广东省广州市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)解析版

2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2−2x −3<0,x ∈Z}，则集合M 的真子集个数为( )A. 8B. 7C. 4D. 32. 已知i 是虚数单位，则化简(1+i1−i )2020的结果为( )A. iB. −iC. −1D. 13. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )A. 4500元B. 5000元C. 5500元D. 6000元4. 将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A. 27B. 37C. 17D. 3145. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3,2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|：|NM|等于( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：√36. 在所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为( )A. √3010B. √3020C. √13020D. √70107. 已知点A(4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB|的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√558. 给出下列说法①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x 2−(a +4)x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tanx =1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0,+∞),x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0,+∞),x +1x <2”其中正确说法的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知log m 3>0,a =m log 42,b =m log 32,c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. b <c <a10. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=15斤，1斤=16两)，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银( )A. 9两B. 266127两C.26663两 D. 250127两11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为( )A. √2B. √22 C. √32 D. 2√3312. 已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=log 3(3x +1)，不等式3g(x)−f(x)−t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为( )A. 1B. 3−2log 32C. 2D. 32log 32−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影等于______． 14. 在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为______．15. 已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函数，且在[−π6,π4]上单调递减，则ω的最大值是 ．16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC =CD =2，AB =AD =√6，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12na n+a n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{2a n2}的前n项和为T n，证明：T n<32．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE=∠CEF=45．(1)证明：DC//FE；(2)求二面角D−BE−C的平面角的余弦值．19.已知点P在圆O：x2+y2=9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设G(−3,0)，H(3,0)，过点F(1,0)的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.6≤p≤0.8)．(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21.已知函数f(x)=(a−1)x+xlnx的图象在点A(e2,f(e2))(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4．(1)求实数a的值；(2)若m∈Z，且m(x−1)<f(x)+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．22.以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα(t为参数)．(1)点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2y+1=0垂直，求点A的直角坐标；(2)设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|+2|x+1|，x∈R．(1)求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)+2<|2t−1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合M={x|x|x2−2x−3<0,x∈Z}={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1,2}，所以集合M的真子集个数为：23−1=7个．故选：B．由列举法得到集合A中的元素个数，再由结论：含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个，即得答案本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个．2.【答案】D【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2020=i2020=i4×505=1．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i，再由虚数单位i的运算性质得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x=4000×15%−100，解之得x=5000，故选：B．根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为： p =3C 52C 84=37．故选：B ．①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C 52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2−10x +3=0，所以x 1=3，x 2=13， 所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF|：|NM|即可．本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，属于中档题．根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求即可． 【解答】解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1． ∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(0,1,0)，E(√32,−12,0)，D(√3,0,1)，B 1(0,1,2)． ∴ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,2)， 设平面B 1DE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,6√3,−4√3)．∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设所求角为θ，则sinθ=|m⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3020， ∴cosθ=√13020． 故选：C ．7.【答案】C【解析】解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8.【答案】D【解析】解：①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2−(a+4)x+b，所以有f(−x)=f(x)，即a=−4，定义域为[a,b]，所以b=4，所以函数f(x)在x=±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tanx=1”成立，而“tanx=1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tanx=1”的充分不必要条件正确；③由特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0,+∞),x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0,+∞),x+1x<2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得结论．本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，命题的否定，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log m3>0，∴m>1，∵0<log42<log32<1，20.5>1，∴a<b<c，故选：A．