广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学理试题

2018届高三六校第一次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =-<，{}e 1x B x =>，则()A B =R I ð（ ） A ．[)1,+∞ B ．()0,+∞ C ．()0,1 D ．[]0,12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1a =r ，b =r a b ⊥r r，则a b +r r 为（ ）A B ．2 D ． 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()1,a m =r ，(),21b m m =-r（m ∈R ）垂直的充要条件是1m =C ．命题“*n ∀∈N ，()1322nn n ->+⋅”的否定是“*n ∀∈N ，()1322nn n -≥+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7．已知m ，n 为异面直线，α，β为平面，m ⊥α，n ⊥β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．∥αβ，且l ∥αB ．⊥αβ，且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8．若x ，y 满足1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =-的最大值为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 10．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点(),0π中心对称B ．()y f x =的图象关于2x =π对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数11．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a +++L L 等于（ ） A ．40342018 B ．40322017 C ．40282015 D ．4030201612．已知函数()()222,12log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 ．14．已知直线y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于两点A ，B ，且C A B ∆为等边三角形，则圆C 的面积为 ．15．若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 ．16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，k a （2,3,4,5k =）出现0的概率为13，出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为10101A =则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得1-分，则100次重复试验的总得分X 的方差为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆，3B =π，2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E为垂足，2ED =，求角A 的值.18．如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB EC ==，AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD . （2）求二面角A EC D --的余弦值.19．某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆ=-a y bx ，4221194i i x -==∑，421211945i i i x y --==∑） （1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的值，并估计y 的预报值.（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb，ˆa 的值（ˆb ，ˆa 精确到0.01）相比于（1）中的b ，a ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点1,2P ⎛ ⎝⎭，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l ：103mx ny n ++=（m ，n R ∈）交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.21．设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点1x 、2x ，且12x x <（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()212ln 24f x ->四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,2sin x a t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πρθ（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23．已知()211f x x x =--+.（1）将()f x 的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象. （2）若1a b +=，对a ∀，()0,b ∈+∞，()143f x a b+≥恒成立，求x 的取值范围.六校第一次联考理科数学参考答案一、选择题1-5:ABBCD 6-10:DDDBC 11、12：AA二、填空题13．180 14．6π 15．()ln 2,2- 16．30800729三、解答题17．解：（1）设AB x =，则由余弦定理有：2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅︒解得：1x =所以1AB =（2）因为2ED =，所以sin 2sin ED AD DC A A===.在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠，因为2BDC A ∠=∠，所以2sin 22sin sin 60A A =︒.所以cos 2A =，所以4A =π. 18．（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，COAE EB ==AEB ∆为等腰直角三角形∴EO AB ⊥，1EO =又∵AB BC =，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形.∴CO =2EC =，∴222EC EO CO =+∴EO CO ⊥∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD（2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系则()0,1,0A -，)C，)2,0D-，()0,0,1E)AC =uuu r，)1EC =-uu u r，()0,2,0DC =uuu r设平面DCE 的法向量为(),,1n x y =r ，则00EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r，即1020y -==⎪⎩，解得：30x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴,0,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r同理求得平面EAC的一个法向量为1,1m ⎫=-⎪⎪⎝⎭u rcos ,7m n m n m n⋅==u r ru r r u r r ，所以二面角A EC D --的余弦值为7. 19．解：（1）因为5x =，50y =.回归直线必过样本中心点(),x y ，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=.故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24. （2）因为4x =，46.25y =，4221194i i x-==∑，421211945i i i x y --==∑，所以4212114222114ˆ4i i i i i xy x ybx x--=-=-=-∑∑29454446.256.839444-⨯⨯=≈-⨯， ˆˆ46.25 6.83418.93ay bx =-=-⨯=，即ˆ 6.83b =，ˆ18.93a =， 6.5b =，17.5a =. ˆ5%b b b -≈，ˆ8%aa a-≈，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24. （3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， 所以勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，()224246225C C P X C ===，()3142468315C C P X C ===， ()4042461415C C P X C ===.2818234515153EX =⨯+⨯+⨯=20．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a =，∴222212x y b b+=又∵椭圆经过点P ⎛ ⎝⎭，代入可得1b =.∴a =2212x y +=. （2）首先求出动直线过10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭点.当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：2221433x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当L 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：221x y +=由2222214331x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩ 即两圆相切于点()0,1，因此，所求的点T 如果存在，只能是()0,1，事实上，点()0,1T 就是所求的点. 证明如下：当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()0,1T 当直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：13y kx =-由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2218912160k x kx +--= 记点()11,A x y 、()22,B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又因为()11,1TA x y =-uu r ，()22,1TB x y =-uu r所以()()121211TA TB x x y y ⋅=+--uu r uu r 12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()2216411893k k k -=+⋅-+2121601899k k ⋅+=+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()0,1T 所以在坐标平面上存在一个定点()0,1T 满足条件.21．解：（1）()222211a x x a f x x x x++'=+=++（1x >-）令()222g x x x a =++，其对称轴为12x =-由题意知1x 、2x 是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为()48010a g a ∆=->⎧⎪⎨-=>⎪⎩，得102a <<当()11,x x ∈-时，()0f x '>，∴()f x 在()11,x -内为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，∴()f x 在()12,x x 内为减函数； 当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()2,x +∞内为增函数； （2）由（1）知()00g a =>，∴2102x -<<， 由()2222220g x x x a =++=得()22222a x x =-+， ∴()()2222ln 1f x x a x =++=()()22222222ln 1x x x x -++设()()()2222ln 1h x x x x x =-++（12x >-）， 则()()()2221ln 12h x x x x x '=-++-=()()221ln 1x x -++ 当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在()0,+∞单调递减. 所以，当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()112ln 224h x h -⎛⎫>-= ⎪⎝⎭故()()2212ln 24f x h x -=>. 22．解：（1）由cos 4⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πρθ()cos sin 2-=-ρθρθ化成直角坐标方程，得)2x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离d ==2cos 4t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π当24t k +=+πππ，即324t k =+ππ，k ∈Z时，min 2d =， 故点P 到直线l的距离的最小值为2.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， 所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，()4t +>-ϕ（其中2tan a=ϕ）恒成立，4<，又0a >，所以0a <<故a的取值范围为(0,. 23．解：（1）由已知，得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 函数()f x 的图象如图所示.（2）因为a ，()0,b ∈+∞，且1a b +=， 所以()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时等号成立. 因为()143211x x a b +≥--+恒成立， 所以2113x x --+≤，结合图象知15x -≤≤， 所以x 的取值范围是[]1,5-.。

2018届高三六校第一次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解A=(0,1) B=(0,),2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，其对应点为（cos2，sin2），由＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，∴点（cos2，sin2）在第二象限，故e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．3. 已知，，且，则为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】试题分析：考点：向量的运算4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图5. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出,且当时,,由于,故函数在区间单调递减;在区间单调递增.由函数图象的对称性可知应选D.考点：函数图象的性质及运用.6. 下列选项中，说法正确的是（）A. 若，则B. 向量，（）垂直的充要条件是C. 命题“，”的否定是“，”D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D【解析】解:A，y=lnx 是增函数，a>b，所以lna>lnb。

B，两个向量垂直的充要条件为，所以,m=0．C，否定是“，．D，否命题为若在区间内至少有一个零点，则函数在区间上的图象是连续不断的．是假命题，例如正弦函数在（0，上，有一个零点但是．7. 已知，为异面直线，，为平面，，.直线满足，，，，则（）A. ，且B. ，且C. 与相交，且交线垂直于D. 与相交，且交线平行于【答案】D【解析】若,则,与是异面直线矛盾;过点O,分别作，且，则确定一平面，则，设与相交于，则，且,因此,从而，选D.8. 若，满足则的最大值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线过A时可知取得最值，代入得2．点睛：画出可行域，将目标函数化成截距式，截距越小，目标函数值越大．9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）A. 2018年 B. 2019年 C. 2020年 D. 2021年【答案】B【解析】试题分析：设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故选B.考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.10. 已知函数，下列结论中错误的是（）A. 的图象关于点中心对称B. 的图象关于对称C. 的最大值为D. 既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：由题意得，A中，因为，故的图象关于中心对称，所以正确；B 中，因为，所以函数的图象关于直线对称是正确的；C中，，令，则，因为，当时，，当时，，所以函数的最大值为，所以是错误的；D中，因为，所以函数为奇函数，又，所以是函数的一个周期，所以函数为周期函数，所以是正确的，故选C.考点：利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是；二倍角公式；正弦函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是、二倍角公式、正弦函数的图象等知识的综合应用，涉及到函数的对称中心、对称轴、函数的奇偶性与周期性的判定，函数的最值等知识点，涉及知识面广，知识点丰富、综合性强，知识领域转换换，易导致错误，平时注意总结和积累，试题有一定的难度，属于难题.11. 数列满足，且（），则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，以上各式相加可得：，则：，.本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12. 已知函数，则函数的零点个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1＜t2＜2，即有f（x）=0有一根；1＜f（x）＜2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得F （x）=0的实根个数为4，即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是4．..................点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则的二项展开式中的系数为__________．【答案】180【解析】解：∵，∴n=10．则（2x﹣1）10的二项展开式中，x2的系数为C10222（﹣1）8=180，14. 已知直线与圆：交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为__________．【答案】．【解析】圆，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以圆的面积为，故答案为 .15. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是__________．【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.16. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，，（）出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分，则100次重复试验的总得分的方差为__________．【答案】．【解析】启动一次出现数字为A=|0|0|的概率由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有∴η的数学方差为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在，，（1）若，求的长（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得：结合∠BDC=2∠A，即可得结论．解：（1）设，则由余弦定理有：即解得：所以（2）因为，所以.在中，由正弦定理可得：，因为，所以.所以，所以.18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，（1）求证：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为.【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。

珠海市达标名校2018年高考三月质量检测物理试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的n>）。

近年来，人们针对电磁波某些频段设计的人工材料，可以1．已知天然材料的折射率都为正值（10n<），称为负折射率介质。

电磁波从正折射率介质入射到负折射介质时，符合折射使折射率为负值（20定律，但折射角为负，即折射线与入射线位于界面法线同侧，如图所示。

点波源S发出的电磁波经一负折射率平板介质后，在另一侧成实像。

如图2所示，其中直线SO垂直于介质平板，则图中画出的4条折射线（标号为1、2、3、4）之中，正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．42．一定质量的理想气体在升温过程中()A．分子平均动能增大B．每个分子速率都增大C．分子势能增大D．分子间作用力先增大后减小3．人们发现，不同的原子核，其核子的平均质量（原子核的质量除以核子数）与原子序数有如图所示的关系。

下列关于原子结构和核反应的说法错误的是（）A．由图可知，原子核D和E聚变成原子核F时会有质量亏损要放出能量B．由图可知，原子核A裂变成原子核B和C时会有质量亏损，要放出核能C．已知原子核A裂变成原子核B和C时放出的γ射线能使某金属板逸出光电子，若增加γ射线强度，则逸出光电子的最大初动能增大D．在核反应堆的铀棒之间插入镉棒是为了控制核反应速度4．米歇尔•麦耶和迪迪埃•奎洛兹因为发现了第一颗太阳系外行星﹣飞马座51b而获得2019年诺贝尔物理学奖。

