巩固练习函数的应用Ⅰ基础

二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】 一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（ ）A ．-19B ．-20C ．-21D ．-223. 在函数y =x 的取值范围是（ ） A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（ ）6.（2019秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个. （1）1y x x =+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x=+ A.4 B.3 C.2 D.1二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）．8．（2019秋•古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________.10.当x________________时，函数y =.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系； （2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14.（2019·滨海县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C.【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得. 3. 【答案】D ；【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0. 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ； 6. 【答案】C ； 【解析】（2）、（3）属于二次函数；其他两个不满足二次函数的概念，所以答案选C. 二.填空题7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-= 8. 【答案】﹣1；【解析】依题意可知|m|+1=2， 解得m=1或m=﹣1， 又∵m﹣1≠0， ∴m≠1，∴当m=﹣1时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数． 故答案为：﹣1． 9. 【答案】2400y x x =-+【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+. 10.【答案】-2≤x ≤3；【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030x x +≥⎧⎨-≥⎩.11.【答案】226y x x =+-.12.【答案】2100002000010000y x x =++【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元. 二.解答题 13.【解析】解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.14.【解析】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ， ∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860∵30016230x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）. 15.【解析】 解：（1）y=50—10x（0＜x ≤160，且为10的正整数倍） （2）()180205010x w x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭=2134800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A.40ºB.50ºC.60ºD.70º2．安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，如图是分类情况的扇形统表，若一天产生的垃圾的为300kg ，估计该小区一个月（按30天计）产生的可回收垃圾重量约是（ ）A.900kgB.105kgC.3150kgD.5850kg3．如图，两个小正方形的边长都是1，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.4．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >6．下列运算中，错误的是（ ） A ．x y y xx y y x--=-++ B ．1a ba b--=-+C a =D 1=-7．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2326a a =C ．()23533a aa -=-gD ．623422a a a ÷=8．若x ﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ） A ．1B ．4C ．8D ．﹣1691导致乘积减小最大？( )A B C D10．若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）①方程23+20x x -=是倍根方程；②若(2)()0x mx n --=是倍根方程，则4n m =或n m =③若点()p q ，在双曲线2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③11．如图，以正五边形ABCDE 的顶点A 为圆心，AE 为半径作圆弧交BA 的延长线于点A '，再以点B 为圆心，BA '为半径作圆弧交CB 的延长线于B '，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结EA '，AB '，BC '，CD '，DE '，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，且满足521S S -=，则43S S -的值为（ ）A ．17B ．15C ．14D ．1312．如图，在⊙O 中，∠BOD ＝120°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．60°B ．80°C ．120°D ．150°二、填空题13．如图，抛物线的顶点为P （－2，2）与y 轴交于点A （0，3），若平移该抛物线使其顶P 沿直线移动到点P (2,2)'-，点A 的对应点为A '，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 .14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，则PB 的长为____．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosB 的值为_____. 16．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 17．已知反比例函数k 1y x-=的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范围是________．18．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC 的长为_____厘米．（结果保留π）三、解答题19 |+（3）0+（﹣1）201920．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系；线段CD 表示每千克的销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．（3）当0≤x≤90时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；当90≤x≤130时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；总之，当产量为 kg时，获得的利润最大，最大利润是．21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝30时，y＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？22．如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ= ,求QD的长(结果保留 )；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.23．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，-3）和点B（n，2）；（1）求直线与双曲线的表达式；（2）点P是双曲线y=mx（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．25．如图直线y1=-x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．12。

