高中数学分章节训练试题：18数列

2018年高考数学 数列 综合题专项练习一、选择题：1.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.1052.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，7825a a -=，则11S 为（ ） A.110 B.55 C.50 D.不能确定3.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.)21,1[- B.[-1,1） C.[-2,1) D.)23,2[- 二、填空题：4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 21＋a 2=1，a 22＋a 3=1，则a 1=________.5.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 . 三、解答题：6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1＋2，S 3=9＋32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和； (2)设b n =nS n，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ错误！未找到引用源。

0. （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. （2）若53132S =，求λ.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n+1﹣1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式.10.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.（1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 （1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n 。

一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29B ．28C ．27D ．263．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-4．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2055．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ6．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7667．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110248．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a9．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．2410．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+11．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]12．已知等比数列{}141,1,8n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围是（ ）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列1，()12+，()223234122,1222,(1222()2),....+++++++++的前n 项之和n S =____________.14．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 16．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设2(1)n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.17．定义：称12nnp p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当n *∈N 时，13nn n a a +=，则2n S =______．19．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017011a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.20．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______.三、解答题21．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设+14n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T . 23．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S . 24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式， （2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 25．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，212b =，12n b +211n n b b +=+，(n ∈N *). （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）数列{c n }满足n n n a c b =，求证：12334n c c c c ++++<….26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2n S k n n n N=⋅+∈，其中k 是常数.（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：12n 1112 (3)S S S +++<； （3）设0k >，记21n nb a =，求证：当2n ≥时，23411...14(1)n n b b b b n k k -<++++<-++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n n a a +-=， 所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．A解析：A【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭ 是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.4．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

卜人入州八九几市潮王学校数列单元测试018一、选择题。

〔每一小题4分，一共60分〕1、数列{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+kn 恒成立，那么k 的取值范围是A 、72-+∞（，）B 、+∞（0，）C 、2-+∞（，）D 、3-+∞（，）〔〕 2、设数列{a n }的通项公式a n =f(n)是一个函数，它的定义域是〔〕 A 、自然数集NB 、正整数集N *C 、正整数集N *的一个有限子集D 、正整数集N *或者它的有限子集{1，2，…，n}3、a,b,c ∈R,那么“b 2=ac 且b ≠0”是“a,b,c 〞成等比的〔〕条件。

A 、充分不必要B 、必要而不充分C 、充要D 、既不充分也不必要 4、含2n-1个项的等差数列，其奇数项和与偶数项和的比为〔〕 A 、1n n +B 、1n n -C 、11n n -+D 、1n n- 5、三个数a,b,c 互不相等，且全不为0，假设依次成等差，而a,c ，b,依次成等比，那么a:b:c 等于A 、1：2：4B 、2：1：4 C 、-4：1：2D 、4：1：〔-2〕〔〕 6、在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 100=35,a 101+a 102+…+a 200=120, 那么a 201+a 202+…+a 300=A 、185B 、215 C 、205D 、195〔〕 7、数列{a n 〔〕①{a n 2}、{a 2n }是等比数列②{lna n }成等差数列③1{}na、∣a n∣成等比数列④{ca n },{a n ±k}〔k ≠0〕成等比数列A 、5B 、4 C 、3D 、2 8、a 1=0,a 2=3,a n+2=2a n+1-a n ,那么这个数列的第五项是〔〕 A 、10B 、12 C 、9D 、149、等差数列的首项为4，第8项开场为负数，那么公差的范围是〔〕 A 、74-<dB 、7432-<≤-dC 、74-≤dD 、7432-≤<-d 10、在等差数列{a n }中，a n =m,a m =n,a n+m =() A 、nB 、mC 、m+nD 、011、等差数列{a n }中，︱a 3︱=︱a 9︱,公差d<0,那么使前n 项和S n 获得最大值的n 为〔〕 A 、4或者5B 、5或者6 C 、6或者7D 、5 12、2a=3,2b=6,2c=12,那么a,b,c 〔〕A 、成等差不成等比B 、成等比不成等差C 、成等差又成等比D 、既不成等差又不成等比13、在各项均为正数的等比数列{a n }中，假设a 5a 6=9,那么log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= A 、12B 、10 C 、8D 、2+log 35〔〕 14、α是第二象限角，那么2α是第〔〕象限的角A 、一或者三B 、二或者四C 、一或者二D 、三或者四 15、一条弧长等于半径的13，这条弧所对的圆周角的弧度数是〔〕 A 、3B 、3πC 、13D 、16二、填空题〔每一小题5分，一共30分〕1、在数列{a n }中，a n+1=322-a a nn ,这个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列的前n 项和为_______2、两个等差数列：x,a 1,a 2,…a m+1,y 和x,b 1,b 2,…b n ,y ，那么aa b b 1212--=______3、设成等比的三个数，a,b,c,假设a<b<c,a+b+c=14,a 2+b 2+c 2=84,那么此三数为____-4、在等比数列{a n }中，a n =a n+1+a n+2,那么公比q 的值是______5、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n ,B n ,且71427n nn n A B+=+，那么1111a b =______6、终边在直线y=x 上的角的集合是〔用弧度制表示〕_______ 三、解答题：(每一小题10分)1、求一个正实数，使其小数局部、整数局部和本身依次成等比数列。