飞马座51b与恒星相距为L，构成双星系统（如图所示），它们绕共同的圆心O做匀速圆周运动。

设它们的质量分别为m1、m2且（m1＜m2），已知万有引力常量为G．则下列说法正确的是（）A．飞马座51b与恒星运动具有相同的线速度B．飞马座51b与恒星运动所受到的向心力之比为m1：m2C．飞马座51b与恒星运动轨道的半径之比为m2：m1D．飞马座51b与恒星运动周期之比为m1：m25．用波长为187.5nm的光照射阴极材料为钨的光电管，测量得到遏止电压为2.09V。

2018届广东省六校第三次联考理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合y x y x M ,|),{(=为实数，且}222=+y x ，y x y x N ,|),{(=为实数，且}2=+y x ，则N M 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30953==S S ，,则=++987a a a ( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．273.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≤0340120y x y x y ，则y x z 53+=的取值范围是( )A ．[)∞+，3 B ．[]3,8- C ．(]9,∞- D ．[]9,8- 4.函数x x x y sin ||ln 1||ln 1⋅+-=的部分图象大致为( )A ．B ．C. D ．5.设函数()()ϕ+=x x f 3cos ，其中常数ϕ满足0<ϕ<π-.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于( )A ．3π-B ．π-65 C. 6π- D ．32π- 6.执行下面的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为1，2，3，输出的815=M ,那么，判断框中应填入的条件为( )A ．k n <B ．k n ≥ C.1+<k n D ．1+≤k n7.已知()()()()()nn ni b i b i b i b i +-+++-++-++-=+-2222122100 i n ,2≥（为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1=n 时，21-=a ；当2≥n ，n a 为()222i b +-的虚部，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 2的前n 项和为n S ，则=2018S ( ) A ．20182017 B ．20172018 C.20184035 D ．201740338.如图，在同一个平面内，三个单位向量OC OB OA ,,满足条件：与的夹角为α，且7tan =α，OB 与OC 与的夹角为45°.若()R n m OB n OA m OC ∈+=,，则n m +的值为( )A ．3B ．223 C.23 D ．229.四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为x ，，45，则x 的取值范围是( ) A ．()412， B ．()93， C. ()413， D ．()92，10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A ．42种 B ．36种 C.72种 D ．46种11.已知点F 为双曲线()0,1:2222>=-b a by a x E 的右焦点，直线)0(>=k kx y 与E 交于NM ,两点，若NF MF ⊥,设β=∠MNF ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈β612，，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[]62,2+ B ．[]13,2+ C. []62,2+ D ．[]13,2+12.已知()()2211,,y x B y x A 、是函数()x x x f ln =与()2xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ln 2e e B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， D ．⎪⎭⎫⎝⎛0,2ln 2e e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则()⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3112dx x x f ． 14.已知函数()x b x a x f cos sin -=，若⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx f x f 44，则函数13++=b ax y 恒过定点 ．15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．16.若函数()x f 的图象上存在不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数()x f 是“柯西函数”.给出下列函数：①()()30ln <<=x x x f ； ②()()01>+=x xx x f ； ③()822+=x x f ； ④()822-=x x f .其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足*∈-=N n n S T n n ,22. (Ⅰ)求321,,a a a 的值； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：份，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，︒=∠==120,1BAD BC AB ，2==PC PB ,F E PA ,,2=分别是PD AD ,的中点.(Ⅰ)证明：平面⊥EFC 平面PBC ； (Ⅱ)求二面角P BC A --的余弦值.20.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，21A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点N M 、，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()221x a e x x f x--=，其中R a ∈. (Ⅰ)函数()x f 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由； (Ⅱ)求最大的整数a ，使得对任意()+∞∈∈,0,21x R x ，不等式()()221212x x x f x x f ->--+恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧α=α+=sin cos t y t m x （t 为参数，π<α≤0），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ=ρcos 4，射线4,44π+ϕ=θ⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ<π-ϕ=θ，4π-ϕ=θ分别与曲线C 交于C B A 、、三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OA OC OB 2=+；(Ⅱ)当12π=ϕ时，若C B 、两点在直线l 上，求m 与α的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()a x a x x f 222-+-+=. (Ⅰ)若()31<f ，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题1-5: BADAA 6-10: CCBCA 11、12：DD 二、填空题13.3ln 14.()31， 15. 23224++ 16.① ④ 三、解答题17.解：(Ⅰ)∵12111-==S T S ,111a S ==，∴11=a . ∵422221-==+S T S S ,∴42=a . ∵9233321-==++S T S S S ,∴103=a .(Ⅱ)∵ 22n S T n n -=①，()21112--=--x S T n n …②，∴①-②得，()2122≥+-=n n a S n n ，∵112211+⨯-=a S ， ∴()1122≥+-=n n a S n n …③，32211+-=--n a S n n …④， ③-④得，()2221≥+=-n a a n n ， )2(221+=+-n n a a .∵321=+a ，∴{}2+n a 是首项3公比2的等比数列，1232-⨯=+n n a ， 故2231-⨯=-n n a .18.解：(Ⅰ)当日需求量16≥n 时，利润80=y ， 当日需求量16<n 时，利润649)16(45-=--=n n n y ，所以y 关于n 的函数解析式为()N n n n n y ∈⎩⎨⎧≥<-=16,8016,649.(Ⅱ)(i)X 可能的取值为62，71，80，并且()()2.071,1.062====X P X P ,()7.080==X P .X 的分布列为：X 62 71 80 P0.10.20.7X 的数学期望为()4.767.0802.0711.062=⨯+⨯+⨯=X E 元.(ii)若小店一天购进17份食品，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为Y 58 67 76 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()26.7754.08516.0762.0671.058=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E 元.由以上的计算结果可以看出，()()Y E X E <,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进 17 份. 19.解法一：(Ⅰ)取BC 中点G ，连AC AG PG ,,,∵PC PB =,∴BC PG ⊥, ∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ,∴60=∠ABC ,∴ABC ∆是等边三角形，∴BC AG ⊥,∵G PG AG = ,∴⊥BC 平面PAG ,∴PA BC ⊥. ∵F E ,分别是PD AD , 的中点,∴PA EF //,AG EC //, ∴EF BC ⊥,EC BC ⊥,∵E EC EF = ,∴⊥BC 平面EFC , ∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC AG BC PG ⊥⊥,, ∴PGA ∠是二面角P BC A --的平面角. ∵2,23,27412===-=PA AG PG , 在PAG ∆中，根据余弦定理得,7212cos 222=⋅-+=∠AG PG PA AG PG PGA , ∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 解法二：(Ⅰ)∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ，∴60=∠ADC ,∴ADC ∆是等边三角形，∵E 是AD 的中点， ∴AD CE ⊥,∵BC AD //, ∴BC CE ⊥.分别以,的方向为x 轴、y 轴的正方向，C 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系. 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,21,23,0,0,23,0,0,0A E C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23D ,设()z y x P ,,2==4=,解得1,21,23==-=z y x ， ∴可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21,23P ,∵F 是PD 的中点，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,0F ,∵0=∙,∴CF CB ⊥,∵BC CE ⊥,C CF CE = ,∴⊥BC 平面EFC ,∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()0,1,0=CB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,23,设z y x ,,=是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=∙==∙021230z y x n CP y ， 令2-=x ，则)3,0,2(--=，又)1,0,0(=是平面ABC 的法向量，∴721,cos -=<， ∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 注：直接设点()z F ，，00，或者说⊥CF 平面ABCD ,AD PA ⊥，酌情扣分. 20.解：(Ⅰ)依题意，()0,1a A -、()0,2a A ，()12-，P ，∴()22151,2)1,2a a a PA PA -=-⋅--=⋅（, 由121=⋅PA ,0>a ,得2=a ，∵23==a c e ， ∴1,3222=-==c a b c ，故椭圆C 的方程为1422=+y x . (Ⅱ)假设存在满足条件的点()0,t Q .当直线l 与x 轴垂直时， 它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线l 的斜率k 存在，设)2(1:-=+x k y l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+14)2(122y x x k y ，消y 得 ()()01616816412222=+++-+k k x k kx k ，设()()2211,,y x N y x M 、，则22212221411616,41816kkk x x k k k x x ++=++=+， ∵()()()()()()t x t x t x k kx t x k kx tx yt x y k k QN QM -----+---=-+-=+21122122111212 ()()()()()()()2222212121212824284122122tk t k t t k t t x x t x x tk x x kt k x kx +-+-+-=++-+++++-=， ∴要使对任意实数Q N Q M k k k +,为定值，则只有2=t ，此时，1=+Q N Q M k k . 故在x 轴上存在点()0,2Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1.21.解：(Ⅰ)由于ax xe x f x -=)('.假设函数()x f 的图象与x 轴相切于点()0,t ，则有⎩⎨⎧==0)('0)(t f t f ，即()⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0'02'12at te t a e t . 显然0',0>=≠a e t 代入方程()02'12=--t a e t 中得，0222=+-t t . ∵04<-=∆，∴无解．故无论a 取何值，函数()x f 的图象都不能与x 轴相切. (Ⅱ)依题意，()()()()21212121x x x x x x f x x f +-->--+()()()()21212121x x x x f x x x x f -+->+++⇔恒成立.设()x x f x g +=)(，则上式等价于()()2121x x g x x g ->+，要使()()2121x x g x x g ->+对任意()+∞∈∈,0,21x R x 恒成立，即使()()x x a e x x g x +--=221在R 上单调递增， ∴01)('≥+-=ax xe x g x 在R 上恒成立.则1,01)1('+≤≥+-=e a a e g ，∴0)('≥x g 在R 上成立的必要条件是：1+≤e a .下面证明：当3=a 时，013≥+-x xe x 恒成立.设()1--=x e x h x ，则1)('-=xe x h ，当0<x 时，0)('<x h ，当0>x 时，0)('>x h ， ∴0)0()(min ==h x h ，即1,+≥∈∀x e R x x .那么，当0≥x 时，()011213,222≥-=+-≥+-+≥x x x x xe x x xe x x ； 当0<x 时，0)13(13,1>+-=+-<xe x x xe e x x x ，∴013≥+-x xe x 恒成立. 因此，a 的最大整数值为 3.22.解：(Ⅰ)证明：依题意，ϕ=cos 4OA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=4cos 4,4cos 4OC OB ， 则OA OC OB 2cos 244cos 44cos 4=ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=+.(Ⅱ)当12π=ϕ时，C B 、两点的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π63232，，，， 化直角坐标为()()3331-，，，C B .经过点C B 、的直线方程为()23--=x y ，又直线l 经过点()0,m ，倾斜角为α，故32,2π=α=m . 23.解：(Ⅰ)∵()31<f ，∴321<-+a a ， ①当0≤a 时，得32,3)21(-><-+-a a a ，∴032≤<-a ； ②当210<<a 时，得2,3)21(-><-+a a a ，∴210<<a ； ③当21≥a 时，得34,3)21(<<--a a a ，∴3421<≤a . 综上所述，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-3432，. (Ⅱ)∵()a x a x x f 2122-+-+=，根据绝对值的几何意义知，当21a x -=时，()x f 的值最小, ∴221≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f ，即2251>-a ， 解得56>a 或52-<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5652, .。

