下载文档原格式
1.1.2 集合间的基本关系尊敬的各位评委、老师，大家好！我叫樊丽霞，今天我说课的内容是《普通高中课程标准实验教科书•数学》必修一第一章集合与函数概念第一节集合的第二小节集合间的基本关系。
我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法分析、教学过程分析和板书分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、说教材集合语言是现代数学的基本语言，高中数学将其作为一种语言来学习。
《集合与函数》是高中数学必修一第一章的主要内容，而《集合间的基本关系》是本章的第一节的第二部分，是继学习了元素与集合的关系后的一个重要内容，它对后续内容----集合的基本运算起到了铺垫的作用，在集合的有关计算中，可以用子集和真子集来解决相关参数的取值问题。
同时在这一部分内容的学习中，也体现了分类讨论的数学思想，因此，这部分内容在本章中有重要的作用。
二、说教法本节课的主要内容是子集与真子集涵义的认识与理解，在课堂教学中，结合5组引例，让学生观察两集合间的元素特征，初步认识这种包含关系。
从数学概念的关键词上加以强调说明。
并通过例子讲解认识子集的本质，突出本节课的主要内容。
结合数学练习把握并尝试应用数学符号来反映这一关系，体现数学语言与符号语言的转换与一致。
在难点的处理上，通过分组与分层次的练习，让学生进一步认识属于符号与包含符号的区别以及各自的作用，同时引导学生把握考查的元素与集合还是集合与集合的关系，尽早培养学生审题、解题的能力与方法引导。
三、说学习目标（一）、知识与技能1.了解集合间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念和意义.3.会判断简单集合的相等关系.（二）、过程与方法1.观察、分析、归纳.2.数学化表示日常问题.3.提高学生的逻辑思维能力，培养学生等价和化归的思想方法.（三）情感态度与价值观1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式.2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系.3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.学习重点：子集、真子集的概念.学习难点：元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解.教具准备：中国地图、多媒体、胶片.四、教学过程一、创设情景，引入新课师：今天我们先来看一看中国地图，先看河南省区域在什么地方？再看一看中国的区域.请问：河南省的区域与中国的区域有何关系？生：河南省的区域在中国区域的内部.师：如果我们把河南省的区域用集合A来表示，中国的区域用集合B来表示，则会发现集合A在集合B内，即集合A中的每一个元素都在集合B内.再看一看下面两个集合之间的关系（投影胶片，胶片上可以用一组人群表示）A=｛x|x为河南人｝，B=｛x|x为中国人｝，生：河南人是中国人.师：我说的是从集合的角度看是什么关系？生：集合A中的元素都是集合B中的元素.师：说得对，再来看一看下面给出的集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系？（1）A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；（2）设A为海门中学高一（2）班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.生：均有集合A中的元素都是集合B中的元素.由此引出子集的概念.二、讲解新课1.子集对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B ⊇A）.读作“A含于B”（或“B包含A”）.其数学语言的表示形式为：若对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B.——为判别A是B的子集的方法之一.很明显：N⊆Z，N⊆Q，R⊇Z，R⊇Q.若A不是B的子集，则记作A B（或B A）.读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.例如，A=｛2，4｝，B=｛3，5，7｝，则A B.2.图示法表示集合（1）Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图（必要时还可以用小写字母分别定出集合中的某些元素）.由此，A⊆B的图形语言如下图.BA（2）数轴在数学中，表示实数取值范围的集合，我们往往借助于数轴直观地表示.例如｛x|x＞3｝可表示为又如｛x|x≤2｝可表示为还比如｛x|－1≤x＜3＝可表示为3.集合相等对于C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C、D都是由所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素.同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.这样，集合D的元素与集合C的元素是一样的.我们可以用子集概念对两个集合的相等作进一步的数学描述.如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.事实上，A⊆B，B⊆A⇔A=B.上述结论与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，同学们有什么体会?4.真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.例如，A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝，则有A B.子集与真子集的区别就在于“A B”允许A=B或A B，而“A B”是不允许“A=B”的，所以若“A⊆B”，则“A B”不一定成立.5.空集我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A.例如｛x|x2+1=0，x∈R｝，｛边长为3，5，9的三角形｝等都是空集.可以让同学们列举多个生活中空集的例子.空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅ A.6.子集的有关性质（1）A⊆A；（2）A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A B，B C⇒A C.7.例题讲解【例1】写出集合｛a，b｝的子集.解：∅，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝.方法引导：写子集时先写零个元素构成的集合，即∅，然后写出一个元素构成的集合，再写两个元素构成的集合，依此类推.师：请写出｛a，b，c｝的所有子集.生：∅，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛a，c｝｛b，c｝，｛a，b，c｝.师：写出｛a｝的子集.生：∅，｛a｝.师：∅的子集是什么？生：∅.师：我们可以列一个表格（板演），先猜一猜4个元素集合的子集个数是多少？生：16个.师：从上面写出的集合子集我们可以看出集合的子集个数与集合的元素个数之间有什么关系？换句话：你能否猜想n个元素集合的子集共有多少个子集？生：2n个.师：猜得很好.