2018届内蒙古呼和浩特市高三11月质量普查考试数学(理)试题

2018年呼和浩特市高三年级第二次质量普査调研考试参考答案及评分标准理科数学一.选择题（每小题5分，共60分）二.填空题（每小题5分，共20分）13. _______ ^10 ___________________ 14. _________ ___________________ 15. __________9 __________________ 16. ___________ _________________三.综合题（必做题每题12分，选做题每题10分，共70分）17. （ I ）由题意,AC=3,彳艮据余弓玄定理可知：BD 2 = AB 2 + AD 2- 2AB • AD ・cosA =三3（II ）在AABD 和ACBD 屮分别使用正弦定理可得下列方程组 由乙ADB+乙CDB=ir 得sinzADB=sinzCDB ........................................................................................................................................ 10 分于是，结合AD=2CD,将上面的两个方程相比可得，sin ZABD 2BC八sin ZDBC AB18. （ I ）由分层抽样的定义可知，从质量在［250,300）中抽取的芒果数为6, ..................................... 1分rkr3—k则X 的取值为0,1,2,3,且P(X = k)=Q^— (k = 0,1,2,3),于是分布列为数学期望E(X)=3 x|= 1- .............................................................................................. .................................. 6分(II)由题目数据可知，这10000个芒果的总质量的平均值为10000 x (125 x 0.1 + 175 x 0.1 + 225 x 0.15 + 275 x 0.4 + 325 x 0.2 + 375 x 0.05) =2575000 g= 2575 kg故，利用方案A 的获利为25750元； ....................................................... 8分对于方案B,由频率分布直方图可得，质量低于250g 的芒果出现的频率为0.35,所以在10000个芒果 中，有于是 cosA = |, .............................................................................................................................................. 2分所以，BD=逬. .............................................................................................................................................. 4分4D sin zABD DC sinzDBCAB sinzADB BC sinzBDC3500个质量低于250g的芒果，故利用方案B的获利为3500 X 2 + 6500 x 3 = 26500元.（10分）综上，利用方案B 获利更大。

内蒙古呼和浩特市2018届高三第一次质量调研普查考试语文注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上。