2018届广东省六校第三次联考文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数())1ln(21++=-=x xx f 的定义域为( ) A ．()∞+，2 B ．()()+∞-,22,1Y C ．()2,1- D ．(]2,1- 2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) A ．-6 B ．32 C ．32- D ．2 3.高考结束后，同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《非你莫属》，《两只老虎》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为( ) A ．31 B ．21 C ．32 D ．654.圆()4222=+-y x 关于直线x y 33=对称的圆的方程是( ) A ．()()41322=-+-y x B ．()()42222=-+-y xC. ()4222=-+y x D ．()()43122=-+-y x5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．29 C. 23D ．3 6.已知()()θ-=θ-π+⎪⎭⎫⎝⎛θ+πsin cos 32sin ，则=θ+θθ2cos cos sin ( ) A ．51 B ．52 C. 53D ．557.实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤000c y x y x π，且y x -的最大值不小于1，则实数c 的取值范围是( ) A ．1-≤c B ．1-≥c C.2-≤c D ．2-≥c 8.函数()x x x f cos =的导函数)('x f 在区间[]ππ-,上的图象大致是( )A ．B ．C. D ．9.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC 且ABC PA ∆=,2是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为( ) A ．34πB ．π4 C.π8 D ．π20 10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟，在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟斯不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A ．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D ．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 11.设201620172017201620171log ,log ,2016===c b a ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．a b c >>12.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x E ，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足FQ PF 3=，若b OP =，则E 的离心率为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若向量b a ,()b a ⊥-==,22，则向量a 与b 的夹角等于．14.执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为．15.已知函数()x f y =在点()()22f ，处的切线方程为12-=x y ，则函数())(2x f x x g +=在点()()22g ，处的切线方程为．16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且3,5,4,2====DA CD BC AB ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈-=N n n n S n ,22(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()(),11222⎪⎩⎪⎨⎧--+n n b n a a b n()()()*∈=-=N k k n k n 212，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. 18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ,D BC AB ,⊥为AC 的中点，3,21===BC AB A A .(1)求证：//1AB 平面D BC 1； (2)求四棱锥D C AA B 11-的体积.19.随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.(1)问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ；(2)求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若规定生产能力在[]150130，内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表短期培训长期培训合计 能力优秀 能力不优秀 合计()k A P ≥2 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.20. 已知动点M 到定点()0,1F 的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点B A ,和N K ,.设线段KN AB ,的中点分别为Q P ,，求证：直线PQ 恒过一个定点.21. 已知函数())1(ln 122+-++-=x x a x x x f （其中R a ∈,且a 为常数）.(1)若对于任意的()+∞∈,1x ，都有()0>x f 成立，求a 的取值范围；(2)在(Ⅰ)的条件下，若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为t ty t x (542532⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=θρtan cos . (1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 若1C 与2C 交于B A ,两点，点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛π-422，，求PB PA 11+的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()0122>++-=a x a x x f ，()2+=x x g . (Ⅰ)当1=a 时，求不等式()()x g x f ≤的解集； (Ⅱ)若()()x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考 文科数学参考答案与评分标准一、选择题1-5: CCBDD 6-10:CAACD 11、12：AB 二、填空题 13.4π14. 30 15. 056=--y x 16.302三、解答题17.解：(1)当2≥n 时，()()[]n n n n n S S a n n n 2211222221-=-----=-=-()21≥-=n n a n ，当1=n 时，由21112-=S 得01=a ， 显然当1=n 时上式也适合， ∴n a n -=1 (2)∵()()()211221122+-=+=--+n n n n a a n n ，∴()()n n n b b b b b b T 24212312+++++++=-ΛΛ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=--22121614141212222220n n n ΛΛ22121411411+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-n n2214134611+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=n n. 18.解：(1)证明：连接C B 1，设C B 1与1BC 相较于点O ，连接OD ， ∵四边形11B BCC 是平行四边形，∴点O 为C B 1的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为C AB 1∆的中位线， ∴1//AB OD .∵⊂OD 平面D BC 1，⊄1AB 平面D BC 1, ∴//1AB 平面D BC 1.(2)解法1:∵⊥1AA 平面⊂1,AA ABC 平面C C AA 11，∴平面⊥ABC 平面C C AA 11，且平面I ABC 平面AC C C AA =11. 作AC BE ⊥,垂足为E ，则⊥BE 平面C C AA 11， ∵3,21===BC BB AB , 在ABC Rt ∆中，139422=+=+=BC AB AC ,136=•=AC BC AB BE ,∴四棱锥D C AA B 11-的体积()BE AA AD C A V ••+⨯=1112131 31362132361=⨯⨯⨯=. ∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3.解法2：⊥1AA 平面⊂AB ABC ,平面ABC ,∴AB AA ⊥1. ∵11//AA BB ,∴AB BB ⊥1. ∵D B BB BC BC AB =⊥1,I , ∴⊥AB 平面C C BB 11.取BC 的中点E ,连接DE ,则AB DE AB DE 21,//=,∴⊥DE 平面C C BB 11. 三棱柱111C B A ABC -的体积为6211=•••=AA BC AB V ,则2312131,16121311111111111==•••⨯===•••⨯=--V B A BB C B V V DE CC BC V C BB A BCC D . 而D C AA B C BB A BCC D V V V V 111111---++=, ∴D C AA B V 11216-++=. ∴311=-D C AA B V . ∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3.19.解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, ∴B 类工人中应抽查7525100=-名.由频率分布直方图得()1=10x )+0.048+0.02+0.008⨯，得024.0=x . (2)由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为 122由(1)及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为133.8100.024********.013510020.012510008.0115=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=θ(3)由(1)及所给数据得能力与培训的22⨯列联表，由上表得828.10733.1262387525750100623875255417218100>≈⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k 因此,可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.20.解：(1)由题意可知：动点M 到定点()0,1F 的距离等于M 到定直线1-=x 的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线. ∵2=p ，∴ 抛物线方程为：x y 42=(2)设B A ,两点坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x . 由题意可设直线1l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，由()⎩⎨⎧-==142x k y x y 得0)42(2222=++-k x k x k . ()016164422422>+=-+=∆k k k .因为直线1l 与曲线C 于B A ,两点，所以()kx x k y y k x x 42,422121221=-+=++=+， 所以点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k 2,212.由题知，直线2l 的斜率为k1-，同理可得点Q 的坐标为()k k 2,212-+. 当1±≠k 时，有222121k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2221212122k k k kkk k PQ -=--++=. 所以，直线PQ 的方程为()222112k x kkk y ---=+， 整理得()032=--+y k x yk .于是，直线PQ 恒过定点()0,3E ；当1±=k 时，直线PQ 的方程为3=x ，也过点()0,3E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()0,3E . 21.解(1)()()xa x x xa x x f --=-+-=21)11()1(2)('当2≤a 时，∵0)('>x f 对于()+∞∈,1x 恒成立，∴)(x f 在()∞+，1上单调递增 ∴()0)1(=>f x f ，此时命题成立； 当2>a 时，∵)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛21a ，上单调递减,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上单调递增， ∴当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,1a x 时，有0)1()(=<f x f .这与题设矛盾. 故a 的取值范围是(]2,∞-(2)依题意(]2,∞-∈a ，设1)()(++=a x f x g .原题即为若)(x g 在(]20，上有且只有一个零点,求a 的取值范围. 显然函数()x g 与()x f 的单调性是一致的.①当0≤a 时,因为函数)(x g 在区间()10，上递减，(]21，上递增， 所以()x g 在(]20，上的最小值为1)1(+=a g ， 由于011112222>+-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e a e e g ，要使()x g 在(]20，上有且只有一个零点, 需满足()01=g 或()02<g ，解得1-=a 或2ln 2-<a ； ②当2=a 时，因为函数()x g 在(]20，上单调递增，0且()02ln 22)2(,0241484>+=<--=-g ee e g ， 所以此时()x g 在(]20，上有且只有一个零点；③当20<<a 时,因为函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20a ，上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛1,2a 上单调递减,在 (]21，上单调递增, 又因为()011>+=a g ，所以当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,2a x 时，总有()0>x g ， ∵2122+<<+a eaa ∴022ln )2(22222222<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++a e a a e e e g a a a a a a a a ， 所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20a ，上必有零点,又因为()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20a ，上单调递增,从而当20<<a 时，()x g 在(]20，上有且只有一个零点 综上所述,当20≤<a 或2ln 2-<a 或1-=a 时， 方程01)(=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根. 22.解：(1)曲线1C 的普通方程为0234=-+y x ； 曲线2C 的直角坐标方程为:2x y =.(2)1C 的参数方程的标准形式为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty t x 542532（t 为参数）代入2x y =得 01508092=+-t t ，设21,t t 是B A 、对应的参数,则0350,9802121>==+t t t t . ∴1581PA 12121=+=⋅+=+t t t t PB PA PB PA PB . 23.解：(1)当1=a 时，21212+≤++-x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧+≤--≤2421x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<-222121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤2421x x x 解得∅∈x 或210<≤x 或3221≤≤x 综上，不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡320，.(2)2122+≥++-x x a x ，转化为02122≥--++-x x a x 令()2122--++-=x x a x x h ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<--+--≤-+-=2,13221,121,35)(ax a x a x a x x a x x h ， 0>a 时，12)(min -=a x h ， 令012≥-a ，得2≥a .。

