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十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分一、选择题（共26小题；共130分）1. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A. (x−1)2+(y−1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=22. 双曲线x24−y29=1的渐近线方程是( )A. y=±32x B. y=±23x C. y=±94x D. y=±49x3. 若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±2xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±√22x4. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于√2的充分必要条件是( )A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>25. 圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√26. 在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )A. B.C. D.7. 若点P到直线x=−1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是( )A. 圆B. 两条平行直线C. 抛物线D. 双曲线9. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 310. 椭圆 {x =4+5cosφy =3sinφ（φ 为参数）的焦点坐标为 ( )A. (0,0)，(0,−8)B. (0,0)，(−8,0)C. (0,0)，(0,8)D. (0,0)，(8,0)11. " m =12 "是"直线 (m +2)x +3my +1=0 与直线 (m −2)x +(m +2)y −3=0 相互垂直"的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件12. 从原点向圆 x 2+y 2−12y +27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π13. 椭圆短轴长是 2，长轴长是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是 ( )A. 85√5 B. 45√5 C. 83√3 D. 43√314. 已知 F 1 、 F 2 是椭圆x 216+y 29=1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于点 A 、 B ，若 ∣AB ∣=5，则∣AF 1∣+∣BF 1∣= ( ) A. 11B. 10C. 9D. 1615. 如图，直线 l:x −2y +2=0 过椭圆的左焦点 F 1 和一个顶点 B ，该椭圆的离心率为 ( )A. 15B. 25C. √55D.2√5516. 在抛物线 y 2=2px 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 417. 椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦点为 F 1，F 2，两条准线与 x 轴的交点分别为 M ，N ，若 ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣，则该椭圆离心率的取值范围是 ( )A. (0,12]B. (0,√22] C. [12,1)D. [√22,1) 18. "双曲线的方程为x 29−y 216=1 "是"双曲线的准线方程为 x =±95"的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( )4816√220. 已知点A(0,2),B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 121. 已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为( )A. 7B. 6C. 5D. 422. 某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )A. 5B. 7C. 9D. 1123. 过直线y=x上的一点作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘24. 已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为∣a∣，∣b∣，∣c∣的三角形( )A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C. 是钝角三角形D. 不存在25. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线26. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为" A点"，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都是" A点"B. 直线l上仅有有限个点是" A点"D. 直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A点"二、填空题（共29小题；共145分）27. 若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=；准线方程为．28. 直线y=x被圆x2+(y−2)2=4截得的弦长为．29. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于．30. 直线x−√3y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是．31. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5,0)，则a=；b=．32. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=．33. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．34. 设双曲线C的两个焦点为(−√2,0)，(√2,0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为．35. 设双曲线C经过点(2,2)，且与y24−x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．36. 在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60∘，则△OAF的面积为．37. 若点P(m，3)到直线4x−3y+1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则m=．38. 已知(2,0)是双曲线x2−y2b2=1（b>0）的一个焦点，则b=．39. 已知双曲线x2a2−y2=1（a>0）的一条渐近线为√3x+y=0，则a=．40. 如图，F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为√3的正三角形，则b2的值是．41. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b=．42. 圆 x 2+(y +1)2=1 的圆心坐标是 ，如果直线 x +y +a =0 与该圆有公共点，那么实数 a 的取值范围是 ． 43. 以双曲线 x 216−y 29=1 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 ．44. 若直线 mx +ny −3=0 与圆 x 2+y 2=3 没有公共点，则 m ，n 满足的关系式为 ；以(m,n ) 为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1 的公共点有 个．45. 曲线 C ：{x =cosθ,y =−1+sinθ（θ 为参数）的普通方程是 ，如果曲线 C 与直线 x +y +a =0有公共点，那么实数 a 的取值范围是 ．46. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1,2,3． （1）记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 ．（2）记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 1，p 2，p 3 中最大的是 ．47. 若双曲线 x 2−y 2m =1 的离心率为 √3，则实数 m = ．48. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ．49. 已知 x ≥0，y ≥0，且 x +y =1，则 x 2+y 2 的取值范围是 ．50. 椭圆 x 29+y 22=1 的焦点为 F 1,F 2，点 P 在椭圆上，若 ∣PF 1∣=4，则 ∣PF 2∣= ；∠F 1PF 2的大小为 ．51. 在极坐标系中，直线 ρcosθ−√3ρsinθ−1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A ，B 两点，则∣AB∣= ．52. 椭圆 x 2+4y 2=4 长轴上一个顶点为 A ，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．53. 曲线 C 是平面内与两个定点 F 1(−1,0) 和 F 2(1,0) 的距离的积等于常数 a 2(a >1) 的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点； ②曲线 C 关于坐标原点对称；③若点 P 在曲线 C 上，则 △F 1PF 2 的面积不大于 12a 2．其中，所有正确结论的序号是．54. 设A(0,0)，B(4,0)，C(t+4,3)，D(t,3)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=；N(t)的所有可能取值为．55. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动．三、解答题（共28小题；共364分）56. 已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1)．过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．57. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程．（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．58. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．59. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：∣AN∣⋅∣BM∣为定值．60. 已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l．（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC=90∘，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．61. 设A(−c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．62. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2,0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(−3,2)．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．63. 已知点A(2,8)、B(x1,y1)、C(x2,y2)均在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程．64. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，右准线方程为x=√33．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+ y2=5上，求m的值．65. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值．66. 已知椭圆C:x2+3y2=3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．67. 