10.【答案】B【解析】解：由题意共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a=266127．故选：B．共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：因为acosB−bcosA=c3，由正弦定理可得，sinAcosB−sinBcosA=13sinC=13(sinAcosB+sinBcosA)，化简可得，tanA=2tanB，则acosBacosA+bcosB=sinAcosBsinAcosA+sinBcosB=1cosAcosB+sinBsinA≤2√sinAcosB，当且仅当cosAcosB=sinBsinA时取等号，=2√tanBtanA =√22，即最大值√22，故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tanA=2tanB，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12.【答案】B【解析】解：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，可得f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，由f(x)+g(x)=log3(3x+1)，①可得f(−x)+g(−x)=log3(3−x+1)，即为−f(x)+g(x)=log3(3−x+1)，②联立①②可得f(x)=12x，g(x)=log3(3x+1)−12x，由不等式3g(x)−f(x)−t≥0对x∈R恒成立，可得t ≤3g(x)−f(x)=3log 3(3x+1)−2x =log 3(3x +1)332x恒成立，设ℎ(x)=(3x +1)332x，ℎ′(x)=ln3⋅32x (1+3x )2(3x −2)34x，当x >log 32时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x <log 32时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 可得x =log 32处ℎ(x)取得极小值，且为最小值3−2log 32， 则t ≤3−2log 32， 故选：B ．运用奇偶性的定义，将x 换为−x ，联立两个方程求得f(x)，g(x)，由题意可得t ≤3g(x)−f(x)的最小值，构造函数ℎ(x)，求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】−83【解析】解：向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)， 则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为|b ⃗|cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√5×2√5√22+(−√5)2=−83．故答案为：−83．根据平面向量投影的定义，计算即可．本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14.【答案】√7+13【解析】解：由题得，AB =2c ，BC =c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c −c =2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c −c =2a ，即可解出e ．本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦型函数的单调性，考查了计算能力．根据f(x)是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f(x)=−sinωx，然后根据题意即可得出[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，然后即可得出0<ω≤2，从而得出ω的最大值．【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=cosφ=0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω>0，f(x)在[−π6,π4]上单调递减，∴[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，∴π2ω≥π4且−π2ω⩽−π6，解得0<ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．16.【答案】9π2【解析】解：∵AB=AD，取BD中点E，则AE⊥BD ∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD=2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2=OE2+EB2，∴R2=2+(2−R)2，解可得，R=32，V=4πR33=43×(32)3=9π2．根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．17.【答案】解：(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n=(n+1)a n−1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2…a2a1⋅a1=n+1n⋅nn−1…32⋅2=n+1，综上，a n=n+1(n∈N∗)；(2)证明：根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2<12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1<32，故命题成立．【解析】(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n的通项公式；(2)根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB//FE ，∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB//平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC =DC ， ∴DC//AB ，∴DC//FE ．(2)解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG =∠CEF =45°，设AB =4， 则D(0,0,1)，E(−3,0,0)，C(−2,0,1)，B(−3,4,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设平面DBE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −4y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,−3)， 设平面BEC 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −4b +c =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0,−1)， 设二面角D −BE −C 的平面角为θ， 则二面角D −BE −C 的平面角的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√10⋅√2=2√55．【解析】(1)推导出AB//FE ，从而AB//平面EFDC ，进而DC//AB ，由此能证明DC//FE ． (2)由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −BE −C 的平面角的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)， 则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 4(0,−y 0)=3√2(x 0−x,−y)，∴x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；(2)直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x =my +1x 29+y 28=1，得(8m 2+9)y 2+16my −64=0．则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2=4(y 1+y 2)， 则k AGk BH=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【解析】(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)，则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得动点M 的轨迹E 的方程；(2)设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=0.3(1−p)2=0.3−0.6p +0.3p 2，P(X =1)=0.7(1−p)2+0.3×2p(1−p)=0.1p 2−0.8p +0.7， P(X =2)=2×0.7p(1−p)+0.3p 2=−1.1p 2+1.4p ， P(X =3)=0.7p 2， 所以X 的分布列为所以E(X)=1×0.1p 2−0.8p +0.7+2×−1.1p 2+1.4p +3×0.7p 2=2p +0.7． (2)因为0.6≤p ≤0.8，由(1)可知，当p =0.8时，E(X)取得最大值， ①一棵B 种树苗最终成活的概率为0.8+(1−0.8)×0.75×0.8=0.92， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，E (Y)=0.92n ， ∴(0.92×400−0.08×80)n ≥100000， 解得n ≥100000361.6≈276.55，∴n ≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【解析】(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p 分别表示出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；(2)先结合p 的取值范围和(1)中的结论确定p 的取值，然后就能得到一颗B 种树苗成活的概率；记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，再结合二项分布的性质，列出关于n 的不等式，解之并取整即可．