因为我们所学知识还不能证明这个结论，要等到高二学过排列、组合知识后就可以证明了，有兴趣的同学可以自己先学.【例2】写出不等式x－3＞2的解集并进行化简（即化成直接表明未知数本身的取值范围的解集）.解：不等式x－3＞2的解集是{x|x－3＞2}={x|x＞5}.【例3】在以下六个写法中，错误写法的个数是①｛0｝∈｛0，1｝②∅｛0｝③｛0，－1，1｝⊆｛－1，0，1｝④0∈∅⑤Z=｛全体整数｝⑥｛（0，0）｝=｛0｝A.3B.4C.5D.6思路分析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④ 表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“｛｝”本身就表示全体元素之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.只有②和③正确.故选B.【例4】已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：（1）数2与集合A的关系如何?（2）集合A与集合B的关系如何?师：元素与集合之间、集合与集合之间分别用什么符号连接?生：元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，集合与集合之间用“⊆”“”“=”或“”等连接.师：本问题的第（1）问给了我们什么启示?生：要判别2是否属于A，只需考虑2能否表示成8m+14n的形式，若能写成8m+14n的形式，则说明2∈A，否则2∉A.师：很好.现在的问题是2能否写成8m+14n的形式?生：能，并且可以有多种写法，比如：2=8×2+14×（－1），且2∈Z，－1∈Z，2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z，3∈Z等.所以2∈A.师：我们从第（2）问中读到了什么?生：判定两个集合A、B的关系，应优先考察它们的包含关系.对于本题，我们的思考是A⊆B 成立吗?B⊆A成立吗?如果两个方面都成立，则A=B；如果只有一个方面成立，则应考虑是否是真子集；如果两个方面都不成立，则两集合不具备包含关系.师：回答得很好，问题是如何判别A⊆B?生：用定义法.任取x∈A，只要能够证明x∈B，则A⊆B就成立了.师：好，现在我们一起解决问题（2）.生：任取x0∈B，则x0=2k，k∈Z.∵2k=8×（－5k）+14×3k，且－5k∈Z，3k∈Z，∴2k∈A，即B ⊆A.任取y0∈A，则y0=8m+14n，m、n∈Z，∴y0=8m+14n=2（4m+7n），且4m+7n∈Z.∴8m+14n∈B，即A⊆B.由B ⊆A且A⊆B，∴A=B.师：对于本题我们能够得到A=B，现在的问题是在集合有关问题中如何证明两个集合相等? 生1：欲证A=B，根据定义，只需证A⊆B，且B ⊆A即可.生2：如果A、B是元素较少的有限集合，也可用穷举法判别它们相等.师：很好，两位同学的方法加以组合，判别两个集合相等的方法就完美了.由此，平时的学习中，只要敢于探究，善于探究，我们一定能挖掘出自身的潜能，使自己的学习永远立于不败之地，这对我们今后的学习和工作将十分有益.三、课堂练习教科书P8练习题2答案：（1）∈ （2）∈ （3）＝ （4） （5） （6）＝四、课堂小结1.本节学习的数学知识：子集、集合相等、真子集、子集的性质.2.本节学习的数学方法：归纳的思想、定义法、穷举法.五、布置作业1.教科书P8练习题3.2.教科书P13习题1.1 A 组第5题.3.满足条件{1，2} M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数是A.3B.6C.7D.8 4.已知集合A=｛x ，xy ，1-xy ｝，B=｛0，|x|，y ｝，A=B ，求实数x 、y 的值.5.已知M ⊆｛1，2，3，4，5｝，且a ∈M 时，也有6－a ∈M ，试求集合M 所有可能的结果.6.若a 、x ∈R ，A=｛2，4，x2－5x+9｝，B=｛3，x2+ax+a ｝，C=｛x2+（a+1）x －3，1｝，求：（1）使A=｛2，3，4｝的x 的值；（2）使2∈B ，BA 的a 、x 的值；（3）使B=C 的a 、x 的值.五、板书设计1.1.2 集合间的基本关系子集 Venn 图集合相等 真子集空集子集的性质例1 例2例3 例4课堂练习。
1.1.2 集合间的基本关系疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、子集1.子集的定义一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关.记作：A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或B包含A）.辨析比较注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“∈”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“⊆”用在集合与集合之间.2.子集的图形表示在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示.对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.任何一个集合A都是它自身的子集，即A⊆A.若A⊆B，则可用Venn图表示它们之间的关系.即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部.要点提示注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等.资料剖析注意此处空半格(教材P8)思考［研析］{a}⊆A表示的是集合与集合之间的关系，即集合{a}是集合A的子集，而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如{1}⊆{1,2，3},而1∈{1,2，3}.3.子集的语言表示集合A中的任何一个元素x，都满足x∈B，即任意x∈A，都有x∈B.或 A⊆B⇔x∈A,x ∈B.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，因为A中所有的元素1∈B，2∈B，所以A⊆B.对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若x∈A，则x∈B即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“A⊆B”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，集合B={m|m=n2，n∈R}，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1}，B={m|m≥0}，因为A中的所有元素都属于B，所以A⊆B.那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“A B”或“B A”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，3}，试判断A、B的包含关系.因为2∈A，且2∉B，所以A B；又因为3∈B，且3∉A，所以B A.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？方法点拨注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最简形式.