2015高考数学真题分类 考点20 递推数列及数列的应用

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）B2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ． （Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）满足=iB．2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．=﹣（﹣＜＜6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则，××（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+）的部分图象，可得函数的周期为（﹣可得+=，）≤≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为=的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）×+22r+12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[＜﹣时，，＞﹣时，﹣，，解得二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）．）15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．，则，解得，即=3的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x x xx+m=+AD=x+mx+m=，x+m x=+x的取值范围是（﹣+﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣（﹣+﹣）（﹣．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=，且BE=，故，，EF=，），=，）=，﹣，，＞=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．w=，建立y=c+dw=的线性回归方程，由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68）﹣+20.12=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由），利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为：，化为==．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，，即可得出零点的个数；，解得．时，﹣=a+＜﹣=a+=，∴当）在内单调递减，在x==，即，则，即，=a+a时，或时，或选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=2=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．，或求得＜，a|=，，[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。

2015年高考数学专题之数列考点①：等差数列（定义、等差中项、通项公式、前n 项和公式及其性质应用）1.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += ．2.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．3.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 ．4.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115.（15北京理科）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->6.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．考点②：等比数列 （定义、等比中项、通项公式、前n 项和公式、简单性质及与等差数列综合应用）1.（15年广东文科）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ．2.（15年新课标2文科）已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．183.（15年新课标2理科）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ）A ．21B ．42C ．63D ．844.（15北京文科）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？5.（15年湖南理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .6. （15年浙江理科）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>7.（15年福建理科）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数 列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9考点③：求通项公式（直接代公式、已知n S 求n a 、由递推公式推导通项公式、特殊方法） 1. （15年广东文科） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．考点④：求前n 项和（分项求和法、裂项相消法、错位相减法）1.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为2.（15年安徽文科）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