本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=(a −1)x +xlnx ，∴f′(x)=a +lnx ，∵函数f(x)=(a −1)x +xlnx 的图象在点A(e 2,f(e 2))处的切线斜率为4， ∴f′(e 2)=a +lne 2=4，∴a =2．(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∵m(x −1)<f(x)+1对任意x >1恒成立，∴m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立， 令g(x)=f(x)+1x−1，则g′(x)=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ(x)=x −lnx −3，则μ′(x)=1−1x ，∵x >1，∴μ′(x)>0，∴μ(x)=x −lnx −3在(1,+∞)为增函数． ∵μ(4)=1−ln4<0，μ(5)=2−ln5>0， ∴∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，∴x ∈(1,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0+x 0lnx 0+1x 0−1=x 0+x 0(x 0−3)+1x 0−1=x 0−1，故有m <x 0−1对x >1都成立，∵x 0∈(4,5)，x 0−1∈(3,4)，∴m 的最大值为3．【解析】(1)f(x)=(a −1)x +xlnx ⇒f′(x)=a +lnx ，依题意，f′(e 2)=a +lne 2=4，可求得a 的值；(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∀x >1，m(x −1)<f(x)+1⇔m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立，构造函数g(x)=f(x)+1x−1，求g′(x)=x−lnx−3(x−1)2，再令μ(x)=x −lnx −3，分析得到∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，g(x)min =g(x 0)=x 0−1∈(3,4)，从而可求得m 的最大值．本题第(1)问考查切线问题，第(2)问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2(x ≥0)，A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2y +1=0垂直， 所以{x 2+y 2=2y =−12xx ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A(2√105,−√105). (2)直线l 的直角坐标方程为y =−4+k(x +2)与半圆x 2+y 2=2(x ≥0)有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2−8k +7=0，解得k =1或7，由于B(0,√2)，C(0,−√2)P(−2,−4)， 所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22,4−√22]∪{1}．【解析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)函数f(x)={−3x −1,x <−1x +3,−1≤x ≤13x +1,x >1，则{x <−1−3x −1<5或{x >13x +1<5或{−1≤x ≤1x +3<5， 解得−2<x <−1或1<x <43或−1≤x ≤1， 则原不等式的解集为(−2,43)；(2)关于x 的不等式f(x)+2<|2t −1|在实数范围内解集为空集， 等价为(f(x)+2)min ≥|2t −1|， 由(1)可得f(x)的最小值为f(−1)=2，则2+f(x)的最小值为4，则|2t −1|≤4，解得−32≤t ≤52， 则t 的取值范围是[−32,52].【解析】(1)将f(x)写成分段函数的形式，f(x)<5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(f(x)+2)min ≥|2t −1|，由f(x)的解析式可得f(−1)为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

广州市2025届高考数学四模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p :直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q :直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m .下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）2．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞4．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．35B ．25C ．4D ．57．已知集合{}2lgsin 9A x y x x ==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．569．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-12．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试卷還号—•二三总分得分一. 选择题（本大题共12小题.共60.0分）1.已知？为虚数单位，复数：r=o +如（.a, bER ）,若zr=l+/,则o+b 的值为（）A.B. 1C.2D.-22. 已知集合 /l-{xk 2-2x-3<0}, ^={x[v-^x^2）,则加3 为（）A. （2, 3]B. [2, 3]C.（・1, 3）D. [-2, 3]3.已知等差数列{/}的前刀项和为S,且血+/=0・$产33,则公差d 的值为（）A. 1B.2C. 3D. 44. 2018年.某地认真贯彻落实中央I •九大将神和各项宏观调控政策，经济运行平稳 增长，民生保障持续加强，患民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构 稳中趋优.挥当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入増 长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二〉所示的不完整的条形统计图.现给 出如下信息：ne)©10月份人均月收入增长率为2%：② II 月份人均月收入约为1442 7C: 其中正确的倍息个数为（）A. 1B.2C. 3D.45.如图所示的儿何图形中，ABCD 为菱形，为EF 的中点，ECYFT 、 BE=DF=4, BELEF. DFLEF 、现在儿何图形中任取一点.则该点取『I RZCE 的概率为（ ）A. § B 爲人旳月枚人计PH11增长*%人均刃收入技96. 已知橢岡O ： £參1（a>逅）的左、右焦点分别为F,, % 过左焦点尺的直线/ 与楠闕的一个交点为M ・右焦点E 关于直线/的对称点为P ・若ZiFiMP 为正三角 形，且其面积为运，则该椭関的离心率为（ ）A.当B.零C. |D.零如图所示的MBC 中•点D.E 分别在边AB.CD 上，A43,JC=2>乙BACN4°・B»2AD・ CE=2ED ・则向址貼•片旷（ 10. 已知换数/（X ）=sin （uiv+tp ） （<o>0t OVcpVir ）的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为扌.将其向右平移专后得到函数g （x ）的图彖，若南数g （X ）的图彖 在区间[苧，町上单调递增.则（P 的取值范围为（）A. 6 貝B. G ，害] c. G ，y] D ・G ，対11. 已知双曲线茫二（«>0, 6>0）的左、右焦点分别为片点P 为左支上任意一点，直线/是双曲线的一条渐近线，点P 在直线/上的射影为0・且当\PF^PQ\ 取鼓小值5时.S"]QF2的鼠大值为（ ）A. -QB.手C.善D. 1012. 已知必弓，空0・函数/（x ） =^ax+b,设|f （x ） |的最大值为M,且对任意的实数G 占恒有成立，则实数K 的用大值为（）A. 4B. 2C. 2D. 了二、填空题（本大题共4小题.共20.0分）13. 已知sin （a+x ） 士，则鴛^的值为 _______A. c<b<aB. a<h<cC ・ c<a<b9.若某儿何体被一平面所截后剩下儿何体的三视图如图 所示则剩F 几何体的体积为（）A. 10B. 15C. 20D. 258.设定义在R 上的偶函数/ （x ）满足/（x ）=/ （4-x ） •且当xe[0, 2]时，/（x ） =x-^+l ,若”#（2018） • T （2019）・ 河（2020）,则g b 9 c 的大小关系为（ ）14. 现有一圆桌，周边有标号为1，2, 3, 4的四个座位，屮、乙，丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课題.每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻, 则所有选座方法 ___________ 种.(用数字作答)x-2y + 2<0 __________________15. 若变Sx, y满足2：：窝2寻°o・则&$ + y? + 4x + 2y + 4的取值范围为____________ .16. 历史上数列的发展，折射出许多行价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例・引入“兔子数列”：即1, 1, 2, 3, 5・ 8, 13, 21, 34・ 55, 89, 144, 233, •••・即F (D-F (2)=1 ,F (n) =F (n-1) +F (n-2)(疋3, ”卅).此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域何着广泛的应用，若此数列披4整除后的余数构成一个新的数列｛九｝, 又记数列｛°｝満足6=〃［, c汙c H=b H~b^i (n>3. ,则 6+"+。