广东省珠海等六校2018届高三第三次联考数学文试题含答案2018届广东省六校第三次联考文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数())1ln(21++=-=x xx f 的定义域为( )A ．()∞+，2 B ．()()+∞-,22,1 C ．()2,1- D ．(]2,1-2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．-6B ．32 C ．32-D ．2 3.高考结束后，同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《非你莫属》，《两只老虎》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为( ) A ．31 B ．21 C ．32D ．654.圆()4222=+-y x 关于直线x y 33=对称的圆的方程是( ) A ．()()41322=-+-y x B ．()()42222=-+-y xC. ()4222=-+y xD ．()()43122=-+-y x5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．29 C.23 D ．36.已知()()θ-=θ-π+⎪⎭⎫⎝⎛θ+πsin cos 32sin ，则=θ+θθ2cos cos sin ( ) A ．51 B ．52 C.53 D ．557.实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤000c y x y x ，且y x -的最大值不小于1，则实数c 的取值范围是( ) A ．1-≤cB ．1-≥c C.2-≤c D ．2-≥c8.函数()x x x f cos =的导函数)('x f 在区间[]ππ-,上的图象大致是( )A ．B ．C.D ．9.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC 且ABC PA ∆=,2是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为( ) A ．34πB ．π4 C.π8 D ．π20 10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟，在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟斯不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A ．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D ．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 11.设201620172017201620171log ,log ,2016===c b a ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．c b a>> B ．b c a >> C. c a b >> D ．a b c >>12.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x E ，点F为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足FQ PF 3=，若b OP =，则E 的离心率为( )A ．2 B ．3 C. 2 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若向量b a ,()a b a ⊥-==,2,2，则向量与的夹角等于 ．14.执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．15.已知函数()x f y =在点()()22f ，处的切线方程为12-=x y ，则函数())(2x f x x g +=在点()()22g ，处的切线方程为 ．16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且3,5,4,2====DA CD BC AB ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈-=N n n n S n ,22(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()(),11222⎪⎩⎪⎨⎧--+n n b n a a b n()()()*∈=-=N k k n k n 212，求数列{}nb 的前n 2项和nT2.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ,D BC AB ,⊥为AC 的中点，3,21===BC AB A A .(1)求证：//1AB 平面D BC 1； (2)求四棱锥D C AA B 11-的体积.19.随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.(1)问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ；(2)求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若规定生产能力在[]150130，内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表参考数据：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.20. 已知动点M 到定点()0,1F的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点B A ,和N K ,.设线段KN AB ,的中点分别为Q P ,，求证：直线PQ 恒过一个定点.21. 已知函数())1(ln 122+-++-=x x a x x x f （其中R a ∈,且a 为常数）.(1)若对于任意的()+∞∈,1x ，都有()0>x f 成立，求a 的取值范围；(2)在(Ⅰ)的条件下，若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为t ty t x (542532⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=θρtan cos .(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2) 若1C 与2C 交于B A ,两点，点P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-422，，求PB PA 11+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()()0122>++-=a x a x x f ，()2+=x x g .(Ⅰ)当1=a 时，求不等式()()x g x f ≤的解集；(Ⅱ)若()()x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考 文科数学参考答案与评分标准一、选择题1-5: CCBDD 6-10:CAACD 11、12：AB 二、填空题 13.4π14. 30 15. 056=--y x 16.302 三、解答题 17.解：(1)当2≥n时，()()[]n n n n n S S a n n n 2211222221-=-----=-=-()21≥-=n n a n ，当1=n时，由21112-=S 得01=a ，显然当1=n 时上式也适合，∴n a n-=1(2)∵()()()211221122+-=+=--+n n n n a a n n ， ∴()()n n nb b b b b b T 24212312+++++++=-()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=--22121614141212222220n n n22121411411+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-n n2214134611+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=n n.18.解：(1)证明：连接C B 1，设C B 1与1BC 相较于点O ，连接OD ， ∵四边形11B BCC 是平行四边形，∴点O 为C B 1的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为C AB 1∆的中位线，∴1//AB OD .∵⊂OD 平面D BC 1，⊄1AB 平面D BC 1,∴//1AB 平面D BC 1.(2)解法1:∵⊥1AA 平面⊂1,AA ABC 平面C C AA 11，∴平面⊥ABC 平面C C AA 11，且平面 ABC 平面AC C C AA =11. 作AC BE ⊥,垂足为E ，则⊥BE 平面C C AA 11，∵3,21===BC BB AB ,在ABC Rt ∆中，139422=+=+=BC AB AC ,136=∙=AC BC AB BE ,∴四棱锥D C AA B 11-的体积()BE AA AD C A V∙∙+⨯=1112131 31362132361=⨯⨯⨯=. ∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3.解法2：⊥1AA 平面⊂AB ABC ,平面ABC,∴AB AA ⊥1.∵11//AA BB ,∴AB BB ⊥1.∵D B BB BC BC AB =⊥1, ,∴⊥AB 平面C C BB 11.取BC 的中点E ,连接DE ,则AB DE AB DE 21,//=,∴⊥DE 平面C C BB 11. 三棱柱111C B A ABC -的体积为6211=∙∙∙=AA BC AB V ,则2312131,16121311111111111==∙∙∙⨯===∙∙∙⨯=--V B A BB C B V V DE CC BC V C BB A BCC D . 而D C AA B C BB A BCC D V V V V111111---++=,∴D C AA B V 11216-++=. ∴311=-D C AA B V .∴四棱锥D C AA B 11-的体积为3. 19.解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名,∴B 类工人中应抽查7525100=-名. 由频率分布直方图得()1=10x)+0.048+0.02+0.008⨯，得024.0=x .(2)由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为 122由(1)及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为133.8100.024********.013510020.012510008.0115=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=θ(3)由(1)及所给数据得能力与培训的22⨯列联表，由上表得()828.10733.126238752575010062387525541721810022>≈⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k 因此,可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关. 20.解：(1)由题意可知：动点M 到定点()0,1F 的距离等于M 到定直线1-=x 的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线. ∵2=p ，∴ 抛物线方程为：x y 42=(2)设B A ,两点坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x .由题意可设直线1l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，由()⎩⎨⎧-==142x k y x y 得0)42(2222=++-k x k x k . ()016164422422>+=-+=∆k k k .因为直线1l 与曲线C 于B A ,两点，所以()kx x k y y k x x 42,422121221=-+=++=+，所以点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k 2,212. 由题知，直线2l 的斜率为k1-，同理可得点Q 的坐标为()k k 2,212-+.当1±≠k时，有222121k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2221212122k k k kkk k PQ -=--++=.所以，直线PQ 的方程为()222112k x k k k y ---=+，整理得()032=--+y k x yk .于是，直线PQ 恒过定点()0,3E ；当1±=k时，直线PQ 的方程为3=x ，也过点()0,3E .综上所述，直线PQ 恒过定点()0,3E .21.解(1)()()xa x x x a x x f --=-+-=21)11()1(2)(' 当2≤a 时，∵0)('>x f 对于()+∞∈,1x 恒成立，∴)(x f 在()∞+，1上单调递增∴()0)1(=>f x f ，此时命题成立；当2>a时，∵)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21a ，上单调递减,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上单调递增，∴当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,1a x 时，有0)1()(=<f x f .这与题设矛盾. 故a 的取值范围是(]2,∞-(2)依题意(]2,∞-∈a ，设1)()(++=a x f x g .原题即为若)(x g 在(]20，上有且只有一个零点,求a 的取值范围.显然函数()x g 与()x f 的单调性是一致的.①当0≤a 时,因为函数)(x g 在区间()10，上递减，(]21，上递增，所以()x g在(]20，上的最小值为1)1(+=a g ，由于011112222>+-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e a e e g ，要使()x g 在(]20，上有且只有一个零点,需满足()01=g 或()02<g ，解得1-=a 或2ln 2-<a ； ②当2=a 时，因为函数()x g 在(]20，上单调递增，0且()02ln 22)2(,0241484>+=<--=-g e e e g，所以此时()x g在(]20，上有且只有一个零点；③当20<<a 时,因为函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20a ，上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛1,2a 上单调递减,在 (]21，上单调递增,又因为()011>+=a g，所以当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,2a x 时，总有()0>x g ，∵2122+<<+a eaa ∴022ln )2(22222222<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++a e a a e e e g a a a a a a a a ， 所以()x g在⎪⎭⎫ ⎝⎛20a ，上必有零点,又因为()x g 在⎪⎭⎫⎝⎛20a ，上单调递增,从而当20<<a 时，()x g 在(]20，上有且只有一个零点综上所述,当20≤<a 或2ln 2-<a 或1-=a 时， 方程01)(=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根.22.解：(1)曲线1C 的普通方程为0234=-+y x ； 曲线2C 的直角坐标方程为:2x y =.(2)1C 的参数方程的标准形式为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty t x 542532（t 为参数）代入2x y =得01508092=+-t t ，设21,t t 是B A 、对应的参数,则0350,9802121>==+t t t t . ∴1581PA 12121=+=⋅+=+t t t t PB PA PB PA PB . 23.解：(1)当1=a时，21212+≤++-x x x11 所以⎪⎩⎪⎨⎧+≤--≤2421x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<-222121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤2421x x x 解得∅∈x 或210<≤x 或3221≤≤x 综上，不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡320，. (2)2122+≥++-x x a x ，转化为02122≥--++-x x a x 令()2122--++-=x x a x x h ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<--+--≤-+-=2,13221,121,35)(ax a x a x a x x a x x h ，0>a 时，12)(min -=ax h ， 令012≥-a ，得2≥a .。

珠海市2017届第二学期高三学生学业质量监测数学（文科）参考答案一、 选择题：CCBAB BCBDC CA 二、填空题：13.1214.3 15.12 16.2015 三、解答题:17. (本小题满分12分)解: (1)由(2)cos cos b c A a C -=得: (2sin sin )cos sin cos B C A A C -=, ……2分即:2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即2sin cos sin()sin B A A C B =+=, ……………………………………………4分∵ sin 0B ≠ ∴ 1cos 2A = ； ∵ (0,)A π∈ ∴ 3A π=； ……………………………6分(2) 由余弦定理得：2212b c bc +-=，则：12bc ≤，（当b c ==）， ……………………………8分∴ 11sin 122322ABCSbc π=≤⨯⨯=ABC 面积的最大值为10分∴ BC 边上高的最大值为：max2()3ABC Sa==. ………………12分 18. （1）0.0075；（2）230,224；（3）5.解：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075. ………………4分（2）月平均用电量的众数为2202402302+=， ………………6分 ()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =. 即月平均用电量的中位数为224. ………………8分（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，用平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，用平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，用平均用电量为[)280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例为11125151055=+++，∴用平均用电量为[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户. ………………12分是等边三角形，所以AD EH ⊥,又平面交线，所以EH ⊥平面，EHCF 四点共面.，因此DCH CBD ∠=∠,90，因此………………5分6分………………8分………………9分的距离为h ，，即点B 到面AEC 的距离为……12分 20.（本小题满分12分）解： (1)因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，所以12p=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =．………………………1分 由抛物线和圆的对称性可设圆222:()Q x y b r +-=，由1290PQP ∠=︒知12PQ P Q ⊥ ， ∴ 12PQP 是等腰直角三角形， 不妨设1P 在左侧，则1245QPP ∠=︒，∴ 2,P b ⎫⎪⎪⎝⎭，代入抛物线方程有: 2142r b =-． ……………3分 由题意知：抛物线C 和圆Q 在点12,P P 处相切，由24x y =得：1'2y x =，∴ 抛物线C 在点2P 处切线的斜率为： k =， …………………4分由1245QPP ∠=︒得：1k ==，即r = ……………………5分将r =2142r b =-解得3b =， ∴ 圆Q 的方程为：22(3)8x y +-=． …………………6分 (2)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为: 1y kx =+， 圆心(0,3)Q 到直线l 的距离为:d =，∴ ||AB == ……………………8分 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得:22(42)10y k y -++=， 设1122(,),(,)M x y N x y ,由抛物线定义有: 212||24(1)MN y y k =++=+，………10分∴ 221||||16(1)21MN AB k k =+-+，设21t k =+，则: 1t ≥且1||||16216MN AB tt =-==,∴ 当1t =即0k =时, ||||MN AB 的最小值为16. ……………………12分 21．（本小题满分12分）解：(1)记()()g()2x f x x λ=--()(1)ln(1)2x x x λ=----，其中1x >， ∴ ()ln(1)1g x x λ'=-+-，令()0g x '=，得11x e λ-=+， ………………1分 当101x e λ-<<+时，()0g x '<；当11x e λ->+时，()0g x '>； ∴ 当11x e λ-=+时，函数g()x 取得极小值，也是最小值，即：()()1111min ()11(1)g x g e e e e λλλλλλλ----=+=---=-+； ……………………3分记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-'=-，令()0G λ'=，得1λ=．当01λ<<时，()'0G x >；当1λ>时，()'0G x <； ∴ 当1λ=时，函数()G λ取得极大值，也是最大值，即：∴ ()()()max =10G G G λλ==极大， ………………………4分 故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号；又10e λλ--≥，从而得到1λ=，∴ 实数λ的取值范围为{1}． …………………………………5分 证明:(2)先证3(1)2f x x e -+≥--，记3()(1)(2)h x f x x e -=+---3ln 2x x x e -=++， …………………………………6分 则()ln 3h x x '=+，令()0h x '=得3x e -=，∴ 当30x e -<<时，()'0h x <；当3x e ->时，()'0h x >；∴ 当3x e -=时，()h x 取得极小值且33333()ln 20h e e e e e -----=++=，∴ 3min ()()0h h e λ-==，即()0h x ≥恒成立，也即3(1)2f x x e -+≥--，……………8分记直线32y x e -=--，1y x =-分别与y a =交于1(,)x a '，2(,)x a '，不妨设12x x <，则3112(1)a x e f x -'=--=+312x e ---≥，从而11x x '≤，当且仅当33a e -=-时取等号； …………………9分 由(1)知:(1)1f x x +-≥，则221(1)a x f x '=-=+21x -≥，从而22x x '≤，当且仅当0a =时取等号； …………………………………10分故122121||x x x x x x ''-=--=≤31(1)()22a a e +---=331122a e ++， 因等号成立的条件不能同时满足，故12331||122a x x e-<++． …………………12分22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程解：(1)∵001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t 为参数），即：12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩； ∴直线l 的普通方程为10x y --=； …………………2分 ∵sin tan 4m ρθθ=，∴22sin 4cos m ρθρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为24y mx =. ……………………4分(2) ∵ 24y mx =，∴0x ≥，设直线l 上的点,M N 对应的参数分别是()1212,0,0t t t t >>，则12,PM t PN t ==， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， ……………………6分 将001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩代入24y mx =化简得：)()21810t m t m -+++=，……8分∴)()1212181t t m t t m ⎧+=+⎪⎨=+⎪⎩， 又212t t =，解得：1m =-或18m =，∵ 0m > ∴ 18m =. ………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(1)当1a =-时，不等式()0f x ≥可化为：|21|||10x x +--≥，∴ 12(21)()10x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+---≥⎩或102(21)()10x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+---≥⎩或0(21)10x x x ≥⎧⎨+--≥⎩，…3分 解得：2x ≤-或0x ≥， ……………………………………………4分 ∴ 不等式的解集为(,2][0,)-∞-+∞。