数列求和及其综合应用1．(2014·全国新课标Ⅱ高考)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12 D.n n －12【解析】 因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝n (n ＋1)．故选A.【答案】 A2．(2013·全国新课标Ⅰ高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解． ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m a 1＋a m 2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C3．(2013·某某高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n ≥6.【答案】 6 4．(2014·全国大纲高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝113－3n 10－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n1010－3n.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．数列求和①该考向主要涉及数列的通项与求和．数列的通项与求和是历年高考考查的重点内容之一，试题一般设置两个问题，其中第一问考查数列的基础，确定条件数列，为第二问准备条件，属于保分题；第二问的区分度较大，一般与数列的求和有关，方法较灵活，主要是错位相减、裂项相消等方法．与不等式、函数等知识交汇是命题的重点方向，要注意这方面的训练．②试题多以解答题的形式出现，属于中、高档题目． 2．数列的综合应用(1)数列的综合应用主要体现如下两点：①以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质；②数列与解析几何交汇的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题．(2)试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现.数列求和【例1】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和．【解】 (1)解方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2) 设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.【例2】 (2014·某某高考)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令＝a n b n，求数列{}的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即＋1－＝2. 所以数列{}是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.【规律感悟】 数列求和的常见类型及方法：(1)通项公式形如a n ＝kn ＋b 或a n ＝p ·q kn ＋b(其中k ，b ，p ，q 为常数)，用公式法求和． (2)通项公式形如a n ＝(k 1n ＋b 1)qk 2n ＋b 2(其中k 1，b 1，k 2，b 2，q 为常数)，用错位相减法． (3)通项公式形如a n ＝can ＋b 1an ＋b 2(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负交叉项的求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的，则可用分组法(拆项法)求和． 特别提醒：(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件．(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．[创新预测]1．(2014·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝错误!(或T n ＝2n ＋1＋－1n －12n ＋1)数列的综合应用【例3】 (2014·某某高考)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . 【解】 (1)由已知，b 1＝2a 1，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×7a 7＝aa 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 【规律感悟】 1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的X 围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．2．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，结合图形，得出关于数列相邻项a n 与a n ＋1之间的关系．根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．[创新预测]2．(2014·某某第一次质量检测)已知函数f (x )＝x ＋1x(x >0)，以点(n ，f (n ))为切点作函数图象的切线l n (n ∈N *)，直线x ＝n ＋1与函数y ＝f (x )图象及切线l n 分别相交于A n ，B n ，记a n ＝|A n B n |.(1)求切线l n 的方程及数列{a n }的通项；(2)设数列{na n }的前n 项和为S n ，求证：S n <1.【解】 (1)对f (x )＝x ＋1x (x >0)求导，得f ′(x )＝1－1x 2，则切线l n 的方程为：y －(n ＋1n)＝(1－1n 2)(x －n )，即y ＝(1－1n2)x ＋2n.易知A n (n ＋1，n ＋1＋1n ＋1)，B n (n ＋1，n ＋1＋n －1n 2)， 由a n ＝|A n B n |知a n ＝|1n ＋1－n －1n 2|＝1n 2n ＋1.(2)∵na n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴S n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点(1)裂项相消求和时易忽视常数：裂项过程中容易忽视常数，如1n n ＋2容易分裂为1n －1n ＋2，漏掉前面的系数12.(2)错位相减法求和易忽视项及符号： ①作差时，最后一项符号易错；②求和时，成等比数列的部分的项数易错； ③两边同除以(1－q )时，右边符号易错． 答题指导正确掌握数列求和的各种方法及使用条件，在分析通项的基础上，判断求和的类型，寻找求和的方法．等差数列、等比数列的定义、公式等要应用准确．方法规律1．裂项求和的常见技巧(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1. (2)1n ＋n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k (3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1(4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋12．数列中不等式的放缩技巧(1)1K 2<1K 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1K －1－1K ＋1(2)1K －1K ＋1<1K 2<1K －1－1K. (3)2(n ＋1－n )<1n<2(n －n －1).数列证明问题中的运算1．在数学证明中，证明过程往往是以计算为主的，即通过计算的结果达到证明的目的，这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位．典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明．2．数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等，在数列的证明问题中计算是完成证明的关键，运算求解能力是数列证明的核心．【典例】 (2013·某某高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 【解】 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，则b n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋22.T n＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －12－1n －12＋1n2－1n ＋22＝116×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋12－1n ＋22<116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.【规律感悟】 本题第二问裂项的依据是(n ＋2)2－n 2＝4(n ＋1)，能快速找到这个方法，需要考生熟练掌握数学运算．在数列前n 项和的不等式证明中有两个基本思路：一是先求和再放缩，其前提是数列求和能够完成；二是有的数列的前n 项和很难求，甚至无法求，这时需要先对通项进行放缩(放缩后便于求和)，再求和，再放缩，达到证明的目的.建议用时 实际用时错题档案45分钟一、选择题1．(预测题)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100【解析】 利用裂项相消法求和．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 【答案】 A2．(2014·某某日照一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18 n >3 D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6nn >3【解析】 由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0， ∴T n ＝错误! 【答案】 C3．(预测题)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 015项的和等于( )A.3 0232B ．3 023C ．1 512D ．3 024【解析】 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *，故数列的前2 015项的和等于S 2 015＝1 007×(1＋12)＋1＝3 0212＋1＝3 0232.【答案】 A 4．(2014·某某大学附中4月模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 1 008>0，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 014)＋f (a 2 015)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负【解析】 ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2 015＝a 2＋a 2 014＝…＝2a 1 008>0， 得a 1>－a 2 015，a 2>－a 2 014，…，又f (x )是定义在R 上的单调增函数， 且f (－x )＝－f (x )，∴f (a 1)>－f (a 2 015)，即f (a 1)＋f (a 2 015)>0， 同理，f (a 2)＋f (a 2 014)>0，…，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 014)＋f (a 2 015)的值恒为正数，故选A. 【答案】 A5．(2014·某某第一次质量预测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1n ＋n n ＋1(n∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 014中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45【解析】 a n ＝1n ＋1n ＋n n ＋1＝n ＋1n －n n ＋1[n ＋1n ＋n n ＋1][n ＋1n －n n ＋1]＝1n －1n ＋1，∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1，要使S n 是有理项，只需n ＋1是有理数(n＝1,2，…，2 014)，因此共有43项．【答案】 B 二、填空题6．(2014·某某某某质检)已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ，a 3＝8，则数列{log 2a n }的前n 项和等于________．【解析】 ∵a n ＋1a n＝2，a 3＝8，∴a 2＝4，a 1＝2，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n，∴log 2a n ＝n ，∴数列{log 2a n }的前n 项和等于n n ＋12.【答案】n n ＋127．(2014·某某某某综合测试)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.【解析】 a 1＝1，a 2＝－11＋1＝1－2，a 3＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1－2＋1＝1，…，数列{a n }是周期为3的周期数列，∴S 2 014＝S 2 013＋a 2 014＝671×(－12－2＋1)＋1＝－2 0112.【答案】 －2 01128．(2014·东北三校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n .若对于任意正整数n ，不等式S 2n －S n >m16恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为________．【解析】 由题知S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋…＋a 2n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，令f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，n ∈N *，f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3，又f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝3n ＋42n ＋22n ＋3n ＋2>0，∴函数f (n )单调递增，f (n )min ＝f (1)＝13，依题意m 16<13，得m <163.故m 所能取得的最大整数是5.【答案】 5 三、解答题9．(2014·全国新课标Ⅱ高考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【证明】 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.10．(2014·某某高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－n －12＋n －12＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)与(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.。