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为√32．（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．68. 已知椭圆C:x2+2y2=4．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．69. 已知椭圆G:x24+y2=1．过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将∣AB∣表示为m的函数，并求∣AB∣的最大值．70. 已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R)．（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A,G,N三点共线．71. 如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．72. 已知椭圆：C:x2a2+y2b2=1过点A(2,0)，B(0,1)两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．73. 已知椭圆G:x24+y2=1，过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将∣AB∣表示为m的函数，并求∣AB∣的最大值．74. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√22，点P(0,1)和点A(m,n)（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．75. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(−√2,0)，(√2,0)，离心率是√63，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．76. 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．77. 如图，设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．78. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x−3y−6=0，点T(−1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）若动圆P过点N(−2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．79. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(−1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−13．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．80. 已知抛物线y2=2px(p>0)．过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B．（1）若∣AB∣≤2p,求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积．81. 如图，A1，A2为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（1）写出椭圆的方程及准线方程；（2）过线段OA2上异于O，A2的任一点K作OA2的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲线x225−y29=1上．82. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，右准线方程为x=√33．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．83. 已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切，点C在l上．（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为−√3的直线与曲线M相交于A，B两点．（i）问：△ABC能否为正三角形?若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．答案第一部分 1. D2. A3. B【解析】由离心率为 √3，可知 c =√3a ，所以 b =√2a ．所以渐近线方程为 y =±ba x =±√2x ． 4. C【解析】【解析】 ∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1． 【答案】 C 5. C【解析】由于圆 (x +1)2+y 2=2 的圆心为 (−1,0)，则圆心 (−1,0) 到直线 x −y +3=0 的距离为√2=√2．6. D 【解析】方程 a 2x 2+b 2y 2=1 可化为x 21a 2+y 21b 2=1，因为 a >b >0，所以方程 a 2x 2+b 2y 2=1 表示焦点在 y 轴的椭圆；方程 ax +by 2=0 可化为 y 2=−ab x ，表示焦点在 x 轴负半轴的抛物线． 7. D 【解析】若点 P 到直线 x =−1 的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1，则点 P 到直线 x =−2 的距离等于它到点 (2,0) 的距离．8. B【解析】设点 P 、 Q 坐标分别为 P (1,t )，Q (x,y )，由 OP ⊥OQ ，得 x +ty =0. ⋯⋯①由 ∣OP ∣=∣OQ ∣，得 x 2+y 2=t 2+1. ⋯⋯② 由 ①② 消去 t ，得 (x 2+y 2)(1−1y 2)=0．因为 x 2+y 2≠0，所以 1−1y 2=0，即 y =±1．因此，动点 Q 的轨迹方程为 y =±1，它表示两条平行线． 9. C【解析】渐近线方程为 y =±axb ，由题得 −ab ⋅ab =−1，得 a 2=b 2，则 e =√b 2+a 2b 2=√2．10. D【解析】提示：因为椭圆的直角坐标方程为 (x−4)225+y 29=1，相当于椭圆x 225+y 29=1 的焦点 (−4,0) 、(4,0) 向右平移 4 个单位．11. B 12. B 13. D 14. A 【解析】由椭圆定义，可得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣+∣BF 1∣+∣BF 2∣=4a ，∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣+∣AB ∣=16，∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣=11． 15. D【解析】提示：显然 c =2，b =1．16. C 17. D 【解析】∵ ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣，∴ 2a 2c≤4c ．18. A 19. C 【解析】由题意可知，l 的方程为 y =1．如图，B 点坐标为 (2,1)，所以所求面积S=4−2∫02x 24dx=4−2(x312)∣ 02=83．20. A【解析】根据题意，S△ABC=12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2,解得ℎ=√2，即点C到直线AB的距离为√2．问题转化为与直线AB距离为√2的直线与抛物线交点的个数．由两平行线间的距离公式，得与直线AB距离为√2的直线方程为y=−x或y=−x+4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有2个交点，因此，共有4个不同的C点满足条件．21. B 【解析】如图，当以AB为直径的圆和圆C内切时，m取最大值．22. C 【解析】各点都和原点分别连接，看哪个点连出的斜率最大即可．23. C 24. B 25. D【解析】因为P到直线C1D1的距离就是P到点C1的距离，所以点P到直线BC与到点C1的距离相等，故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线．26. A 【解析】设P(a,a−1)，A(x0,x02)，则由∣PA∣=∣AB∣且三点共线可得B点的坐标为(2x0−a,2x02−a+1)，由B点在抛物线上知：2x02−a+1=(2x0−a)2=4x02−4ax0+a2，整理得：2x02−4ax0+a2+a−1=0．从而知x0为方程2x2−4ax+a2+a−1=0的解，当此方程有解时，对应的点P(a,a−1)为" A点"．而此方程的判别式Δ=16a2−8(a2+a−1)=8(a2−a+1)>0恒成立．所以直线l上的所有点都是" A点"．第二部分27. 2，x=−128. 2√229. 430. 30∘31. a=1，b=2【解析】y=±2x，所以ba =21，c2=5，所以a=1；b=2．32. 2【解析】因为两条渐近线是正方形OABC的相邻两边，所以夹角为90∘，可知渐近线的斜率为±1．所以±ba=±1，a=b．因为B为该双曲线的焦点，所以c=2√2，由a2+b2=c2=8，a=b可得a=2．33. (±4,0)，y=±√3x34. x2−y2=135. x23−y212=1，y=±2x36. √3【解析】如图，过点A作准线的垂线段AM，设AF=t，则AM=t，FN=12t，因为AM=PN=PF+FN，所以t=2+12t，所以AF=t=4，所以AN=2√3，所以S△OAF=12OF⋅AN=√3．37. −338. √339. √3340. 2√3【解析】提示：正三角形面积为√3，故边长为2，从而c=2，P(1,√3)，F1(−2,0)．从而2a=∣PF1∣+∣PF2∣=2√3+2，故b2=(√3+1)2−4=2√3．41. 2【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为y=±bx，得b=2．42. (0,−1)，1−√2≤a≤1+√243. y2=−36(x−4)44. 0<m2+n2<3，2【解析】由直线mx+ny−3=0与圆x2+y2=3没有公共点，得0<m2+n2<3；由0<m2+n2<3，得P点在以原点为圆心、√3为半径的圆面内运动（不含原点和圆周），无论如何运动，它总是在椭圆的内部，因此过点P的直线与椭圆x 27+y23=1一定有两个公共点．45. x2+(y+1)2=1，[1−√2,1+√2]46. Q1，p2【解析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2．47. 248. 649. [12,1]50. 2;120∘【解析】因为a=3，b=√2，c=√a2−b2=√7，所以∣PF2∣=2a−∣PF1∣=2，由余弦定理，有cos∠F1PF2=∣PF1∣2+∣∣PF2∣2−∣∣F1F2∣22∣∣PF1∣∣PF2∣=42+22−(2√7)22×4×2=−12，又0∘<∠F1PF2<180∘，因此∠F1PF2=120∘．51. 2【解析】x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以ρcosθ−√3ρsinθ−1=0可以变形为x−√3y−1=0，ρ=2cosθ可以变形为(x−1)2+y2=1．因为直线x−√3y−1=0经过(1,0)点，圆(x−1)2+y2=1的圆心也是(1,0)，所以交线AB为直径．又因为r=1，2r=2，所以∣AB∣=2．52. 1625【解析】原方程可化为x 24+y2=1，则a2=4，b2=1，从而a=2，b=1，c=√3．设等腰直角三角形另外两个顶点为(x,y)(y>0)，(x,−y)(y>0)，由等腰三角形性质可得2−x=y，代入椭圆方程解得y=45，因此该三角形的面积是S=1625．53. ②③【解析】对于①，若C过原点，则∣OF1∣∣OF2∣=a2，但a2>1，∣OF1∣∣OF2∣=1，矛盾，故①错误；对于②，对于C上任一点P，其关于原点的对称点设为Q，由于F1和F2也关于原点对称，故∣QF2∣=∣PF1∣，∣QF1∣=∣PF2∣，于是∣QF1∣⋅∣QF2∣=∣PF1∣⋅∣PF2∣=a2，故Q点也在C上，②正确．对于③，直接使用三角形面积公式有：SΔPF1F2=12∣PF1∣⋅∣PF2∣sin∠F1PF2≤a22，③正确．54. 6，6,7,8【解析】当t=0时，作图易知共有6个整点，即N(0)=6；如图分别确定直线AD，BC的方程，然后确定直线y=1，y=2与其交点的坐标依次为E(t3,1),G(t3+4,1),F(2t3,2),H(2t3+4,2),故当 t 3∈Z 时，则 2t3∈Z ，在线段 GE 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个，在线段 FH 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个，此时整点的个数共有 6 个；当 t3∉Z ，2t3∈Z 时，线段 GE 上满足条件的整点有 4 个，FH 上共有 3 个，故整点总数为 7 个； 当 t3∉Z ，2t3∉Z 时，线段 EG ，FH 上各有 4 个整点在平行四边形内部，故此时整点个数共有 8 个，综上可知 N (t ) 的所有取值为 6，7，8．55. 