本试卷满分150分，考试时间150分钟。

版权所有2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

21教育网3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

在王阳明之前，学者们是把知和行分开来说的，知是知，行是行。

而王阳明则认为，“知行一体”，知中就有行，行中就有知。

“知行工夫本不可离，只为后世学者分作两截用功，失却知行本体，故有合一并进之说。

”“某尝说知是行的主意。

行是知的功夫。

知是行之始。

行是知之成。

若会得时，只说一个知，已自有行在。

只说一个行，已自有知在。

”“知者行之始。

行者知之成。

圣学只一个功夫。

知行不可分作两事。

”实际上，知和行是融在一起的，每个人关注的东西和每个人的兴奋点、喜好是连在一起的，这不完全是知的问题，这包含了每个人自身的感受偏向在里面。

所以，知里面就有行，行就包含了知。

平时做工作时，越是熟悉的工作，就越喜欢做。

越是不熟悉的工作，就越不愿意做，甚至害怕去做，也是这个道理。

简言之，一个人的行动当中包含着他本身的知识，知行是一体的。

这里面有一个真知与假知、真行与假行的问题。

知行合一、知行一体指的都是真知真行。

“大学指个真知行与人看，说，如好好色，如恶恶臭。

见好色属知，好好色属行，只见那好色时已自好了，不是见了后又立个心去好；闻恶臭属知，恶恶臭属行，不是闻了后别立个心去恶。

”“知之真切笃实处即是行，行之明觉精察处即是知。

”王阳明的弟子王龙溪曾阐发王阳明的思想，他讲：“天下只有个知，不行不足谓之知。

2018年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A =-，2|340B x x x =+-<，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．[]1,0-C ．{}0,1D ．{}0 2.已知复数3x iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限，则实数x 的取值范围是（ ） A ．1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．1|33x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D ．1|33x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 3.已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前8项的和n S =（ ） A ．510 B ．126 C ．256 D ． 512 4.已知a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（ ） A ．//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．a α⊥，a b ⊥，则//b αC. a α⊂，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ D ．ab A =，//a α，//b α，//a β，//b β，则//αβ5.有10000人参加某次考试，其成绩X 近似服从正态分布()2100,13N .()611390.997P X <<=.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（ ） A ．10 B ．30 C.15 D ．236.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（ ） A ．96 B ．48 C.72 D ．367.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π.若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则在下列区间中使()y g x =是减函数的是（ ）A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,2424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长的棱的长度等于（ ）A ．5cmB cm D ．cm9.设()2sin ,01,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩ ，则函数()f x （ ）A ．有极值B ．有零点 C. 是奇函数 D ．是增函数10.定义x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]44=，[]1.62-=-，下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》，执行该程序框图，则输出的a =（ ）A ．9B ．16 C.23 D ．3011.为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站M 只能建在B 村的西偏北方向，要求与A 村相距5km ，且与C ,已知B 村在A 村的正东方向，相距3km ，C 村在B 村的正北方向，相距，则垃圾处理站M 与B 村相距（ ） A ．2km B ．5km C. 7km D ．8km12.设抛物线24y x =的焦点为F，过点)M的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，3BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆（ ） A ．34 B ．45 C. 56 D ．67第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，则2a b -= ．14.已知实数x ，y 满足条件2221y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3y x +的最大值为 ．15.将正方形ABCD 分割成()22,n n n N ≥∈个全等的小正方形（图1，图2分别给出了2,3n =的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A ，B ，C ，D 处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则()5f =．16.已知,a b R ∈，且1x eax b +≥+对x R ∈恒成立，则ab 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，点D 是边AC 上一点，且2ADCD =（Ⅰ）若90ABC ∠=，2AB AD ==，求BD 的长； （Ⅱ）求证sin 2sin ABD BCDBC AB∠=∠.18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）现按分层抽样从质量为[)250,300，[)300,350的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[)300,350内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对这10000个芒果提出如下两种收购方案： A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD CD ⊥，PA ⊥底面ABCD ，1BC CD ==，2PA AD ==，A 与PC 垂直的平面分别交PB ，PC ，PD 于E ，F ，G 三点（Ⅰ）求证：点G 是PD 的中点； （Ⅱ）求PD 与平面ACE 所成角的正弦值.20.已知点P 为圆2218x y +=上一动点，PQ ⊥x 轴于点Q ，若动点M 满足1233OM OP OQ =+. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()4,0E -的直线()40x my m =-≠与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，求DE AB的值.21.已知函数()h x ne =，直线:1l y x =+，其中e 为自然对数的底.（Ⅰ）当1a =，0x >时，求证：曲线()()12f x h x x =-在直线l 的上方； （Ⅱ）若函数()h x 的图象与直线l 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的两个交点的横坐标1x ，2x 及对应的a 值，当12x x <时， 求证：()()()()12122122212xx x x x x e exx e e a e e ---+<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （Ⅰ）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点. 证明：22PMPN +为定值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-.（Ⅰ）解不等式()()246f x f x ++≥；（Ⅱ）若,a b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+.试卷答案一、选择题1-5: BAADC 6-10:BBCDC 11、12：CD二、填空题1215. 9 16.312e三、解答题17.（Ⅰ）由题意，3AC=；于是2cos3A=.根据余弦定理可知：22222cos3BD AB AD AB AD A=+-⋅⋅=所以，BD=（Ⅱ）在ABD∆和CBD∆中分别使用正弦定理可得下列方程组sin sinsin sinAD ABABD ADBDC BCDBC BDC⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩①②由ADB CDBπ∠+∠=得sin sinADB CDB∠=∠于是，结合2AD CD=，将上面的两个方程相比可得：sin2sinABD BCDBC AB∠=∠18.（Ⅰ）由分层抽样的定义可知，从质量在[)250,300中抽取的芒果数为6.则X的取值为0,1,2,3，且()()33630,1,2,3k kC CP X k kC-===，于是分在列为数学期望()319E x=⨯=.（Ⅱ）由题目数据可知，这10000个芒果的总质量的平均值为()100001250.11750.12250.152750.43250.23750.052575000g2575kg ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==故，利用方案A 的获利为25750元.对于方案B ，由频率分布直方图可得，质量低于250g 的芒果出现的频率为0.35，所以在10000个芒果中，有3500个质量低于250g 的芒果，故利用方案B 的获利为350026*********⨯+⨯=元. 综上，利用方案B 获利更大.19.（Ⅰ）由题，PC ⊥面AGFE ，所以PC AG ⊥.又CD AD CD PACD AD PA A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面PAD CD AG ⇒⊥， 所以AG PC AG CDAG PC CD C ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面PCD ， 所以AG PD ⊥，在等腰直角三角形PAD 中，G 为PD 的中点. （Ⅱ）如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系，从而()0,0,0A ，()1,1,0B -，()0,2,0D ，()1,2,0C -，()0,0,2P ，()1,1,2PB =--.设PE kPB =，所以(),,22AE k k k =--，由0AE PC ⋅=可得47k =， 所以446,,777AE ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()1,2,0AC =-，()0,2,2PD =- ， 设面ACE 的法向量为(),,n x y z =由0n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得204460777x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2x =，可得22,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设直线PD 与平面ACE 所成的角为θ，所以，sin cos ,14PD n θ=<>=. 20.解：（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则()0,0Q x ，所以(),OM x y =，()00,OP x y =，()0,0OQ x .由1233OM OP OQ =+化简得0x x =，03y y =，因为220018x y +=，代入得221182x y +=，即为M 的轨迹为椭圆方程.由（1）知，点()4,0E -为椭圆C 的左偏点，将直线()40x my m =-≠被代入椭圆方程消去x 得()229820my my +--=，()2264890m m ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12289my y m +=+，12229y y m -⋅=+.则()121227289x x m y y m -+=+-=+，所以线段AB 的中点坐标为22364,99m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段AB 的垂直平分线所在直线方程为2243699m y m x m m ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭令0y =得2329x m -=+，即232,09D m -⎛⎫⎪+⎝⎭所以()2224132499m DE m m +-=+=++)212219m AB y m +==-=+所以3DE AB ==21.解：（1）令()2112xJ x e x x =--- 则()'1xJ x e x =--()''1x J x e =-所以0x >时，()'J x 为增函数，所以()0,x ∈+∞时，()()''00J x J >=所以()J x 在()0,x ∈+∞时，单调递增， 所以()0,x ∈+∞时，()()00J x J >=，即2112xe x x ->+ （2）令()1xS x ae x =--，则()'1xS x ae =-当0a ≤时，()'0S x <，()S x 在R 上单调递减，不可能有两个零点，故不合题意当0a >时，()S x 在1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增因为()S x 有两个零点，所以()max 11ln ln 0S x S a a⎛⎫==-< ⎪⎝⎭ 所以01a << 此时()10a S e -=>，所以()S x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点 又当x →+∞时，()0S x >所以()S x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点 所以得出：01a << （3）由已知111xae x =+，221x aex =+.所以2121x x x x a e e-=-. 只需证明()()()()()21121221212xxxx x x e e x x e exx e e ---+<-+.即证()()2112210xxxx e e x x e e---+<.方法一：由（2）知()010S a =-<，1210,0x x -<<>.则 *式等价于()1221211x x x x x x e e e e-=+>-，即()121x x a e e +>. 因为()12122211xx a e ex xx +>++>+>所以()()()()21122122212xxxx x x e e x x e ea e e ---+<-成立方法二：令()()()1121xxx xY x e e x x e e=---+，则()()1'1x xY x x x ee ⎡⎤=--+⎣⎦.当1x x >时，可得()'0Y x <，所以函数()Y x 在()1,x +∞上为减函数从而当1x x >时()()10Y x Y x >= 所以()()()()21122122212xxxx x x e e x x e ea ee ---+<-成立方法三：由题意，（3）中等式等价于证明：121x x +>- 事实上，由（2）知：1210,0x x -<<>，所以上式成立. 22.解：（1）圆C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）若2cos21ρθ=等价化为2222cos sin 1ρθρθ-=，再由互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=得其直角坐标方程为221x y -=（2）由（1）知()1,0M -，()1,0N ，设()2cos ,2sin P θθ，则()()2222222cos 14sin 2cos 14sin 10PM PN θθθθ+=+++-+=.23.（Ⅰ）不等式()()246f x f x ++≥即为2136x x -++≥ 当3x ≤-时，1236x x ---≥解得3x ≤-当132x -<<，1236x x -++≥解得32x -<≤- 当12x ≥时，2136x x -++≥解得43x ≥综上，(]4,2,3x ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭； （Ⅱ）等价于证明1ab a b ->-因为,1a b < ，所以1,1a b -<<，1ab <，11ab ab -=- 若a b =，命题成立；下面不妨设a b >，则原命题等价于证明1ab a b ->- 事实上，由()()()1110ab a b b a ---=+-> 可得1ab a b ->- 综上，1ab a b ->-。