2018-2019学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2+2x＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，2）2．（5分）设＝（1﹣2i）（3+i），则|z|＝（）A．5B．C．5D．53．（5分）若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3﹣，c＝3+，则b＝（）A．2B．﹣2C．±2D．44．（5分）函数f（x）＝ln（x+1）在点（0，f（0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝x C．y＝2x﹣1D．y＝2x5．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tan x＜1成立的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣2|x|﹣1的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，，且，则λ+μ＝（）A．1B．C．D．8．（5分）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种9．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝2cos（2x+φ）+1（|φ|＜）图象的对称轴完全相同；若x∈[0，]，则y＝g（x）的值域是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，3]C．[0，2]D．[0.3]11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．y＝±2x12．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣mx+1＝0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．14．（5分）已知数列{a n}的通项a n＝2n+n，若数列{a n}的前n项和为S n，则S8＝．15．（5分）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是．16．（5分）函数f（x）＝sin2x+2cos x在区间[0，π]上的值域为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）如图，在三角形ABD中，AB＝2，AD＝1，，平面ABD内的动点C 与点A位于直线BD的异侧，且满足．（1）求sin∠ADB；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE ⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4．（Ⅰ）证明：AB⊥面BCDE；（Ⅱ）若AD＝2，求二面角C﹣AD﹣E的正弦值．19．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点P（﹣，），且右焦点F2（，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y＝kx+与椭圆E交于A，B两点，当|AB|最大时，求直线l的方程．20．（12分）2018年11月6日﹣11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行．在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为P，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求P的值；（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+（a﹣1）x，a＞0且f（x）的导函数为f'（x）．（1）求函数f（x）的极大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：f'（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+|x+1|的解集：（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2018-2019学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，则A∩B＝（﹣1，0）．故选：A．2．【解答】解：∵＝（1﹣2i）（3+i）＝5﹣5i，∴|z|＝||＝．故选：D．3．【解答】解：三个实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac＝（3﹣）（3+）＝9﹣5＝4，则b＝±2，故选：C．4．【解答】解：函数f（x）＝ln（x+1），可得f′（x）＝，f′（0）＝1，f（0）＝0，故切线方程是：y﹣0＝x﹣0，整理为：x﹣y＝0；故选：B．5．【解答】解：∵0＜tan x＜1，x∈（0，）∴0＜x＜以区间长度为测度，可得所求概率为＝故选：C．6．【解答】解：函数f（x）＝e|x|﹣2|x|﹣1是偶函数，排除选项B，当x＞0时，函数f（x）＝e x﹣2x﹣1，可得f′（x）＝e x﹣2，当x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x＞ln2时，函数是增函数，排除选项A，D，故选：C．7．【解答】解：根据条件画出图形如下：由知，D是边BC的中点；由知，P是线段AD的中点；∴＝＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故选：C．8．【解答】解：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种结果1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有C42A33＝36种结果，故选：C．9．【解答】解：根据几何体的三视图，复原的几何体四棱锥A﹣BCDE是由正方体切割而成：如图所示：由于俯视图是腰长为的等腰直角三角形，所以：正方体的棱长为，故：﹣，＝．故选：B．10．【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝2cos（2x+φ）+1（|φ|＜）图象的对称轴完全相同，∴ω＝2，∴函数f（x）＝3sin（2x﹣），则2x﹣＝kπ+，即x＝+，k∈Z，由g（x）＝2cos（2x+φ）+1，则2x+φ＝kπ，即x＝﹣，k∈Z，∴﹣+＝，∴φ＝，∴g（x）＝2cos（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]∴g（x）∈[﹣1，2]，故选：A．11．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|＝a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|＝2a，|F1N|＝＝b，即有|F1A|＝2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|＝2a，即有|MF1|＝2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|﹣|MF2|＝2b+2a﹣2a＝2a，可得b＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：A．12．【解答】解：函数，若方程f（x）﹣mx+1＝0恰有四个不同的实数根，即f（x）＝mx﹣1，有4个不同的交点，分别画出y＝f（x），与y＝mx﹣1的图象，当x＞0时，f（x）＝xlnx﹣2x，∴f′（x）＝lnx﹣1，设直线y＝mx﹣1与y＝f（x）相切于点A（x1，y1），∴m＝lnx1﹣1，∵y1＝x1（lnx1﹣2），y1＝mx1﹣1，∴x1＝1，m＝﹣1，当x＜0时，f（x）＝x2+x，∴f′（x）＝2x+，设直线y＝mx﹣1y＝f（x）相切于点B（x2，y2），∴m＝2x2+，∵y2＝x2（x2+），y2＝mx2﹣1，∴x2＝﹣1，m＝﹣，结合图象可知﹣1＜m＜﹣，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【解答】解：x，y满足约束条件，目标函数画出图形：z＝2x﹣y．点A（，），z在点A处有最小值：z＝2×＝，故答案为：；14．【解答】解：数列{a n}的通项a n＝2n+n，若数列{a n}的前n项和为S n，则：，＝，＝．则：＝546故答案为：54615．【解答】解：由题意满六进一，可知该图示为六进制数，化为十进制数为1×63+3×62+2×6+5＝341．故答案为：341．16．【解答】解：∵f（x）＝sin2x+2cos x，∴f′（x）＝2cos2x﹣2sin x＝﹣2（2sin2x+sin x﹣1）＝﹣2（2sin x﹣1）（sin x+1），x∈[0，π]，令f′（x）＝0，解得x＝或x＝，当x∈[0，）∪（，π]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∵f（）＝，f（）＝﹣，f（0）＝2，f（π）＝﹣2，∴函数f（x）的值域为[﹣，﹣]，故答案为：[﹣，]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABD中，因AB＝2，AD＝1，，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A＝，所以，（3分）再由正弦定理得：，所以．（6分）（2）由（1）知△ABD的面积为定值，所以当△BCD的面积最大时，四边形ABCD的面积取得最大值．在△BCD中，由，．方法1：设CD＝m，CB＝n，则m2+n2＝BD2＝7，于是7＝m2+n2≥2mn，即，当且仅当m＝n时等号成立．故△BCD的面积取得最大值．（10分）又△ABD的面积，所以四边形ABCD面积的最大值为．（12分）方法2：设∠DBC＝α，则，，所以，当时，△BCD的面积取得最大值．（10分）又△ABD的面积，所以四边形ABCD面积的最大值为．（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）由侧面ABC⊥底面BCDE，且交线为BC，底面BCDE为矩形，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，同理可证AB⊥BC，又BC∩BE＝B，∴AB⊥面BCDE．解：（Ⅱ）在底面BCDE中，BD＝＝＝2，由AB⊥面BCDE，得AB⊥BD，故AB＝＝＝2，以B为原点，BE，BC，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），D（4，2，0），E（4，0，0），A（0，0，2），＝（0，2，﹣2），＝（4，0，0），设平面CAD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），同理可求得平面ADE的法向量＝（1，0，2），设二面角C﹣AD﹣E的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角C﹣AD﹣E的正弦值为．19．【解答】解：（1）∵椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点P（﹣，），且右焦点F2（，0）．∴c＝，，又a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝1．∴椭圆E的方程为：；（2）由⇒（1+4k2）x2+8．设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△＝128k2﹣16（1+4k2）＞0，即为k2．．＝2．设t＝，则AB＝2．当t＝，即k＝时，|AB|最大，此时直线l的方程为y＝．20．【解答】解：（1）由题意知，•••（1﹣p）+••p＝，即走路线乙堵车的概率为P＝；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X＝0）＝××＝，P（X＝1）＝，P（X＝3）＝××＝，所以P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）＝1﹣﹣﹣＝；所以随机变量X的分布列为：数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．21．【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣x2+（a﹣1）x，a＞0，f′（x）＝，当a＞0时，ax+1＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，故a＞0时，f（x）的极大值是f（1）＝﹣1；（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，若f（x）有2个零点，则必有f（1）＝﹣1＞0，故a＞2；令g（x）＝lnx﹣（x﹣1），g′（x）＝，则g（x）在（0，1）递增，故g（x）＜g（1）＝0，故lnx＜x﹣1，则a＞2时，f（2）＝ln2﹣2＜0，f（）＝ln﹣+＜（﹣1）﹣+＝﹣＜0，又f（1）＝﹣1＞0，故f（x）在（0，1），（1，+∞）上各有1个零点，故a的范围是（2，+∞）；（3）不妨设0＜x1＜1＜x2，则f'（）＝﹣+a﹣1，由，得：（lnx1﹣lnx2）﹣（﹣）+（a﹣1）（x1﹣x2）＝0，故（x1+x2）＝ln+a﹣1，故f'（）＝﹣ln故f'（）＝[﹣ln]＝[﹣ln]，令t＝∈（0，1），h（t）＝﹣lnt，h′（t）＝＜0，故h（t）在（0，1）递减，故h（t）＞h（1）＝0，故f'（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+3x，由f（x）≥3x+|x+1|，求得：|x﹣1|≥|x+1|，两边平方得：（x﹣1）2≥（x+1）2，解得：x≤0，所以不等式的解集为：，故答案为：（2）由|x﹣a|+3x≤0⇒或，①当a＞0时，不等式f（x）≤0的解集为：，又不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，则﹣＝﹣1，解得：a＝2，②当a＝0时，不等式f（x）≤0的解集为：，又不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，不符合题意，③当a＜0时，不等式f（x）≤0的解集为：，又不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，则＝﹣1，解得：a＝﹣4，综合①②③得：a的值为2或﹣4，故答案为：a＝2或a＝﹣4．。