4，π+1【解析】当 0≤x ≤1 时，(x −1)2+y 2=1；当 1<x ≤3 时，(x −2)2+y 2=2；当 3<x ≤4 时，(x −3)2+y 2=1．故其在一个周期内的函数 y =f (x ) 的图象如图所示，所以 y =f (x ) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为S =14×π×1×2+14×π×(√2)2+12×1×1×2=π+1.第三部分56. （1） 因为 y 2=2px 过点 P (1,1)， 所以 1=2p ， 解得 p =12，所以抛物线方程为 y 2=x ，所以焦点坐标为 (14,0)，准线为 x =−14．（2） 设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 所以直线 OP 为 y =x ，直线 ON 为：y =y2x 2x ，由题意知 A (x 1,x 1)，B (x 1,x 1y 2x 2)，由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0，所以 x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1，所以 A 为线段 BM 的中点．57. （1） 由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px ． 因为点 P (1,2) 在抛物线上， 所以 22=2p ⋅1，得 p =2．故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =−1．（2） 设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB ，因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA =−k PB .由 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 在抛物线上，得{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②所以y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1,所以 y 1+2=−(y 2+2)，所以 y 1+y 2=−4． 由① − ②得直线 AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2).58. （1） 由题意得{a =2,c a =√22,a 2=b 2+c 2,解得b =√2.所以，椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1.（2） 由{y =k (x −1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0.设点 M ，N 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则y 1=k (x 1−1),y 2=k (x 2−1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2.所以∣MN ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.又因为点 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离d =√1+k 2,所以 △AMN 的面积为S =12∣MN ∣⋅d =∣k ∣√4+6k 21+2k 2.由 ∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103，解得 k =±1.59. （1） 由题意，得 ca =√32，12ab =1．又因为 a 2=b 2+c 2，解得 a =2，b =1，c =√3．故方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意得 P 不在顶点处，设 P (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)，x 024+y 02=1，即 x 02+4y 02=4．又因为 A (2,0)，B (0,1)，则直线 PA:y =y 0x0−2(x −2)，令 x =0，得 M (0,−2y 0x 0−2)．直线 PB:y =y 0−1x 0x +1，令 y =0，得 N (−x 0y 0−1,0)．∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2y 0−1∣∣∣，∣BM∣=∣∣∣1+2y 0x 0−2∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2x 0−2∣∣∣， ∣AN∣⋅∣BM∣=∣∣∣∣4y 0+x 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣∣=∣∣∣4+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=4.60. （1） 因为 AB ∥l ，且 AB 边通过点 (0,0)，所以 AB 所在直线的方程为y =x.设 A ，B 两点坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)．由{x 2+3y 2=4,y =x,得x =±1.所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=2√2. 又因为 AB 边上的高 ℎ 等于原点到直线 l 的距离． 所以 ℎ=√2，所以S △ABC =12∣AB∣⋅ℎ=2.（2） 设 AB 所在直线的方程为 y =x +m ，由{x 2+3y 2=4,y =x +m,得4x 2+6mx +3m 2−4=0.因为 A ，B 在椭圆上，所以Δ=−12m 2+64>0.设 A ，B 两点坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−3m2,x 1x 2=3m 2−44,所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=√32−6m 22. 又因为 BC 的长等于点 (0,m ) 到直线 l 的距离，即∣BC∣=−m∣√2.所以∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2=−m 2−2m +10=−(m +1)2+11.所以当 m =−1 时，AC 边最长（这时 Δ=−12+64>0），此时 AB 所在直线的方程为y =x −1.61. 设动点 P 的坐标为 (x,y ) ． 由 ∣PA∣∣PB∣=a (a >0) ，得 √(x+c )2+y 2√(x−c )2+y 2=a ．化简得(1−a 2)x 2+2c (1+a 2)x +c 2(1−a 2)+(1−a 2)y 2=0．当 a ≠1 时，得x 2+2c (1+a 2)1−a2x +c 2+y 2=0， 整理得(x −1+a 2a 2−1c)2+y 2=(2ac a 2−1)2．当 a =1 时，化简得 x =0 ． 所以当 a ≠1 时， P 点的轨迹是以 (a 2+1a 2−1c,0) 为圆心， ∣∣2ac a 2−1∣∣为半径的圆；当 a =1 时， P 点的轨迹为 y 轴． 62. （1） 由已知得 c =2√2，ca =√63．解得 a =2√3．又 b 2=a 2−c 2=4．所以椭圆 G 的方程为x 212+y 24=1．（2） 设直线 l 的方程为 y =x +m ．由{y =x +m,x 212+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2−12=0. ⋯⋯①设 A,B 的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为 E (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=−3m 4,y 0=x 0+m =m4.因为 AB 是等腰 △PAB 的底边，所以 PE ⊥AB ． 所以 PE 的斜率k =2−m 4−3+3m 4=−1.解得 m =2．此时方程 ① 为 4x 2+12x =0．解得x 1=−3,x 2=0.所以y 1=−1,y 2=2.所以 ∣AB ∣=3√2．此时，点 P (−3,2) 到直线 AB:x −y +2=0 的距离d =√2=3√22, 所以 △PAB 的面积 S =12∣AB ∣⋅d =92．63. （1） 因为点 A (2,8) 在抛物线 y 2=2px 上，所以82=2p ⋅2,解得p =16.所以抛物线方程为 y 2=32x ，焦点 F 的坐标为 (8,0)．（2） 如图，由 F (8,0) 是 △ABC 的重心，M (x 0,y 0) 是 BC 的中点，所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(6,−8)=2(x 0−8,y 0),解得x 0=11,y 0=−4.所以点 M 的坐标为 (11,−4)．（3） 由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，则 BC 所在的直线不垂直于 x 轴． 设直线 BC 的方程为y +4=k (x −11)(k ≠0),由{y +4=k (x −11),y 2=32x,消去 x 得ky 2−32y −32(11k +4)=0,所以y 1+y 2=32k,由（2）的结论得y 1+y 22=−4, 解得k =−4.因此，BC 的方程为 4x +y −40=0． 64. （1） 由题意得{a 2c =√33,ca=√3. 解得 a =1，c =√3． 所以 b 2=c 2−a 2=2． 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 22=1．（2） 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．由{x −y +m =0x 2−y 22=1得 x 2−2mx −m 2−2=0（判别式 Δ>0），所以x 0=x 1+x 22=m,y 0=x 0+m =2m. 因为点 M (x 0,y 0) 在圆 x 2+y 2=5 上，所以 m 2+(2m )2=5． 故 m =±1．65. （1） 依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O −xy （如图），则点 C 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标 y 满足方程x 2r 2+y 24r 2=1(y ≥0), 解得y =2√r 2−x 2(0<x <r ),所以S=12(2x +2r )⋅2√r 2−x 2=2(x +r )⋅√r 2−x 2,其定义域为 {x∣ 0<x <r }．（2） 记 f (x )=4(x +r )2(r 2−x 2)，0<x <r ，则fʹ(x )=8(x +r )2(r −2x ).令 fʹ(x )=0，得x =12r.因为当 0<x <r 2时，fʹ(x )>0；当 r2<x <r 时，fʹ(x )<0，所以 f (12r) 是 f (x ) 的最大值．因此，当 x =12r 时，S 也取得最大值，最大值为√f (12r)=3√32r 2.即梯形面积 S 的最大值为3√32r 2． 66. （1） 椭圆 C 的标准方程为 x 23+y 2=1， 所以 a =√3，b =1，c =√2． 所以椭圆 C 的离心率 e =c a=√63． （2） 因为直线 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴， 所以可设 A (1,y 1)，B (1,−y 1)，直线 AE 的方程为 y −1=(1−y 1)(x −2)． 令 x =3 得 M (3,2−y 1)． 所以直线 BM 的斜率 k BM =2−y 1+y 13−1=1．（3） 直线 BM 与直线 DE 平行．理由如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由（2）可知 k BM =1． 又因为直线 DE 的斜率 k DE =1−02−1=1，所以 BM ∥DE ． 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y =k (x −1)（k ≠1）． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则直线 AE 的方程为 y −1=y 1−1x 1−2(x −2)．令 x =3，得点 M (3,y 1+x 1−3x 1−2)．直线和椭圆方程联立得{x 23+y 2=1,y =k (x −1),消去 y 得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0,所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2−31+3k 2.直线 BM 的斜率 k BM =y 1+x 1−3x 1−2−y 23−x 2．