一次函数的图象和性质巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1. （2015秋•德州校级月考）一次函数y=kx+b 的图象如图，则（ ）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量（件）关于时间（月）的函数图象如图所示，该厂对这种产品的生产是（ ）A．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少B．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平C．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产D．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产5．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（ ）． A．2，3 B．3，2 C．，2 D．，36. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（ ）． A．7 B．8 C．9D．1021y x =--k x k y +-=)21(k 0>k 0<k210<<k 21<k ct y x =12y x b =-+c b c 12-12-cm cm cm cm二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么 0．8. 点是一次函数图象上的两个点，且，则_ ．（填＞，＜或＝）9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝ .10.（2014秋•胶南市校级期末）如图是y=kx+b 的图象，则b= ，与x 轴的交点坐标为 ，y 的值随x 的增大而 ．11.已知点A(－4, ),B(－2, )都在一次函数(为常数)的图象上，则与的大小关系是 （填“＜”、“＝”或“＞”）.12.一次函数与两坐标轴围成三角形的面积为4，则＝________.三.解答题13.（2015秋•德州校级月考）已知，函数y=（1﹣3k）x+2k﹣1，试回答：（1）k 为何值时，图象过原点？（2）k 为何值时，y 随x 增大而增大？14.已知与成正比例，且当＝1时，＝5（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A 点，与交于B 点，求△AOB 的面积.15.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过y ax b =+ab ()()111222,,,P x y P x y 43y x =-+12x x <1y 2y 2y kx =-34y x =+k a b 12y x k =+k a b a b 2y x b =+b 1-y 1+x x y y x x y部分每人10元．（1）写出应收门票费（元）与游览人数（人）之间的函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少元？【答案与解析】一.填空题1. 【答案】D；【解析】解：∵由函数图象可知，直线与x、y 轴的坐标分别为（3，0），（0，﹣1），∴，解得．故选D．2. 【答案】A；【解析】＜0，＜0，画出图象即可判断.3. 【答案】C；【解析】由题意知，且＞0，解得4. 【答案】B；【解析】线段PQ 与轴平行，那么说明4、5两月每月生产量与3月持平.5. 【答案】B；【解析】点(2，)在直线上，故＝2．点(2，2)在直线上，故，解得＝3．6. 【答案】D；【解析】5＋＝12.5，20＋＝20，解得＝0.5，＝10.二.填空题7. 【答案】＞【解析】画出草图如图所示，由图象知随的增大而增大，可知＞0；图象与轴的交点在轴上方，知＞0，故＞0．8. 【答案】＞；【解析】因为一次函数中的＝ －4＜0，随的增大而减小，所以时，．9. 【答案】3；【解析】互相平行的直线相同.y x k b 120k ->k 210<<k x c y x =c 12y x b =-+12b -+=b k b k b k b y x a y x bab 43y x =-+k y x 12x x <12y y >k10.【答案】﹣2，，增大．【解析】解：把（1，2），（0，﹣2）代入y=kx+b 得，解得，所以一次函数的表达式为y=4x﹣2，令y=0，得4x﹣2=0，解得x=，所以x 轴的交点坐标为（，0）y 的值随x 的增大而增大．故答案为：﹣2，，增大．11.【答案】＜；【解析】＞0，随的增大而增大.12.【答案】；【解析】一次函数与轴交点为，与轴交点为（0，）,所以，解得＝±4.三.解答题13. 【解析】解：（1）∵函数y=（1﹣3k）x+2k﹣1的图象过原点，∴，解得k=；（2）∵y 随x 增大而增大，∴1﹣3k＞0，解得k＜．14.【解析】解：（1）∵与成正比例，∴ 当＝1时，＝5解得＝2∴(2)A()，B(0，3)＝.k y x 4±x ,02b ⎛⎫-⎪⎝⎭y b 1||||422bb -= b 1-y 1+x ()11y k x -=+x y k 23y x =+3,02-12AOB S OA OB ∆=⨯1393224⨯⨯=15.【解析】解：（1）由题意，得化简得：（2）把＝54代入＝10＋300，＝10×54＋300＝840（元）.所以某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了840元.25(020,)252010(20)(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨⨯+->⎩且为整数且为整数）25(020,)10300(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨+>⎩且为整数且为整数）x y x y一次函数的图象和性质--巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1. 如果一次函数当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么此函数的解析式是（ ）． A． B． C．或 D．或2. （2015•诏安县校级模拟）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k 的图象大致是（ ）A． B．C． D．3．已知函数的图象不经过第二象限，那么、一定满足（ ）A．＞0，＜0B．＜0，＜0C．＜0，＞0D．＞0，≤04．下列说法正确的是（ ）A．直线必经过点（－1，0）B．若点（，）和（，）在直线（＜0）上，且＞，那么＞C ．若直线经过点A （，－1），B （1，），当＜－1时，该直线不经过第二象限D．若一次函数的图象与轴交点纵坐标是3，则＝±15．如图所示，直线：和：在同一坐标系中的图象大致是（ ）x 13x -<<y 26y -<<2y x=24y x =-+2y x =24y x =-+2y x =-24y x =-y kx b =+k b k b k b k b k b y kx k =+1P 1x 1y 2P2x 2y y kx b =+k 1x 2x 1y 2y y kx b =+m m m ()212y m x m =-++y m 1l y ax b =+2l y bx a =-6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S 与的大致图象应为（ ）二.填空题7．若函数为正比例函数，则的值为________；若此函数为一次函数，则的值为________．8. 已知一次函数与的图像交于轴上原点外的一点，则＝______. 9. 直线，它的解析式中为整数，又知它不经过第二象限，则此时＝ .10.若点（ ，）在第四象限内，则直线不经过第 象限，函数值随着的增大而 . 11.已知直线与轴、轴分别交于A、B 两点，点P（，－1）为坐标系内一动点，若△ABP 面积为1，则的值为____________________________.12.（2015秋•深圳校级期中）已知直线y=kx+b 经过点（5，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为20，则该直线的表达式为 ．三.解答题13.在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移2个单位后得到直线，已知t t 21||3122y m x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭m m 2y x a =-3y x b =-x ab()42y m x m =+++m m a b y ax b =+y x 122y x =-x y m m xOy kx y =y l经过点A（－4, 0）．（1）求直线的解析式；（2）设直线与轴交于点B ，点P 在坐标轴上，△ABP 与△ABO 的面积之间满足, 求P 的坐标．14. （2015春•咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA 的面积为S．（1）求S 关于x 的函数解析式；（2）求x 的取值范围；（3）当S=4时，求P 点的坐标．15. 如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 沿边按A—B －C—D 的方向运动到点D（但不与A、D 两点重合）．求△APD 的面积（）与点P 所行的路程（）之间的函数关系式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】分两种情况求解＝－1时，＝－2, ＝3时，＝6；或者＝－1时，＝6, ＝3时，＝－2.2. 【答案】A；【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，∴k＜0，则一次函数y=kx﹣k 的图象大致是：，故选A.3. 【答案】D；【解析】不经过第二象限，包括经过原点和经过第一、三、四象限两种情况.4. 【答案】A；【解析】C 选项，，解得，因为＜－1，所以＜0，所以图象必过第二象限.l l l y 12ABP ABO S S ∆∆=cm cm y 2cm x cm x y x y x yx y 1mk b -=+m k b =+11221111m m k m m m +-+=-=-=-----m k5. 【答案】C；【解析】A 选项对于，＞0，＞0，对于，＞0，＜0，矛盾；B 选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＜0，矛盾；D 选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＞0，矛盾.6. 【答案】A；【解析】随着时间的推移，大正方形内除去小正方形部分的面积由4变到3，保持一段时间不变，再由3变到4，所以选A 答案.二.填空题7. 【答案】，；【解析】要使原函数为正比例函数，则解得．要使原函数为一次函数，则，解得．8. 【答案】； 【解析】轴上的点＝0，，所以.9. 【答案】－2、－3、－4 ；【解析】这里只说直线，并没有指定是一次函数，结合当前所学，不过第二象限的直线应该有三种可能， 一次函数图象，正比例函数图象，常值函数图象.10.【答案】 二 ，增大；【解析】点在第四象限，则＞0，＜0，所以图象不经过第二象限，函数值随着的增大而增大.11.【答案】1或3；【解析】A(4，0)，B(0，－2)，AB 直线与＝－1的交点为（2，－1），＝1或＝3.12.【答案】y=﹣x+8或y=x﹣8；【解析】解：∵直线y=kx+b 与x 轴交于（﹣，0）与y 轴交于（0，b），经过（5，0），∴﹣=5，∵与坐标轴所围成的三角形的面积为20，1l a b 2l b a 1l ab 2l b a 1l a b 2l b a 1212±210,1||0,2m m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩12m =1||02m -=12m =±23x y 23a bx ==23a b =a b y xy 1|2|212ABP S m =-⨯=△m m∴×5×|b|=20，解得：b=±8，∴直线的表达式为y=﹣x+8或y=x﹣8，故答案为y=﹣x+8或y=x﹣8．三.解答题13.【解析】解：（1）由题意得，直线的解析式为. ∵经过点A（－4, 0） ∴直线的解析式为.（2）∵ 当点P 在轴上时，或；当点P 在轴上时，或；综上所述，点P 的坐标为，，或.14.【解析】解：（1）如图所示，∵x+y=5，∴y=5﹣x，∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，∴0＜x＜5；（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，∴10﹣2x=4，解得x=3，∴y=2，∴P（3，2）．l 2y kx =+l 14202k k -+==∴∴l 122y x =+()()4,0,0,2A B -4,214.212.2ABO ABPABO OA OB S OA OB S S ===⋅⋅===△△△∴∴∴x ()1222,02ABP S AP OB AP P =⋅⋅==-△∴∴()6,0-y ()1210,32ABP S BP OA BP P =⋅⋅==△∴∴()0,1()2,0-()6,0-()0,3()0,115.【解析】解：当P 点在AB 边上时，此时（0＜≤3） 当P 点在BC 边上时，此时（3＜≤7） 当P 点在DC 边上时，此时（7＜＜10）.所以1142.22ADP S AD AP x x ==⨯= x 1143 6.22ADP S AD AB ==⨯⨯= x 114(10)220.22ADP S AD DP x x ==⨯-=-+ x ()()()203637220710x x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<<⎩一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：y kx b =+y kx =y kx b =+y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =k b y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =b b y kx b =+y kx =b y kx b =+k b k3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.k b y kx b =+k y kx b =+b y k b y kx b =+1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ≠⇔1l 2l 12k k =12b b ≠⇔1l 2l y kx b =+k b k k b k b x y y kx b =+k b k b要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为.它的图象过点（1.5，0），（0，2）∴该函数的解析式为.【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】 ；提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得b 2y kx =+k y kx b =+ 41.50322k b k b b ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴423y x =-+k b 2y x =23y x =-y kx b =+2y x =2k =b．∴ 一次函数解析式为．【变式2】（2015•岳池县模拟）如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A（﹣2，﹣1），B （1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y=kx+b 得，解得．所以一次函数解析式为y=x+；（2）把x=0代入y=x+得y=，所以D 点坐标为（0，），所以△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD=××2+××1=．类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．3b =-23y x =-x y y x【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．【答案与解析】解：根据图象，当0≤≤50时，可设解析式为，将(50，25)代入解析式，所以，所以； 当＞50时可设解析式为，将(50，25)，(100，70)代入解析式得，解得，所以．所以当0≤≤50时函数解析式为；当时函数解析式为．∴ 所求的一次函数解析式为：．【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校C ，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟x y kx =12k =12y x =x y ax b =+502510070a b a b +=⎧⎨+=⎩0.920a b =⎧⎨=-⎩0.920y x =-x 12y x =50x >0.920y x =-1(050)20.920(50)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪->⎩【答案】D；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、（2014秋•高新区校级期末）已知一次函数y=（2m+4）x+（3﹣n）．（1）当m、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m、n 是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n 的取值范围．【答案与解析】（1）2m+4＞0，即m＞﹣2，n 为任何实数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m、n 是满足即时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则，即．【总结升华】一次函数的图象有四种情况：①当＞0，＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当＞0，＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）y kx b =+k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x y x xA． B． C． D．【答案】C；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．C 中当＞0，＜0，的值随的值增大而增大，且与的正半轴相交，符合条件．故选C．【总结升华】根据，的正负来确定一次函数图象所处的象限.举一反三：【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B；提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方，故选B.21y x =--21y x =-+21y x =-21y x =+y x y x k b y x x k b (0)y kx k k =+≠k k x一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：y kx b =+y kx =y kx b =+y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =k b y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =b b y kx b =+y kx =b y kx b =+k b k3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数k b y kx b =+k y kx b =+b y k b y kx b =+1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ≠⇔1l 2l 12k k =12b b ≠⇔1l 2l y kx b =+k b k k b k b x y y kx b =+k b k b对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、（2015春•东平县校级期末）如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x 轴交于D 点，求△BOD 的面积．【思路点拨】（1）首先求得B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C 的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【答案与解析】解：（1）在y=2x 中，令x=1，解得y=2，则B 的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y=kx+b，则，解得：．则一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2）当a=4时，y=﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，则D 的坐标是（3，0）．则S △BOD =OD×2=×3×2=3．【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．举一反三：【变式1】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【答案】y解：设一次函数的解析式为.当过时，；当过时，；所以，一次函数的解析式为或.【变式2】在平面直角坐标系中，已知两点，，在轴上求作一点P，使AP＋BP 最短，并求出点P 的坐标.【答案】解：作点A 关于轴的对称点为，连接，与轴交于点P，点P 即为所求.设直线的解析式为，直线过，的解析式为：，它与轴交于P（0，1）.类型二、一次函数图象的应用2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：()0,3, 3.AOA = ∴()()1,2163244,04,0.AOB S OA OB OB OB B B =⋅=⨯⋅=- △∴∴∴或3y kx =+()4,0B 34304k k +==-∴()4,0B -34304k k -+==∴334y x =-+334y x =+xOy (1,0)A -(2,3)B -y y ()1,0A 'A B 'y A B 'y kx b =+ A B '()()1,0,2,3A B '-01231k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩∴∴A B '∴1y x =-+y s t(1)求李明上坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.【答案与解析】解：(1)设，由已知图象经过点(6，900)，得900＝6．解得＝150．所以＝150(0≤≤6)．设，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，得解得所以＝300－900(6<t≤10)．(2)李明返回时所用的时间为(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．因此，李明返回时所用的时间为11分钟．【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．类型三、一次函数的性质3、已知自变量为的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ）A．＞0，＜0 B．＜0，＞0 C．＜0，＜0 D．＞0，＞0【答案】C；【解析】原函数为，因为图象经过二、三、四象限，则＜0，＜0，解得＜0，＜0.【总结升华】一次函数的图象有四种情况：1s t 2s t 11s k t =1k 1k 1s t t 22s k t b =+226900,102100.k b k b +=⎧⎨+=⎩2300900k b =⎧⎨=-⎩2s t x ()y a x b =-a b a b a b a b y ax ab =-a ab -a b y kx b =+①当＞0，＞0，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当＞0，＜0，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．举一反三：【变式1】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A． B． C． D．【答案】C；提示：对于A，从看 ＜0，＜0，从看＜0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.对于B，从看＞0，＜0，从看＞0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B. D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求.【变式2】（2014•杭州模拟）已知直线y 1=x，，的图象如图，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ．【答案】2.解：根据题意，y 的最大值为直线y 2与y 3的交点的纵坐标，k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x 1l =+y kx b 2l =+y bxk 1l k b 2l b k k b 1l k b 2l b k kb联立，解得，所以，当x=3时，y 的值最大，为2．故答案为：2．类型四、一次函数综合4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标．【答案与解析】解：由题意得，，则.一次函数的图象过点，.当时，，； 当时，，.综上所述，点A 的坐标为或.【总结升华】我们可以把点A 、B 的坐标用、表示出来，根据OA ＝3OB 可以建立一个关于、的方程，再根据它的图象过P，可以再找到一个关于、的方程，两个方程联立，即可求出、的值，就可以求出点A 的坐标.(0)y kx b k =+≠(11)P ，x A y B 3OA OB =A (),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.b b OA OB b k k =-==113333b OA OB b k k k ====± ∴∴∴ (0)y kx b k =+≠(11)P ，1k b +=∴∴13k =23b =()2,0A -13k =-43b =()4,0A ()2,0-()4,0k b k b k b k b。