内蒙古呼和浩特市2018-2019学年普通高中学生学业水平模拟考试数学试题-附答案精品2018年内蒙古呼和浩特市普通高中学生学业水平考试数学试卷（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟）参考公式：柱体体积公式Sh V =，锥体体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高）：球的体积公式334R V π=（其中R 为球的半径）. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2, 3, 4, 5M =，集合{}2,4,6N =，则M N 是（ ) A ．{}2, 3, 4 5， B ．{}2, 4 C ．{}2, 3, 4, 5 6， D ．{}2, 4, 6 2. 求值5sin()6π的结果为( ) A ．12 B ． 12- C ．32 D ．32- 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. 21()x f x x+= B. 43()f x x x =+ C. 2()f x x = D. ()f x x = 4.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于49cm 2与64 cm 2之间的概率为（）A ．45 B ．25 C ．15 D ．1105.在?ABC 中，4,8,30a b A ==∠=，则B ∠为（）A.60οB.90οC.120οD.60120οο或6.已知函数()31f x x x =--仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（）A ．()34， B ．()2,3 C ．()12，D ．()01， 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )。

内蒙古自治区呼和浩特市中心中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合Ｒ是实数集，则A．B．C．D．以上都不对参考答案：B2. 已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是A．B．C．D．参考答案：C3. 函数，，若在区间是单调函数，且，则的值为（）(A) (B) 1 (C) 2或 (D) 或2参考答案：D因为在单调，所以，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，所以.4. 平面上动点满足，，,则一定有（）．．．．参考答案：B略5. 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )A．450 B．460 C．480 D．500参考答案：C略6. 已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A．36 B．6 C．3 D．9参考答案：C略7. 在抛物线（）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（A）（B）1 （C）2 （D）4参考答案：C略8. 函数图象一定过点 ( )A （1,1）B （1,3） C（2,0） D（4,0）参考答案：B9. 已知点为双曲线的左右焦点，点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．参考答案：B由点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，得，，过点M作轴，垂足为N，则，如图所示：在中，，，则，，即，代入双曲线方程得，即. ∵点为双曲线的左右顶点∴∴双曲线的方程为故选B.10. 若函数=A．0 B．1C．2 D．参考答案：C，所以．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对恒成立，且存在，使得成立，则m的取值范围为．参考答案：(－∞,6)以代入得，消去得，若，则单调递增，，则.12. 若实数x，y满足，则的最小值为______.参考答案：-3【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．13. 已知点，若，则点的坐标为__*___.参考答案：(0,3)略14. 已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .参考答案：12【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【试题分析】因为数列的公比，故数列存在极限，则有，故答案为12.15. 已知函数的定义域是，值域是，则这样的数有对。

呼和浩特市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A．B． C．D．2． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ） A．B．C．D．3． 复数z 满足z （l ﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+1|=（ ） A ．0 B ．1C．D ．2 4． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）A ．48B ．±48C ．96D ．±965． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数D ．标准差6．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ） A ．9B．C ．3D．7． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i8． 已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A ．0B．C．D．9． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD．210．下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α11．“互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4012．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．14．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．15．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．17．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .18．设函数则______；若，，则的大小关系是______．三、解答题19．如图，在四棱柱中，底面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．21．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．22．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，EC∥PD．（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．23．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．24．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．呼和浩特市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题13．②③．14．30°．15．[﹣1，3]．16．417．118．，三、解答题19．20．21．22．23．24．。