因为k BM −1=k (x 1−1)+x 1−3−k (x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k−1)[−x 1x 2+2(x 1+x 2)−3](3−x 2)(x 1−2)=(k−1)(−3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 3−3)(3−x 2)(x 1−2)=0.所以 k BM=1=k DE ，所以 BM ∥DE ．综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．67. （1） 由椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则 a =2，e =c a=√32，则 c =√3，b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1；（2） 设 D (x 0,0)(−2<x 0<2)，M (x 0,y 0)，N (x 0,−y 0)，y 0>0，由 M ，N 在椭圆上，则 x 024+y 02=1，则 x 02=4−4y 02，则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x+2，直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0，直线DE 的方程：y =−x 0+2y 0(x −x 0)，直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x 0−2，直线 BN 的方程 y =−y 0x 0−2(x −2)，{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2), 解得：{x =4x 0+25,y =−45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则 ∣EH∣=4y 05，则 ∣EH∣∣ND∣=45，所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5． 68. （1） 由题意，椭圆 C 的标准方程为x 24+y 22=1, 所以 a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2,因此a =2,c =√2,故椭圆 C 的离心率e =c a =√22.（2） 设点 A ，B 的坐标分别为 (t,2)，(x 0,y 0)，其中 x 0≠0， 因为 OA ⊥OB ，所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0, 又 x 02+2y 02=4，所以∣AB ∣2=(x 0−t )2+(y 0−2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0−2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4−x 022+2(4−x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4), 因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4), 且当 x 02=4 时等号成立，所以 ∣AB ∣2≥8，故线段 AB 长度的最小值为 2√2．69. （1） 由已知得a =2,b =1,所以c =√a 2−b 2=√3.所以椭圆 G 的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0),离心率为e =c a =√32.（2） 由题意知，∣m ∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程为 x =1，点 A,B 的坐标分别为 (1,√32),(1,−√32)， 此时 ∣AB ∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB ∣=√3；当 ∣m ∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )． 由{y =k (x −m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A,B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得√k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)［(x 1+x 2)2−4x 1x 2］=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时，∣AB ∣=√3，所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1］∪［1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,且当 m =±√3 时，∣AB ∣=2，所以 ∣AB ∣ 的最大值为 2． 70. （1） 原曲线方程可化简得x 285−m +y 28m −2=1. 由题意可得{ 85−m >8m −2,85−m >0,8m −2>0,解得72<m <5,所以 m 的取值范围是 (72,5)．（2） 由已知直线方程代入椭圆方程化简得(2k 2+1)x 2+16kx +24=0,结合直线与椭圆交于不同两点知Δ=32(2k 2−3)>0,解得 k 2>32，设 N (x N ,kx N +4),M (x M ,kx M +4),G (x G ,1)，由韦达定理得x M +x N=−16k2k 2+1, ⋯⋯①x M x N=242k 2+1, ⋯⋯② 可知 MB 方程为y =kx M +6x Mx −2, 则 G (3x MkxM +6,1)，故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3x Mx M k +6,−1),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x N ,x N k +2).欲证 A,G,N 三点共线，只需证 AG⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即 3x Mx M k +6(x N k +2)=−x N ,成立，化简得(3k +k )x M x N =−6(x M +x N ),将 ①② 代入易知等式成立，则 A,G,N 三点共线得证．71. （1） 当 y =p 2 时，x =p 8，又抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线方程为 x =−p2．由抛物线定义得，所求距离为 p 8−(−p 2)=5p 8．（2） 设直线 PA 的斜率为 k PA ，由 y 12=2px 1，y 02=2px 0，两式相减得 (y 1−y 0)(y 1+y 0)=2p (x 1−x 0)． 故 k PA =y 1−y 0x 1−x 0=2p y 1+y 0(x 1≠x 0)．同理可得 k PB =2p y 2+y 0(x 2≠x 0)．由 PA ，PB 倾斜角互补知 k PA =−k PB ,即2py 1+y 0=−2py2+y 0，所以 y 1+y 2=−2y 0，故y 1+y 2y 0=−2．设直线 AB 的斜率为 k AB ，由 y 22=2px 2，y 12=2px 1 相减得 (y 2−y 1)(y 2+y 1)=2p (x 2−x 1)，所以 k AB =y 2−y1x 2−x 1=2py1+y 2(x 1≠x 2)．将 y 1+y 2=−2y 0(y 0>0) 代入得 k AB =2p y 1+y 2=−py 0，所以 k AB 是非零常数．72. （1） 由题知 a =2，b =1，c =√3， 所以椭圆方程为 x 24+y 2=1，离心率 e =√32．（2） 设 P (x 0,y 0) 则 k PA =y 0x 0−2，l PA :y =y 0x0−2(x −2)，令 x =0 得 y =−2y 0x 0−2，所以 M (0,−2y 0x 0−2)，k PB =y 0−1x 0， l PB :y =y 0−1x 0x +1，令 y =0 得 x =−x 0y 0−1，所以 N (−x 0y 0−1,0)，所以四边形 ABNM 的面积 S =12∣BM∣⋅∣AN∣，∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣， ∣BM∣=∣∣∣2y 0x 0−2+1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣，所以S =12∣BM∣⋅∣AN∣=12⋅∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣⋅∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣=∣∣∣(x 02+4y 02)+4x 0y 0−4x 0−8y 0+4x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣, 因为点 P 在椭圆上，所以x 024+y 02=1⇒x 02+4y 02=4，S =12⋅∣∣∣4x 0y 0−4x 0−8y 0+8x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=2， 故四边形 ABNM 的面积为定值 2．73. （1） 由已知，得 a =2，b =1，则 c =√a 2−b 2=√3． 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (−√3,0)，(√3,0)，离心率为 √32． （2） 由题意，得 ∣m ∣≥1．① 当 m =1 时，切线 l 的方程为 x =1，则 A (1,√32)，B (1,−√32)，此时 ∣AB ∣=√3．② 当 m =−1 时，同理可得 ∣AB ∣=√3．③ 当 ∣m ∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )，代入 x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2m1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得∣km ∣√k 2+1=1,化简，得m 2k 2=k 2+1.由两点间的距离公式，得∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时，∣AB ∣=√3 代入上式成立，所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1]∪[1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,所以 m =±√3 时，∣AB ∣ 的最大值为 2． 74. （1） 由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2.故椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．设 M (x M ,0)，因为 m ≠0，所以 −1<n <1． 直线 PA 的方程为 y −1=n−1mx ，所以 x M =m 1−n，即 M (m1−n,0)．（2） 因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B (m,−n )， 设 N (x N ,0)，则 x N =m1+n ．“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∠OQM =∠ONQ ”，等价于“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∣OM∣∣OQ∣=∣OQ∣∣ON∣”，即 y Q 满足 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣． 因为 x M =m 1−n，x N =m 1+n，m 22+n 2=1，所以 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣=m 21−n 2=2，所以y Q =√2 或 y Q =−√2.故在 y 轴上存在点 Q ，使得 ∠OQM =∠ONQ ，且点 Q 的坐标为 (0,√2) 或 (0,−√2)． 75. （1） 因为 ca =√63，且 c =√2，所以 a =√3，b =√a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程为 x 23+y 2=1．（2） 由题意知 P (0,t )(−1<t <1)，由 {y =t,x 23+y 2=1,得 x =±√3(1−t 2)．所以圆 P 的半径为 √3(1−t 2)．当圆 P 与 x 轴相切时，∣t ∣=√3(1−t 2)，解得 t =±√32． 所以点 P 的坐标是 (0,±√32)． （3） 由（2）知，圆 P 的方程为x 2+(y −t )2=3(1−t 2).因为点 Q (x,y ) 在圆 P 上，所以y =t ±√3(1−t 2)−x 2≤t +√3(1−t 2).设 t =cosθ，θ∈(0,π)，则t +√3(1−t 2)=cosθ+√3sinθ=2sin (θ+π6).当 θ=π3，即 t =12，且 x =0 时，y 取最大值 2．