2020-2021学年高考数学一轮复习 第四章 指数函数与对数函数 第5节 函数的应用（二）一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数ln y x =的零点是（ ） A ．(0,0) B ．0x =C ．1x =D ．不存在【答案】C【解析】函数ln y x =的零点等价于方程ln 0x =的根，∴函数ln y x =的零点是1x =，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】C【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．50y x =B ．50y x =C ．50x y =D ．()*50log y x x N=∈【答案】C 【解析】随x 的增大，指数函数的增长速度最快，∴50x y =的增长速度最快，故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：3()360,0T t t t t =-+=表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为（ ）A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃【答案】B【解析】将3t =的值代入解析式可得：3(3)3336078T =-⨯+=， 故选：B.5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.96[学3.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间 （ ）A ．（0.6，1.0）B ．（1.4，1.8）C ．（1.8，2.2）D ．（2.6，3.0）【答案】C【解析】构造f (x )＝2x －x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 7．（2020·浙江高一课时练习）设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点 【答案】D【解析】由题可知：1()ln (0)3f x x x x =-> 则113()33-'=-=x f x x x若()0,3x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减 若(3,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)e 单调递减，又1111ln 1033f e ee e ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，(1)031f =>，1()103f e e =-< 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，在(1,)e 有零点8．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4)【答案】B【解析】解：∵()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， ∴函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.10．（2020·黑龙江松北�哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 【答案】C【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A 选项与D 选项所给函数不具有奇偶性； 对于B 选项，1()f x x x=+为奇函数，但不存在零点；对于C 选项，2()f x x x=-为奇函数，且(0f =； 故答案选：C.11．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,B ．(],2-∞C ．[]1,2D ．[)1,+∞【答案】D【解析】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥. 故选：D12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者90018 50=名.故选：B13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【答案】D【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式22log 2xx x <<一定成立的x 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】作出2log y x =、2y x （红色）、2xy =图像由图像可知，当4x >时，22log 2xx x <<16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝,x A xx A A<≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【答案】D【解析】由题意可得：f （A ）A =15，所以A f （4）4=30， 可得出15A2=30A ，可得A=16从而故答案为D17．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1,2,1,x a m x f x x a m x ⎧⋅->=⎨+-≤⎩其中0a >且1a ≠，若m ∃∈R ，使得函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()0,11,2C ．()()0,12,⋃+∞D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令()0f x =，()2,1,2,1,x a x g x x a x ⎧⋅>=⎨+≤⎩，则()g x m =，故问题转化为()y g x =，y m =的图像有两个交点， 显然当01a <<时，()y g x =，y m =的图像有两个交点； 当1a >时，只需22a a +>，解得12a <<； 综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,2，故选：B.18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．()1,8-B ．()()1,88,-⋃+∞C ．()()2,88,-⋃+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-， 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞.19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x-=+，所以其的定义域为R ， A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x ，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<gg ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；20．（多选题）（2019·山东枣庄�高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD【解析】A. 设幂函数()f x x α=，代入12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到1121()2f x x αα=∴=-∴=，11(3)32f =<故A 不成立；B. 由于x y a =恒过定点(0,1)，因此令10x -=，即1x =时，恒有(1)2f =，即图象恒过定点(1,2)，故B 正确；C.转化212()1log 0f x x x =--=为2121=log x x -函数21y x =-与12log y x =在同一直角坐标系下的图像如图：两个函数只有一个交点，故函数()f x 只有一个零点，C 选项不正确. D.函数2()24f x x x =-+的图像如图所示，(0)(2)4,(1)3f f f ===数形结合，可得若函数在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]，D 选项正确. 故选：BD二、拓展提升1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f （x ）＝；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋4；【解析】（1）令3x x +＝0，解得x ＝－3，所以函数f （x ）＝3x x+的零点是x ＝－3． （2）令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f （x ）＝x 2＋2x ＋4不存在零点．2．（2020·全国高一）函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩， 所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，令()0g x =，解得1x =-或13， 故函数g （x ）的零点为－1和13． 3．（2020·上海浦东新�华师大二附中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P ）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当促销费用为x 万元时， 付出的成本是：210231x x ⎛⎫++- ⎪+⎝⎭ 销售收入是：220342131x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭， 故220234102321131y x x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪-+⎝⎭ 整理可得4161y x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，0≤x ≤2. （2）根据（1）中所求，416111611y x x ⎛⎫⎛⎫=-++-≤- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16313=-=，当且仅当1x =时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.5．（2019·浙江高一期中）已知函数()()(23)6f x x a x =-+-（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）若1a =-，则22549()(1)(23)62532()48f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：54x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增； 因此min 549()()48f x f =-=-；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根， 则2(32)8(38)032023802a a a a ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<． 26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数221,2()121.2x x x f x x x a x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++- ⎪⎪⎝⎭⎩（1）若1a =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在[)1-+∞，上为增函数，求a 的取值范围. 【解析】（1）当12x >时，由20x x-=，得x =；当12x ≤时，由220x x +=得0x =或2x =-.∴1a =时，函数()f x 的零点为-2，0. （2）函数()g x x x 2=-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，且1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 函数()221h x x x a =++-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，且1124h a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在[-1，+∞）上为增函数，则1742a +-，∴154a -.。

