：1. 完成练习题，巩固行程问题的基本概念和公式运用。

2. 收集生活中的行程问题，下节课分享。

七、教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生解决行程问题的能力。

同时，关注学生在课堂上的参与度和思维发展，不断优化教学方法，提高教学质量。

通过本节课的教学，使学生掌握行程问题的基本概念和解决方法，提高学生的数学思维能力，为后续学习打下基础。

在教学过程中，注重培养学生的团队协作能力和问题解决能力，使学生在现实生活中能够运用所学知识解决实际问题。

教案：初中行程问题教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和解决方法。

2. 掌握行程问题的数学建模方法。

3. 能够运用行程问题的解决方法解决实际问题。

教学重点：1. 行程问题的基本概念和解决方法。

2. 行程问题的数学建模方法。

教学难点：1. 行程问题的解决方法的灵活运用。

2. 行程问题的数学建模方法的掌握。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 教学案例或题目。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入行程问题的概念，让学生初步了解行程问题。

2. 举例说明行程问题的实际意义，激发学生的学习兴趣。

二、基本概念（10分钟）1. 讲解行程问题的基本概念，如路程、速度、时间等。

2. 通过实例让学生理解行程问题的本质。

三、解决方法（15分钟）1. 介绍行程问题的解决方法，如画图法、公式法等。

2. 通过案例讲解各种方法的运用和优缺点。

四、数学建模（15分钟）1. 讲解行程问题的数学建模方法，如建立方程、不等式等。

2. 通过案例让学生实践数学建模的方法。

五、实际问题解决（10分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用所学的行程问题的解决方法解决。

2.引导学生思考问题，培养学生的解决问题的能力。

六、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生巩固所学知识。

2. 提供一些拓展题目，激发学生的学习兴趣。

教学反思：本节课通过讲解行程问题的基本概念和解决方法，让学生掌握了行程问题的解决方法，并能够运用到实际问题中。

在教学过程中，要注意引导学生思考问题，培养学生的解决问题的能力。

同时，还要注重学生的数学建模能力的培养，提高学生的数学素养。

精锐教育学科教师辅导讲义年 级：小五 辅导科目：数学 课时数：3 课 题行程问题教学目的这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示： 路程=速度×时间， 速度=路程÷时间． 时间=路程÷速度．教学内容豆豆和爸爸一起做数学题，题目是这样的：小华和李成家相距400米，两人同时从家中出发，在同一条路上行走、小华每分钟走60米，李成每分钟走70米，问3分钟后两人相距多少米？“这题太简单了，只要用小华和李成的速度和乘时间就可以求出两人行走的路程，然后用400米减去两人行走的路程就可以求出3分钟后两人相距多少米了．”豆豆骄傲地说．爸爸笑了笑说：“我认为你考虑问题还不周全．题目中没有说两人是相向而行，相背而行，还是同向而行。