内蒙古呼和浩特市2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z满足2+z i=z﹣2i（i为虚数单位），则复数z的模|z|=（）A．2 B．C．D．32．（5分）已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题￢p是真命题B．命题p是特称命题C．命题p是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3=5，a7=﹣7，则S10的值为（）A．50 B．20 C．﹣70 D．﹣254．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图象的面积是（）A．B．C．D．5．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪）0，1] B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，+∞）D．（0，1]6．（5分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重心7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是（）A．（﹣）B．（﹣∞，0）C．（）D．（）8．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值变化到1时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B﹣b cos A=，则tan（A﹣B）的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．11．（5分）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n 项的和，若a2017=m，则S2015=（）A．2m B．C．m+1 D．m﹣112．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2﹣mx﹣2m，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若，则实数x的值为．14．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，集合C={x|x+m＞0}，若A∪B⊆C，则实数m的取值范围是．15．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f，c=f（3），则a，b，c的大小关系为．16．（5分）如图，现有一个∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在扇形湖面内各处连个养殖区域﹣﹣养殖区域I和养殖区域II．若OA=1cm，，∠AOC=θ．求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC 和线段CD长度之和）的最大值为．三、解答题（本大题共7个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17．（12分）已知函数f（x）=（+x2）•e x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．（12分）已知函数f（x）=﹣10sin x cos x+10cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求使得g（x）≥0的x的取值范围．19．（12分）设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．20．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣+x，a＜1．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），讨论函数g（x）的零点的个数；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C是以点C（2，）为圆心，2为半径的圆．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（II）求圆C被直线l：θ=（ρ∈R）所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求使得f（x）＞2的x的取值集合M；（2）求证：当x∈∁R M时，|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a，b都成立．【参考答案】一、选择题1．A【解析】2+z i=z﹣2i（i为虚数单位），∴z（1﹣i）=2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=2（1+i）（1+i），∴z=2i．则复数z的模|z|=2．故选：A．2．C【解析】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故￢p是假命题，命题p是全称命题，故选：C．3．D【解析】等差数列{a n}的公差设为d，a3=5，a7=﹣7，可得a1+2d=5，a1+6d=﹣7，解得a1=11，d=﹣3，则S10=10×11+×10×9×（﹣3）=﹣25，故选：D．4．A【解析】曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为（x﹣x2）d x=（x2﹣x3）|=﹣=；故选A．5．D【解析】∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调间区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1，g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，故a＞0，综上，a∈（0，1]，故选：D．6．A【解析】如图所示：设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∵=（+2），∵2=，∴=×（4+）=∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：A7．C【解析】若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞﹣，此时﹣＜x≤0，当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+＞，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞﹣，故选：C．8．A【解析】由约束条件作出可行域如图，作直线x+y=0，由图可知，平移直线x+y=0至A时，目标函数z=x+y有最小值，平移直线x+y=0至B时，使目标函数与直线y=﹣x+1重合时，目标函数z=x+y的值是1，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域为△AOBD及其内部区域，面积为S=．故选：A．9．B【解析】∵a cos B﹣b cos A=c，∴结合正弦定理，得sin A cos B﹣sin B cos A=sin C，∵C=π﹣（A+B），得sin C=sin（A+B），∴sin A cos B﹣sin B cos A=（sin A cos B+cos A sin B），整理可得：sin A cos B=4sin B cos A，同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，由此可得tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，∴A、B都是锐角，即tan A＞0，tan B＞0，∵≥2=4，∴tan（A﹣B）=≤，当且仅当=4tan B，即tan B=时，tan（A﹣B）的最大值为．故选：B．10．C【解析】∵f（x）=sin2x，∴g（x）=sin（2x﹣2φ），由|f（x1）﹣g（x2）|=2，可知f（x1）、g（x2）分别为两个函数的最大值和最小值（或最小值和最大值）．不妨设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，则x1﹣x2=φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：C．11．D【解析】数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：（Ⅱ）∵a n+2=a n+a n+1=a n+a n﹣1+a n=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣1=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+a n﹣2=…=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+…+a2+a1+1，∴S2015=a2017﹣1=m﹣1．故选：D．12．C【解析】由题意设g（x）=﹣x3+3x2，h（x）=m（x+2），则g′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），所以g（x）在（﹣∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，且g（0）=g（3）=0，g（2）=﹣23+3•22=4，在同一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，即g（x0）＞h（x0），所以由图得x0=2，则，即，解得≤a＜1，所以m的取值范围是[，1），故选：C．二、填空题13．2【解析】根据题意，向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若，必有=（2x﹣1）﹣3=0，解可得x=2；故答案为：2．14．[1，+∞）【解析】∵集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜2}，∴集合C={x|x+m＞0}={x|x＞﹣m}，A∪B⊆C，∴﹣m≤﹣1，解得m≥1．∴实数m的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．c＜a＜b【解析】依题意得，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；又f（3）=f（﹣1），且﹣1＜0＜＜1，因此有f（﹣1）＜f（0）＜f，即有f（3）＜f（0）＜f，c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．16．【解析】由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=﹣θ．在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ）．可得，f（θ）=θ+1+sin（﹣θ），所以f′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ）=0，得cos（﹣θ）=，所以﹣θ=，所以θ=．（0，）（，）所以f（θ）∈（2，]．故所需渔网长度的最大值为.三、解答题17．解：（1）f′（x）=+（+x2）•e x=，令f′（x）=0，解得x=0，﹣1，﹣4．列出表格：可得函数f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）单调递减；在[﹣4，﹣1]和[0，+∞）内单调递增．（2）由（1）可得：f（x）在[﹣1，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增．∴x=0时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（0）=0．又f（﹣1）=，f（1）=．∴f（x）max=f（1）=．18．解：（1）∵f（x）=﹣10sin x cos x+10cos2x==，∴函数f（x）的最小正周期T=；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）=f（x﹣）=，∴当g（x）≥0时，cos2x，∴，即，k∈Z．∴x的取值范围是[]，k∈Z．19．（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．20．解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．21．解：（1）a=0时，f（x）=ln x+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；解：（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=ln x﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值，零点1个；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；故g（x）极大值=g（）=•﹣ln a，由y=1﹣2a ln a（a＞0）的导数为﹣2（1+ln a），可得a=为极大值点，代入可得1﹣2a ln a＞0，可得g（）＞0，零点2个；证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即ln x1+x12+x1+ln x2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣ln t，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥成或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．22．解：（I）点C（2，），化为：C，即C．可得圆的标准方程：=4，展开可得：x2+y2﹣2x+2y=0，化为极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ．（II）由于此圆经过原点，把θ=（ρ∈R）可得：ρ=2cos+2sin=+2=﹣．23．解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞2的解集为{x|x＜或x＞}，（2）由（1）当x∈∁R M时，x∈[，]，由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．。