北京四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425(C) 725(D) -7252．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2πsB ．πsC ．0.5 sD ．1 s 3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2-+αα； （B ）sin 3+αα（C ）3sin 1+αα； （D ）2sin cos 1-+αα4．电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的关系式是5sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当1200t =s 时，电流强度I 为（ ）A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 5．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始旋转，15 s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y （m ）与时间x （s ）满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++，则有（ ）A ．215πω=，A=3 B ．152ωπ=，A=3 C ．215πω=，A=6 D ．152ωπ=，A=66．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t B ω=+，下表是某日各时的浪高数据：A ．1cos 126y t π=+ B ．13cos 262y t π=+C ．32cos62y t π=+D ．13cos 622y t π=+7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若β很小时，可取sin β≈β，试估算该气球的高BC 约为（ ）A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m8．设()y f t =是某港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港口某一天从0至24 h 记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y A t ωϕ=+的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．123sin6y t π=+，t ∈[0，24]B ．123sin 6y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，t ∈[0，24] C ．123sin12y t π=+，t ∈[0，24]D ．123sin 122y t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，t ∈[0，24]9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h （米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危sin()h A t ωϕ=+（ω＞0，ϕ＞0），则水面高度h 与时间t 的函数关系式为________．12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．（1）求出种群数量关于时间t 的函数解析式，t 以月为单位； （2）画出种群数量关于时间t 的简图．13．某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案与解析】 1. 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为15，设θ所对的直角边为x 则由勾股定理得：221()15x x ++=，解得35x =，34sin ,cos 55θθ∴==，7sin 5cos θθ∴+=，进一步求得1sin 5cos θθ-=-，所以227sin cos 25θθ-=-，故选D.2．【答案】D 【解析】周期212T ππ==（s ）． 3．【答案】A【解析】八边形的面积144sin 22cos 2S S S αα∆=+=⨯+-正=2sin 2cos 2αα-+ 4．【答案】B【解析】 155sin 1005sin 5cos (A)20032332I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．【答案】A【解析】 ∵T=15，故2215T ππω==，显然max min y y -的值等于圆O 的直径长，即max min 6y y -=，故max min 6322y y A -===． 6．【答案】B【解析】由周期T=12，得6πω=，max min 122y y A -==，max min 322y y B +==． 7．【答案】B【解析】由已知CD=3 m ，1180πβ=︒=，又sin 180CD AC πββ=≈=， ∴1803172(m)AC π=⨯≈，∴BC=AC ·sin30°≈86（m ）．故选B ．8．【答案】A【解析】在sin()y A t b ωϕ=++中，15932A -==． 159122b +==，2T πω=，而T=12，6πω=，显然0ϕ=． 9．【答案】52sin 24y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴250.82πωπ==， 将点（0.1，2）代入52sin 2y t πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4πϕ=．10．【答案】60米，(60-米 【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt △CDE 中，tan 3060DE CE =⋅︒==∴乙楼的高度为(60BD BE DE =-=-米． 11．【答案】6sin6h t π=-【解析】由题图知A=6，T=12，22126T πππω===，又由6sin 366πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，得cos 1ϕ=-，2k ϕππ=+，k ∈Z ．所以6sin 26sin 6sin 666h t k t t ππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．【解析】（1）设所求的函数解析式为sin()y A t b ωϕ=++，则7009008002b +==，A=100，且212T πω==，所以2πω=．又12πωϕ⨯+=-．所以23πϕ=-．因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （2）图象（简图）如图．13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数sin y A t b ω=+在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此212πω=，6πω=．又当t=0时，y=10；当t=3时，y max =13，得b=10，A=13―10=3． 于是所求函数解析式为3sin106y t π=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）．令3sin 1011.56y π=+≥，可得1sin62t π≥． ∴522666k t k πππππ+≤≤+（k ∈Z ）． ∴12k+1≤t ≤12k+5（k ∈Z ）．取k=0，则1≤t ≤5；取k=1，则13≤t ≤17； 而取k=2时，则25≤t ≤29（不合题意）．∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．。