2018届高三六校第一次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =-<，{}e 1x B x =>，则()A B =R I ð（ ） A ．[)1,+∞ B ．()0,+∞ C ．()0,1 D ．[]0,12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1a =r ，b =r a b ⊥r r，则a b +r r 为（ ）A B ．2 D ． 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()1,a m =r ，(),21b m m =-r（m ∈R ）垂直的充要条件是1m =C ．命题“*n ∀∈N ，()1322nn n ->+⋅”的否定是“*n ∀∈N ，()1322nn n -≥+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7．已知m ，n 为异面直线，α，β为平面，m ⊥α，n ⊥β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．∥αβ，且l ∥αB ．⊥αβ，且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8．若x ，y 满足1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =-的最大值为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 10．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点(),0π中心对称B ．()y f x =的图象关于2x =π对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数11．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a +++L L 等于（ ） A ．40342018 B ．40322017 C ．40282015 D ．4030201612．已知函数()()222,12log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 ．14．已知直线y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于两点A ，B ，且C A B ∆为等边三角形，则圆C 的面积为 ．15．若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 ．16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，k a （2,3,4,5k =）出现0的概率为13，出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为10101A =则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得1-分，则100次重复试验的总得分X 的方差为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆，3B =π，2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E为垂足，2ED =，求角A 的值.18．如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB EC ==，AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD . （2）求二面角A EC D --的余弦值.19．某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆ=-a y bx ，4221194i i x -==∑，421211945i i i x y --==∑） （1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的值，并估计y 的预报值.（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb，ˆa 的值（ˆb ，ˆa 精确到0.01）相比于（1）中的b ，a ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点1,2P ⎛ ⎝⎭，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l ：103mx ny n ++=（m ，n R ∈）交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.21．设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点1x 、2x ，且12x x <（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()212ln 24f x ->四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,2sin x a t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πρθ（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23．已知()211f x x x =--+.（1）将()f x 的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象. （2）若1a b +=，对a ∀，()0,b ∈+∞，()143f x a b+≥恒成立，求x 的取值范围.六校第一次联考理科数学参考答案一、选择题1-5:ABBCD 6-10:DDDBC 11、12：AA二、填空题13．180 14．6π 15．()ln 2,2- 16．30800729三、解答题17．解：（1）设AB x =，则由余弦定理有：2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅︒解得：1x =所以1AB =（2）因为2ED =，所以sin 2sin ED AD DC A A===.在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠，因为2BDC A ∠=∠，所以2sin 22sin sin 60A A =︒.所以cos 2A =，所以4A =π. 18．（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，COAE EB ==AEB ∆为等腰直角三角形∴EO AB ⊥，1EO =又∵AB BC =，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形.∴CO =2EC =，∴222EC EO CO =+∴EO CO ⊥∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD（2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系则()0,1,0A -，)C，)2,0D-，()0,0,1E)AC =uuu r，)1EC =-uu u r，()0,2,0DC =uuu r设平面DCE 的法向量为(),,1n x y =r ，则00EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r，即1020y -==⎪⎩，解得：30x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴,0,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r同理求得平面EAC的一个法向量为1,1m ⎫=-⎪⎪⎝⎭u rcos ,7m n m n m n⋅==u r ru r r u r r ，所以二面角A EC D --的余弦值为7. 19．解：（1）因为5x =，50y =.回归直线必过样本中心点(),x y ，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=.故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24. （2）因为4x =，46.25y =，4221194i i x-==∑，421211945i i i x y --==∑，所以4212114222114ˆ4i i i i i xy x ybx x--=-=-=-∑∑29454446.256.839444-⨯⨯=≈-⨯， ˆˆ46.25 6.83418.93ay bx =-=-⨯=，即ˆ 6.83b =，ˆ18.93a =， 6.5b =，17.5a =. ˆ5%b b b -≈，ˆ8%aa a-≈，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24. （3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， 所以勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，()224246225C C P X C ===，()3142468315C C P X C ===， ()4042461415C C P X C ===.2818234515153EX =⨯+⨯+⨯=20．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a =，∴222212x y b b+=又∵椭圆经过点P ⎛ ⎝⎭，代入可得1b =.∴a =2212x y +=. （2）首先求出动直线过10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭点.当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：2221433x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当L 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：221x y +=由2222214331x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩ 即两圆相切于点()0,1，因此，所求的点T 如果存在，只能是()0,1，事实上，点()0,1T 就是所求的点. 证明如下：当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()0,1T 当直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：13y kx =-由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2218912160k x kx +--= 记点()11,A x y 、()22,B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又因为()11,1TA x y =-uu r ，()22,1TB x y =-uu r所以()()121211TA TB x x y y ⋅=+--uu r uu r 12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()2216411893k k k -=+⋅-+2121601899k k ⋅+=+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()0,1T 所以在坐标平面上存在一个定点()0,1T 满足条件.21．解：（1）()222211a x x a f x x x x++'=+=++（1x >-）令()222g x x x a =++，其对称轴为12x =-由题意知1x 、2x 是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为()48010a g a ∆=->⎧⎪⎨-=>⎪⎩，得102a <<当()11,x x ∈-时，()0f x '>，∴()f x 在()11,x -内为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，∴()f x 在()12,x x 内为减函数； 当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()2,x +∞内为增函数； （2）由（1）知()00g a =>，∴2102x -<<， 由()2222220g x x x a =++=得()22222a x x =-+， ∴()()2222ln 1f x x a x =++=()()22222222ln 1x x x x -++设()()()2222ln 1h x x x x x =-++（12x >-）， 则()()()2221ln 12h x x x x x '=-++-=()()221ln 1x x -++ 当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在()0,+∞单调递减. 所以，当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()112ln 224h x h -⎛⎫>-= ⎪⎝⎭故()()2212ln 24f x h x -=>. 22．解：（1）由cos 4⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πρθ()cos sin 2-=-ρθρθ化成直角坐标方程，得)2x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离d ==2cos 4t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π当24t k +=+πππ，即324t k =+ππ，k ∈Z时，min 2d =， 故点P 到直线l的距离的最小值为2.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， 所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，()4t +>-ϕ（其中2tan a=ϕ）恒成立，4<，又0a >，所以0a <<故a的取值范围为(0,. 23．解：（1）由已知，得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 函数()f x 的图象如图所示.（2）因为a ，()0,b ∈+∞，且1a b +=， 所以()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时等号成立. 因为()143211x x a b +≥--+恒成立， 所以2113x x --+≤，结合图象知15x -≤≤， 所以x 的取值范围是[]1,5-.。

珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试理科数学试题2017.09第Ⅰ卷选择题一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的1、设集合A ＝{x |2210,x x x R +-≤∈} ，集合B ＝{x | lg x ＜2，xR} ，则(C R A) I B ＝ A ．(12，100) B ．(12，2) C ．［12，100) D ．∅ 2．在线段AB 上任取一点P ，点 恰好满足|AP|＞233｜AB |的概率是 A 、23 B 、49 C 、19 D 、133．对复数z ＝a+bi (a ，b ∈R)，设命题 p ：若z2＝8i ，则a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2；命题 q ：:若z2 ＜0，则a ＝0，b ＝0．则下列命题中是真命题的是 A ． p ∨q B ． p ∨q C ． p ∧q D ． p ∧ q 4．S n 为等比数列{na }的前n 项和，234a a a ++＝42，345a a a ++＝84，则S3 ＝A ．12B ． 21C ． 36D ．485．定义在R 上的偶函数 f (x)，满足x ≥0时，'()f x ≤0，则关于x 的不等式 f (| x |) ≤f (3) 的解集为 A 、（－3,3） B 、［－3,3］C 、（－∞，－3）U （3，＋∞）D 、（－∞，－3］U ［3，＋∞） 6．如图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A ．11 B ． 7 C ．14 D ．97．（1－31)x （3+2x ）6展开式的常数项值为A ．5049B 、－5049C 、3591D 、－3591 8．执行右边的程序框图，输入 n=1，若要求出 3m +2m 不超过 500 的最大奇数 m 则和两个空白框内应该填A ．A ＞＝500？ 输出mB ．A<＝500？ 输出m=mC ．A ＞＝500？ 输出m=m-2D ．A<＝500？ 输出m9．已知曲线C1: ，则下列说法正确的是A ．把曲线C1 向左平移23π个单位长度，得到曲线C2 B ．把曲线C1 向右平移23π个单位长度，得到曲线C2C ．把曲线C1向左平移3π个单位长度，得到曲线C2 D ．把曲线C1向右平移3π个单位长度，得到曲线C210．已知抛物线 C ：y2=4x ，过点P(2，0)作直线l 与C 交于A 、B 两点，直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是A11．设 x ，y ，z 均为大于1的实数，且log2x ＝log3y ＝log5z ，则 x3，y5，z2 中最小的是 A ．z2 B ．y5 C ．x3 D ．三个数相等 12．整数列{}满足二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．向量,a b r r的夹角为θ，，则θ＝＿＿＿＿14．变量x ， y 满足，则z ＝x+2y 的最大值为15．以双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点 A 2a 为半径作圆，与双曲线右支交于P 、Q 二点，若∠PAQ ＝2π，则双曲线C 的离心率为＿＿＿16．用一张16X10长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x 的正方形(如图)，然后沿虚线折 起，得到一个长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）ABC ∆中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，满足222cos cos cos B C A +-13sin B C =．(1)求角A 的大小；(2)若1a =，3B π=，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，3AB =，1BC =，2DE EC =，PE ⊥平面ABCD ，63PE =(1)求证：AC PB ⊥；(2)求二面角A PB C --的正切值．EPD ABC19.（本小题满分12分）某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数． (1)求ξ的分布列；(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．20.（本小题满分12分） 已知曲线1L 上的点到二定点1(0)F c -，、2(0)F c ， (0)c >的距离之和为定值128||F F >，以2F为圆心半径为4的圆2L 与1L 有两交点，其中一交点为B ，B 在y 轴正半轴上，圆2L 与x 轴从左至右交于M N ，二点，030BNM ∠=．(1)求曲线1L 、2L 的方程； (2)曲线23:2L x y=，直线2x =与1L 交于点P ，过P 点的直线l 与曲线3L 交于12K K 、二点，过12K K 、做3L 的切线12l l 、，12l l 、交于D ．当P 在x 轴上方时，是否存在点D ，满足1122||||||||DF PF PF DF -=-，并说明理由．21．（本小题满分12分）函数2()ln(1)f x x m x =++ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点12x x 、，且12x x <，求证：2112()2ln 2f x x x >-+请考生在22、23两题中任选一题作答；若两题全作，则按第一题给分。