2018届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分150分，答题时间120分钟. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的模z =A. 2D. 32. 已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是A. 命题p ⌝是真命题B. 命题p 是特称命题C. 命题p 是全称命题D. 命题p 既不是全称命题也不是特称命题3. 在等差数列{}n a 中，已知35a =，77a =-，则10S 的值为A. 50B. 20C. 70-D. 25-4. 曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图像的面积是A.16B. 13C.12D.565. 若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是 A. ()(],00,1-∞ B. ()(]1,00,1-C. ()0,+∞D. (]0,16. 已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 是ABC △的重心，动点P 满足：1112322OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则P 一定为ABC △的A. 重心B. AB 边中线的三等分点（非重心）C. AB 边中线的中点D. AB 边的中点7. 设函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. (),0-∞C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8. 已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值变化到1时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为 A.74B.34C.329. 设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为B.34C.3210. 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后得到函数()g x 的图像. 若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=A.3πB.4πC.6πD.512π 11. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为：1,1,2,3,5,8...，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项的和，若2017a m =，则2015S = A. 2mB.212m - C. 1m + D. 1m -12. 已知函数()3232f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x >，则m 的取值范围是 A. ()0,1B. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案直接填在题中横线上.） 13. 已知向量()21,3m x =-，向量()1,1n =-，若m n ⊥，则实数x 的值为 14. 已知集合{}02A x x = <<，集合{}11B x x = -<<，集合{}10C x mx = +>，若AB C ⊆，则实数m 的取值范围是 .15. 函数()f x 的定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()1'0x f x -<，设()()10,,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为16. 如图，现有一个AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB . 现欲在弧AB上取不同于,A B 的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中//CD OA ），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区 域I 和养殖区域II. 若1OA cm =，3AOB π∠=，AOC θ∠=. 求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的最大值为 .三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程） 17. （12分）已知函数()3212x f x x x e ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）求()g x 在[]1,1-上的最大值和最小值. .18. （12分）已知函数()2cos 10cos f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求使得()0g x ≥的x 的取值范围.19. （12分）设数列{}n a 各项都为正数，且22114,2n n n a a a a a +==+（*n N ∈）.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求使345n T >成立时n 的最小值.20. （12分）如图，已知AD 是ABC △内角BAC ∠的角平分线.（Ⅰ）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （Ⅱ）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.21. （12分）已知函数()21ln ,12f x x ax a a =-+<.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；B（Ⅱ）令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；（Ш）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明：12x x +≥请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号.22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 是以点112,6C π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 被直线l ：()712R πθρ=∈所截得的弦长.23. （10分）选修4-5：不等式选讲已知,a b 都是实数，0a ≠，()12f x x x =-+-.（Ⅰ）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（Ⅱ）求证：当 R x M ∈ð时，()a b a b a f x ++-≥对满足条件的所有,a b 都成立.2018届呼和浩特市高三年级阶段考试参考答案及评分标准理 科 数 学一、 选择题1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C二、填空题13.＿2＿ 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 15.b a c << 16.17. 解：（1）)(x f '=（x 2+2x ）e x+（x 3+x 2）e x= x （x+1）（x+4）e x……2分因为R x ∈，令f ′（x ）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4 当x ＜﹣4时，f ′（x ）＜0，故g （x ）为减函数； 当﹣4＜x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，故g （x ）为增函数； 当﹣1＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，故g （x ）为减函数；当x ＞0时，f ′（x ）＞0，故g （x ）为增函数；…………………………5分 综上知f （x ）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和 （0，+∞）内为增函数…………………………………………………7分(2)因为]1,1[-∈x 由（1）知，]0,1[-∈x 上f （x ）单调递减，在[0,1]x ∈上f （x ）单调递增 ………………………………………………………9分 所以0)0()(min ==f x f ……………………………………………….10分又f （1）=32e ，f （-1）=e21， 所以max 3()(1)2f x f e ==………………………………………………12分 18. 解：（1）∵f （x ）=-10sinxcosx + 10cos 2x=52cos 52sin 35++-x x=10sin）（652π+x +5………………………………2分 ∴所求函数f （x ）的最小正周期T=ππππππππππk x k k x k +-≤≤+-+≤+≤+-6322265222所以函数f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππk k ()k Z ∈上单调递增…………………5分 正确答案的不同表示形式照常给分。