数列数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，若有2道客观题，其中有1道可能是难度较大的综合题，数列综合题考查热点是分段函数、数列求和、数列的最值、数列与函数、不等式的交汇.2021高考全国Ⅰ卷没有出现难度较大的数列综合题，预测2022高考全国Ⅰ卷出现难度较大的数列综合题的可能性比较大.1.数列与函数数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n 项和的作用在于刻画a n 及S n 与n 的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求a n 和S n 的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续. 2．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．数列中项的最值数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.4.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．5.解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． 6.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 7.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 8.错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 9.裂项求和(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n n ＋k＝1k (1n －1n ＋k )，裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．1．（2021·湖南·高考真题）已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，34a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】 （1）2314,a q a ==且0q >，2q ∴=， 1112n n n a a q --∴==（2）12log 21n n b n -==-2(01)22n n n n nS +--∴==2．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.3．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【解析】(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥， 即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-， 因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥.综上所述，01d ≤≤.4．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立； 4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.5．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列： ①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由； （2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由． 【详解】(1)因 为 122,2,2,p a a ===- 所以12122,13a a p a a p ++=+++=， 因 为32,a =-所 以{}312122,21a a a a a ∈+++++ 所以数列{}n a ，不可能是2ℜ数列. (2)性质①120,0a a ≥=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =， 若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾； 若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾. 因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =.若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=， 不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈： 当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立， 当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}jk j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+； 否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =， 而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾. 同理可得：{}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+； {}*48,246{1,2}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+ 即当1n k =+时命题成立，证毕. 综上可得：10a =，54111a a ⨯+==. (3)令n nb a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=， 因此数列{}n b 为0ℜ数列. 由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.1．（2022·河北石家庄·一模）已知等差数列{}n a 各项均为正数，公差3d <，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为3a ，4a ，5a ，且3a ，4a ，5a 中任何两个数都不在同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 5 6 第二行 7 4 8 第三行 11129(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()1813n n n b a a +=+⋅+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n T <.【解析】(1)由题意可知，数列{}n a 为递增数列，又公差3d <，所以35a =， 47a =，59a =，则可求出1a 1,d 2， 21n a n ∴=-.(2) ()()()182111322n n n b a a n n n n +===-+⋅+++，1111111111113243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111212n n =+--++，311212n n =--++ 32n T ∴<. 2．（2022·湖南湖南·二模）已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，()221212n n a a n n --=-≥.(1)求{}n a 的通项公式. (2)证明222121112na a a +++<. 【解析】(1)解：由()221212n n a a n n --=-≥，得221223n n a a n ---=-，222325n n a a n ---=-，…，22213a a -=，由累加法得22135...21n a a n -=+++-()()12132n n --+=21n =-，所以()222n n a n =≥，又11a =满足22n a n =，又因为0n a >， 所以n a n =. (2)因为()()2211111211n n a n n n n n=<=---≥， 所以当2n ≥时，2222221211111112n a a a n +++=+++()111112231n n <++++⨯⨯-1112n=+-<， 当1n =时，21112a =<成立，所以222121112na a a +++<. 3．（2021·福建省德化第一中学三模）从条件①{}n nb +，②n 1{}n b +，③2n 214{}log log n b b +⋅中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答，已知数列{n a }满足1n 152114n n n a a a b a +=+==-，， (1)求证：数列{n b }是等比数列； (2)求数列___________的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】(1) 因为121n n a a +=+， 所以1221n n a a +-=-， 因为1n n b a =-， 所以11122n n n n b b b b ++==，，因为11114b a =-=， 所以数列{n b }是以14为首项，12为公比的等比数列；(2)由上可得112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，选①：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以112n n n b n +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则1111112348162n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111112348162n n +⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭()2111111142112222212n n n n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=++=++--，21112222n n n n T +=++-故；选②：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1112n nn n b ++=+⋅ 则()231223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，()3422223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，()234122222212n n n T n ++=-⨯----++⨯3122222212122212828212n n nnn n n n ，故22n n T n +=⋅；选③：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2214114log log 12n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅++⎝⎭，则1111111142334112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 故22n nT n =+. 