2011理科数学数列高考题1、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n na ab ，求数列{}n b 的前n 项和n S .答：本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① 1212t t t t T n n n ⋅⋅⋅=+⋅+②①×②并利用)21(,102213+≤≤=⋅=⋅+-+n i t t t t n i n i，得)2(2210+=n n T.1,2lg ≥+==∴n n T a n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用kk kk k k tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan ⋅+--+=-+=得11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以nn kk kk b S n i n i n i i n --+=--+=⋅+==∑∑∑+=+==1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((tan )1tan(232312、 若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

2015年高考数学数列专题热点复习指导(一)基础题复习导引：数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数，函数的图象是平面直角坐标系上的点集。

项an是n的函数，同数Sn也是n的函数，af(n)是复合函数，如下面的第2、3题。

等差、等比中项始终是高考(Q吧)拟题的知识点，如下面的第1、5题。

在数列问题中，从一般到特殊的思想方法，是重要的思路，如第3、5题。

1.若an是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a20040成立的最大自然n是()A、4005B、4006C、4007D、4008解：∵a2003·a2004 ∴a2003与a2004中必有一个为负。

又a1>0只有 d a2003+a2004=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a4006>0 ∴S4006=-(a1+a4006)>0S4007=-(a1+a4007)=-·2a2004 ∴选B注：本题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。

2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且-=-，则使得-为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5解：∵an,bn为等差数列∴可设An=(7n+45)gn,Bn=(n+3)gnan=An-An-1=14n+38,bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)-=-=k,k为正整数n=-,n为正整数，719K=8、9、10、11、13∴选D注：若{an}为等差数列，那么Sn=pn2+qn，是常数项为0，关于n的二次函数。

3.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N*。

设cn=-(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()A.55B.70C.85D.100解：某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。