2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合则集合其元素个数为6，故选A．2.已知，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，则复数的虚部为.选D3.下列函数中，既有偶函数又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A．函数是奇函数，不满足条件．B．函数的偶函数，当时是减函数，满足条件．C．函数是偶函数，当时，是增函数，不满足条件．D．函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求掌握常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是第一或第二象限角，是第二象限角，故选D．5.设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示；直线与直线的交点为；为的中点，若，则即解得．故选A．6.下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第1次执行循环体，，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体，，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体，，满足退出循环的条件；故输出的值为5．故选D．7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可画出直观图，如图所示，该立体图中两个相同的梯形的面，为该多面体的各个面中，面积最大的面，故选B8.如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A.球以下（含球）的人数 B. 球以下（含球）的人数C. 球以下（含球）的人数D. 球以下（含球）的人数【答案】C【解析】因为共有35人，而中位数应该是第18个数，所以第18个数是5，从图中看出第四个柱状图的范围在6以上，所以投4个球的有7人．可得：3球以下（含3球）的人数为10人，4球以下（含4球）的人数10+7=17人，6球以下（含6球）的人数35-1=34．故只有5球以下（含5球）的人数无法确定．故选C．9.函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数的图象可得再由五点法作图可得，，函数将的图象纵坐标不变，图象向右平移个单位得到函数的图象，可得函数故选B.10.已知球半径为，设是球面上四个点，其中，则棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意知，直角三角形的面积为16．其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上，若四面体的体积的最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以，与面垂直时体积最大.设球小圆的圆心为，如图．设球心为，半径为，则在直角中，即则棱锥的体积最大值为为故选A．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想．11.已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即即又0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12.已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式即设则在上单调递减，在上单调递增，的图像如图所示，，由图可知，且不等式有唯一的整数解2，设则故选A。