2021 年中考数学专题 15 二次函数及其应用（基础巩固练习，共 50 个小题）一、选择题（共 25 小题）：1.（2020 秋•闵行区期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y=−2−3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c【答案】C【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、当 a＝0 时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．（2020 秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4 是二次函数，则a 的取值范围是（）A．a≠2B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【答案】A【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：A．3.（2020•西宁）函数y＝ax2+1 和y＝ax+a（a 为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）【答案】D【解析】解：∵y＝ax2+1，∴二次函数 y＝ax2+1 的图象的顶点为（0，1），故A、B 不符合题意；当y＝ax+a＝0 时，x＝﹣1，∴一次函数 y＝ax+a 的图象过点（﹣1，0），故 C 不符题意．故选：D．4.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 y＝mx2+2x﹣n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 关于x 轴对称，则m，n 的值为（） A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3【答案】D【解析】解：∵抛物线 y＝mx2+2x﹣n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 关于 x 轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得 m＝6，n＝3，故选：D．5.（2020•葫芦岛）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线 x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在 y 轴右侧，所以 b＞0，因为抛物线与 y 轴正半轴相交，所以 c＞0，所以 abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线 x＝1，即−b=1，所以 b＝﹣2a，2a所以 b+2a＝0，所以②正确；③因为 b＝﹣2a，由 4a+b2＜4ac，得 4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，根据抛物线与 y 轴的交点，c＞1，所以③错误；④当 x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＜0，因为 b＝﹣2a，所以 3a+c＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B．6.（2020•镇江）点P（m，n）在以 y 轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4 的图象上．则 m﹣n 的最大值等于（）A．154 B．4 C．−154D．−174【答案】C【解析】解：∵点 P（m，n）在以 y 轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4 的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m−1）2−15，2 4∴当 m= 1时，m﹣n 取得最大值，此时 m﹣n=−15，2 4故选：C．7.（2020•呼和浩特）已知二次函数 y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，则关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0 的两根之积为（）A．0 B．﹣1 C．−12 D．−14【答案】D【解析】解：∵二次函数 y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线 x＝0，即y 轴，则−−(a+2) = 0，2(a−2)解得：a＝﹣2，1 2 3则关于 x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a+2）x+1＝0 为﹣4x 2+1＝0，则两根之积为− 1，故选：D ．48.（2020•宿迁）将二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（）A ．y ＝（x+2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+5【答案】D【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即 y ＝（x ﹣1）2+5； 故选：D ．9.（2020•广东）把函数 y ＝（x ﹣1）2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2+3【答案】C【解析】解：二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为 y ＝（x ﹣2）2+2． 故选：C ．10.（2020•温州）已知（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线 y ＝﹣3x 2﹣12x+m 上的点，则（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2 时，函数值最大，又∵﹣3 到﹣2 的距离比 1 到﹣2 的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．11.2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0【答案】C1 = a(1 −h)2 + k【解析】解：当 x＝1 时，y＝1；当 x＝8 时，y＝8；代入函数式得：8 = a(8 −h)2 + k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则 a＝1，故A 错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B 错误；若h＝6，则a=−1，故 C 正确；3若h＝7，则a=−1，故 D 错误；5故选：C．12（. 2018•山西）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9 化为y＝a（x﹣h）2+k 的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25【答案】B【解析】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．13.（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为14 米时，单个小孔的水面宽度为4 米，若大孔水面宽度为20 米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4 3米B．5 2米C．2 13米D．7 米【答案】B【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO= 3，2设大孔所在抛物线解析式为 y＝ax2+ 3，2∵BC＝10，∴点 B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+ 3，2∴a=−3，50∴大孔所在抛物线解析式为 y=−3x2+ 3，50 2设点 A（b，0），则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点 E 的横坐标为﹣7，∴点 E 坐标为（﹣7，−36），25∴−36 =m（x﹣b）2，25∴x1=+b，x2=−+b，∴MN＝4，0 0 0 0 ∴|6 5+b ﹣（− +b ）|＝4∴m =− 9 ，25∴顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =− 9 （x ﹣b ）2， 25∵大孔水面宽度为 20 米，∴当 x ＝﹣10 时，y =− 9，2∴− 9 =− 9 （x ﹣b ）2，2 25∴x = 52 +b ，x =− 5 2 +b ，1222∴单个小孔的水面宽度＝|（5 2+b ）﹣（− 5 22 +b ）|＝5 2（米），故选：B ．14.（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度 h （m ）与运动时间 t （s ）之间的关系可以近似地用公式 h ＝﹣5t 2+v t+h 表示，其中 h （m ）是物体抛出时离地面的高度，v （m/s ）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）A ．23.5mB ．22.5mC ．21.5mD ．20.5m【答案】C【 解 析 】 解 ： 由 题 意 可 得 ， h ＝﹣5t 2+20t+1.5＝﹣5（t ﹣2）2+21.5， 因为 a ＝﹣5＜0，故当 t ＝2 时，h 取得最大值，此时 h ＝21.5， 故选：C ．− 1 m6 − 15m215.（2020 秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是 5000 枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为 x，则该药店三月份销售口罩枚数 y（枚）与x 的函数关系式是（）A．y＝5000（1+x）B．y＝5000（1+x）2C．y＝5000（1+x2）D．y＝5000（1+2x）【答案】B【解析】解：该药店三月份销售口罩枚数 y（枚）与x 的函数关系式：y＝5000（1+x）2．故选：B．16.（2020 秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度 y 与时间 t 的函数关系满足 y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃【答案】A【解析】解：∵y＝﹣t2+12t+2＝﹣（t2﹣12t+36）+38＝﹣（t﹣6）2+38，∴当 t＝6 时，温度 y 有最大值，最大值为38℃．∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．故选：A．17.（2020 秋•光明区期末）如图，抛物线与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0）两点，点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 匀速运动，到达点 B 停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点 Q（m，n），设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t＝3 和t＝9 时，n 的值相等．下列结论：①t＝6 时，n 的值最大；②t＝10 时，n＝0；③当 t＝5 和t＝7 时，n 的值不一定相等；④t＝4 时，m＝0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①③D．②③【答案】A【解析】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线 x= 4−2 =1．2设点 P 的运动速度是每秒 v 个单位长度，则∵当 t＝3 和 t＝9 时，n 的值相等，∴x= (9v−2)+(3v−2) =1．2∴v= 1．2①当 t＝6 时，AP＝6×1 =3，此时点 Q 是抛物线顶点坐标，即 n 的值最大，故结论正确；2②当 t＝10 时，AP＝10×1 =5，此时点 Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误；2③当 t＝5 时，AP= 5，此时点 P 的坐标是（−1，0）；当 t＝7 时，AP= 7，此时点 P 的2 2 2坐标是（3，0）．因为点（−1，0）与点（−1，0）关于对称轴直线 x＝1 对称，所以 n2 2 2的值一定相等，故结论错误；④t＝4 时，AP＝4×1 =2，此时点 P 与原点重合，则 m＝0，故结论正确．2综上所述，正确的结论是①④．故选：A．18.（2020 秋•武侯区期末）关于x 的一元二次方程x2+4x+4m＝0 有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x 轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定【答案】B【解析】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+4m＝0 有两个相等的实数根，∴二次函数 y＝x2+4x+4m 的图象与 x 轴的交点情况为：有一个交点，故选：B．19.（2020 秋•昆明期末）抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则这条抛物线的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3【答案】B【解析】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴的交点是（1，0），（﹣3，0），∴这条抛物线的对称轴是：x= −1+3 =1，即 x＝1．2故选：B．20.（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）1 2A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是（1，3）C ．当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大D ．图象与 x 轴有唯一交点【答案】C【解析】解：∵y＝﹣x 2+2x+4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线 x ＝1，当 x ＜1 时， y 随 x 的增大而增大，令 y ＝0，则﹣x 2+2x+4＝0，解方程解得 x ＝1+ 5，x ＝1− 5，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与 x 轴有两个交点． 故选：C ．21.（2020•娄底）二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n ，且 m ＜n ，下列结论正确的是（ ）A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【答案】C【解析】解：二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与 x 轴交点的横坐标为 a 、b ，将其图象往下平移 2 个单位长度可得出二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2 的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．22.（2020•大连）抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线 x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（）A．（7，0）B．（3，0）C．（5，0）D．（2，0）2 2【答案】B【解析】解：设抛物线与 x 轴交点横坐标分别为 x1、x2，且 x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线 x＝1 对称可知：x1+x2＝2，即 x2﹣1＝2，得 x2＝3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0），故选：B．23.（2020•昆明）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的正实数根在 2 和 3 之间C ．a =m+23D ．点 P （t ，y ），P （t+1，y ）在抛物线上，当实数 t ＞ 1时，y ＜y112231 2【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线 x =− b 2a=1，∴b＝﹣2a ＜0，∴ab＜0，所以 A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线 x ＝1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1， 0）之间，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程 ax 2+bx+c ＝0 的正实数根在 2 和 3 之间，所以 B 选项的结论正确； 把 B （0，﹣2），A （﹣1，m ）代入抛物线得 c ＝﹣2，a ﹣b+c ＝m ， 而 b ＝﹣2a ，∴a+2a﹣2＝m ，∴a = m+2，所以 C 选项的结论正确；3∵点 P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，∴当点 P 1、P 2 都在直线 x ＝1 的右侧时，y 1＜y 2，此时 t≥1；当点 P 1 在直线 x ＝1 的左侧，点 P 2 在直线 x ＝1 的右侧时，y 1＜y 2，此时 0＜t ＜1 且 t+1 ﹣1＞1﹣t ，即1＜t ＜1，2∴当1 ＜t＜1 或t≥1时，y ＜y ，所以 D 选项的结论错误．2 1 2故选：D．24.（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）在 x＝1 和 x＝﹣2 处的函数值相等；③函数 y＝kx+1 的图象与 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值． A．①③B．①②③C．①④D．②③④【答案】C【解析】解：依照题意，画出图形如下：∵函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中 n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为 x=−b=−1，2a∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为 x＝﹣1，∴x＝1 与 x＝﹣3 的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：y = kx + 1，y = ax 2 + 2ax + a + n可得 ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于 0，∴无法判断函数 y＝kx+1 的图象与 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3 时，当x＝﹣1 时，y 有最大值为 n，当x＝3 时，y 有最小值为 16a+n，故④正确，故选：C．25.（2020•随州）如图所示，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；④当△BCD 是直角三角形时，a=−2．2其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线 x=−b=1，2a∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当 x＝﹣1 时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点 C（0，﹣3a），当BC＝AB 时，4= 9 + 9a 2，∴a=−7，3当AC＝BA 时，4= 1 + 9a 2，∴a=−15，3∴当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个，故③正确；∵二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点 D（1，﹣4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得 BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a=−2，2若∠DCB＝90°，可得 BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD 是直角三角形时，a＝﹣1 或−2，故④错误．2故选：B．二、填空题（共 18 小题）：26.（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3 是关于x 的二次函数，则m＝．【答案】3【解析】解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且 m2+m≠0，解得 m＝3，故答案为：3．27.（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8 的顶点坐标为．【答案】（1，8）【解析】解：∵抛物线 y＝3（x﹣1）2+8 是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．28.（2020•兰州）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h 的图象上，则k＝．【答案】3【解析】解：由二次函数 y＝﹣（x+2）2+h 可知，抛物线的对称轴为直线 x＝﹣2，∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3），∵B（0，k）在二次函数 y＝﹣（x+2）2+h 的图象上，∴点 B 就是点 A 的对称点，∴k＝3，故答案为 3．29.（2020•德阳）若实数x，y 满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s 的取值范围是．【答案】s≥9【解析】解：由 x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入 s＝x2+8y2 得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3 时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．30.（2020•西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5 有最大值m，则m＝．【答案】10【解析】解：∵二次函数 y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数开口向上，对称轴为 x＝2，∵当﹣1≤x≤3 时，二次函数 y＝x2﹣4x+5 有最大值 m，∴当 x＝﹣1 时，该函数取得最大值，此时 m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案为：10．