珠海市2017—2018学年度第二学期高三学生学业质量监测数学（理）试题一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则A B =A ．{ 3 }B ．{0，1，2}C ．{ 1，2}D ．{0，1，2，3}2．设复数z 1=1+i ，z 2=2+xi （x R ∈），若 12.z z R ∈，则x =A ．－2B ．－1C ．1D ．2 3．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N （100,5 2） ，且p （ξ<110）=0．98 ，则(90100)P ξ<<的值为A ．0．49B ．0．52C ．0．51D ．0．484．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22100(10302040) 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照右上附表，得到的正确结论A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是A ．6B ．C ．5 D6．执行如右图所示的程序框图，则输出的 y =A ．12B ．1C ．－1D ．27．变量 x y 、 满足线性约束条件32021x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩，则目标函数 z =kx－y ，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k 的取值范围是A ．k<－3B ．k>1C ．－3<k<1D ．—1<k<18．设函数()y f x =在R 上有定义，对于任一给定的正数P ，定义函数(),()(),()p f x f x p f x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为 ()f x 的“P 界函数”．若给定函数2()21,2f x x x p =--=，则下列结论不成立的是A ．[(0)][(0)]p p f f f f =B ．[(1)][(1)]p p f f f f =C ．[(2)][(2)]p p f f f f =D ．[(3)][(3)]p p f f f f =二、填空题：本大题共7 小题，考生做答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中第 14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．已知数列{}n a 是等差数列，且a 2=3，a 6=11，则{}n a 的公差 d为 ．10．曲线 3()x f x e = 在点（0,1）处的切线方程为 ．11．在区间3[0,]2π上的余弦曲线y= cos x 与坐标轴围成的面积为 ．12．已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，2EC DE =，则 .AE DB的值为 ．13．有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为（2,2π），半径为 2，直线 (0,)2R πθααρ=≤≤∈被圆C 截得的弦长为α的值等于 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点 B 在圆O 上，BCD=60°，则圆O 的面积为________．三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

[★珠海市唐家湾中学★]2018年高中毕业班第三次质量检测题数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长 如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，集合B={a ，b ，c}，那么从集合A 到集合B 的一一映射的个数共 有 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．18 2．函数)10(|log |)(<<=a x x f a 的单调递减区间是（ ）A ．],0(aB ．),0(+∞C ．]1,0(D ．),1[+∞3．设A 、AB By Ax A y Bx B A B A R B =-=+-≠⋅≠∈220,0,,和方程则方程且在同 一坐标系下的图象大致是（ ）4．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （ ）A ．π23 B ．π32 C ．6π D ．34π 5．条件则条件,2:,1|:|-<>x q x pp 是 的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件6．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为（ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ 7．设函数)2(log ,2)9()1,0(log )(91-=≠>=ff a a x x f a 则满足的值是（ ）A ．2log 3B ．22C ．2D ．28．一质点在直线上从时刻t=0秒以速度34)(2+-=t t t v （米/秒）运动，则该质点在时刻 t=3秒时运动的路程为（ ）A ．4米B ．8米C ．米34 D ．米38 9．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ ）A ．0B ．32 C ．1 D ．210．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3），则b 的值为 （ ）A ．3B ．－3C ．5D ．－511．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距 离是 （ ） A ．29B ．3C ．556 D ．212．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．若=+=-+αααα2tan 2cos 1,2005tan 1tan 1则 .14．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .15．已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 .16．过双曲线12222=-by a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于PNFMF +的定值为.222b a 类比双曲线这一结论，在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0NFMF+是定值 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A BA C tan tan ),2cos ,2cos 25(⋅-=当 91=时，求||a . 18．（本小题满分12分）为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射出10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求： （1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两个有效数字）.19．（本小题满分12分）在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点.（1）求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.20．（本小题满分12分）设数列}{n a 是等比数列，123321-+⋅=m m m A C a ，公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项 （按x 的降幂排列）.（1）用n ，x 表示通项a n 与前n 项和S n ；（2）若n nn n n n S C S C S C A +++= 2211，用n ，x 表示A n .21．（本小题满分12分）已知点H （－6，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足.21,0PM PM ==⋅ （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点)0,(0x E ，使得△AEB 是以点E 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的斜率k 的取值范围.22．（本小题满分14分）对于函数)0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点.（1）当a =2，b=－2时，求)(x f 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若)(x f y =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线1212++=a kx y 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.[机密★启用前]2018年高中毕业班第一次质量预测题 数学（理工类）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B2.C3.B4.C5.A6.B7.C8.D9.D 10.A 11.D 12.C 二、填空题（每小题4分，共16分）13．2018； 14．18； 15．2525或-； 16．222ba -三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解2cos )2cos 25(||222BA C -+= ， .423||,89||.cos cos sin sin 9.91cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(81)sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(81)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-⋅=-++=-+⋅=∴B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A C 故即又 18．解：依题意，知甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7.0107=； 乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为.6.0106= （1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好击中目标2次的概率是.44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯C（2）甲、乙两运动员各自向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是.19.0])6.01(6.0[])7.01(7.0[12231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅C C19．解（1）由题意可知，不论P 点在棱CC 1上的任何位置，AP 在底面ABCD 内射影都是 AC ， AC BD ⊥ ， .AP BD ⊥∴（2）延长B 1P 和BC ，设B 1P ∩BC=M ，连结AM ，则AM=平面AB 1P ∩平面ABCD. 过B 作BQ ⊥AM 于Q ，连结B 1Q ，由于BQ 是B 1；Q 在底面ABCD 内的射影，所以B 1Q ⊥AM ，故∠B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B 1C 1，从而BM=3BC. 所以BC BC BC BM AB AM 1092222=+=+=. 在=⋅=∆AMBMAB BQ ABM Rt ,中BQ B Rt BC BCBC BC 1103103∆=⋅在中，31021032tan 11===∠BC BC BQ B B QB B ， .3102tan 1=∠∴QB B QB B QB B 1212cos 1tan 1∠=∠+∴得 .cos 1940112QBB ∠=+73c o s 1=∠∴QB B 为所求. （3）设CP=a ，BC=m ，则BB 1=2m ，C 1P=2m －a ，从而,)2(2221a m m P B -+=.2,5422221m AC m m m AB ==+=在121212112cos ,.cos ,AB AP P B AB AP PAB PAB AP ACAPC ACP Rt ⋅-+=∆=∠∆中在中 依题意，得1PAB PAC ∠=∠. 1212122AB AP P B AB AP AP AC ⋅-+=∴. 1212122AB AC P B AB AP ⋅=-+∴.即.522])2([5222222m m a m m m m a ⋅=-+-++.411021101BB m a ⋅-=-=∴ 故P 距C 点的距离是侧棱的.4110- 别解：如图，建立空间直角坐标系.设).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(,6,11a P C B CC a CP --∴==).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(1a AB -=-==∴.)18(1818,cos ,)18(5233)3(6369,cos 22222221a a a a aAP AB +>=<++=++-⋅++>=<∴依题意，得,,cos ,cos 1><>=<AB 即.4110641102)110(3,103231CC a a -=⨯-=-==+亦即 故P 距C 点的距离是侧棱的.4110- 20．解（1）.3.3,3,12,332,123321=⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≥-≥+∴⋅=-+m m m m m m ACa m m m 即由.)41()41(21414242x xx C T x x =⋅⋅=--知 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--===∴-).1(11),1(,1x xx x n S x a nn n n （2）当x =1时，S n =n ，,32321nn n n n n nC C C C A ++++=又,0)2()1(0121n n n n n n n n n C C C n C n nC A ⋅+++-+-+=--12102),(2-⋅=∴++++=∴n n n n n n n n n A C C C C n A当,11,1xx S x nn --=≠时 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-=⋅=∴+--=-++++---=++++-++++-=--++--+--+--=-).1(1)1(2),1(2].)1(2[11)]11(12[11)]()[(111111111112213322132133221x x x x n A x xC x C x xC x C x C x C x xC C C C C x C x x C x x C x x C x x A nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n n n n 21．解（1）设点M 的坐标为),0,3(),23,0(,21),,(x yP y x 得则= 由.8,0)2,()23,6(,02x y yx y PM HP ==-⋅=⋅所以得 由点Q 在x 轴的正半轴上，得0>x .所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点. （2）设直线)1(,0168,8,2:22=+-=-=my y x y my x l 得代入).(11,064642*-<>>-=∆m m m 或解之得设)1(,),,(),,(212211是方程则y y y x B y x A 的两个实数根，由韦达定理得16,82121==+y y m y y ，所以，线段AB 的中点坐标为),4,24(2m m F -而,1184)(1||22212212-⋅+=-+⋅+=m m y y y y m ABx 轴上存在一点E ，使△AEB 为以点E 为直角顶点的直角三角形，∴点F 到x 轴的距离不大于.||21AB所以 .11821|4|22-⋅+⋅≤m m m化简得0124≥--m m ，解之得2512+≥m ，结合（*）得.2512+≥m 又因为直线l 的斜率,1mk =所以2152-≤k ，显然.0≠k 故所求直线l 的斜率k 的取值范围为.0,215215≠-≤≤--k k 且 22．解),0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f（1）当a =2，b=－2时， .42)(2--=x x x f 设x 为其不动点，即.422x x x =-- 则.04222=--x x )(.2,121x f x x 即=-=∴的不动点是－1，2. （2）由x x f =)(得：022=-++b bx ax . 由已知，此方程有相异二实根，0>∆x 恒成立，即.0)2(42>--b a b即0842>+-a ab b 对任意R b ∈恒成立..2003216.02<<∴<-∴<∆∴a a a b（3）设),(),,(2211x x B x x A ， 直线1212++=a kx y 是线段AB 的垂直平分线， 1-=∴k记AB 的中点).,(00x x M 由（2）知,20ab x -= .12122,12122++=-∴++=a a b a b a kx y M 上在化简得：22(421221121122=-=⋅-≥+-=+-=a aa aa a ab 当时，等号成立）. 即.42-≥b。