4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，11337522,21a b a b a b ====．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设2n n a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列1n n c b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和10S ．注．[]x 表示不超过x 的最大整数． 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由11337522,21a b a b a b ====得：()()242211262d q d q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 而0d ≠，0q >，解得1d =，12q =，于是得1n a n =+，112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=，所以数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为1n a n =+，112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=.(2)由（1）知，1[][]22n n a n c +==，则有123456879101,2,3,4,5c c c c c c c c c c ==========，依题意，23456789101012122222323242425252S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()357931222324252⨯⨯⨯⨯=++⨯++，令35791222324252T ⨯⨯⨯⨯+++⨯=+， 则37911541222324252T ⨯⨯⨯⨯++⨯=++， 两式相减得：()5357911111221472322222525221433T --=++++-⨯=-⨯=-⨯--，所以123295587233T =+=⨯，即109558S =．5．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求证：112n n S a +>-． 【解析】(1)因为1n n a T +=，所以1112n n T a a =-∴=， 所以111(2)n n T a n --=-≥， 两式相除，得11(2)1n n n a a n a --=≥-，整理为112n n a a -=-，再整理得，1111(2)11n n n a a --=≥--． 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为以2为首项，公差为1的等差数列．(2)因为1n n a T +=，所以1111,221a a ==-， 由（1）知，1211n n a =+--，故1n n a n =+， 所以121212311n n n T a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=++．所以2221222211123(1)n nS T T T n =+++=++++ 111111111112334(1)(2)23341222n n n n n >++=-+-++-=-⨯⨯+++++．又因为11111122222n n a n n ++-=-=-++， 所以112n n S a +>-．（限时：30分钟）1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n N ∈在函数2()32f x xx =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】解：（1）由题意可知：232n S n n =-，当2n ≥，()()22132312165n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又因为111a S ==满足65n a n =-，所以()65n a n n N *=-∈；（2）()()133111656126561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111131127713656126161n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，且满足()()()()()12111121n n n n n n a a n N n a a n a a n n *++++=+∈-+-+. （1）设()1nn n nna b n N a a *+=∈-，证明：{}n b 是等差数列； （2）若()nn nb c a n *=∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】 （1）()()()()12111121n n n n n n a a n a a n a a n n ++++=+-+-+，()1211112n n n n n n n a na a a a a +++++∴=+--，112n n b b +∴=+，{}n b ∴是以112b =为首项，公差12d =的等差数列； （2）由（1）得：()()*112n n b b n d n N =+-=∈，12n n nna n a a +∴=-， 整理可得：13n n a a +=，∴{}n a 是以11a =为首项，公比3q =的等比数列，13n n a -∴=，123n n n n b nc a -∴==⨯， 2112312333n n n S -⎛⎫∴=⨯+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭…①，①13⨯得：2311112313233333n n n n n S --⎛⎫=⨯+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭…②， -①②得：23111211111131132333332313n n n n n n n S -⎛⎫-⎪⎛⎫=⨯++++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭13332322233443n n nn n +⎛⎫=⨯--=-⎪⋅⋅⎝⎭， 1332319244383n n n n S -+⎛⎫⎛∴=⨯-=⨯- ⎪ ⋅⎝⎭⎝.3．数列{}n a 中，n S 是n a 的前n 项和，21n n S a =-，{}n b 是等差数列264b b a +=，5462a b b -=， （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c b S =⋅求{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）由数列{}n a 中，满足21n n S a =-，当2n ≥时，1121n n S a --=-，两式相减，可得12n n a a -=，即12nn a a -=， 当1n =时1121S a =-，解得11a =，所以数列{}n a 是等比数列， 所以数列的通项公式为12n na .又由{}n b 是等差数列，设等差数列{}n b 的公差为d ，因为264b b a +=，5462a b b -=，可得11126816(3)2(5)b d b d b d +=⎧⎨-+=+⎩，解得11,1b d ==，所以数列{}n b 的通项公式为n b n =.（2）由（1）可得2(12)2112n n n S -==--，所以()21nn n n c b s n ==-，可得231212223232n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++令231222322n A n =⨯+⨯+⨯++⨯， 则234121222322n A n +=⨯+⨯+⨯++⨯， 两式相减，可得23122222n n A n +-=++++-⨯()1212212n n n +⨯-=-⨯-1(1)22n n +=--，所以1(1)22n A n +=-+，又因为(1)1232n n n +++++=， 所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-+-. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，410S =，数列{}n b 的n 项和为()1312nn T =-. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足sin 2n n n a c b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2021项和2021P . 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由22a =，410S =得1124610a d a d +=⎧⎨+=⎩. 解得11a =，1d =， 所以n a n =.2n ≥时，113n n n n b T T --=-=，111b T ==，也符合上式， 所以13n n b -=.（2）13sin 2n n n c π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，注意n 取偶数时，sin 02n π=， 所以2420200c c c ====02462020202135720213sin3sin3sin 3sin 3sin22222P πππππ=+++++ ()()()()101124620201011119113333911910--=-+-++==+--15．已知数列{}n a ，n S 是n a 的前n 项的和，且满足()*21n n S a n N=-∈，数列{}nb 是等差数列，264b b a +=，5462a b b -=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，设()23412(1)n n n nn n n T b b c b b +++++=-，求n c 的前n 项的和n D .【详解】（1）由数列{}n a 中，满足21n n S a =-，当2n ≥时，1121n n S a --=-，两式相减，可得12n n a a -=，即12nn a a -=， 当1n =时1121S a =-，解得11a =，所以数列{}n a 是等比数列， 所以数列的通项公式为12n na .又由{}n b 是等差数列，设等差数列{}n b 的公差为d ，因为264b b a +=，5462a b b -=，可得11126816(3)2(5)b d b d b d +=⎧⎨-+=+⎩，解得11,1b d ==，所以数列{}n b 的通项公式为n b n =.（2）由（1）可得21nn S =-，则12(12)1222n n n T n n +--=---=，所以()123412(34)2(1)(1)(1)(2)nn n nn nnn nT b b ncb b n n+++++++=-=-++1222(1)12n nnn n++⎛⎫=-+⎪++⎝⎭，则2334351222222222(1)()23343512n nnnDn n++=--++--++-+++222(1)2nnn+=-+-+，即222(1)2nnnDn+=-+-+.。