31.（2020 秋•伊通县期末）二次函数y＝x2+bx+5 配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝．【答案】1【解析】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），又∵y＝x2+bx+5，∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，∴b＝﹣4，k＝1．故答案是：1．32.（2020•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1 向上平移3 个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11 的值是．【答案】-5【解析】解：将抛物线 y＝ax2+bx﹣1 向上平移 3 个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则 8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5．33.（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（4，2）．若抛物线 y=−3（x﹣h）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于 C、D 两点，2且CD= 1AB，则k 的值为．2【答案】k= 72【解析】解：∵点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线 y=−3（x﹣h）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于C、D 两点，且 CD= 1AB＝2 22，∴设点 C 的坐标为（c，2），则点 D 的坐标为（c+2，2），h= 2c+2 =c+1，2∴2=−3[c﹣（c+1）]2+k，解得，k= 7．2 234.（2020•益阳）某公司新产品上市 30 天全部售完，图 1 表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2 表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．【答案】1800【解析】解：设日销售量 y 与上市时间 t 之间的函数关系式为 y＝kx，30k＝60，得 k＝2，即日销售量 y 与上市时间 t 之间的函数关系式为 y＝2t，当 0＜t≤20 时，设单件的利润 w 与 t 之间的函数关系式为 w＝at，20a＝30，得 a＝1.5，即当 0＜t≤20时，单件的利润 w 与t 之间的函数关系式为 w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润 w 与t 之间的函数关系式为 w＝30，设日销售利润为 W 元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当 t＝20 时，W 取得最大值，此时 W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当 t＝30 时，W 取得最大值，此时 W＝1800，综上所述，最大日销售利润为 1800 元，故答案为：1800．35.（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出20 顶．已知头盔的进价为每顶50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．【答案】70【解析】解：设每顶头盔的售价为 x 元，获得的利润为 w 元， w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，∴当 x＝70 时，w 取得最大值，此时 w＝8000，故答案为：70．36.（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：m i n）满足函数表达式 y＝﹣0.2x2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为min．【答案】3.75【解析】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x=− 1.5=3.75 时，y 取得最大值，2×(−0.2)则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．37.（2020 秋•澄海区期末）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】1.5【解析】解：∵s＝18t﹣6t2，＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，∴当 t＝1.5 秒时，s 取得最大值，即汽车停下来．故答案为：1.5 38.（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1 与x 轴有交点，则k 的取值范围是．【答案】k≤5且k≠14【解析】解：∵抛物线 y＝（k﹣1）x2﹣x+1 与 x 轴有交点，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤5，4又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围是k≤5且k≠1；4故答案为：k≤5且k≠1．439.（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是．【答案】k＞﹣1【解析】解：∵二次函数 y＝﹣x2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1． 40.（2020•青岛）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x 轴交点的个数是．【答案】2【解析】解：∵抛物线 y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数），∴当 y＝0 时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k 有两个不相等的实数根，∴抛物线 y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x 轴有两个交点，故答案为：2．41.（2019•贵港）我们定义一种新函数：形如 y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且 b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；⑤当x＝1 时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．【答案】4【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值 y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y＝0，求出相应的 x 的值为 x＝﹣1 或 x＝3，因此④也是正确的；(m + n)2 − 4mn b 2 − 4(c − h) ⑤从图象上看，当 x ＜﹣1 或 x ＞3，函数值要大于当 x ＝1 时的 y ＝|x 2﹣2x ﹣3|＝4， 因此⑤是不正确的； 故答案是：442.（2018•河池）如图，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，与 x 轴平行的直线 l交抛物线于 A 、B ，交 y 轴于 M ，若 AB ＝6，则 OM 的长为．【答案】9【解析】解：抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，则 b 2﹣4c ＝0， 设 OM ＝h ，A 、B 点的横坐标分别为 m 、n ， 则：A （m ，h ）、B （n ，h ）， 由题意得：x 2+bx+（c ﹣h ）＝0， 则：m+n ＝﹣b ，mn ＝c ﹣h ，AB ＝6＝n ﹣m = = = 4h ，解得：h ＝9，1 2 1 2 故答案为 9；附注：其它解法：将抛物线平移，顶点至原点，此时 y ＝x 2， 则点 B 点横坐标为 3， 故 y ＝9．43.（2020•荆门）如图，抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与 x 轴交于点 A 、B ，顶点为 C ， 对称轴为直线 x ＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点 C 的坐标为（1，2），则△ ABC 的面积可以等于 2；③M（x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x +x ＞2，则 y ＜y ； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程 ax 2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为．【答案】①④【解析】解：①抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab ＜0，而 c ＞0，故 abc ＜0，正确，符合题意；②△ABC 的面积= 1AB•y = 1×AB×2＝2，解得：AB ＝2，则点 A （0，0），即 c ＝0 与2C2图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为 x ＝1，若 x +x ＞2，则1（x +x ）＞1，则点 N 离函数对称轴远，故1221 2y 1＞y 2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则 y′＝ax 2+bx+c+1 过点（3，0），1 12 2根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程 ax 2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1， 3，故④正确，符合题意； 故答案为：①④．三 、 解 答 题 （ 共 7 小 题 ）： 44.（2020•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M （x ，y ），N （x ，y ）为抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）上任意两点，其中 x 1＜x 2．（1）若抛物线的对称轴为 x ＝1，当 x 1，x 2 为何值时，y 1＝y 2＝c ；（2）设抛物线的对称轴为 x ＝t ，若对于 x 1+x 2＞3，都有 y 1＜y 2，求 t 的取值范围．【答案】(1)x ＝0，x ＝2；(2)t≤ 3.122【解析】解：（1）由题意 y 1＝y 2＝c ，∴x 1＝0，∵对称轴 x ＝1，∴M，N 关于 x ＝1 对称，∴x 2＝2，∴x 1＝0，x 2＝2 时，y 1＝y 2＝c ．（2）①当 x 1≥t 时，恒成立．②当 x 1＜x 2≤t 时，恒不成立．③当 x 1＜t ．x 2＞t 时，∵抛物线的对称轴为 x ＝t ，若对于 x 1+x 2＞3，都有 y 1＜y 2， 当 x +x ＝3，且 y ＝y 时，对称轴 x = 3，12122∴满足条件的值为：t≤ 3．245.（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点 A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线 y＝x+m 经过点 A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点．（1）判断点 B 是否在直线 y＝x+m 上，并说明理由；（2）求 a，b 的值；（3）平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】(1)点 B（2，3）在直线 y＝x+m 上；(2)a＝﹣1，b＝2；(3)当 p＝1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5.4【解析】解：（1）点 B 是在直线 y＝x+m 上，理由如下：∵直线 y＝x+m 经过点 A（1，2），∴2＝1+m，解得 m＝1，∴直线为 y＝x+1，把 x＝2 代入 y＝x+1 得 y＝3，∴点 B（2，3）在直线 y＝x+m 上；（2）∵直线 y＝x+1 经过点 B（2，3），直线 y＝x+1 与抛物线 y＝ax2+bx+1 都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点且B、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过 A、C 两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1 得a + b + 1 = 2，4a + 2b + 1 = 1解得 a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线的解析式为 y ＝﹣x 2+px+q ，其顶点坐标为（p，p 2+q ），24∵顶点仍在直线 y ＝x+1 上，∴p 2+q = p+1，4∴q =− p 242+ p+1，2∵抛物线 y ＝﹣x 2+px+q 与 y 轴的交点的纵坐标为 q ，∴q =− p2+ p +1=− 1（p ﹣1）2+ 5，4244∴当 p ＝1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5．446.（2020•昆明）如图，两条抛物线 y ＝﹣x 2+4，y =− 1x 2+bx+c 相交于 A ，B 两点，点 A125在 x 轴负半轴上，且为抛物线 y 2 的最高点．（1）求抛物线 y 2 的解析式和点 B 的坐标；（2）点 C 是抛物线 y 1 上 A ，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y 2 于点 D ，当线段 CD 取最大值时，求 S △BCD ．【答案】(1)抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4，点 B （3，﹣5）；225 5 511(2)S = 25.△BCD 4【解析】解：（1）当 y ＝0 时，即﹣x 2+4＝0，解得 x ＝2 或 x ＝﹣2， 又点 A 在 x 轴的负半轴， ∴点 A （﹣2，0），∵点 A （﹣2，0），是抛物线 y 2 的最高点．∴−b=−2，即 b =− 4，5 2×(− )5把 A （﹣2，0）代入 y =− 1x 2− 4x+c 得，c =− 4，25 5 5∴抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4；225 5 5y 1 =− x 2 + 4 x =− 2 x = 3 由 1 4 4得， 1， 2 ， y 2 =− x 2 − x −5 5 5y 1 = 0 y 2 =− 5 ∵A（﹣2，0），∴点 B （3，﹣5），答：抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4，点 B （3，﹣5）；225 5 5（2）由题意得，CD ＝y ﹣y ＝﹣x 2+4﹣（− 1x 2− 4x − 4），125 5 5即：CD =− 4x 2+ 4x + 24，5 55当 x =− b = 1时，CD =− 4 × 1+ 4× 1+ 24=5，2a 2最大54 5 2 5∴S = 1×5×（3− 1）= 25．△BCD2 2447.（2020•衡阳）在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象过点 （﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1 时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数 y ＝（2﹣m ）x+2﹣m 的图象与二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b ，且 a ＜3＜b ，求 m 的取值范围．【答案】(1)y ＝x 2﹣x ﹣2；(2)y 的最大值与最小值的差为：4﹣（− 9）= 25； 44(3)m 的取值范围是 m ＜1.【解析】解：（1）由二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴ 1 − p + q = 0 4 + 2p + q = 0 ，解得 p =− 1， q =− 2∴此二次函数的表达式为 y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x =−1+2 = 1，22∴在﹣2≤x≤1 范围内，当 x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当 x = 1时函数2有最小值：y = 1− 1 −2=− 9，4 2 4∴y 的最大值与最小值的差为：4﹣（− 9）= 25；44（3）y ＝（2﹣m ）x+2﹣m 与二次函数 y ＝x 2﹣x ﹣2 图象交点的横坐标为 a 和 b ，∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x+2﹣m ，整理得 x 2+（m ﹣3）x+m ﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1． 48.（2020•西宁）如图 1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，且 B 点坐标为（0，4），以点 A 为顶点的抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2．（1）求一次函数的解析式；（2）如图 2，将抛物线的顶点沿线段 AB 平移，此时抛物线顶点记为 C，与 y 轴交点记为D，当点 C 的横坐标为﹣1 时，求抛物线的解析式及 D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段 AB 上是否存在点 P，使以点 B，D，P 为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝2x+4；(2)点 C 坐标为（﹣1，2）；(3)点 P 的坐标为：（−3，1）或（−6，8）.2 5 5【解析】解：（1）∵抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2，∴点 A 的坐标为（﹣2，0），设一次函数解析式为 y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），B（0，4）代入 y＝kx+b，得−2k + b = 0，b = 4解得k = 2，b = 4∴一次函数解析式为 y＝2x+4；（2）∵点 C 在直线 y＝2x+4 上，且点 C 的横坐标为﹣1，∴y＝2×（﹣1）+4＝2，∴点 C 坐标为（﹣1，2），设平移后的抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵a＝﹣1，顶点坐标为 C（﹣1，2），∴抛物线的解析式是 y＝﹣（x+1）2+2，∵抛物线与 y 轴的交点为 D，∴令 x＝0，得 y＝1，∴点 D 坐标为（0，1）；（3）存在，①过点 D 作 P1D∥OA 交 AB 于点 P1，22 + 42∴△BDP 1∽△BOA，∴P 1 点的纵坐标为 1，代入一次函数 y ＝2x+4， 得 x =− 3，2∴P 的坐标为（− 3，1）；12②过点 D 作 P 2D⊥AB 于点 P 2，∴∠BP 2D ＝∠AOB＝90°，又∵∠DBP 2＝∠ABO（公共角），∴△BP 2D∽△BOA，∴ OBP 2B= AB ，BD∵直线 y ＝2x+4 与 x 轴的交点 A （﹣2，0），B （0，4）， 又∵D（0，1）， ∴OA＝2，OB ＝4，BD ＝3，∴AB = = 2 5，6 5 52∴ 4P 2B= 2 5，3∴P B = 6 5， 5过 P 2 作 P 2M⊥y 轴于点 M ， 设 P 2（a ，2a+4），则 P 2M ＝|a|＝﹣a ，BM ＝4﹣（2a+4）＝﹣2a ， 在 Rt△BP 2M 中P 2M 2 + BM 2 = P 2B 2，∴( − a)2 + ( − 2a)2 = ()2，解得 a =± 6a = 6（舍去）， 55∴a =− 6，5∴2a + 4 = 8，5∴P 的坐标为（− 6，8），25 5综上所述：点 P 的坐标为：（− 3，1）或（− 6，8）．25549.（2020•广安）如图，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣1，0），B （3，0）两点， 过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C （2，m ）． （1）求抛物线的解析式．（2）点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E ，求线段 PE 最大时点 P 的坐标．（3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D ，使得以点 A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)当 x= 1时，PE 的最大值= 9，此时 P（1，−3）；2 4 2 2(3)满足条件的点D 的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4−7，0）或（4+ 7，0）.【解析】解：（1）将 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝x2+bx+c，得到1 −b + c = 09 + 3b + c = 0；解得b =−2，c =−3∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将 C 点的横坐标 x＝2 代入 y＝x2﹣2x﹣3，得 y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线 AC 的函数解析式是 y＝﹣x﹣1．设P 点的横坐标为 x（﹣1≤x≤2），则P、E 的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P 点在 E 点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x−1）2+ 9，2 4∵﹣1＜0，∴当 x= 1时，PE 的最大值= 9，此时 P（1，−3）．2 4 2 2（3）存在．理由：如图，设抛物线与 y 的交点为 K，由题意 K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x 轴，CK ＝2，当 AC 是平行四边形 ACF 1D 1 的边时，可得 D 1（﹣3，0）．当 AC 是平行四边形 AF 1CD 2 的对角线时，AD 2＝CK ，可得 D 2（1，0）， 当点 F 在 x 轴的上方时，令 y ＝3，3＝x 2﹣2x ﹣3，解得 x ＝1± 7， ∴F 3（1− 7，3），F 4（1+ 7，3），由平移的性质可知 D 3（4− 7，0），D 4（4+ 7，0）．所以，满足条件的点 D 的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4− 7，0）或（4+ 7，0）。