”.小华和李成家相距400米，两人同时从家中出发，在同一条路上行走，小华每分钟走60米，李成每分钟我们每天的生活都离不开步行、乘车，物体也无时无刻不在运动，这就是所谓的“行”，有行即产生距离，需要时间，这就构成了行程问题中的三个重要关系量：路程、速度、时间，研究这三个量之间关系的应用题称之为行程问题．这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示： 路程=速度×时间， 速度=路程÷时间． 时间=路程÷速度．走70米，问3分钟后两人相距多少米？分析：由于题目中没有说明是相向而行还是相背而行，或者是同向而行，所以此题我们必须进行分类对论，结合图形，使问题一目了然解：（1）相向而行时：400-(60+70)×3=400-390=10(米).（2）相背而行时400 +(60 +70)×3 = 400 + 390 = 790(米).（3）同向而行（小华在前）400 +60×3 - 70×3 = 400 +180 - 210 = 370(米).（4）同向而行（李成在前）400 +70×3 - 60×3 = 400 + 210 - 180 = 430(米).答：相向而行3分钟后，两人相距10米；相背而行3分钟后，两人相距790米；同向而行（小华在前）3分钟后，师人相距3 70米；同向而行（李成在前）3分钟后，两人相距430米．.A、B两地相距66千米，甲、乙两人分别从A、B两地骑车同时出发，相向而行．已知甲每小时行12千米，乙每小时行10千米．几小时后他们相遇？分析：相遇问题中会涉及到两个速度、相距路程和相距时间，这三者之间的基本关系为“速度和×相遇时间=相距路程”，由此可得“相遇时间=相距路程÷速度和”．已知相距路程是66千米，甲、乙的速度和为每小时(12 +10)千米，解：66÷(12 +10)=66÷22=3（小时）．答：3小时后他们相遇．.若例2中条件不变，而只把问题改为：“几个小时后他们相距11千米？”该如何解？分析：题目中没有说明究竟是相遇前相距11千米还是相遇后相距11千米，所以应该分为两种情况讨论．解：(1)在相遇前相距11千米的情形（如图所示）：甲、乙两人在相同的时间内共行了(66 -11)千米．(66 -11)÷(12 +10)=55÷22=2.5(小时)．(2)两人相遇后继续前行，相距11千米的情形（如图所示）：两人相遇后继续前行，那么在相同的时间内甲、乙两人共行了(66+11)千米．(66 +11)÷(12+10)=77÷22=3.5；（小时）．答：2.5小时后会发生相遇前相距11千米的情况，3.5个小时后会发生相遇后又相距11千米的情况，.一只蚂蚁沿等边三角形ABC的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米．蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时爬行一周半，平均速度是多少？分析：本题是“平均速度”的问题，平均速度是一种特殊的速度，它衡量的是一段时间内物体在所有路程上运动的平均快慢程度，体现在公式中就是：平均速度=总路程总时间，值得大家注意的是平均速度并不是速度的平均．本题要想计算平均速度，我们需要知道总的路程和总的时间，但本题并没有告诉总路程，那我们可以设一个数，然后计算总的时间？解：设等边三角形的边长为x厘米，则总路程就为3x厘米，则总时间为：502040x x x⎛⎫++⎪⎝⎭分钟．可列式：33360011314105191919502040200200200200x x xx x x x x x x====++++（厘米／分）顺时针爬行一周半总路程为：33 4.52x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭厘米． 总时间为：0.55020405020x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭分钟， 可列式：4.50.55020405020x x x x x x =++++ 4.5 4.590013241054528287200200200200200200x x x x x x x x ===++++（厘米／分）． 答：顺时针爬行一周，平均速度是每分钟113119厘米，顺时针爬行一周半，平均速度是每分钟1327厘米．.小明驾驶摩托车从A 地到B 地的速度是每小时20千米，原路返回时，速度提升为每小时30千米，问全程的平均速度是多少？分析：平均速度=总路程÷总时间，由于题目中只给出了速度，而往返的路程是不变的，所以可以设A 、B 间相距60千米（取20、30的最小公倍数），所以由A 到B 需60÷20 =3(小时)，由B 到A 需60÷30=2（小时）．总时间为3+2=5（小时）．群：平均速度v= 60×2÷(3+2)=120÷5=24（千米／时）． 答：全程的平均速度为24千米/时，小莉以每秒3米的速度沿铁路旁边的小路跑步，迎面开来一列长207米的火车，火车经过小莉身旁用了9秒．火车的速度是多少？分析：这是一个“火车行程”问题．由经验可知，该题中，人的身长是可忽略不计的，火车经过小莉身旁的过程，可以看做是小莉与火车的车尾相遇的过程，从看见车头开始到看见车尾共用9秒，那么火车的长就是火车与小莉9秒共行的路程（路程和）．因此本题可转化为“质点型”相遇问题：两物体从相距207米的两地同时出发，相向而行，经过9秒相遇，已知一个物体的速度是每秒3米，则另一个物体的速度足每秒多少米？ 解：207÷9-3=23-3=20（米／秒）． 答：火车的速度为每秒行驶20米.明明每分钟走100米，涛涛每分钟走80米．二人同时、同地向反的方向走去．5分钟后，明明调转方向追涛涛。