广东省高考数学模拟试卷（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一下·安徽月考) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·晋江期中) 复数z满足，则A .B . 2C .D .3. （2分） (2018高二上·北京期中) 设是首项为正数的等比数列,公比为则“ ”是“对任意的正整数”的（）A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2020高二下·南昌开学考) ，则（）A . 0B . -1C . 1D .5. （2分）设集合，,则的子集的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 16. （2分）若P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则|2x+y+3|的最小值为（）A .B .C . 5D . 47. （2分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面的边长都为，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知△ABC中，AB=AC=4，BC= ，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（）A . 最大值为16B . 最小值为4C . 为定值8D . 与P的位置有关9. （2分）直线x+y=1与曲线y= （a＞0）恰有一个公共点，则a的取值范围是（）A . a=B . a＞1或a=C . ≤a＜1D . ＜a＜110. （2分）若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A . ﹣=1B . ﹣=1C . ﹣=2D . ﹣=2二、填空题 (共7题；共8分)11. （2分） (2019高三上·浙江月考) 过点作圆C：的两条切线，切点分别为，，则 ________，直线的方程为________.12. （1分） (2016高二上·重庆期中) 若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于________．13. （1分） (2019高一下·上海期中) 如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是________.14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．15. （1分） (2016高二上·宁县期中) 不等式1＜|x+1|＜3的解集为________．16. （1分） (2019高三上·中山月考) 设函数是公差为的等差数列，，则 ________．17. （1分） (2016高一上·虹口期中) 若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________三、解答题 (共5题；共40分)18. （5分） (2015高一下·凯里开学考) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间．19. （10分） (2018高一下·桂林期中) 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）已知平面底面，且．在棱上是否存在点，使？请说明理由．20. （5分）(2017·兰州模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，P为不等式f（x）＞4的解集．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．21. （10分）(2019·湖南模拟) 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点 .除以外，直线与是否有其它公共点？请说明理由.22. （10分） (2018高二上·延边月考) 设正项等比数列的前项和为，已知.（1）记，求数列通项公式；（2）记，数列的前项和，求满足的最小正整数的值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共8分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共40分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、略答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2018高考高三数学4月月考模拟试题03第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的．1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x ｜2x ＞2x}，N ＝{x ｜2log (1)x －≤0}，则（C U M ）∩N ＝ A ．{x ｜1＜x ＜2} B ．{x ｜1≤x ≤2}C ．{x ｜1＜x ＜≤2}D ．{x ｜1＜x ＜2} 2．对任意复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），iA ． z 2aB ．z z ｜2C 1D ．2z ≥0 3．双曲线244x 2－y ＝的离心率为A 4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 5．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM ＝－2CA ＋λCB ，则λ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．公差不为0的等差数列{n a }的前21项的和等于前8项的和．若80k a a ＋＝，则k ＝ A ．20 B ．21 C ．22 D ．237．设函数f （x lnx ，则y ＝f （x ） A （1，e ）内均有零点 B （1，e ）内均无零点C 1，e ）内无零点D 1，e ）内有零点8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．．（1）π D ．（2）π9．已知函数f （x ）是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f （｜x －1｜）－1的图象可能是10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若22a b ＋＝20142c ，的值为A ．0B ．1C ．2013D ．201411．若2013(21)x -＝0a ＋1a x ＋22a x ＋…＋20132013a x （x ∈R ）A12．四面体ABCD 中，AD 与BC 互相垂直，AD ＝2BC ＝4，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝体ABCD 的体积的最大值是A ．4B ．．5 D 第Ⅱ卷 非选择题本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题。

广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADACCBBD1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U AC B ={}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =256.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示：①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”； ③在ABC ∆中，“45A >”是“2sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可.10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了. 13.6a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长222l r d =-.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=,∴21sin3θ= …………………10分由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>, 故3sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：ξ 12 P341418. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，12BB =， ∴1122B D =，12OB =，12D O =，则2221111OB D O B D +=，∴11OB D O ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，……… 12分∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1ACOB O =，∴1D O ⊥平面1AB C ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CBBE B =，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在Rt BEC ∆中，23BE =，2BC = ∴tan 3BEC ∠=60BEC ∠=，∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ， 则点(1,1,0)O 、1(0,0,2)D ， ∴1(1,1,2)OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1,2)M ， ∴(1,1,2)BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分 （Ⅱ）∵11(1,1,2)(1,1,2)0OD OB ⋅=--⋅=，1(1,1,2)(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O =，∴1D O ⊥平面1AB C ． …………………………8分（Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量． ∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，∴1(1,12)OD =--为平面1AB C 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>=， ∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，11122AB B S AB B B ∆=⋅⋅=111222AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴1121cos 222AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k =·，于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分x [)02，2 (212)， 12 (]1230，()f x ' -0 +0 -()f x极小极大…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分 20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥ ∵,BC BF b k b k c=-= ∴1bb c-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分 解得51c -=--------------------------------------5分 ∴椭圆的离心率512c e a ==--------------------6分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分由①②得21,22c b cx y b--==，即21,22c b cm n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n n n n T n n n T n+++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥ 当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T == 4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b === 8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ，化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分 若1t =时 8817781277n n -<-， 81577n <即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭（﹡）式化简为815877n t ⎛⎫->⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立. - --------------14分。

广东省广州市2019-2020学年高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B 【解析】 【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.2．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PABV 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-【答案】D【解析】 【分析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --= 则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+则21244AB y y p k =++=+由24x y =，得24x y =12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k =则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥从而()21212S AB d k =⋅=+()()()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '>故()min 464327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 3．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】由02x π≤≤求出5x ωπ+范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立ω不等量关系，即可求解. 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.4．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，1.9%a c c -=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确.故选：D 【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.5．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为c e a ===C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.8．设非零向量a r ，b r ，c r，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴ “||b a -=r r 是“3πθ=”的充分必要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．3C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．CD ．2【答案】B求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解. 【详解】 解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =-()21ba=-⨯-，2a b =()222222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B 【点睛】利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题.11．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ． 考点：正态分布12．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省数学高三理数4月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共23分)1. （2分）(2012·湖南理) 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A . {0}B . {0，1}C . {﹣1，1}D . {﹣1，0，1}2. （2分）复数（i为虚数单位）的模是（）A .B .C . 5D . 83. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·金华期末) 实数满足 ,则的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·海淀期中) 使成立的x的一个变化区间是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·上饶模拟) 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A . 0＜a≤5B . a＜5C . 0＜a＜5D . a≥57. （2分） (2020高二上·湖州期末) 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分） (2017·银川模拟) 如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·抚顺期末) 已知则cos(α+β)的值为（）A . -B . -C .D .10. （2分）已知是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·临川模拟) 若函数在上单调递减，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BDD1B1的位置关系是________.二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2020高一下·金华期中) 已知为△ 的重心，过点G的直线与边分别相交于点 .若 ,则与的面积之比为________.14. （1分）(2012·全国卷理) 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．15. （1分） (2018高一下·柳州期末) 在中，，，若的面积等于，则边长为________．三、解答题 (共7题；共70分)16. （10分） (2018高三上·三明期末) 设等差数列的公差为，且，已知，，设数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和．17. （10分） (2020高三上·宣化月考) 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面 .（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值.18. （10分）(2020·新课标Ⅰ·文) 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?19. （10分）(2019·吉林模拟) 已知抛物线，直线是它的一条切线.（1）求的值；（2）若，过点作动直线交抛物线于，两点，直线与直线的斜率之和为常数，求实数的值.20. （10分）(2017·惠东模拟) 已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．21. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣2=0，直线l与圆C相交于点A、B．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段AB的长度．22. （10分） (2017高二下·新乡期末) 设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥ ．参考答案一、单选题 (共12题；共23分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