【巩固练习】1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．无法判断D．等于零2．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()3．方程x 3＋3x－3＝0的解在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．以上均不对4．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x －10123f(x)－0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A .(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5.若方程0xa x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(0,)+∞6．3()21f x x x =--零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为()A ．y＝0.950x B ．y＝(1－0.150x)m C ．y＝0.950x·m D ．y＝(1－0.150x )m9．若函数f(x)＝x 2－ax－b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax－1的零点是________．10．若一元二次方程f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a>0)的两根x 1、x 2满足m<x 1<n<x 2<p ，则f(m)·f(n)·f(p)________0.(填“>”、“＝”或“<”)11．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h 米处落下，弹跳高度d 与下落高度h 的关系.h(米)5080100150…d(米)25405075…写出一个能表示这种关系的式子为________．12．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．13．用二分法求方程x 3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)．14．若方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内，求a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝1x ＋212x －2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．16．某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (时间：天)的数据如下表：时间t 50110250种植成本Q 150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝ab t，Q ＝a log b t ；(2)利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．【答案与解析】1.【答案】C【解析】由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．2.答案C【解析】把y=f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．3.【答案】A【解析】将函数y 1＝x 3和y 2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．4.【答案】B【解析】令φ(x)＝f(x)－g(x)，φ(0)＝f(0)－g(0)<0.φ(1)＝f(1)－g(1)>0且f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，所以φ(x)的图象．在[－1,3]上也连续不断，因此选B .5．【答案】A【解析】作出图象，发现当1a >时，函数xy a =与函数y x a =+有2个交点6．【答案】A【解析】令3221(1)(221)0x x x x x --=-++=，得1x =，就一个实数根7．【答案】C【解析】容易验证区间(,)(2,1)a b =--8.【答案】C【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9150，即x 年后湖水量为y＝0.950x·m.9.【答案】－12和－13【解析】2和3是方程x 2－ax－b＝0的两根，所以a＝5，b＝－6，∴g(x)＝－6x 2－5x－1.令g(x)＝0得x 1＝－12，x 2＝－13.10.【答案】<【解析】∵a>0，∴f(x)的图象开口向上，∴f(m)>0，f(n)<0，f(p)>0，∴f(m)·f(n)·f(p)<0.11.【答案】d＝2h 12.【答案】跌了1.99%【解析】(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.13.解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x 0.区间中点m f(m)的符号区间长度(1,2) 1.5＋1(1,1.5) 1.25＋0.5(1,1.25) 1.125－0.25(1.125,1.25) 1.1875＋0.125(1.125,1.1875)0.0625∵|1.875－1.125|＝0.0625<0.1，∴x 0可取为1.125(不唯一)．14.【解析】令f (x )＝x 2－ax ＋2，则方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔203280a a ⎧<<⎪⎨⎪∆=-=⎩或f (0)·f (3)<0⇔a 或a >113.15.【解析】由f(x)=0，得21122x x =-+，令11y x =，22122y x =-+，分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为(0,2)，与x 轴交于点(-2,0)、(2,0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数y=f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上分别是连续不断的曲线，且f(-3)=613>0，f(-2)=21-<0，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=81>0，f(1)=21-<0，f(2)=21>0，即f (－3)·f (－2)<0，1(2f ·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴三个零点分别在区间(－3，－2)、1,12⎛⎫⎪⎝⎭、(1,2)内．16.【解析】(1)由表中提供的数据知道，描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝ab t，Q ＝a log b t 中的任一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，应选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，当a＝0时，为单调函数)进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得到：150250050 10812100110 150********a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩.解上述方程组得a＝1200，b＝－32，c＝4252，所以，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝1200t2－32t＋4252.(2)当t＝－3212200-⨯＝150(天)时，该农产品种植成本最低为Q＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/102kg)．所以，该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/102kg.。