76. （1） 因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 互相垂直平分． 所以可设 A (t,12)，代入椭圆方程得t 24+14=1, 即t =±√3,所以∣AC ∣=2√3.（2） 假设四边形 OABC 为菱形．因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC ⊥OB ，所以 k ≠0． 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m,消去 y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，则Δ=(8km )2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=64k 2−16m 2+16>0,x 1+x 22=−4km1+4k 2, y 1+y 22=k ⋅x 1+x 22+m =m1+4k 2, 所以 AC 的中点为 M (−4km 1+4k2,m 1+4k 2)．因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m ≠0,k ≠0， 所以直线 OB 的斜率为 −14k．因为k ⋅(−14k)≠−1, 所以 AC 与 OB 不垂直，所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾， 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形．77. 如图，点 A,B 在抛物线 y 2=4px 上，设 A (y A24p ,y A ),B (y B 24p ,y B )，OA,OB 的斜率分别为 k OA ,k OB ．所以k OA =y A y A 24p=4p y A , k OB =4p y B . 由 OA ⊥OB ，得k OA ⋅k OB=16p 2y A y B=−1 ⋯⋯① 依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程(y A +y B )(y −y A )=4p (x −y A24p) ⋯⋯②由 OM ⊥AB ，得直线 OM 方程y =y A +y B−4px ⋯⋯③ 设点 M (x,y )，则 x,y 满足②、③两式，将②式两边同时乘 −x4p ，并利用③式整理得x 4py A 2+yy A −(x 2+y 2)=0 ⋯⋯④ 由③、④两式得−x4py A y B −(x 2+y 2)=0. 由①式知，y A y B =−16p 2, ∴ x 2+y 2−4px =0. 因为 A,B 是原点以外的两点，所以 x ≠0．所以 M 的轨迹是以 (2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 78. （1） 因为 AB 边所在直线的方程为 x −3y −6=0，且 AD 与 AB 垂直， 所以直线 AD 的斜率为 −3．又因为点 T (−1,1) 在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程为y −1=−3(x +1),即3x +y +2=0.（2） 由{x −3y −6=0,3x +y +2=0,解得点 A 的坐标为 (0,−2)．因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,0)． 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心．又 ∣AM∣=2√2，从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x −2)2+y 2=8.（3） 因为动圆 P 过点 N ，所以 ∣PN∣ 是该圆的半径．。
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x}，∴A∩B＝{x|x}，故A正确，B错误；A∪B＝{x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：x＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵B＝{x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1．若集合，，则AB =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 解：，则，故选：A ． 2．已知集合，，则AB =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】，，又，所以，故本题选C.3．已知集合，，则A B =（ ）A ．B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．【答案】B 【解析】因为，∴．4．已知全集U =R ，集合，则()U A B =ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >，可得13x <<，所以集合,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =ð(]1,2，故选B.5．已知集合，集合，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合，，则()R M N ⋂ð=（ ）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】 由题意，集合，则或3}x ≥又由，所以，故选D.7．已知集合，，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】 因为，所以，又，所以.8．已知R 是实数集，集合，，则()AB =Rð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
专题01集合1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝｛x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N ＝（）A．{x｜﹣4＜x＜3} B．{x｜﹣4＜x＜﹣2} C．{x｜﹣2＜x＜2｝D．｛x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2｝，N＝｛x|x2﹣x﹣6＜0}＝｛x｜﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝｛x｜x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（) A．｛x｜﹣1＜x＜2} B．｛x|﹣1≤x≤2｝C．{x｜x＜﹣1｝∪｛x|x＞2}D．｛x｜x≤﹣1}∪{x｜x≥2｝【解答】解：集合A＝{x｜x2﹣x﹣2＞0｝，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则:∁R A＝｛x｜﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x｜x＜1},B＝{x|3x＜1｝，则( ）A．A∩B＝{x|x＜0｝B．A∪B＝R C．A∪B＝｛x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解:∵集合A＝｛x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝｛x|x＜0｝,∴A∩B＝{x｜x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝｛x|x＜1},故B和C都错误．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x｜x2﹣4x+3＜0｝，B＝{x|2x﹣3＞0｝，则A∩B ＝（）A．（﹣3,）B．（﹣3，）C．（1，）D．（,3）【解答】解:∵集合A＝｛x|x2﹣4x+3＜0｝＝（1，3），B＝｛x｜2x﹣3＞0}＝(，+∞），∴A∩B＝（，3)，故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝｛x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x｜﹣2≤x＜2}，则A ∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．［﹣1,2) D．[﹣2，﹣1］【解答】解：由A中不等式变形得:（x﹣3)(x+1）≥0,解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝(﹣∞，﹣1]∪［3,+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝［﹣2,﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0｝,B＝{x|x｝,则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝｛x|x2﹣2x＞0｝＝{x|x＞2或x＜0｝，∴A∩B＝｛x|2＜x或x＜0},A∪B＝R，7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛（x，y）｜x∈A，y∈A,x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（)A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1,2，3,4，x＝4时，y＝1，2,3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时,y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选:D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝｛x∈R｜｜x｜≤2｝}，，则A ∩B＝（）A．（0，2) B．［0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝｛x∈R||x｜≤2，}＝{x∈R｜﹣2≤x≤2｝，故A∩B＝｛0，1,2}．应选D．本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<,则A B =（ ） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解:{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤,{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ) A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤,{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=,故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =（ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ． 4．已知全集U =R，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >, (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞,所以()U A B =(]1,2,故选B 。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。
绝密 使用完毕前2010年全国各地高考数学试题之数学(文)(北京卷)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷(选择题 共140分)一、 本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤,则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} ⑵在复平面内,复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是(A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a 的概率是 (A)45 (B)35 (C)25 (D)15⑷若a,b 是非零向量,且a b ⊥,a b ≠,则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是 (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数(C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数(5)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该集合体 的俯视图为:(6)给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④(7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1, 顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为(A)2sin 2cos 2αα-+； (B)sin 3αα+(C)3sin 1αα+ (D)2sin cos 1αα-+(8)如图,正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2, 动点E 、F 在棱11A B 上。