2018年高考数列题集锦一、选择题（共18题）：1．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于A.18B.27C.36D.452．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83．在等比数列｛a n ｝中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a aA. 81B. 27527C. 3D. 2434．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 5．如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =- 6．已知等差数列{}n a 中，a 2=7,a 4=15,则前10项和S 10=（A ）100 （B ）210 （C ）380 （D ）400 7．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若735S =，则4a =A 、8B 、7C 、6D 、5 8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5B.4C. 3D. 29．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（A ）48 （B ）54 （C ）60 （D ）6610．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．75 11．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于Ａ．12 Ｂ．24Ｃ．36Ｄ．4812．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）4513．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．214．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．10015．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =（A ）310（B ）13 （C ）18 （D ）1916．函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 17．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -…18．设4710310()22222()nf n n N+=+++++∈，则()f n等于（A）2(81)7n-（B）12(81)7n+-（C）32(81)7n+-（D）42(81)7n+-二、填空题（共6题）：19．设nS为等差数列{}na的前n项和，若5S10=,10S5=-,则公差为（用数字作答）.20．在数列{}n a中，若11a=，12(1)n na a n+=+≥，则该数列的通项na=21．在数列{}n a中，若11a=，123(1)n na a n+=+≥，则该数列的通项na=。

..数列一．数列的概念：〔1〕a n n2n(n*)，那么在数列{a n}的最大项为__〔答：1〕；156N25〔2〕数列{a n}的通项为a n an ，其中a,b均为正数，那么a n与a n1的大小关系为__〔答：an a n1〕；bn1〔3〕数列{a n}中，a n n2n，且{a n}是递增数列，求实数的取值范围〔答：3〕；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法a n1a n d(d为常数〕或a n1a n a n a n1(n2)。

设{a n}是等差数列，求证：以b n=a1a2n a n nN*为通项公式的数列{b n}为等差数列。

2．等差数列的通项：a n a1(n1)d或a n a m(n m)d。

(1)等差数列{a n}中，a1030，a2050，那么通项a n〔答：2n10〕；〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差的取值范围是______〔答：8d3〕33．等差数列的前n和：S n n(a1a n)，Sn na1n(n1)d。

22〔1〕数列{a n}中，a n a n11(n2,n N*)，a n3，前n项和S n15，求a1，n〔答：a13，n10〕；222〔2〕数列{a n}的前n项和S n12n2{|a n|}的前n项和T n〔答：T n12n n2(n6,n N*)〕. n，求数列n212n72(n6,n N*)三．等差数列的性质：1．当公差d0时，等差数列的通项公式a n a1(n1)d dna1d是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和S n na1n(n1)d d n2(a1d)n是关于n的二次函数且常数项为0 .2222．假设公差d0，那么为递增等差数列，假设公差d0，那么为递减等差数列，假设公差d0，那么为常数列。

3．当mn p q时,那么有a m a n a pa q，特别地，当m n2p时，那么有a m a n2a p.〔1〕等差数列{a n}中，S n18,a n a n1a n23,S31，那么n＝____〔答：27〕〔2〕在等差数列a n中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，那么..A、S1,S2L S10都小于0，S11,S12L都大于0B、S1,S2L S19都小于0，S20,S21L都大于0C、S1,S2L S5都小于0，S6,S7L都大于0D、S1,S2L S20都小于0，S21,S22L都大于0〔答：B〕4．假设{a n}、{b n}是等差数列，{ka n}、{ka n pb n}(k、p是非零常数)、{a pnq}(p,q N*)、S n,S2n S n,S3n S2n，⋯也成等差数列，而{a a n}成等比数列；假设{a n}是等比数列，且a n0，{lg a n}是等差数列.等差数列的前n和25，前2n和100，它的前3n和。

高中数学数列题目训练卷在高中数学的学习中，数列一直是一个重点和难点内容。

为了帮助同学们更好地掌握数列相关知识，提高解题能力，特编制此数列题目训练卷。

一、选择题1、已知数列\（＼｛a_n\｝＼）的通项公式为\（a_n ＝ 2n 1\），则\（a_5\）的值为（）A 9B 11C 7D 52、等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 3\），＼（d ＝ 2\），则\（a_{10}＼）等于（）A 19B 21C 23D 253、等比数列\（＼｛b_n\｝＼）中，＼（b_2 ＝ 6\），＼（b_4 ＝24\），则公比\（q\）的值为（）A 2B 3C 4D ＼（＼sqrt{2}＼）4、数列\（1, 3, 6, 10, 15, ＼cdots\）的通项公式为（）A ＼（a_n ＝＼frac{n(n ＋ 1)｝｛2}＼）B ＼（a_n ＝ n^2 n ＋ 1\）C ＼（a_n ＝ 2^n 1\）D ＼（a_n ＝ n ＋ 1\）5、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和为\（S_n\），若\（S_9 ＝ 72\），则\（a_5\）等于（）A 8B 9C 10D 12二、填空题1、等比数列\（＼｛c_n\｝＼）中，＼（c_1 ＝ 1\），＼（c_4 ＝8\），则\（c_7 ＝＼）＿____。