广东省珠海市高考数学三诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·营口期中) 已知集合，集合，则＝（）A .B .C . 或D .2. （2分）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A . －2B . 4C . －6D . 63. （2分） (2016高一下·大同期中) 在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 正三角形4. （2分） (2016高二上·株洲开学考) 已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足b+c≤3a，则的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （0，2）C . （1，3）D . （0，3）5. （2分） (2016高二上·重庆期中) 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的体积为12π，则该几何体的侧面积是（）A . 4πB . 12πC . 16πD . 48π6. （2分）(2017·南海模拟) 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17×33”之值，则判断框内不能填入（）A . k≤33B . k≤38C . k≤50D . k≤657. （2分）在△ABC中，∠C=90°，且||=||=3，点M满足：=2，则=（）A . 6B . 4C . 3D . 28. （2分） (2016高一下·黄山期末) 某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481，720]的人数为（）A . 10B . 11C . 12D . 139. （2分） (2016高一下·邵东期中) 将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分）在中,P是边BC中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则的形状为（）A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰三角形但不是等边三角形.12. （2分）与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）从集合{0.3，0.5，3，4，5，6}中任取3个不同的元素，分别记为x，y，z，则lgx•lgy•lgz＜0的概率为________．14. （1分）由三条曲线y= ，x轴及直线y=x﹣2所围成的图形的面积是________．15. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为________．16. （1分） (2016高一上·扬州期末) 已知函数f（x）=ln（a﹣）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4﹣a）x+2a﹣5]﹣f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二下·威海期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ，a4 ， a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 + +…+ =an﹣1（n∈N*），求数列{nbn}的前n项和Tn．18. （15分） (2018高二下·聊城期中) 在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而提升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，其价格会随着日需求量的增加而上升，具体情形统计如下表所示：参考公式及数据：对于一组数据， ... ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，其中：，（1）根据上表中的数据进行判断，与哪一个更适合作为日供应量与单价之间的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果以及参考数据，建立关于的回归方程；（3）该地区有个酒店，其中个酒店每日对蔬菜的需求量在以下，个酒店对蔬菜的需求量在以上，从这个酒店中任取个进行调查，求恰有个酒店对蔬菜需求量在以上的概率.19. （10分）(2017·巢湖模拟) 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在的平面，G为△AOC 的重心．（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若PA=AB=2AC=2，求二面角A﹣OP﹣G的余弦值．20. （10分） (2017高二下·淄川开学考) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．21. （5分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数f（x）= （a，b∈R）在点（2，f（2））处切线的斜率为﹣﹣ln 2，且函数过点（4，）．（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），对任意的实数x0＞1，都存在实数x1 ， x2满足0＜x1＜x2＜x0 ，使得f （x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．22. （10分）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：（θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，试写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C2上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．23. （10分）(2017·襄阳模拟) 已知函数f（x）=|x|+|x+1|．（1）若∀x∈R，恒有f（x）≥λ成立，求实数λ的取值范围；（2）若∃m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，试求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学（理）试题含答案珠海市2017～2018学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1.复数2ii-=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --2.命题“0x N +∃∈，使得002(1)1xx +>”的否定是（ ） A ．x N +∀∈，都有2(1)1xx +> B ．x N +∀∉，都有2(1)1x x +≤C ．0x N +∀∉，都有002(1)1xx +≤ D ．x N +∀∈，都有2(1)1xx +≤3.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，318a =，326S =，则1a =（ ）A ．2B ．3C ．1D ．64.将一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24B ．48C ．30D ．605.设变量x ，y 满足约束条件22020440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．6-C ．6D ．4- 6.进位制转换：(3)13___=（ ）A ．101B ．110C ．111D ．1217.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A ．480 B ．360C ．240D ．1208.执行如图的程序框图，如果输入1a =，则输出的s =（ ）A ．23-B ．191-C ．23D ．1919.已知双曲线M ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，其焦点(,0)(0)F c c ±>，右顶点(,0)A a 到双曲线M 的一条渐近线距离为125，以点A 为圆心，c 为半径的圆在y 轴所截弦长为8，则双曲线M 的方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．229x y -= D ．2216x y -=10.如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，13AA =，AB BC CD ===120BCD ∠=，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．78 B ．58 C 11.定义在R 上的连续函数()f x ，其导函数'()f x 为奇函数，且(2)1f =，()0f x ≥；当0x >时，'()()0xf x f x +<恒成立，则满足不等式(2)1f x -≤的解集为（ ） A ．[2,2]- B ．[0,4] C ．(,2][2,)-∞-+∞ D ．(,0][4,)-∞+∞12.函数()sin cos f x a x b x ωω=+sin()A x ωϕ=+(,,0,0,)2a b R A πωϕ∈>><的一个对称中心为(,0)6π-，且'()f x 的一条对称轴为3x π=，当ω取得最小值时，22aba b=+（ ） A ．1 B．4 D．2第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卡相应位置. 13.设向量(1,3)a m =，(2,)b m =-，满足()()0a b a b +⋅-=，则m = ．14.已知α，β均为锐角，cos β=1cos()2αβ+=，则cos α= ．15.过点(1,1)M 作斜率为13-的直线l 与椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，若3CA CB -=，6CA CB ⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本题共有5个小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，122n n S S +-=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）令2n n nb S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了200个取水敞口箱.其中100个采用A 种取水法，100个采用B 种取水法.如图甲为A 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为B 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图.（1）设两种取水方法互不影响，设M 表示事件“A 法取水箱水量不低于1.0kg ，B 法取水箱水量不低于1.1kg ”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计M 的概率；（2）填写下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关.附：2K 2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++19.如图，四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，2CD AB =，16AB =，10PA PB ==，AD BD ==PD =E 为PD 中点.（1）求证：PD CD ⊥；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值. 20.已知抛物线1C ：22(0)y px p =>，圆2C ：224x y +=，直线l ：y kx b =+与抛物线1C 相切于点M ，与圆2C 相切于点N .（1）若直线l 的斜率1k=，求直线l 和抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 的焦点，设FMN ∆，FON ∆的面积分别为1s ，2s ，若12s s λ=，求λ的取值范围.21.函数()ln ()x f x axe x x a R =++∈. （1）若0a≥，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为422x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）.若以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为2222cos 3ρθρ=-.（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+.（1）解不等式2()42f x x <--；（2）已知2(0,0)m n m n +=>>，若不等式11()x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学试题参考答案一、选择题1-5: DDABB 6-10: CCBAA 11、12：DC 二、填空题13. 4±14. 36+15. 34三、解答题17.解：（1）∵122n n S S +-=……①，∴2122n n S S ++-=……②，②-①得212n n a a ++=，∵12a =，∴2112122S S a a a -=+-222a =-=，∴24a =，∴n N +∈时，212a a =，212n n a a ++=，即n N +∈时，12n n a a +=， ∴数列{}n a 是2为首项，2为公比的等比数列，∴2nn a =.（2）2(21)21n n S -=-122n +-，则12n n nb +=， ∴123nn T b b b b =+++⋅⋅⋅+23411232222n n +=+++⋅⋅⋅+……③， ∴2n T 231232222n n=+++⋅⋅⋅+……④， ④-③得n T 231111122222n n n+=+++⋅⋅⋅+-111(1)221212n n n +---1212n n ++=-.18. 解：（1）设“A 法取水箱水量不低于1.0kg ”为事件E ，“B 法取水箱水量不低于1.1kg ”为事件F ， ()(210.3)0.10.33P E =++⨯=，()(530.20.1)0.10.83P F =+++⨯=，()()()()P M P EF P E P F ==⨯0.330.830.2739=⨯=，故M 发生的概率为0.2739. （2）22⨯列联表：2K 2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++2200(87831317)(8717)(1383)(6717)(3383)⨯⨯-⨯=++++98.157 6.635≈>，∴2(98.157 6.635)0.01P K=><，∴有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关. 19.（1）证明：取AB 中点F ，连接PF 、FD ， ∵10PA PB ==，AD BD ==∴AB PF ⊥，AB FD ⊥， ∵PFFD F =，∴AB ⊥平面PFD ，PD ⊂平面PFD ， ∴AB PD ⊥，又∵//CD AB ， ∴PD CD ⊥. （2）解：过P 做PO FD ⊥于O ，∵AB ⊥平面PFD ，PO ⊂平面PFD ，∴AB PO ⊥，∵AB FD F =，∴PO ⊥平面ABCD .过O 做//OG AB 交BC 于G ，则PO 、OF 、OG 两两垂直，以OF 、OG 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系o xyz -， ∵16AB =，10PA PB ==，AD BD ==PD =E 为PD 中点，∴6PF=，12FD =，∴222PF PD FD +=， ∴PF PD ⊥，∴PO =3OF =，9OD =.∵//CD AB ，12CD AB =， ∴////CD OG FB ，CD FB =，∴四边形FBCD 是矩形，8CD OG FB ===，∴P ，(9,0,0)D -，(3,8,0)B ，(9,8,0)C -， ∵E 为PD 中点，∴9(2E -，∴15(,8,2EB =，(9,0,PD =--，(0,8,0)CD =-. 设平面PCD 的法向量000(,,)n x y z =，由0009080n PD x n CD y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，得0000z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令01x =，得0z =则(1,0,n =，则n 与EB 所成角设为α，其余角就是直线BE 与平面PCD 所成角，设为β，sin cos βα=6127127n EB n EB⋅==⋅，∴直线BE 与平面PCD .20. 解：（1）由题设知l ：0x y b -+=，且0b>，由l 与2C 相切知，2(0,0)C 到l 的距离2d==，得b = ∴l ：220x y -+=.将l 与1C 的方程联立消x 得22420y py p -+=，其240p ∆=-=得p =∴1C ：2y =.综上，l ：0x y -+=，1C ：2y =.（2）不妨设0k >，根据对称性，0k >得到的结论与0k <得到的结论相同.此时0b>，又知0p >，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消y 得2222()0k x kb p x b +-+=，其2224()40kb p k b ∆=--=得2p kb =，从而解得2(,)2p p M k k， 由l 与2C 切于点N 知2(0,0)C 到l ：0kx y b -+=的距离2d ==，得b =4p =故(M k.由224y kx b x y =+⎧⎨+=⎩得(N ，故M NMN x =-=+242k k +=. (,0)2pF 到l ：0kx y b -+=的距离为0pkbd +222k =+， ∴1012FMNs s MN d ∆==222(21)(1)k k k ++=， 又2122FON N s s OF y k ∆==⋅=， ∴22122(21)(1)s k k s k λ++==221(2)(1)k k =++22123223k k =++≥. 当且仅当2212k k =即k =时取等号， 与上同理可得，0k <时亦是同上结论.综上，λ的取值范围是[3)++∞.21.解：(1)(1)'()x x axe f x x++=(0)x >.（1）若0a≥，则'()0f x >在0x >时恒成立，∴()f x 的增区间是(0,)+∞. （2）①若0a≥，由（1）知()f x 在(0,)+∞上单增，故()f x 不可能有两个零点. ②若0a<，令()1(0)x g x axe x =+>，则'()(1)0x g x a x e =+<，∴()g x 在(0,)+∞上单减，∵(0)10g =>，11()10a g e a--=-+<，∴01(0,)x a∃∈-，使得000()10xg x ax e =+=，即001x ax e=-，当00x x <<时，()0g x >，即'()0f x >；当0x x >时，()0g x <，即'()0f x <. 故()f x 在0(0,)x 上单增，在0(,)x +∞上单减， ∴max 0()()f x f x =0000ln x ax e x x =++00ln 1x x =+-.若()f x 有两个零点，首先须max 0()()f x f x =0000ln x ax e x x =++00ln 10x x =+->，令()ln 1h x x x =+-1(0)x a<<-，则()h x 在(0,)a1-上单增，∵(1)0h =，∴须011x a <<-即01x a e e e -<<，∴001xe x e a <=-11a e a-<-且11a <-，得到10a e-<<， 此时，1）0101a x e<-<<<，∴ln()1a -<-， ∴2()ln()a f a a e a --=-+-210a a a e a --<---<.2）取0b x >且2ln()b a>-，则0b e b x >>， ()bbb e bf e ae e b e =++2()2b ba e e <+(2)bbe ae =+2ln()(2)0bae ae-<+=，∴()f x 在0(0,)x 和0(,)x +∞各一个零点， 综上，()f x 有两个零点，a 的取值范围是1(,0)e-. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为40x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=. （2）设曲线C上的任一点(cos )P θθ，P 到直线l的距离为d==，当sin()16πθ-=-时，d得到最大值∴曲线C 上的点到直线l距离的最大值为23.解：（1）2()42f x x <--等价于2124x x ++-<，当2x ≥时原不等式转化为2(1)(2)4x x ++-<，即43x <，此时空集；当12x -<<时原不等式转化为2(1)(2)4x x +--<，即0x <，此时10x -<<；当1x ≤-时原不等式转化为2(1)(2)4x x -+--<，即43x >-，此时413x -<≤-. 综上可得，原不等式解集为4{|0}3x x -<<. （2）()x a f x --1x a x =--+1a ≤+.又2(0,0)m n m n +=>>由柯西不等式，得111()()2m n mn ++21(11)22≥+=， 由题意知12a +≤，解得31a -≤≤.。