2020年福建省、广东省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|y=2x−1}，B={(x,y)|y=x2}，则A∩B=()A. ⌀B. {1}C. {(1,1)}D. {(1,−1)}2.已知复数z=2+3i，则z−=()3−2iA. −iB. iC. 1+iD. 1−i3.已知a=log89，b=0.57，c=log0.810，则()A. c<a<bB. b<a<cC. b<c<aD. c<b<a4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出(单位：元)情况，抽取了一个容量为n的样本，并将得到的数据分成[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在[40,50]的同学有24人，则n=()A. 80B. 60C. 100D. 505.执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为4，则输入的x的可能值有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪)，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回)，则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是()A. 1144B. 1132C. 166D. 1337.圆C：x2+y2−2x−4y+3=0被直线l：ax+y−1−a=0截得的弦长的最小值为()A. 1B. 2C. √2D. √38.将函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若直线x=π6是g(x)的图象的一条对称轴，则()A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数C. f(x)在[π12,π3]上单调递减 D. g(x)在[−π15,π9]上单调递增9.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为()A. 8：5√3B. 4：5√3C. 2√3：5D. 4：11√310.已知数列{a n}的首项a1=2，a n+1=a n+6√a n+2+9，则a27=()A. 7268B. 5068C. 6398D. 402811.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线C：y2=−16x有相同的焦点F，抛物线C′：x2=12y的焦点为F′，点P是双曲线E右支上的动点，且△PFF′的周长的最小值为14，则双曲线E的离心率为()A. √3B. √2C. 3D. 212.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B1，AB的中点，O为四棱锥E−C1D1DC的外接球的球心，点M，N分别是直线DD1，EF上的动点，记直线OC与MN 所成角为θ，则当θ最小时，tanθ=()A. 2√2111B. 4√23C. 11√205205D. 11√2142二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(2m,m−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．14.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=xe x+1，则f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率为______．15.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S3=39，则a7=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知(x2−x−12)n的展开式中第9项是常数项，则展开式中x5的系数为(1)；展开2式中系数的绝对值最大的项的系数为(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）)=cos(B−17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC.sin(A+π4C)．(1)求A；(2)若a=2√2，求△ABC的面积．18.每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如表：(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[35,45)的概率为1，求出表格5中m，n的值；(2)若从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，PA =PD =4，BC =12AD =2，CD =√3． (1)证明：平面BQM ⊥平面PAD ． (2)求二面角M −BQ −A 的大小．20. 已知函数f(x)=(mx −m −1)lnx +x −3e ．(1)当m =0时，求f(x)的最值；(2)当m >0时，若f(x)的两个零点分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，证明x 2−x 1<e −1e ．21. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)点D 是圆O ：x 2+y 2=4上一动点，动点E 满足F 2E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在直线EF 1上，且DP ⊥EF 2． (1)求点P 的轨迹C 的标准方程；(2)已知点Q 在直线l ：x −4=0上，过点Q 作曲线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，记点M ，N 到直线OQ 的距离分别为d 1，d 2，求|MN|d 1+d 2的最大值，并求出此时Q 点的坐标．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4ty =4t 2，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ(√3cosθ−2sinθ)=2．(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OA ：θ=α(0<α<π2,ρ≥0)与曲线C 2相交于点A ，将OA 逆时针旋转90°后，与曲线C 1相交于点B ，且|OB|=2√3|OA|，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|x +2|+|2x −3|．(1)求不等式f(x)>6的解集；(2)若函数f(x)的最小值为m ，正实数a ，b 满足a 2+b 29=m ，证明：1a +3b≥4√77．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了集合的基本运算，考查了运算求解能力与推理论证能力，是基础题．解方程组{y =2x −1y =x 2，即可求出A ∩B 中点的坐标，从而求出A ∩B ．【解答】解：由{y =2x −1y =x 2，可得{x =1y =1， ∴A ∩B ={(1,1)}， 故选：C ．2.【答案】A【解析】解：∵z =2+3i3−2i =(2+3i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=13i 13=i ，∴z −=−i ． 故选：A ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为log 89>log 88=1，0<0.57<0.50=1，log 0.810<log 0.81=0， 所以c <b <a ． 故选：D ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数与对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理的核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力．由频率分布直方图可得，支出在[40,50]的频率为1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3． 根据题意得24n =0.3，解得n =80． 故选：A ．根据频率直方图求出[40,50]的频率，然后求出总人数． 本题考查通过频率直方图估算总人数，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可得：y ={e 4−2x ,x 4,0<x <2x≤0ln 2x,x ≥2， 若输出的y 的值为4，则{x ≤0x 4=4，或{0<x <2e 4−2x =4，或{x ≥2ln 2x =4，解得x =−√2，或x =2−ln2，或x =e 2， 所以输入的x 的可能值有3个． 故选：C ． 由题意可得：y ={e 4−2x ,x 4,0<x <2x≤0ln 2x,x ≥2，若输出的y 的值为4，则分类讨论可求x 的值，即可得解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：十二生肖是十二地支的形象化代表，即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪)，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊， 现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回)， 基本事件总数n =12×11=132，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数m =1×1=1， 则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率p =m n=1132．故选：B．现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回)，基本事件总数n=12×11=132，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数m=1×1=1，由此能求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由x2+y2−2x−4y+3=0，得(x−1)2+(y−2)2=2，则圆心坐标为C(1,2)，半径为√2．直线ax+y−1−a=0即a(x−1)+y−1=0，过定点P(1,1)，当过圆心与定点的直线与直线l垂直时，弦长最短，此时|CP|=√(1−1)2+(2−1)2=1，则弦长为2√2−1=2．