（2）若证明A B，只需在A中找一个元素a，使得a∉B即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.二、集合相等1.集合相等的定义如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.集合“A=B”可用韦恩图表示为即表示集合A、B的区域完全重合.要点提示注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关.2.集合相等的证明所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A={x｜x2-1=0}与集合B={-1，1}的关系.化简集合A={-1，1}，与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B 中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明A⊆B，且B⊆A 即可.辨析比较注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，即“若A⊆B，且B⊆A，则A=B”.三、真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.若A B，可用韦恩图表示为即把表示A的区域画在表示B的区域内，但区域A不能与B重合.对于集合A、B、C，如果A B，B C，则A C.例如：{1}{1，2}，{1，2}{1，2，3}，所以{1}{1，2，3}.证明A B，应先证明A⊆B，再证明B中至少有一个元素a，使得a∉A即可.要点提示注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况. （3）“A⊆B”或“A B”都具有传递性.（4）任何集合都不是自身的真子集.四、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.例如：x2+1=0的实数根，|x|＜-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，A⊆A.由以上子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的所有子集吗？答案显然是∅、{1}、{2}、{1，2}.虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的真子集吗？显然答案是∅、{1}、{2}.要点提示注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即∅⊆∅.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合.资料剖析注意此处空半格(教材P8)例3注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.问题·思路·探究问题1 {0}与∅、∅与{∅}有何区别？思路：从∅的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.探究：{0}是由一个元素0组成的有限集合，∅是不含任何元素的集合.因此，∅⊆{0}，而不能写成∅={0}或∅∈{0}；同样道理，{∅}是由一个元素∅组成的有限集合，∅是不含任何元素的集合.因此有：∅∈{∅}或∅⊆{∅}或∅{∅}.问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？思路：可通过举例，从而归纳出一般规律.探究：如写出{a,b}、{a,b,c}的所有子集，{a,b}的所有子集为：∅，{a},{b},{a,b}，所以子集有4个，真子集3个；{a,b,c}的所有子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，子集共8个，真子集共7个.因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.典题·热题·新题例1 M={x|3＜x＜4=,a=π，则下列关系正确的是（）A. a MB. a∉MC. {a}∈MD.{a}⊆M思路解析：元素与集合之间的关系是∈与∉的关系，所以A不正确；又3＜π＜4,所以a∈M，故B不正确；集合与集合的关系是⊆、⊇、、的关系，而不能用∈与∉表示，因此C不正确；{a}⊆M 显然成立.答案：D例2 判断如下A 与B 之间有怎样的包含或相等关系.（1）A={x|x=2k-1.k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z }；（2）A={x|x=2m.m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z }.思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.解：（1）因为A={x|x=2k-1,k ∈Z }，B={x|x=2m+1,m ∈Z },故A 、B 都是由奇数构成的，即A=B.（2）因 A={x|x=2m,m ∈Z }，B={x|x=4n,n ∈Z }，又x=4n=2·2n ，即若有x ∈B,则x ∈A,所以B ⊆A.例3 已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}，且M=N ，求a ，b 的值.思路解析：由M=N 可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题.解法一：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎨⎧==2,2b b a a 或⎩⎨⎧==.2,2a b b a 解方程组得⎩⎨⎧==0,0b a 或⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a 再根据集合中元素的互异性，得⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a 解法二：∵M=N ，∴M 、N 中元素分别对应相同.∴⎪⎩⎪⎨⎧•=•+=+222,2ba b a b a b a 即⎩⎨⎧=-=-+)2(0)12()1(0)1(b ab b b a∵集合中元素互异，∴a 、b 不能同时为0.∴b ≠0.由②得a=0或b=21. 当a=0时，由①知b=1或b=0（舍去）；当b=21时，由①得a=41. ∴⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.例4 在下列各式中：①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④∅{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}.其中错误命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以①正确，②错误，③正确，④正确，⑤正确.答案：A例5 已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B ，写出满足上述条件的集合M. 思路解析：关键是要搞清满足条件A M ⊆B 的集合M 是由哪些元素组成的.∵A M ，∴M 中一定含有A 的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A 的元素.