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M =（ ）(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}解析：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,2⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i解：点A （6,5）与B （-2,3）的中点C 的坐标为（2,4），所以答C.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ）（A ）45 (B)35 （C ）25(D)15 解：总的等可能事件有15种，其中满足b>a 的有三种（1,2），（1,3），（2,3） 所以所求事件的概率为51153=，故答D⑷若a ,b 是非零向量，a ⊥b ，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数解析：222()()()()()f x xa b xb a a b x b a x a b =+-=⋅+--⋅，如a ⊥b ，则有0a b ⋅=，如果同时有a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是一次函数，且为奇函数。
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} ⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是 （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3cos 3αα-+ （C ）3sin 3cos 1αα-+； （D ）2sin cos 1αα-+ （8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2， 动点E 、F 在棱11A B 上。
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}，则（）A．A∩B＝{|} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{|} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}＝{|}，∴A∩B＝{|}，故A正确，B错误；A∪B＝{||＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{|＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{|＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝{|﹣1＜＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{|＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{|2﹣﹣2＜0}，B＝{|﹣1＜＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{|﹣1＜＜2}，∵B＝{|﹣1＜＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{|||≤2，∈R}，B＝{|4，∈}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{|||≤2}＝{|﹣2≤≤2}B＝{|4，∈}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现， 重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<，则{}|32A B x x ⋂=-<<，故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B【解析】 因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤， {3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-．故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}x A x B x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ） A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞ 【答案】B【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3} 【答案】D【解析】 由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B【解析】 因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤，又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I .故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。
2010年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，∴P={0，1，2}，∵M={x∈Z|x2＜9}，∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩M={0，1，2}，故选B．【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．2．（5分）（2010•北京）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4a5，求得a m=a1q10，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．3．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．4．（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．5．（5分）（2010•北京）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．6．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．【解答】解：，如，则有，如果同时有，则函数f（x）恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．故答案为B．【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算．7．（5分）（2010•北京）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y=a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．【点评】这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】立体几何．【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．【解答】解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故选D．【点评】本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2010•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标．10．（5分）（2010•北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a= 1 ．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴s inB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= 0.03 ．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．12．（5分）（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE= 5 ；CE= ．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】立体几何．【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．【解答】解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C=90°，由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，故CE=．故填：5；．【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．13．（5分）（2010•北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为（4，0），（﹣4，0）；渐近线方程为y=x ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．【解答】解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x故答案为：（4，0），（﹣4，0）；y=x【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f （x），则f（x）的最小正周期为 4 ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1 ．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．（14分）（2010•北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以•=0﹣1+1=0，•=﹣1+0+1=0．所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．17．（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（Ⅱ）求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“ξ=0”是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果．（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望．【解答】解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1﹣P（ξ=0）=1﹣（II）由题意可知，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=整理得p=．∵a=P（ξ=1）===d=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=【点评】本题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题．18．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）当K=2时，由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）当k=0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．（13分）（2010•北京）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…a n，），B=（b1，b2，…b n，）∈S n，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为．证明：≤．【考点】进行简单的合情推理．【专题】压轴题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．