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出直线l所过定点，求出圆心到定点的距离，利用垂径定理求最小弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(3x+3π4+φ)的图象，由于直线x=π6是g(x)的图象的一条对称轴，故3×π6+3π4+φ=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ−3π4(k∈Z)，当k=1时，φ=π4，所以f(x)=sin(3x+π4).g(x)=sin(3x+π)=−sin3x．故选项A、B错误．对于选项C：π2+2kπ≤3x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：π12+23kπ≤x≤23kπ+5π12(k∈Z)，当k =0时，函数的单调递减区间为[π12,5π12]， 由于[π12,π3]⊂[π12,5π12]，故选项C 正确． 对于选项D ：令π2+2kπ≤3x ≤2kπ+3π2(k ∈Z)，当k =0时，函数的单调增区间为：[π6,π2]，故选项D 错误． 故选：C ．直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数关系式的平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 则πr 2=12×12πrl ，解得l =2r ， ∴圆锥的高ℎ=√3r ，圆锥的体积V =13πr 2⋅√3r =√33πr 3．由题意知圆柱的底面半径为r2，设圆柱的高为ℎ′，∵圆锥和圆柱的表面积相等，∴3πr 2=2π(r 2)2+2π(r 2)ℎ′，解得ℎ′=52r ， ∴圆柱体积V′=π(r 2)2⋅52r =58πr 3， ∴此圆锥与圆柱的体积之比为：√33πr 358πr 3=5√3．故选：A ．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，求出l =2r ，圆锥的高ℎ=√3r ，从而圆锥的体积V =13πr 2⋅√3r =√33πr 3.由题意知圆柱的底面半径为r 2，设圆柱的高为ℎ′，由圆锥和圆柱的表面积相等，解得ℎ′=52r ，求出圆柱体积V′=π(r2)2⋅52r =58πr 3，由此能求出此圆锥与圆柱的体积之比．本题考查圆锥与圆柱的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：数列{a n}的首项a1=2，a n+1=a n+6√a n+2+9，则a n+1+2=(√a n+2+3)2，整理得√a n+1+2−√a n+2=3(常数)，所以数列{√a n+2}是以2为首项，3为公差的等差数列．所以√a n+2=3n−1，整理得a n+2=(3n−1)2，所以a27=802−2=6398．故选：C．首先利用递推关系式的应用求出新数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，构造新数列的方法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．11.【答案】D【解析】解：由题意得抛物线C的焦点为F(−4,0)，抛物线C′的焦点F′(0,3)，设双曲线的右焦点为F0，则三角形PFF′的周长L=|PF′|+|PF|+|FF′|=|PF′|+|PF0|+2a+5≥|F′F0|+2a+5=10+2a=14，故a=2，=2．所以e=ca故选：D．先求出抛物线C，C′的焦点，然后将三角形PFF′的周长表示出来，根据最小值为14，构造出关于a，b，c的方程即可．本题考查双曲线的几何性质和离心率的求法．考查计算能力．属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，设P，Q分别是棱CD和C1D1的中点，则四棱锥E−C1D1DC的外接球即三棱柱DFC−D1EC1的外接球，∵三棱柱DFC−D1EC1是直三棱柱，∴其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点， 由题意，MN 是平面DD 1EF 内的一条动直线， 记直线OC 与MN 所成角为θ，则θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值，不妨设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则EQ =2，ED 1=√5，∵△EC 1D 1为等腰三角形，∴△EC 1D 1外接圆直径为2GE =ED 1sin∠EC 1D 1=√52√5=52，则GE =54，GQ =2−54=34=PH ，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，D 1(0,0,2)，C(0,2,0)，F(2,1,0)，O(34,1,1)，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,1,−1)，设平面DD 1EF 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0，取x =1，得n⃗ =(1,−2,0)， 则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√41，tanθ=11√2142．故选：D ．设P ，Q 分别是棱CD 和C 1D 1的中点，则四棱锥E −C 1D 1DC 的外接球即三棱柱DFC −D 1EC 1的外接球，其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点，θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角，问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值． 本题考查㫒面直线所成最小角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】32【解析】解：因为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以2m +2(m −3)=0，即m =32． 故答案为：32．依题意，2m +2(m −3)=0，由此解得m =32． 本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．14.【答案】2e【解析】解：∵函数f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=xe x +1， ∴当x <0时，−x >0，∴f(−x)=−xe −x +1， ∴f(x)=xe −x −1，∴f′(x)=(1−x)e −x ，∴f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率为k =f′(−1)=2e ． 故答案为：2e ．根据条件求出f(x)在x <0时的解析式，然后求出其导数，再求出f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率f′(−1)．本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查化归与转化的数学思想，属基础题．15.【答案】127【解析】解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 3=39， ∴q ≠1， ∴{a 3=a 1q 2=3S 3=a 1(1−q 3)1−q =39q >0，解得a 1=27，q =13， ∴a 7=27×(13)6=127． 故答案为：127．利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列方程组，求出首项和公比，由此能求出a 7． 本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】1058−15【解析】解：(1)由二项式定理可得(x 22−x −12)n 的展开式中第r +1项为T r+1=C n r (x 22)n−r(−x −12)r=(−1)r×(12)n−r C n r x2n−5r2， 由题意：令r =8，则2n −5r 2=2n −20=0，解得：n =10，∴T r+1=C n r(x 22)n−r (−x −12)r =(−1)r ×(12)10−r C 10r x20−5r2， 令20−5r 2=5，解得r =6，所以展开式中x 5的系数为(−1)6×(12)10−6C 106=1058；(2)设展开式中第r +1项系数的绝对值为P r+1=|(−1)r ×(12)10−r C 10r |=C 10r 210−r，则P r+1P r=C 10r C 10r−1⋅210−(r−1)210−r=2(11−r)r=22r−2，所以当1≤r ≤7时，Pr+1P r>1；当8≤r ≤10时，P r+1P r<1．所以P 1<P 2<P 3<P 4<P 5<P 6<P 7<P 8>P 9>P 10，所以第8项的系数的绝对值最大，该项的系数为(−1)7×(12)10−7C 107=−15． 故填：1058，−15．先由题设条件求出n ，再根据二项式定理求出需要的结果． 本题主要考查二项式定理，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a =2bcosC ⇒sinA =2sinBcosC ⇒sin(B +C)=2sinBcosC ；即sinBcosC +sinCcosB =2sinBcosC ⇒tanC =tanB ⇒B =C ； 又sin(A +π4)=cos(B −C)⇒sin(A +π4)=cos0=1． ∴A +π4=2kπ+π2，k ∈Z ；∴取k =0，可得A =π4；(2)∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ⇒8=2b 2−2b 2×√22⇒b 2=2−√2=4(√2+1)；∴△ABC 的面积：S =12bc ⋅sinA =12b 2×√22=2+√2．【解析】(1)根据已知条件以及两角和的正弦即可求得角A ； (2)先根据余弦定理求得b ，进而求得结论．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用并考查了三角形的面积计算，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m =100−10−15−20−25−5=25，“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[35,45)的概率为15，可得：n 52+n =15，所以n =13．(2)从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人，赞成的抽取10×2025=8人，不赞成的2人，在从这10人中抽取4人，则随机变量X 的可能取值为2，3，4.P(X =2)=C 82⋅C 22C 104=215，P(X =3)=C 83⋅C 21C 104=815，P(X =4)=C 84⋅C 20C 104=13，X 的分布列为： X 2 3 4 P21581513 所以EX =2×215+3×815+4×13=165．