c1=-=a1+(b1-1)·1c2=-=a1+(b2-1)·1c3=-=a1+(b3-1)·1c2-c1=b2-b1=1,c3-c2=b3-b2=1c1=a1+b1-1=4∴{cn}为c1=4，公差为1的等差数列∴S10=85选C注：-其中bn是项数，在数列中，项an是项数n的函数。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数32f x ax bx cx d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<02．（2015福建理）若定义在R上的函数f x满足01f，其导函数f x满足1f x k，则下列结论中一定错误的是（）A．11fk kB．111fk kC．1111fk kD．111kfk k【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x，sin cos k x x x ”是“1k ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）A.[-，1） B. [-，） C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x ，yax a ，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线yaxa 的下方.因为()(21)xg x e x ，所以当12x时，()g x ＜0，当12x 时，()g x ＞0，所以当12x时，max [()]g x =12-2e ，当0x时，(0)g =-1，(1)30g e，直线y axa 恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1ag ，且1(1)3g ea a ，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x xR 的导函数，(1)0f ，当0x 时，'()()0xf x f x ，则使得()0f x 成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)D ．(0,1)(1,)【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f xg x x，则''2()()()xf x f x g x x，因为当0x 时，'()()0xf x f x ，故当0x时，'()0g x ，所以()g x 在(0,)单调递减；又因为函数()()f x x R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)单调递减，且(1)(1)0g g ．当01x 时，()0g x ，则()0f x ；当1x 时，()0g x ，则()0f x ，综上所述，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．6.(2015陕西理)对二次函数2()f x axbx c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()yf x 上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b ；②3,2ab；③3,2ab；④0,2ab；⑤1,2ab.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx.【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数31f x axx 的图像在点1,1f 的处的切线过点2,7，则a .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y xx 在点1,1处的切线与曲线221y axa x 相切,则a= ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x可得曲线ln y xx 在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x ,与221y axa x 联立得220axax ,显然0a ,所以由2808aa a .考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1ye考点：导数的几何意义.6.(2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy （0p ），因为该抛物线过点5,2，所以2225p ，解得254p ，所以2252x y ，即2225y x ，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403，所以答案应填： 1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7.(2015陕西理)设曲线xy e 在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yx x上点p 处的切线垂直，则p的坐标为．【答案】1,1【解析】试题分析：因为xy e ，所以xye ，所以曲线xye 在点0,1处的切线的斜率011x k ye，设的坐标为00,x y （00x ），则01y x ，因为1yx，所以21yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率0221x x k yx，因为121k k ，所以2011x，即201x ，解得01x ，因为00x ，所以01x ，所以01y ，即的坐标是1,1，所以答案应填：1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x ，n ＝1212()()g x g x x x ，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为 f '(x)＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g'(x)＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令 f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x ＋a 记h(x)＝2x ln2－2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文)已知函数ln ,0,f x ax x x,其中a 为实数,f x 为f x 的导函数,若13f ,则a 的值为．【答案】3 【解析】试题分析：因为1ln f xa x ,所以13f a .考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x与直线y x 所围成的封闭图形的面积为.【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积11223111236Sx xdxxx.考点：定积分几何意义.三、解答题：1.（2015安徽文）已知函数)0,0()()(2ra r xax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400ra ，求)(x f 在),0(内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x xax b .（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x xa xb ，求函数0(sin )(sin )f x f x 在[]22,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取0a b ，求24azb满足D 1时的最大值.3.（2015北京文）设函数2ln 2xf xk x ，0k ．（Ⅰ）求f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若f x 存在零点，则f x 在区间1,e 上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；极小值(1ln )()2k k f k ；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；()f x 在x k 处取得极小值(1ln )()2k k f k .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)上的最小值为(1ln )()2k k f k .因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k ，从而ke .当k e 时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e ，所以x e 是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当ke 时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f ，()02e kf e ，所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4.（2015北京理）已知函数1ln1xf x x．（Ⅰ）求曲线y f x 在点00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xf xx；（Ⅲ）设实数k 使得33xf x k x对01x，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为 2. 试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011xf x x f x f f xx，曲线yf x 在点00f ，处的切线方程为20xy；（Ⅱ）当01x ，时，323xf xx，即不等式3()2()03x f x x，对(0,1)x 成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133xxxF x xx x xx，则422()1xF x x，当01x ，时，()0F x ，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F ，因此对(0,1)x ，3()2()3xf x x成立；（Ⅲ）使33xf x k x成立，01x ，，等价于31()ln()013xx F x k xx，01x，；422222()(1)11kxkF x k x xx ，当[0,2]k 时，()0F x ，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F ，符合题意；当2k时，令42()0,(0,1)k F x x k，x 0(0,)x 0x 0(,1)x ()F x -+()F x 极小值()(0)F x F ，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x．(Ⅰ)求函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x 时，1f xx ；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在1x ，当0(1,)xx 时，恒有1f xk x ．【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．【解析】(Ⅰ)求导函数21xx f xx，解不等式'()0f x 并与定义域求交集，得函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F 1x f x x ，1,x ．欲证明1f x x ，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k 时，不存在01x 满足题意；当1k时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意；当1k 时，构造函数G1x f x k x ，0,x，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在1x ，当0(1,)xx 时()0G x 即可．试题解析：（I ）2111xx f xx xx ，0,x．由0f x 得2010x xx 解得1502x．故f x的单调递增区间是150,2．（II ）令F 1x f xx ，0,x ．则有21F x xx．当1,x 时，F 0x，所以F x 在1,上单调递减，故当1x 时，F F 10x，即当1x 时，1f x x ．（III ）由（II ）知，当1k时，不存在01x 满足题意．当1k 时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意．当1k时，令G 1xf x k x ，0,x，则有2111G 1xk x xx kxx．由G0x 得，2110xk x ．解得2111402kk x ，2211412k k x ．当21,xx 时，G 0x ，故G x 在21,x 内单调递增．从而当21,xx 时，G G 10x，即1f xk x ，综上，k 的取值范围是,1．考点：导数的综合应用．6.（2015福建理）已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R(Ⅰ)证明：当0x x x 时，f()；(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),xx 任意，恒有f()()x g x ；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x，t 恒有2|f()()|x g x x ．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)=1k ．