与分数有关的之行程问题行程问题基本公式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间相遇问题是行程问题中的一种情况，这类问题的特点是：两个运动的物体，从两地相向而行，越行越近，到一定时候二者可以相遇。

相遇问题的关系式：速度和×相遇时间＝路程和路程和÷速度和＝相遇时间路程和÷相遇时间＝速度和追及问题也是行程问题中的一种情况，这类问题的特点是两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或从同一地点，不同时出发向同一方向运动）慢车在前，快车在后，因而快车离慢车越来越近，最后终于可以追上。

追及问题的关系式：速度差×追及时间＝路程差路程差÷追及时间＝速度差路程差÷速度差＝追及时间小时相遇，甲、乙的速例1：两地相距196千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，73度比是4：3，甲、乙两车每小时各行多少千米？【思路点拨】先根据“相遇路程÷相遇时间=速度和”求出甲、乙两辆汽车每小时共行的千米数，再根据“甲、乙的速度比是4：3”，把两辆车每小时共行的千米数按4：3进行分配，分别求出甲、乙两辆汽车每小时各行的千米数。

【思路点拨】速度和是196÷7/3=84（千米）甲速度：84×4/(4+3)=48（千米/时）乙速度：84×3/(4+3)=36（千米/时）答：甲速度是每小时48千米，乙速度是每小时36千米练习：1.甲、乙两地相距475千米，客车和货车同时从两地相对开出，已知货车每小时行45千米，货车与客车的速度比是9：10，经过几小时两车才能相遇？【思路点拨】客车速度45×10/9=50千米/小时经过475/(45+50)=5小时相遇例2．一辆车从甲地到乙地，第一小时行全程的20％，第二小时比第一小时多行30千米，离乙地还有150千米，甲乙两地相距多少千米？【思路点拨】（150+30）/（1-20%-20%）=300（千米）例3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行80千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。

第六讲行程问题（二）例题1、（长郡）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。

A、B两地相距多少千米？⨯-=（千米）解：80360180答：AB两地相距180千米。

例题2、甲、乙两车同时从东西两站相向开出。

第一次在离东站60千米的地方迎面相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到达对方车站后都立即返回，又在距离中点西侧30千米处相遇，两站相距多少米？⨯+÷=（千米）解：(60330) 1.5140答：两站相距140千米。

例题3、（广州联考）甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长多少米?⨯-⨯=（米）解：(60380)2200答：跑道的长为200米。

例题4、如图A、B是圆直径的两端，小李在A点，小王在B点同时出发相向而行，他们在C第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。

这个圆的周长是多少米？⨯-⨯=（米）解：(80360)2360答：这个圆的周长是360米。

同步练习1、如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。

它们第一次相遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问这个圆周的长是多少?⨯-⨯=（米）解：(836)236答：这个圆的长是36米。

例题5、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行驶54千米，货车每小时行驶48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行了216千米。

求甲、乙两地间相距多少千米？解：相遇两次，走了三个全程。

216(5448)36÷-=（小时） (5448)3631224+⨯÷=（千米）答：甲、乙两地间相距1224千米。

初中数学行程问题说课教案1. 让学生掌握行程问题的基本概念和公式，包括路程、速度、时间的关系。

2. 培养学生解决行程问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学应用能力。

3. 培养学生合作学习、讨论问题的良好习惯，提高学生的沟通表达能力。

二、教学内容1. 行程问题的基本概念：路程、速度、时间。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

3. 行程问题的类型及解决方法：单人单程、单人往返、多人相遇、追及等问题。

4. 典型例题解析及练习。

三、教学过程1. 导入：通过生活中的实际例子，如上学、旅游等，引发学生对行程问题的关注，激发学生的学习兴趣。

2. 基本概念和公式：介绍路程、速度、时间的定义及它们之间的关系，引导学生理解和记忆行程问题的基本公式。

3. 行程问题的类型及解决方法：讲解单人单程、单人往返、多人相遇、追及等类型的行程问题，引导学生掌握解决行程问题的方法。

4. 典型例题解析：选取具有代表性的例题，引导学生分析问题、列方程、解方程，最后得出答案。

过程中注意引导学生思考、讨论，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。

5. 练习：布置一些类似的练习题，让学生独立完成，检验学生对行程问题的掌握程度。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调行程问题的解决方法及注意事项。