函数基础练习题函数是计算机编程中的重要概念，它能够将一组操作过程封装成一个可重用的代码块。

函数使得代码更加模块化，易于理解和维护。

在学习函数的过程中，我们需要进行一些基础练习题，以巩固对函数的理解和应用。

本文将为大家提供一些函数基础练习题，帮助大家更好地掌握函数的使用。

题目一：求和函数编写一个名为sum的函数，接受一个整数n作为参数，返回1到n 之间所有整数的和。

def sum(n):result = 0for i in range(1, n+1):result += ireturn resultprint(sum(10))题目二：阶乘函数编写一个名为factorial的函数，接受一个非负整数n作为参数，返回n的阶乘。

def factorial(n):result = 1for i in range(1, n+1):result *= ireturn resultprint(factorial(5))题目三：字符串逆序函数编写一个名为reverse_string的函数，接受一个字符串作为参数，返回逆序后的字符串。

def reverse_string(s):return s[::-1]print(reverse_string("Hello World"))题目四：判断素数函数编写一个名为is_prime的函数，接受一个正整数n作为参数，判断n是否为素数，并返回一个布尔值。

def is_prime(n):if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(n**0.5)+1):if n % i == 0:return Falsereturn Trueprint(is_prime(17))题目五：列表去重函数编写一个名为remove_duplicates的函数，接受一个列表作为参数，去除列表中重复的元素，并返回去重后的列表。

def remove_duplicates(lst):return list(set(lst))print(remove_duplicates([1, 2, 3, 2, 4, 1, 5]))通过以上五个练习题，我们可以巩固函数的基础知识。

专题1人教A 版集合与函数的概念知识点与基础巩固题——寒假作业1（原卷版）集合部分考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.考点二：集合的基本运算 基础知识复习1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。

记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．3、交集与并集的性质：A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A.4、全集与补集（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U 来表示。

（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。

函数应用题典型题目一、基础训练1．某电脑单价为a 元，现八折优惠，则购电脑x （*x N ∈）台所需款项y 元与x 的函数关系式是 ．2．某人去银行存款a 万元，每期利率为p ，并按复利计算，则存款n （*x N ∈）期后本利和为万元．3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 与y 之间的函数关系是 ．4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格()f t 与时间t 满足关系式1()102f t t =+（110t ≤≤，*t N ∈），销量()g t 与时间t 满足关系式()24g t t =-（110t ≤≤，*t N ∈），则这种商品的日销售额的最大值为 ．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是 ．6．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 ．（围墙不计厚度）7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：x 的解析式为 ，若30y =，则此人购物总金额为 元．8．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，点B （起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则ABP ∆的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是 ．二、例题精讲例1．某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有30.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理31m 污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付14元排污费．（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明； （2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？例3．如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向做匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c R ∈）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与||v c S -⨯成正比，比例系数为1；○2其他面的淋雨量之和，其值为12．记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d =，面积32S =．（1）写出y 的表达式；（2）若010,05v c <≤<≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．例4．已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 与C 之间的距离为100km ，从A 到C ，先乘船到D ，船速为25km/h ，再乘汽车由D 到C ，车速为50km/h ．设从A 到C 所用时间为y （h ）．（1）按下列要求写出函数关系式：○1设ADB θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数关系式；○2设BD x =（km ），将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A 到C 所用时间最少．三、巩固练习1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t （单位：min ）后的温度是T ，则01()2tha a T T T T ⎛⎫-=-⋅⎪⎝⎭，其中a T 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88C ︒热水冲的速溶咖啡,放在24C ︒的房间中,如果咖啡降到40C ︒需要20min,那么这杯咖啡要从40C ︒降到32C ︒,还需 时间．3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为 元．4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t %征收木材税,这样每年的木材消耗量减少52t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的取值范围是 ．四、要点回顾1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．函数模型及其应用作业1．假如某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =，广告效应为D A =，则广告费A = 时，广告效应D 最大．2．已知产品生产件数x 与成本y （万元）之间有函数关系2300200.1y x x =+-，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为 件．3．铁道机车运行1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度x （km/h ）的平方成正比，比例系数为k （0k >）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y （元）与机车运行速度x 之间的函数关系为 ．4．用总长为14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m ，则它的最大容积为 3m ．5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第 层．6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．则该产品每月生产吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元．（利润=收入-成本）7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （0k >）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围．8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出此最大值．（精确到1辆/小时）9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()f x ，()g x 及任意0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．（1）请解释(0)f ，(0)g 的实际意义；（2）设直线1100y x =与()y f x =的图像交于点00(,)x y ，00x >，请解释00(,)x y 的实际意义．10．在50km长的铁路线AB旁的C处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km．由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D处修一货物运转站，沿CD修一公路（如图），为了使原料从B处经货物转运站运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？。