2、等差数列\（＼｛d_n\｝＼）中，＼（d_3 ＋ d_7 ＝ 10\），则\（d_5 ＝＼）＿____。

3、数列\（＼｛e_n\｝＼）的通项公式为\（e_n ＝ 3n 2\），则其前\（n\）项和\（T_n ＝＼）＿____。

4、等比数列\（＼｛f_n\｝＼）的公比为\（2\），前\（5\）项和为\（62\），则首项\（f_1 ＝＼）＿____。

5、已知数列\（＼｛g_n\｝＼）满足\（g_{n ＋ 1} ＝ 2g_n ＋ 1\），＼（g_1 ＝ 1\），则\（g_5 ＝＼）＿____。

三、解答题1、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 5\），＼（a_3 ＝ 11\），求数列的通项公式及前\（n\）项和\（S_n\）。

2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题18等差数列考点命题分析数列是高中数学的重要内容，在高考试卷中，题量一般是一道小题，一道大题(有时改成小题)，有时还有一道与其他知识交汇的综合题.分值在15分左右，文科卷以应用等差数列、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科卷以应用S n或a n之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主.分析近几年的高考试卷，涉及等差数列的核心考点是等差数列的定义、运算与性质.考查的内容是等差数列的通项公式、前n项和公式，体现的核心素养主要是数学运算.一般在选择题中考查，属容易题.本部分内容的教学重点是深刻理解等差数列的概念与性质，熟练掌握等差数列的通项公式与求和公式.综合运用等差数列的知识解决相关问题.教学难点是等差数列性质的进一步探究与灵活运用，数学史中的等差数列问题.等差数列内容复习时，要注意运用不同的数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)表述相关问题.如通项公式的符号语言是a n=a1+(n－1)d；文字语言是第n项与第1项相差n－1个公差；图形语言是直线y=dx+(a1－d)上一系列的点(1，a1)，(2，a2)，……，(n，a n)，……的集合.一般地，通项公式的符号语言是a n=a m+(n －m)d，文字语言是第n项与第m项相差n－m个公差，图形语言是两点A(n，a n)，B(m，a m)连线的斜率是d，且.数列作为特殊的函数，要注意应用函数的思想.比如:等差数列的通项公式与一次函数之间的联系，前n项和公式与二次函数之间的联系.1以数列为背景，提升学生的转化能力例1《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题:今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( )A．8 B．9 C．10 D．11思路探求:问题转化为在等差数列{a n}中，已知，求.据此可得：第九日所织尺数为9.答案是B方法点睛:数学史是高考数学考查的重点，把数学史问题转化为数学问题，关键是不同数学语言的应用.以下两种解题方法是高考的重点，也是求解等差数列问题的常用方法，师生必须引起重视:(1)求解等差数列问题的通性通法.利用等差数列的主要元素，即首项和公差来表示等差数列，联系等差数列的前n项和公式和通项公式解题.(2)应用等差数列的性质解题.由S7=28求出a4，由a2+a5+a8=15求出a5，然后得到公差进行求解.同时注意提醒学生避免如下错误解答.2以数列为背景，渗透分类讨论思想例2已知数列，且，则S2017的值为( )A．B．C．D．思路探求:由可知：当n为偶数时，，即为常数列且各项均为2；当n为奇数时，，即构成首项为1，公差为2的等差数列.所以.故选：C.3以数列为背景，考查学生的不同思维层次例3设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若正整数i，j，k，l满足i+l=j+k(i≤j≤k≤l)，则( )A．B．C．D．思路探求:解法1，设数列{a n}的公差为d，因为，所以，得到.答案A解法2:根据题意i，j，k，l不妨分别取1，2，3，4.则，所以.答案A解法3:根据题意i，j，k，l不妨分别取1，2，3，4，同时取.因为，所以排除B.因为，排除选项D.答案A.方法点睛:选择题是考查学生数学素养的好题型，其中有多种不同的解题方法，不同层次的学生，会产生不同的解题方法.数学教育教学，教师要教给学生的是数学素养，而不是题海战术，本题的三种解题方法，能很好地考查学生的数学素养.其思维过程是观察选择支，发现A，B同类，C，D同类，再比较大小.作为选择题，可以应用特殊值法、特殊数列法、排除法，产生解法3，这也是解选择题的通性通法.解法1是通项公式一般情形的应用，解法2是特殊值法的应用，但是两种解法都有其局限性，因为本题的正确答案是A，所以代入答案A，马上证明是正确的，看似简单，如果把答案A放到最后，那么像解法1和解法2这样证明，就会变得很尴尬.4以数列为背景，锻炼学生的理解与应用能力例4若数列{a n}满足(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列，已知数列为调和数列且，则.思路探求:根据题意，把代入中，得到数列{x n}是等差数列，因为前20项和S20=200，所以，利用等差数列的性质得到.方法点睛:定义型应用题通过指出定义所反映的事物本质特征来明确定义的内涵和外延，它科学地指示了客观世界的事物的本质特征.定义是一种人为的广泛、通用的解释意义.而对自定义型，则要求学生从新的定义、方法，到新规则的学习，在较短时间内获取信息，对信息进行加工处理的过程.它有利于提高学生主动获取信息、加工信息的能力.本题给出调和数列的定义，考查学生对调和数列定义的理解和应用的能力.此类题的复习重点是深刻理解定义的内涵和外延，深化对定义的不同数学语言的理解和互相转换.5以数列为背景，培养学生的辩证思维能力例5已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=，，求数列{a n}的前n项和S n，及通项公式a n.思路探求:把代入，得到.因为，所以数列是以－1为首项，为公差的等差数列.因此，利用a n 与S n 的关系求得;;.方法点睛:由于已知条件中有S n 和a n ，可自然产生解题思路，要么统一转化化归为项数和的式子如，要么统一转化化归为项数之间关系式.显然转化为前者解题比较方便.但是在的应用过程中，要注意当n =1时，a 1是否适合，如果适合则可立即写出通项公式，如果不适合，则用分段函数的形式表示.这是容易出错的地方，师生要引起重视.最新模拟题强化1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1095,S =817a =，则（ ） A ．523n a n =- B ．22122n S n n =- C ．415n a n =-D ．23112n n nS -=【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11104595717a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14,a =-3d =，故37,n a n =-23112n n nS -=.故选：D.2．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值. 故选：C3．已知数列{}n a 满足112(2),n n n a a a n -+=+≥24612,a a a ++=1359a a a ++=，则34a a +=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，数列{}n a 是等差数列，设公差为d ， 则1111113512249a d a d a d a a d a d +++++=⎧⎨++++=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以3411237a a a d a d +=+++=，（巧解）由题意，数列{}n a 是等差数列，将两方程相加可得()34312921a a +=+=，所以347a a +=， A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤【解析】原问题等价于等差数列中，已知154,2a a ==，求234a a a ++的值. 由等差数列的性质可知：15241536,32a a a a a a a ++=+===， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤. 本题选择D 选项.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C 【解析】若数列{}n a 中所有的项都为0，则满足13n n a S +=，所以数列{}n a 可能为等差数列；由13n n a S +=得：213n n a S ++=，则21113()3n n n n n a a S S a ++++-=-=，所以214n n a a ++=，另由13n n a S +=得：213a a =，即213a a =，所以数列{}n a 不是等比数列．故选C ．6．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．-3 B ．-2C ．2D ．3【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1+2d ，a 4＝a 1+3d ． 