2018年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2+3x﹣4＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}2．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a4+a5＝48，则数列{a n}前8项的和S n＝（）A．510B．126C．256D．5124．（5分）已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A．a∥α，a⊥b，则b⊥αB．a⊥α，a⊥b，则b∥αC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．a∩b＝A，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β5．（5分）有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N（100，132）．P（61＜X＜139）＝0.997．则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（）A．10B．30C．15D．236．（5分）我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．967．（5分）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则在下列区间中使y＝g（x）是减函数的是（）A．B．C．D．8．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长的棱的长度等于（）A．5cm B．cm C．cm D．59．（5分）设f（x）＝，则函数f（x）（）A．有极值B．有零点C．是奇函数D．是增函数10．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]＝3，[4]＝4，[﹣1.6]＝﹣2．右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出的a＝（）A．9B．16C．23D．3011．（5分）为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，要求与A村相距5km，且与C村相距km，已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3，则垃圾处理站M与B村相距（）A．2km B．5km C．7km D．8km12．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则＝．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为．15．（5分）将正方形ABCD分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正方形（图1，图2分别给出了n＝2，3的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C，D处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则f（5）＝．16．（5分）已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，且AD＝2CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，AB＝AD＝2，求BD的长；（Ⅱ）求证．18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300，350）内的芒果个数，求X的分布列及数学期望．（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，P A⊥底面ABCD，BC＝CD＝1，P A＝AD＝2，A与PC垂直的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G三点（Ⅰ）求证：点G是PD的中点；（Ⅱ）求PD与平面ACE所成角的正弦值．20．已知点P为圆x2+y2＝18上一动点，PQ⊥x轴于点Q，若动点M满足．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点E（﹣4，0）的直线x＝my﹣4（m≠0）与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，求的值．21．已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：2（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜a（﹣）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2+y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1．（1）求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（2x）+f（x+4）≥6；（2）若a、b∈R，|a|＜1，|b|＜1，证明：f（ab）＞f（a﹣b+1）．2018年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2+3x﹣4＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}【解答】解：B＝（﹣4，1），且A＝{﹣1，0，1}；∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．2．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝＝+i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得．则实数x的取值范围是．故选：A．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a4+a5＝48，则数列{a n}前8项的和S n＝（）A．510B．126C．256D．512【解答】解：由a1+a2＝6，a4+a5＝48得得a1＝2，q＝2，则数列{a n}前8项的和S8＝＝510，故选：A．4．（5分）已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A．a∥α，a⊥b，则b⊥αB．a⊥α，a⊥b，则b∥αC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．a∩b＝A，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β【解答】解：由a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：在A中，a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故A错误；在B中，a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，a∩b＝A，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．（5分）有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N（100，132）．P（61＜X＜139）＝0.997．则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（）A．10B．30C．15D．23【解答】解：∵X近似服从正态分布N（100，132）．P（61＜X＜139）＝0.997．∴P（X≥139）＝（1﹣0.997）＝0.0015，∴此次考试中成绩不低于139分的人数约为10000×0.0015＝15．故选：C．6．（5分）我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．96【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A44＝24种情况，则此时有24种不同的着舰方法；②、丙机不是最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有×C21A44＝24种情况，则此时有24种不同的着舰方法；则一共有24+24＝48种不同的着舰方法；故选：C．7．（5分）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则在下列区间中使y＝g（x）是减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数＝2sin（ωx﹣）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于＝，∴ω＝4，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）＝2sin（4x+﹣）＝2sin（4x+）的图象，则在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣π，），y＝g（x）没有单调性，故排除A；在区间（，）上，4x+∈（，），y＝g（x）单调递减，故满足条件；在区间（0，）上，4x+∈（，），y＝g（x）没有单调递性，故排除C；在区间（，）上，4x+∈（，），y＝g（x）没有单调递性，故排除D，故选：B．8．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长的棱的长度等于（）A．5cm B．cm C．cm D．5【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱ABC﹣DEF中削去一个三棱锥A﹣BCD，作出直观图如图所示：由三视图可知底面DEF为直角三角形，DE⊥DF，DE＝4，BE＝5，由侧视图为DF＝3，∴CD＝＝，BD＝＝，EF＝BC＝5，∴几何体的最长棱长为BD＝．故选：C．9．（5分）设f（x）＝，则函数f（x）（）A．有极值B．有零点C．是奇函数D．是增函数【解答】解：由x＜0，f（x）＝x﹣sin x，导数为f′（x）＝1﹣cos x，且f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）＜0；又x≥0，f（x）＝x3+1递增，且f（0）＝1＞0﹣sin0，故f（x）在R上递增；f（x）无极值和无零点，且不为奇函数，故选：D．10．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]＝3，[4]＝4，[﹣1.6]＝﹣2．右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出的a＝（）A．9B．16C．23D．30【解答】解：当k＝1时，第1次执行循环体后，a＝9，不满足a﹣3•＝2，k＝2；当k＝2时，第1次执行循环体后，a＝16，不满足a﹣3•＝2，k＝3；当k＝3时，第1次执行循环体后，a＝23，满足a﹣3•＝2，满足a﹣5•＝3；故输出的a值为23，故选：C．11．（5分）为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，要求与A村相距5km，且与C村相距km，已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3，则垃圾处理站M与B村相距（）A．2km B．5km C．7km D．8km【解答】解：以A为原点，以AB为x轴建立平面坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，3），以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以为半径作圆C，则圆A的方程为：x2+y2＝25，圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝31，即x2+y2﹣6x﹣6y+5＝0，∴两圆的公共弦方程为：x+y＝5，设M（x，y），则，解得M（5，0）或M（﹣，）．