又∵M ⊆B ，∴M 中的元素除了含有B 的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M 的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M 有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.答案：满足条件的集合M 是{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5} .深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.例6 集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}（1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.（2）若x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数.（3）当x ∈R 时，没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.思路解析：B ⊆A ，即B 是A 的子集，包括B 可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.解：（1）当 m+1＞2m-1即m ＜2时，B=∅满足B ⊆A.当m+1≤2m-1即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎨⎧≤--≥+,512,21m m 可得 2≤m ≤3.综上可得 m ≤3时，有B ⊆A.（2）当x ∈Z 时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以 A 的非空真子集个数为28-2=254.（3）∵x ∈R ，且A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}又没有元素使x ∈A 与 x ∈B 同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m-1得m ＜2时满足条件;②若B ≠∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+,212,121m m m 解之得m ＞4. 综上有m ＜2或m ＞4.误区警示 注意此处空半格B ⊆A ，B 可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论思想的运用.。
高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
学习资料1。
1。
2 集合间的基本关系学习目标核心素养1。
理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．（难点、易混点)3.在具体情境中,了解空集的含义．(难点）1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，提升数学运算素养。
1．Venn图的优点及其表示（1）优点:形象直观．（2）表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集与集合相等子集集合相等真子集定义集合A中任意一个元素都是集合B中的元素称集合A是集合B的子集集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集图示符号表示A⊆B或B⊇A A＝B A B或B A(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1）不一定．如集合A＝｛0,1，2}，B＝{－1,0，1}，这两个集合就没有包含关系．(2）符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集（1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。
(2）规定:空集是任何集合的子集．思考2：｛0｝与∅相同吗？提示:不同．｛0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故｛0}≠∅。
4．集合间关系的性质，(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A。
(2）对于集合A,B,C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.(3)若A⊆B,A≠B，则A B。
1．设集合M＝{1,2，3}，N＝{1｝，则下列关系正确的是（）A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆MD[∵1∈｛1,2，3｝，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M。
］2．下列四个集合中，是空集的为（）A．{0｝B．｛x|x>8,且x〈5｝C．｛x∈N|x2－1＝0} D．{x|x〉4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x｜x〉8，且x〈5}＝∅。
高一数学必修 1 各章知识点总结（by May）第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些研究对象组成的总体叫作集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1. 元素的确定性； 2.元素的互异性； 3. 元素的无序性 .说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，这就是说不确定的对象就不能构成集合。
(2) 对于一个给定的集合，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。
如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y}(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：(1) { ⋯ } 如{ 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }(2) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N，正整数集N*或 N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a ∈ A ，相反， a 不属于集合 A 记作 a A元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号表示）。
如 a A, a B 等。
6、集合的表示方法：（ 1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