因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ），解得：a 1＝﹣4d ．所以321531227S S a dS S a d-+==-+2，7．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.8．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（ ） A ．0 B ．2019C ．4038D ．4040【答案】C 【解析】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调， 可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =， 可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C9．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.10．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1 ，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1 ，()1,5，()2,4 ，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ） A ．第351位 B ．第353位C ．第378位D ．第380位【答案】B 【解析】20193673=⨯（673为质数），故22133673m n ⎧-=⎨-=⎩ 或者22167333m n ⎧-=⎨-=⎩，(),m n N *∈， 得2,2826m m n n =⎧+=⎨=⎩，在所有数对中，两数之和不超过27的有12612326263512++++⋯+=⨯= 个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个（第一个是(1,27)）,故数对(2,26)排在第351+2=353位， 故选B11．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且11101a a <-，那么n S 取正值时项数n 的最大值为（ ） A ．15 B ．17C ．19D ．21【答案】C 【解析】解：由题意值，n S 有最大值，所以0d <，因为11101a a <-，可得11100a a <<，且11100a a +<， 所以20120101110()10()0S a a a a =+=+<，则1910190S a =>， 又121011120a a a a a >>>>>>，所以109210S S S S >>>>>，10111920210S S S S S >>>>>>，A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B 【解析】 （1）若a ＞b ＞0则有a ＞2a b+ b若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+， 解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>2a bb a +=+，得于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意 故选B13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知560a a +=，1224S =，则n nS 的最小值为( ) A ．-144 B ．-145C ．-146D ．-147【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d由题意可得：1129012(121)12242a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：19a =-，2d = 所以32(1)(92)102n n n nS n n n n -=-+⨯=- 令32()10f x x x =-，(0)x >2()320(320)f x x x x x '=-=-20()03f x x '>⇒>，20()003f x x '<⇒<< 所以函数32()10f x x x =-在区间20(0,)3上单调递减，在区间20(,)3+∞上单调递增 所以当203x =时，函数()f x 有最小值当7n =时，n nS 取327107147-⨯=-， 当6n =时，n nS 取326106144-⨯=-， ∴n nS 的最小值为147-， 故选：D14．已知{}n a 为等差数列，352a =，7343S =，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ） A ．19 B ．20 C ．39 D ．40【答案】B 【解析】由747343S a ==,得449a =，所以4349523d a a =-=-=-，132522(3)58a a d =-=-⨯-=，所以1(1)361n a a n d n =+-=-+．由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩得20n =.故选：B.15．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()()3332sin 22020a a -+-=，()()3201820182sin 22020a a -+-=-，则2020S =（ ）A ．0B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】D 【解析】由题意可设()3sin f x x x =+，则()f x 为递增的奇函数，所以()()()333322sin 22020f a a a -=-+-=，()()()320182018201822sin 22020f a a a -=-+-=-，由()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以32018220a a -+-=，即320184a a +=，所以()()120203201820202020202010104404022a a a a S ++===⨯=.故选：D.16．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．9 D ．4 【答案】C 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =，20172015120172015S S -=，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为（ ）A ．20171009B ．20172018C ．12017D ．12018【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，11201720152017?20162015?2014201720152212017201520172015a d a dS S ++-==-()1110081007a d a d d =+-+= ,()11,1n n a a n d n S n ∴=+-==⨯ (1)(1)12111,222(1)1n n n n n S n n n n -+⎛⎫+⨯=∴==- ⎪++⎝⎭，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017 项和为 11111111201721 (21223342017201820181009)⎡⎫⎛⎫-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，故选A. 18．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n N ++++=≠∈，*1122,,n n n n n n B B B B B B n N ++++=≠∈.（P Q P Q ≠表示点与不重合）若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．19．设等差数列满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a ，4,2k a k Z 且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列的前项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．3[,2]2ππ B ．3(,2)2ππ C ．7[,2]4ππ D ．7(,2)4ππ 【答案】D 【解析】 ∵，∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴．∵，∴，则．由()()1111224n n n n n S na d na π--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭2188n a n ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．∴首项的取值范围是，故选D ．20．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A ．18B ．9C ．27D ．