∵垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，∴M（﹣，）．∴MB＝＝7．故选：C．12．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x，∴焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|＝|BN|＝x2+1＝3，∴x2＝2把x2＝2代入抛物线y2＝4x，得，y2＝﹣2，∴直线AB过点（，0），（2，﹣2），则直线AB方程为y＝2（+2）（x﹣），把x＝代入上式可得y＝，故而A（，）．∴AE＝+1＝，∴＝＝＝＝．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则＝．【解答】解：向量，，＝＝，＝＝，＝﹣1+6＝5．则＝＝＝，故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z＝，将z转化区域内的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率，当动点Q在点A（1，2）时，z的值为：＝，最大，∴z＝最大值：．故答案为：．15．（5分）将正方形ABCD分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正方形（图1，图2分别给出了n＝2，3的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C，D处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则f（5）＝9．【解答】解：根据题意位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，所以每一横行上的数据的和也为等差数列，设{a n}为第n横行上的数据的和，当n＝5时，∴a1＝3（D+C），a5＝3（A+B），∴a1+a2+a3+a4+a5＝3（a1+a5）＝9（A+B+C+D），∵A，B，C，D处的四个数互不相同且和为1，∴9×1＝9，故答案为：9．16．（5分）已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是．【解答】解：若a＜0，则y＝ax+b单调递减，y＝e x+1单调递增，不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，故而a≥0．若a＝0，则ab＝0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）＝ae x+1﹣a2x，∴f′（x）＝ae x+1﹣a2＝a（e x+1﹣a），令f′（x）＝0得e x+1﹣a＝0，解得x＝lna﹣1，当x＜lna﹣1时，∴f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；∴当x＝lna﹣1时，函数f（x）取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）＝2a2﹣a2lna．设g（a）＝2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）＝a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）＝0得a＝，当0＜a＜时，g′（a）＞0，当a＞时，g′（a）＜0．∴当a＝时，g（a）取得最小值g（）＝2e3﹣e3•＝．∴ab的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，且AD＝2CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，AB＝AD＝2，求BD的长；（Ⅱ）求证．【解答】解：（Ⅰ）由题意，AD＝2CD且AD＝2，则AC＝3；于是．根据余弦定理可知：所以，．（Ⅱ）在△ABD和△CBD中分别使用正弦定理可得下列方程组由∠ADB+∠CDB＝π得sin∠ADB＝sin∠CDB于是，结合AD＝2CD，将上面的两个方程相比可得：18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300，350）内的芒果个数，求X的分布列及数学期望．（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？．【解答】解：（1）由题意知，9个芒果中，质量在[250，300）和[300，350）内的分别有6个和3个；则X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以X的分布列为：X的数学期望为；…（6分）（2）方案A：（125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001）×50×10000×10×0.001＝25750（元）；方案B：低于250克：（0.002+0.002+0.003）×50×10000×2＝7000（元），高于或等于250克：（0.008+0.004+0.001）×50×10000×3＝19500（元），总计7000+19500＝26500（元）；由25750＜26500，故B方案获利更多，应选B方案…（12分）19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，P A⊥底面ABCD，BC＝CD＝1，P A＝AD＝2，A与PC垂直的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G三点（Ⅰ）求证：点G是PD的中点；（Ⅱ）求PD与平面ACE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）由题，PC⊥面AGFE，所以PC⊥AG．又面P AD⇒CD⊥AG，所以面PCD，所以AG⊥PD，在等腰直角三角形P AD中，G为PD的中点．解：（Ⅱ）如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，从而A（0，0，0），B（﹣1，1，0），D（0，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，2），．设，则，由，解得，所以，，，设面ACE的法向量为，由，得，令x＝2，可得．设直线PD与平面ACE所成的角为θ，所以，PD与平面ACE所成角的正弦值．20．已知点P为圆x2+y2＝18上一动点，PQ⊥x轴于点Q，若动点M满足．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点E（﹣4，0）的直线x＝my﹣4（m≠0）与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，求的值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则Q（x0，0），∴＝（x，y），＝（x0，y0），＝（x0，0）．由，得x0＝x，y0＝3y，∵，代入得，即为M的轨迹为椭圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点E（﹣4，0）为椭圆C的左焦点，将直线x＝my﹣4（m≠0）代入椭圆方程，消去x得（m2+9）y2﹣8my﹣2＝0，△＝64m2+8（m2+9）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．则，∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线所在直线方程为，令y＝0，得，即．∴|DE|＝，|AB|＝．∴．21．已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：2（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜a（﹣）．【解答】解：（1）证明：a＝1，x＞0时，令j（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1，可得j（x）的导数为j′（x）＝e x﹣x﹣1，j″（x）＝e x﹣1，当x＞0时，j″（x）＞0，可得j′（x）递增，可得j′（x）＞j′（0）＝0，即j（x）在x＞0递增，可得j（x）＞j（0）＝0，曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）可令s（x）＝ae x﹣x﹣1，导数为s′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，s′（x）＜0，s（x）递减，不和题意；当a＞0时，由s′（x）＝0，可得x＝﹣lna，可得s（x）在（﹣∞，﹣lna）递减，在（﹣lna，+∞）递增，s（x）有两个零点，s（x）的最小值为s（﹣lna）＝lna＜0，解得0＜a＜1；由s（﹣1）＝＞0，s（x）在（﹣1，﹣lna）上有且只有一个零点；由（1）当x＞0时s（x）＞a（x2+x+1）﹣x﹣1＝ax2+（a﹣1）x+a﹣1，s（）＞a（）2+（a﹣1）•+a﹣1＝a+2＞0，由（1）可得x＞0时，e x＞x＝1，即有lnt＜t+1（t＞0），所以＞﹣1＞ln，则s（x）在（﹣lna，）上有且只有一个零点，综上可得，0＜a＜1；（3）证明：由条件可得ae x1＝x1+1，ae x2＝x2+1，所以a＝，要证2（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜a（﹣），即证2（﹣）＜（x2﹣x1）（+）+a（﹣）＝（x2﹣x1）（+）+（x2﹣x1）（+）＝2（x2﹣x1）（+），即证（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜0，（*）方法一、由（2）可得s（0）＝a﹣1＜0，﹣1＜x1＜0，x2＞0，（*）等价为a（+）＞x1+x2+2＞x2+1＞1，2（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜a（﹣）成立．方法二、可令m（x）＝（e x﹣）﹣（x﹣x1）（e x+），则m′（x）＝﹣[（x﹣x1）e x+e x1]，当x＞x1时，m′（x）＜0，m（x）在（x1，+∞）递减，可得x2＞x1时，m（x2）＜m（x1）＝0，2（﹣）﹣（x2﹣x1）（+）＜a（﹣）成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2+y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1．（1）求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值．【解答】解：（1）圆O的参数方程为，（α为参数），由ρ2cos2θ＝1，得：ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝1，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2＝1．（2）证明：由（1）知M（﹣1，0），N（1，0），可设P（2cosα，2sinα），所以|PM|2+|PN|2＝（2cosα+1）2+（2sinα）2+（2cosα﹣1）2+（2sinα）2，＝5+4cosα+5﹣4cosα＝10，所以|PM|2+|PN|2为定值10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（2x）+f（x+4）≥6；（2）若a、b∈R，|a|＜1，|b|＜1，证明：f（ab）＞f（a﹣b+1）．【解答】解：（1）由f（2x）+f（x+4）≥6得：|2x﹣1|+|x+3|≥6，当x＜﹣3时，﹣2x+1﹣x﹣3≥6，解得x＜﹣3；当时，﹣2x+1+x+3≥6，解得﹣3≤x≤﹣2；当时，2x﹣1+x+3≥6，解得；综上，不等式的解集为．（2）证明：f（ab）＞f（a﹣b+1）⇔|ab﹣1＞|a﹣b|，因为|a|＜1，|b|＜1，即a2＜1，b2＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝a2b2﹣2ab+1﹣a2+2ab﹣b2＝a2b2﹣a2﹣b2+1＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|2＞|a﹣b|2，即|ab﹣1|＞|a﹣b|，所以原不等式成立．第21页（共21页）。