【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x即()0G x ，求导得1()1+G x kx(1k)1+kx x，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k时，存在00x ，使得()0G x 即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k 时，对于(0,),x+()f()g x x x ，故()f()g x x ，则不等式2|f()()|x g x x 变形为2k ln(1)x x x ，构造函数2M()k ln(1),[0)x xx x x ，+，只需说明()0M x ，易发现函数()M x 在22(k 2)8(k 1)0)4k x （，递增，而(0)0M ，故不存在；当1k 时，由(Ⅱ)知，存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ，此时不等式变形为2ln(1)k x xx ，构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x，+，易发现函数()N x 在2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，递增，而(0)0N ，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x xx x x则有1()11+1+x F x xx当(0,),x ()0F x ,所以()F x 在(0,)上单调递减；故当0x 时，()(0)0,F x F 即当0x时，x x f()．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x则有1(1k)()1+1+kx G x kx x当0kG ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增, G()(0)0x G 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k 时，令()0,x G 得11=10k x kk．取01=1x k，对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G ,即f()()x g x .综上，当1k 时，总存在00x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．(3)当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x xx x x，+，则有21-2+(k-2)1M ()k2=,11x x k x x xx故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x xx故当2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，时，N ()0x ,M()x 在2(2)(k 2)8(1k)[0)4k ，上单调递增，故N()(0)0x N ,即2f()()x g x x ,记0x 与2(2)(k 2)8(1k)4k 中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|xx x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2H()ln(1),[0)x x x x x，+，则有21-2H ()12=,11xxx x xx当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）上单调递减，故H()(0)0x H ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x xxx ，令2(k 1),01x x xk 解得，从而得到当1k 时，(0,1)xk 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k时，取11k+1=12k kk ，从而由（2）知存在00x ,使得0(0),xx 任意，恒有1f()()x k xkx g x .此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k xx ,令21k 1k ,022x x x解得，此时2f()()x g x x ,记0x 与1-k2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()ln(1),[0)x x x x x ，+，则有212M ()12,11xxx xxx当0x 时，M ()0x ,所以M()x 在[0+，）上单调递减，故M()M(0)0x ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a ，函数a ex x f x)1()(2。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．(5分）(2015•江苏）已知集合A=｛1,2,3},B={2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A=｛1,2，3｝，B=｛2，4，5}，则A∪B={1,2，3，4,5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分)（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答:解:数据4,6，5，8,7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评:本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．(5分）（2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解:复数z满足z2=3+4i，可得｜z||z｜=|3+4i｜==5，∴|z｜=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．(5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答:解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8,退出循环，输出S的值为7．故答案为:7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．(5分）（2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．(5分）（2015•江苏)已知向量=（2，1),=（1，﹣2），若m+n=(9，﹣8）（m，n∈R)，则m ﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算,求解即可．解答：解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8)可得,解得m=2,n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为(﹣1，2）．考点: 指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1,2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．(5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=,则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=,解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分)(2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得:．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1)2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力,比较基础．11．（5分）(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析:数列{a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和"可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解:∵数列｛a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为:．点评:本题考查了数列的“累加求和"方法、“裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）(2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为:．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．(5分）(2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|,g(x）=，则方程｜f(x）+g(x)｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;函数的性质及应用．分析:：由｜f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解:由|f（x)+g（x）｜=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x)=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x ）与φ（x)=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程｜f （x ）+g(x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程｜f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）(2015•江苏）设向量=(cos，sin+cos）（k=0,1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点:数列的求和． 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答解:=+:=++++=++ =++，∴（a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点: 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题: 解三角形． 分析：(1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答:解：（1)由余弦定理可得:BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===,∵AB ＜BC ，∴C 为锐角, 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．(14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题: 证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）(2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l,如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的距离分别为20千米和2。

2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•原题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•原题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•原题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•原题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•原题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•原题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•原题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•原题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•原题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•原题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•原题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•原题）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）（2015•原题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•原题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•原题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•原题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•原题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•原题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•原题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•原题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年高考数学试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（原题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由析：已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。