81【答案】C 【解析】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27，即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．21．已知首项为3的正项数列{}n a 满足()()()()11311n n n n n n a a a a a a +++-=+-，记数列(){}22log 1n a -的前n 项和为n S ，则使得440n S >成立的n 的最小值为________. 【答案】21 【解析】依题意，22143n n a a +=-，n *∈N ，故211n a +-2431n a =--244n a =-()241n a =-， 令21n n b a =-，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 是等比数列，首项为21118b a =-=，公比为4， 所以114n n b b -=⋅2282n -=⨯212n +=，故()222log 1log n n a b -=212log 2n +=21n =+，故(321)2n n n S ++=22n n =+，令224400n n +->， 即(22)(20)0n n +->，所以20n >或22n <-（舍去），n *∈N 故所求最小值为21. 故答案为：2122．设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______． 【答案】253,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-， 18(1)4n n a a n -+=--，(3)n再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列． 若1n n a a +<，*n N ∈恒成立， 当且仅当1234a a a a <<<， 又125a S +=，所以2152a a =-， 所以3211272a a a =-=+， 41132a a =-，所以11115272132a a a a <-<+<-， 解得，11322a -<<，2121111(52)25a a a a a a =-=-+，113()22a -<<所以12(3a a ∈-，25]8． 故答案为：(3-，25]8． 23．已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥，则2a =__________；2019S =__________. 【答案】16- 12020【解析】（1）由题：()202n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，222222222211()0220,()S a S a a a a a ++=++-=-，得：231024a +=，所以216a =-；（2）由题()202n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=()211()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得：()1102n n n n S S S S n ---+=≥，11111110,1,(2)n n n n n S S S S --+-=-=≥， 1{}nS 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 11n n S =+，11n S n =+，201912020S = 故答案为：(1). 16-(2). 1202024．已知函数()43cos f x x x =+，等差数列{}n a 的公差为3π，若()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=，则5a =______.【答案】3π 【解析】()11143cos f a a a =+ ()22243cos f a a a =+ ()33343cos f a a a =+⋅⋅⋅()10101043cos f a a a =+，因为()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=， 所以56121045()3(cos cos cos )20a a a a a π⋅⋅++⋅+++=， 所以561105645()3[(cos cos )(cos cos )]a a a a a a ⋅⋅++⋅+++11011056565645()3[2coscos 2cos cos ]2222a a a a a a a aa a +-+-=⋅⋅++⋅++ 56110565645()3[2cos (cos cos )]222a a a a a aa a +--=⋅⋅++⋅++5656975345()3[2cos (cos cos cos cos cos )]222222a a d d d d da a +=⋅⋅++⋅++++5656975345()6cos (cos cos cos cos cos )266666a a a a πππππ+=⋅⋅++⋅++++565620()202a aa a π+=⋅+-=，显然56a a π+=， 所以55533a a a πππ++=⇒=.故答案为3π. 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，472S =.数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，则12000a b =________. 【答案】21 【解析】设{}n a 的公差为14414144(),2()72,()362a a d S a a a a +==+=+=， 1343131110,26221021a a a a d a a a d a +=-==∴+=+==-，，，11212222,0,,2n n n n n n n n nb b b b b b b b b ++++---=-∴≠====-，20002121b b b -===-，1200021a b = 故答案为:2126．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________. 【答案】52 【解析】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：5227．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=， 求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 28．已知数列{}n a 满足0n a >，且lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，若34674a a a a =，则5a =______.【解析】∵lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，∴212n n n a a a ++=，即{}n a 为等比数列， ∴237465a a a a a ==，从而4346754a a a a a ==则5a =0n a >，∴5a =29．等差数列{}n a 中，10a ≠，已知1001010S S =，则10010a a =______．【答案】1 【解析】等差数列{}n a 中，设首项10a ≠，公差为d ，，1001010S S =，即1110099109100101022a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即100991009022d ⨯⨯⎛⎫-=⎪⎝⎭解得：0d =，所以10100a a =，即100101a a =. 故答案为：130．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______. 【答案】215【解析】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a Ab b b b B +===+， 又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+.故答案为：21531．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且4，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n bn a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()12n n a n N +*=∈；（2）23nT n n =+.【解析】（1）由题意有24n n a S =+,当1n =时，1124a a =+，所以14a =, 当2n ≥时，24n n S a =-，1124n n S a --=-，两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，整理得12nn a a -=， 所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列, 所以数列{}n a 的通项公式()11422n n n a n N -+*=⨯=∈．（2）由22222nb n n a +==，所以22=+n b n ，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公差的等差数列, 所以()214232n n n T n n n -=+⨯=+． 