（Ⅱ）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：h=k+l﹣2i，从而三者不可能同为奇数．（Ⅲ）首先理解P中会出现C m2个距离，所以平均距离就是距离总和再除以C m2，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位．然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来，一切就水到渠成了．此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范．【解答】解：（1）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n因a i，b i∈0，1，故|a i﹣b i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a1b1∈0，1，即A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）∈S n又a i，b i，c i∈（0，1），i=1，2，…，n当c i=0时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|a i﹣b i|；当c i=1时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）=|a i﹣b i|故（2）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n记d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h记O=（0，0，…，0）∈S n，由第一问可知：d（A，B）=d（A﹣A，B﹣A），d=（O，B﹣A）=kd（A，C）=d（A﹣A，C﹣A）=d（O，C﹣A）=ld（B，C）=d（B﹣A，C﹣A）=h即|b i﹣a i|中1的个数为k，|c i﹣a i|中1的个数为l，（i=1，2，…，n）设t是使|b i﹣a i|=|c i﹣a i|=1成立的i的个数，则有h=k+l﹣2t，由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．（3）显然P中会产生C m2个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和．分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了t i个1，那么自然有m﹣t i个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，（i=1，2，…，n），那么n个位置的总和即【点评】本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．。
2010年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，∴P={0，1，2}，∵M={x∈Z|x2＜9}，∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩M={0，1，2}，故选B．【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．2．（5分）（2010•北京）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4a5，求得a m=a1q10，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．3．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．4．（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．5．（5分）（2010•北京）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．6．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．【解答】解：，如，则有，如果同时有，则函数f（x）恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．故答案为B．【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算．7．（5分）（2010•北京）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y=a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．【点评】这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】立体几何．【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．【解答】解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故选D．【点评】本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2010•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标．10．（5分）（2010•北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=1．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．12．（5分）（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=5；CE=．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】立体几何．【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．【解答】解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C=90°，由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，故CE=．故填：5；．【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．13．（5分）（2010•北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为（4，0），（﹣4，0）；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．【解答】解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x故答案为：（4，0），（﹣4，0）；y=x【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f （x），则f（x）的最小正周期为4；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x ﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．（14分）（2010•北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以•=0﹣1+1=0，•=﹣1+0+1=0．所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．17．（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p a d（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（Ⅱ）求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“ξ=0”是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果．（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望．【解答】解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1﹣P（ξ=0）=1﹣（II）由题意可知，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=整理得p=．∵a=P（ξ=1）===d=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=【点评】本题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题．18．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）当K=2时，由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）当k=0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．（13分）（2010•北京）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…a n，），B=（b1，b2，…b n，）∈S n，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为．证明：≤．【考点】进行简单的合情推理．【专题】压轴题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．（Ⅱ）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：h=k+l﹣2i，从而三者不可能同为奇数．（Ⅲ）首先理解P中会出现C m2个距离，所以平均距离就是距离总和再除以C m2，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位．然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来，一切就水到渠成了．此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范．【解答】解：（1）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n因a i，b i∈0，1，故|a i﹣b i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a1b1∈0，1，即A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）∈S n又a i，b i，c i∈（0，1），i=1，2，…，n当c i=0时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|a i﹣b i|；当c i=1时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）=|a i﹣b i|故（2）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n记d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h记O=（0，0，…，0）∈S n，由第一问可知：d（A，B）=d（A﹣A，B﹣A），d=（O，B﹣A）=kd（A，C）=d（A﹣A，C﹣A）=d（O，C﹣A）=ld（B，C）=d（B﹣A，C﹣A）=h即|b i﹣a i|中1的个数为k，|c i﹣a i|中1的个数为l，（i=1，2，…，n）设t是使|b i﹣a i|=|c i﹣a i|=1成立的i的个数，则有h=k+l﹣2t，由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．（3）显然P中会产生C m2个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和．分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了t i个1，那么自然有m﹣t i个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，（i=1，2，…，n），那么n个位置的总和即【点评】本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．。
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα-+ （D ）2sin cos 1αα-+（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。