【解析】(1)通过抽取的人数求解m ，通过年龄在[35,45)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率，求解n ；(2)由已知得X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵AD//BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD//BQ ， ∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，∴BQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， BQ ⊂平面ABCD ，∴BQ ⊥平面PAD ， ∵BQ ⊂平面BQM ，∴平面BQM ⊥平面PAD ．以Q 为原点，QA ，QB ，QP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则Q(0,0,0)，B(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，P(0,0,2√3)，M(−1,√32,√3)，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32,√3)， 设平面BMQ 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0n ⃗ ⋅QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√32y +√3z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,0,1)，平面ABQ 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 设二面角M −BQ −A 的大小为θ，由图知θ为钝角， 则cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−12，∴θ=2π3．∴二面角M −BQ −A 的大小为2π3．【解析】(1)推导出四边形BCDQ 为平行四边形，CD//BQ ，BQ ⊥AD ，从而BQ ⊥平面PAD ，由此能证明平面BQM ⊥平面PAD ．(2)以Q 为原点，QA ，QB ，QP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −BQ −A 的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)m =0，f(x)=−lnx +x −3e ，x >0，f′(x)=1−1x =x−1x，当x >1时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <1时，f′(x)<0，函数单调递减， 故当x =1时，函数取得最小值f(1)=1−3e ； (2)∵f′(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x ，因为m >0时，f′(x)单调递增且f′(1)=0，所以0<x <1时，f′(x)<0，函数f (x )单调递减，当x >1时，f′(x)>0，函数f (x )单调递增，故当x =1时，函数取得最小值f(1)=1−3e <0， 又f(1e )=−m(1e −1)+1−2e =m(e−1)+e−2e>0，f(e)=me −m −1+e −3=m(e −1)+e −1−3>0，所以f(x)在(1e ,1)上存在一个零点，在(1,e)上存在一个零点， 因此x 2−x 1<e −1e ．【解析】(1)把m =0代入，对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最小值；(2)结合导数与单调性的关系及函数的性质及零点判定定理可证．本题主要考查了函数的最值的求解及利用导数及函数的性质综合解决函数问题，体现了转化思想的应用．21.【答案】解：(1)由F 2E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知，D 为线段EF 2的中点， 又PD ⊥EF 2，故PD 是线段EF 2的垂直平分线，则|PE|=|PF 2|， ∵点P 在直线EF 1上，∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PE|=|EF 1|=2|CD|=4>2，由椭圆定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−1,0)，F 2(1,0)为焦点，以4为长轴长的椭圆，即2a =4，c =1， ∴a =2,b =√3，另当点D 坐标为(±2,0)时，P 与D 重合，不符合题意， ∴轨迹C 的标准方程为x 24+y 23=1(x ≠±2)；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(4,t)，则曲线C x 24+y 23=1上点M(x 1,y 1)处的切线QM 的方程为xx 14+yy 13=1，又切线QM 过点Q(4,t)，所以x 1+ty 13=1，同理可得x 2+ty 23=1，故直线MN 的方程为x +ty 3=1，∴由弦长公式可得|MN|=√1+t 29|y 1−y 2|，∵直线OQ 的方程为tx −4y =0， ∴d 1=11√16+t 2d 2=22√16+t 2，又∵M ，N 在直线OQ 两侧， ∴d 1+d 2=11√16+t 222√16+t 2=1122√16+t 2=(t 23+4)|y −y |√16+t 2，∴|MN|d1+d 2=√1+t 29|y 1−y 2|(t 23√2=√t 2+9⋅√t 2+16t 2+12，令t 2+12=x(x ≥12),y =|MN|d1+d 2，则y =√x−3⋅√x−4x=√−12x 2+1x +1(x ≥12)，当1x =124，即t =±2√3时，y =|MN|d 1+d 2有最大值7√312，此时点Q 的坐标为(4,±2√3)．【解析】(1)根据已知条件可得D 为线段EF 2的中点，进而得出|PE|=|PF 2|，由此|PF 1|+|PF 2|=4>2，根据椭圆的定义可得点P 的轨迹是以F 1(−1,0)，F 2(1,0)为焦点，以4为长轴长的椭圆，进而求得轨迹方程，同时注意x ≠±2； (2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(4,t)，可得切线QM 的方程为xx 14+yy 13=1，而切线QM 过点Q(4,t)，则x 1+ty 13=1，同理可得x 2+ty 23=1，故直线MN 的方程为x +ty 3=1，利用弦长公式可求得|MN|，直线OQ 的方程为tx −4y =0，利用点到直线的距离公式可得d 1，d 2，进而表示出d 1+d 2，再由此得出|MN|d1+d 2，通过换元后利用二次函数的性质即可得解．本题考查椭圆的定义及其标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，涉及了点到直线的距离公式，弦长公式等基础知识点，也涉及了曲线的切线方程等二级结论，考查了函数思想，换元思想以及化简求解能力，属于较难题目．22.【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程为{x =4ty =4t 2，(t 为参数)，可得其直角坐标方程x 2=4y ，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 1的极坐标方程ρcos 2θ=4sinθ．C 2：√3ρcosθ−2ρsinθ=2， 由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 2的直角坐标方程√3x −2y −2=0． (2)将θ=α(ρ>0)代入ρ(√3cosθ−2sinθ)=2， 得ρA =|OA|=√3cosα−2sinα．将OA 逆时针旋转90°，得OB 的极坐标方程为θ=α+π2(ρ≥0)， 所以ρB =|OB|=4sin(α+π2)cos 2(α+π2)=4cosαsin 2α．由|OB|=2√3|OA|，得−4cosαsin 2α=√3√3cosα−2sinα，√3cos 2α−√3sin 2α−2sinαcosα=0．即sin2α=√3cos2α，解得tan2α=√3． 因为α∈(0,π，所以α=π【解析】(1)由曲线C 1的参数方程为{x =4ty =4t 2，(t 为参数)，消去参数t 可得其直角坐标方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ，代入得曲线C 1的极坐标方程．C 2：√3ρcosθ−2ρsinθ=2，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 2的直角坐标方程． (2)将θ=α(ρ>0)代入ρ(√3cosθ−2sinθ)=2，得ρA .将OA 逆时针旋转90°，得OB 的极坐标方程为θ=α+π2(ρ≥0)，可得ρB .由|OB|=2√3|OA|，化简即可得出．本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x +2|+|2x −3|={3x −1,x >325−x,−2≤x ≤32−3x +1,x <−2．即{3x −1>6x >32，或{5−x >6−2≤x ≤32，或{−3x +1>6,x <−2, 解得x >73或x <−1，所以原不等式的解集为{x|x >73或x <−1}． (2)证明：由(1)知当x =32时，f(x)有最小值72， 所以m =72，a 2+b 29=72．因为(1a +3b )2=1a 2+9b 2+6ab ， 所以1a 2+9b 2+6ab =27(a 2+b 29)(1a 2+9b 2+6ab )=27(2+b 29a 2+6a b+2b3a +9a 2b 2)，因为9a 2b 2+b 29a 2≥2，6ab +2b3a ≥4，当且仅当b =3a 时取等号，所以(1a +3b )2≥167，当且仅当b =3a 时取等号，所以1a +3b ≥4√77，当且仅当a =√72，b =3√72时取等号．【解析】(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部分的解集取并集即可得到答案； (2)由(1)知a 2+b 29=72，而(1a +3b )2=1a 2+9b 2+6ab ，又1a 2+9b 2+6ab =27(a 2+b 29)(1a 2+9b 2+6ab)=27(2+b 29a 2+6ab+2b3a +9a 2b 2)，再利用基本不等式可得9a 2b 2+b 29a 2≥2，6ab +2b3a ≥4，继本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及推理计算能力，属于中档题．。