{a,b,c⋯⋯} （ 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}（3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 }（4） Venn 图 :7、集合的分类：(1) 有限集：含有有限个元素的集合(2) 无限集 ： 含有无限个元素的集合(3) 空集： 不含任何元素的集合例： {x|x 2=－ 5｝ =二、集合间的基本关系 1、“包含”关系（子集）注意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与 B 是同一集合，即 A=B 。
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。
子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。
补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。
2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。
1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。
2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和$y<0$的解集。
3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
1.1.2 集合间的基本关系疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、子集1.子集的定义一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关.记作：A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或B包含A）.辨析比较注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“∈”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“⊆”用在集合与集合之间.2.子集的图形表示在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示.对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.任何一个集合A都是它自身的子集，即A⊆A.若A⊆B，则可用Venn图表示它们之间的关系.即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部.要点提示注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等.资料剖析注意此处空半格(教材P8)思考［研析］{a}⊆A表示的是集合与集合之间的关系，即集合{a}是集合A的子集，而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如{1}⊆{1,2，3},而1∈{1,2，3}.3.子集的语言表示集合A中的任何一个元素x，都满足x∈B，即任意x∈A，都有x∈B.或 A⊆B⇔x∈A,x ∈B.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，因为A中所有的元素1∈B，2∈B，所以A⊆B.对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若x∈A，则x∈B即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“A⊆B”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，集合B={m|m=n2，n∈R}，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1}，B={m|m≥0}，因为A中的所有元素都属于B，所以A⊆B.那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“A B”或“B A”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，3}，试判断A、B的包含关系.因为2∈A，且2∉B，所以A B；又因为3∈B，且3∉A，所以B A.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？方法点拨注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最简形式.（2）若证明A B，只需在A中找一个元素a，使得a∉B即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.二、集合相等1.集合相等的定义如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.集合“A=B”可用韦恩图表示为即表示集合A、B的区域完全重合.要点提示注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关.2.集合相等的证明所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A={x｜x2-1=0}与集合B={-1，1}的关系.化简集合A={-1，1}，与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B 中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明A⊆B，且B⊆A 即可.辨析比较注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，即“若A⊆B，且B⊆A，则A=B”.三、真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.若A B，可用韦恩图表示为即把表示A的区域画在表示B的区域内，但区域A不能与B重合.对于集合A、B、C，如果A B，B C，则A C.例如：{1}{1，2}，{1，2}{1，2，3}，所以{1}{1，2，3}.证明A B，应先证明A⊆B，再证明B中至少有一个元素a，使得a∉A即可.要点提示注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况.（3）“A⊆B”或“A B”都具有传递性.（4）任何集合都不是自身的真子集.四、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.例如：x2+1=0的实数根，|x|＜-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，A⊆A.由以上子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的所有子集吗？答案显然是∅、{1}、{2}、{1，2}.虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的真子集吗？显然答案是∅、{1}、{2}.要点提示注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即∅⊆∅.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合.