7. 拓展：引导学生思考行程问题在现实生活中的应用，激发学生学习兴趣，提高学生的数学应用能力。

四、教学策略1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

2. 注重学生的主体地位，鼓励学生提问、思考、讨论，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。

3. 针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导，帮助学生克服困难，提高学生的学习效果。

4. 及时反馈，鼓励学生自主检查，培养学生的自我管理能力。

五、教学评价1. 学生对行程问题的基本概念和公式的掌握程度。

2. 学生解决行程问题的能力，包括逻辑思维、数学应用能力。

行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。

当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。

二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。

（250-200）×45=2250（米）。

同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。

如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。

【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？一问分析与解答：具体分析见例题。

环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。

行程问题之相遇与追击内容概括我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t ）、速度（v ）和路程（s ）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程 可简记为：s = vt （2）路程÷速度=时间 可简记为：t = s ÷v （3）路程÷时间=速度 可简记为：v = s ÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.相遇问题：速度和×相遇时间=路程和 t v S 和和= 追及问题：速度差×追及时间=路程差 t v S 差差=对于上面的公式大家已经不陌生了，在下面的学习中我们将和小朋友们一起复习回顾以前的相关知识，而后拓展提高！相遇问题【例1】 两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？分析：40 +5 = 45（千米），（40 + 45）×4 = 340（千米），340千米 < 400千米 ，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇.【巩固】甲、乙两地相距480千米.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行52千米， 行驶312千米后遇到从乙地开来的另一辆汽车.如果乙地开来的汽车每小时行42千米，算一算这两辆车是不是同时开出的？ 分析：312÷52 = 6（小时），（480—312）÷42 = 4（小时），从甲地开出的汽车行驶6小时，从乙地开出的汽车行驶4小时，所以说，这两辆车不是同时开出的.【例2】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?分析：为让孩子们深刻理会t v S 和和 ，教师可先讲解下题热身.【前铺1】大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？分析：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).【前铺2】孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄之间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？分析：建议教师画线段图。

第21讲“三向”行程问题熟练掌握“路程和＝速度和× 时间”这一公式并能利用其解决相向行程问题（相遇问题）、同向行程问题（追及问题）、背向行程问题（相离问题）。

一、相向行程问题（相遇问题）甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=tS V和和二、同向行程问题（追及问题）有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V差差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米教学目标知识梳理三、背向行程问题（相离问题）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素 图示：甲 出发点 乙A B关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间.考点一：相向行程问题（相遇问题）例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。

第二十讲行程问题发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.1.熟悉常见的行程问题题型，并掌握解题方法。

第三讲行程问题1. 掌握行程问题中的基本数量关系；2. 掌握一些特殊行程问题的解决方法。

行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。

行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。

行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度⨯时间，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间。

在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。

掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。

在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。

平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间。

【例1】 （2007年“希望杯”第二试）赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。

假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？【分析】 设赵伯伯每天上山的路程为s 千米，那么下山走的路程也是s 千米，上山时间为3s 小时，下山时间为6s 小时，上山、下山的平均速度为：2()436s s s ÷+=（千米/时），由于赵伯伯在平路上的速度也是4千米/时，所以，在每天锻炼中，赵伯伯的平均速度为4千米/时，每天锻炼3小时，共行走了4312⨯=（千米）=12000（米）。

[拓展] 老王开汽车从A 到B 为平地（见右图），车速是30千米/教学目标经典精讲 平均速度时；从B到C为上山路，车速是22.5千米/时；从C到D为下山路，车速是36千米/时。

已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？[分析] 设上山路为s千米，下山路为2s千米，则上、下山的平均速度是：(2)(22.5236)30s s s s+÷÷+÷=（千米/时），正好是平地的速度，所以行A、D总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。