2010年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，∴P={0，1，2}，∵M={x∈Z|x2＜9}，∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩M={0，1，2}，故选B．【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．2．（5分）（2010•北京）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），确定中点坐标为C （2，4）得到答案．【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），则其中点的坐标为C（2，4），故其对应的复数为2+4i．故选C．【点评】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化．3．（5分）（2010•北京）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】概率与统计．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．【点评】本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．4．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，且⊥，||≠||，则函数f（x）=（x+）（x﹣）是（）A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】f（x）=x﹣x，因为||≠||，所以f（x）=（）x，所以函数f（x）是一次函数且是奇函数．【解答】解：∵⊥，∴•=0∴f（x）=（x+）（xb﹣）=x﹣x，∵||≠||，∴所以f（x）=（）x所以函数f（x）是一次函数且是奇函数故选A．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算和函数的奇偶性．求解中要明确两向量互相垂直等价于二者点乘等于0．5．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．6．（5分）（2010•北京）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．7．（5分）（2010•北京）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选A．【点评】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．8．（5分）（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】立体几何．【分析】通过观察，发现点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，此距离只与x有关，面积EFQ为定值，推出结果．【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D的距离，此距离只与x有关，因为EF=1，点Q到EF 的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的结构特征和棱锥的体积问题，同时考查学生分析问题的能力以及空间想象能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2010•北京）已知函数y=，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写x＜2；②处应填写y=log2x．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】算法和程序框图．【分析】由题目可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y=2﹣x，易得条件语句中的条件①，及不满足条件时②中的语句．【解答】解：由题目可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y=2﹣x，易得条件语句中的条件为x＜2不满足条件时②中的语句为y=log2x故答案为：x＜2，y=log2x．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．10．（5分）（2010•北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=1．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．11．（5分）（2010•北京）若点p（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，且点p在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由点M到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4求得m的值，代入不等式2x+y＜3验证后得答案．【解答】解：∵点M（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为4，∴，解得：m=7或m=﹣3．当m=7时，2×7+3＜3不成立；当m=﹣3时，2×（﹣3）+3＜3成立．综上：m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了二元一次不等式表示的平面区域，是基础题．12．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．（5分）（2010•北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为（4，0），（﹣4，0）；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．【解答】解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x故答案为：（4，0），（﹣4，0）；y=x【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．14．（5分）（2010•北京）（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为4；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．【考点】轨迹方程；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用；直线与圆．【分析】由题中信息可知无论正方形是沿着x轴的正方向还是负方向滚动，再次使用点P与x轴接触的x轴方向的路程是4，故其最小正期为4，在正方形的翻滚过程中，函数y=f （x）的两个相邻零点间点P的轨迹如图所示，可得其面积．【解答】解：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A 点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1．【点评】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，本题是一道信息题，考查学生的分析问题能力、阅读能力、推理能力和应用知识解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分70分）15．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．（3分）（2010•北京）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为【点评】考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．17．（13分）（2010•北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF∥平面BDE；（Ⅱ）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF⊥平面BDF；【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．18．（14分）（2010•北京）设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈[1，9]即a的取值范围[1，9]【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．19．（14分）（2010•北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；椭圆的应用．【专题】压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）先根据离心率和焦半径求得a，进而根据a，b和c的关系求得c，则椭圆方程可得．（Ⅱ）根据题意可知P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得．（Ⅲ）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理根据正弦函数的性质求得y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圆P的半径为，则有t2=3（1﹣t2），解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2=3（1﹣t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以设t=cosθ，θ∈（0，π），则当，即，且x=0，y取最大值2．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．20．（13分）（2010•北京）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…a n，），B=（b1，b2，…b n，）∈S n，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为．（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅲ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．【考点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换．【专题】证明题；综合题；压轴题；集合．【分析】（Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A﹣B，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）；（Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则a i，b i，c i∈{0，1}（i=1，2，n），故得A﹣B∈S n，再分c i=0和c i=1两种情况求出d（A﹣C，B﹣C）和d（A，B）；（Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，A﹣B=（|0﹣1|，|1﹣1|，|0﹣1|，|0﹣0|，|1﹣0|）=（1，0，1，0，1），d（A，B）=|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|=3（Ⅱ）证明：设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n因为a i，b i∈{0，1}，所以|a i﹣b i|∈{0，1}（i=1，2，n）从而A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）∈S n由题意知a i，b i，c i∈{0，1}（i=1，2，n）当c i=0时，||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|a i﹣b i|当c i=1时，||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）|=|a i﹣b i|所以（Ⅲ）证明：设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n，d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h，记0=（0，0，…，0）∈S n，由（Ⅱ）可知因为|a i﹣b i|∈{0，1}，=k，所以|b i﹣a i|（i=1，2，n）中1的个数为k，|c i﹣a i|（i=1，2，n）中1的个数为l，设t是使|b i﹣a i|=|c i﹣a i|=1成立的i的个数．则h=l+k﹣2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．【点评】本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质．。