资料剖析注意此处空半格(教材P8)例3注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.问题·思路·探究问题1 {0}与∅、∅与{∅}有何区别？思路：从∅的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.探究：{0}是由一个元素0组成的有限集合，∅是不含任何元素的集合.因此，∅⊆{0}，而不能写成∅={0}或∅∈{0}；同样道理，{∅}是由一个元素∅组成的有限集合，∅是不含任何元素的集合.因此有：∅∈{∅}或∅⊆{∅}或∅{∅}.问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？思路：可通过举例，从而归纳出一般规律.探究：如写出{a,b}、{a,b,c}的所有子集，{a,b}的所有子集为：∅，{a},{b},{a,b}，所以子集有4个，真子集3个；{a,b,c}的所有子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，子集共8个，真子集共7个.因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.典题·热题·新题例1 M={x|3＜x＜4=,a=π，则下列关系正确的是（）A. a MB. a∉MC. {a}∈MD.{a}⊆M思路解析：元素与集合之间的关系是∈与∉的关系，所以A不正确；又3＜π＜4,所以a∈M，故B不正确；集合与集合的关系是⊆、⊇、、的关系，而不能用∈与∉表示，因此C不正确；{a}⊆M 显然成立.答案：D例2 判断如下A 与B 之间有怎样的包含或相等关系.（1）A={x|x=2k-1.k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z }；（2）A={x|x=2m.m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z }.思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.解：（1）因为A={x|x=2k-1,k ∈Z }，B={x|x=2m+1,m ∈Z },故A 、B 都是由奇数构成的，即A=B.（2）因 A={x|x=2m,m ∈Z }，B={x|x=4n,n ∈Z }，又x=4n=2·2n ，即若有x ∈B,则x ∈A,所以B ⊆A.例3 已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}，且M=N ，求a ，b 的值.思路解析：由M=N 可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题.解法一：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎨⎧==2,2b b a a 或⎩⎨⎧==.2,2a b b a 解方程组得⎩⎨⎧==0,0b a 或⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a 再根据集合中元素的互异性，得⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a解法二：∵M=N ，∴M 、N 中元素分别对应相同.∴⎪⎩⎪⎨⎧∙=∙+=+222,2ba b a b a b a 即⎩⎨⎧=-=-+)2(0)12()1(0)1(b ab b b a ∵集合中元素互异，∴a 、b 不能同时为0.∴b ≠0.由②得a=0或b=21. 当a=0时，由①知b=1或b=0（舍去）；当b=21时，由①得a=41. ∴⎩⎨⎧==1,0b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,41b a深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.例4 在下列各式中：①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④∅{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}.其中错误命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以①正确，②错误，③正确，④正确，⑤正确.答案：A例5 已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B ，写出满足上述条件的集合M. 思路解析：关键是要搞清满足条件A M ⊆B 的集合M 是由哪些元素组成的.∵A M ，∴M 中一定含有A 的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A 的元素.又∵M ⊆B ，∴M 中的元素除了含有B 的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M 的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M 有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.答案：满足条件的集合M 是{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5} .深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.例6 集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}（1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.（2）若x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数.（3）当x ∈R 时，没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.思路解析：B ⊆A ，即B 是A 的子集，包括B 可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.解：（1）当 m+1＞2m-1即m ＜2时，B=∅满足B ⊆A.当m+1≤2m-1即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎨⎧≤--≥+,512,21m m 可得 2≤m ≤3.综上可得 m ≤3时，有B ⊆A.（2）当x ∈Z 时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以 A 的非空真子集个数为28-2=254.（3）∵x ∈R ，且A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}又没有元素使x ∈A 与 x ∈B 同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m-1得m ＜2时满足条件;②若B ≠∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+,212,121m m m 解之得m ＞4. 综上有m ＜2或m ＞4.误区警示 注意此处空半格B ⊆A ，B 可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论思想的运用.。