32．设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 且满足1(n n S a λλ=-为常数N )n *∈.（1）若232a a =，求λ的值；（3）当2λ=时，若数列{}n b 满足1(N )n n n b a b n *+=+∈，且132b =，令(1)n n n n a c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）0λ=或2λ=；（2）不存在，理由见解析；（3）2121n n nT -=+. 【解析】（1）由1,n n S a λ=-得111a a λ=-,（即1λ≠）,1221a a a λ+=-12331a a a a λ++=-,故 2123231,,.1(1)(1)a a a λλλλλ===--- 于是由232,a a =得2234.(1)(1)λλλλ=-- 解得0λ=或2λ=；(2) 假设存在实数λ,使得数列{}n a 为等差数列,则1322,a a a +=于是由（1）可得 223232122212,1(1)(1)(1)(1)λλλλλλλλλλ-++=⇒=----- 即01=,矛盾, 所以,不存在实数λ,使得数列{}n a 为等差数列.(3) 当2λ=时，112121(2)n n n n S a S a n --=-=-≥，,且11a =, 所以1122n n n n n a S S a a --=-=-即1=2(2)n n a a n -≥, 故数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列, 即1=2(N )n n a n -*∈,因1(N )n n n b a b n *+=+∈,且132b =,故 11122123211233212221(2).22n n n n n n n n n n n n b a b a a b a a a a a b n ----------=+=++==+++++++=+++++=≥ 当1n =时,上式仍然成立.所以21(N )2n n b n *+=∈ 于是11111222112.21(1)(21)(21)2121(21)2n n n n n n n n n n n n a c a b -----⋅⎛⎫====- ⎪++++++⎝⎭+⋅ 故12211111112()()()22121212121n n n n T c c c -⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥+++++⎣⎦ 22112121n n n -=-=++. 33．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若n n nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）3n n a =．1n b n =+（2）525443n n n S +=-⋅ 【解析】解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3n n a ∴=.()212n n b n n k +=++，132k b +∴=，283k b += ，3154k b +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =， ()211n b n n ∴=+-=+；（2）由（1）知，13n n n n b n c a +==， 2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+② ①-②可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅， 525443n n n S +∴=-⋅. 34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，315S =，1413,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =+ (2)224n n T n +=+-【解析】(1)依题意，()()12111323152312a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩. 解得132a d =⎧⎨=⎩.因此()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+.(2)依题意，1222121n n n n b a +==⨯+=+.()()()2311221212n n n T b b b n +=++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++ 231222n n +=++⋅⋅⋅++ ()41212nn -=+-224n n T n +=+-.35．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且23a =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}2n a +的前n 项和，1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0.由题意得()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩. 所以21n a n =-.（2）依题意得，221n a n +=+， ()()()()()123122222n n n S a a a a a -=++++++++++ 357(21)(21)n n =++++-++ 2(213)22n n n n ++==+. 所以1231n n n T b b b b b -=+++++11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 32342(1)(2)n n n +=-++.。

高中数学《数列》专题练习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列数列通项公式求法。

（）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a的项数m 使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 (B )A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （A ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D. 8．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A. 10．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12.记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ ）CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813.在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112 ＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012. 14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ）A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a nn C. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 二、填空题17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8. 18.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 4819.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．7 20.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则24a S = .21512．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________. 答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.21.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列∴13n n a -=22.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4. 23.等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题24.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。

【详解】，解得，所以，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。

（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。