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1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．（1）若P （x ,y ）为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的错误!,得到点P ′（x ′，y ′），坐标对应为错误!通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．（2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍,得到P ″（x ″，y ″）．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝2x ，，y ″＝y 通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( ）．A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中,分别作出f (x ，y ）＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；（3）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的错误!.第（1）种坐标系中的意思是x 轴与y轴上的单位长度一样,f（x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y)＝0的图形；第（2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，此时f（x,y)＝0表示的图形与第(1）种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!,此时f(x，y）＝0表示的图形与第（1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x轴和y轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案:单位长度【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆错误!＋错误!＝1的图形：（1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的错误!.分析：(1)常规描点法画椭圆；（2)改变y轴上的单位长度；(3）改变x轴上的单位长度．反思：改变x轴或y轴的单位长度,导致了椭圆错误!＋错误!＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x29－错误!＝1的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1 3 .反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化．【例1】解:(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，错误!＋错误!＝1的图形如下：（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下：（3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下图:【例2】解：（1)建立平面直角坐标系,使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－错误!＝1的图形如下图:（2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!－错误!＝1的图形如下:（3）如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的错误!,错误!－错误!＝1的图形如下图：1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可能是( )．A ．双曲线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线2已知一椭圆的方程为22=1164x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( ）．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线y2＝－4x的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1.2答案：1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B 如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，则该椭圆的形状为选项B中所示．3．平行四边形4．解：（1）建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，抛物线y2＝－4x的图形如下：(2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!,抛物线y2＝－4x的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y2＝－4x的图形如下：。
平面直角坐标系中的伸缩变换一、教学目标1.通过实例x y sin =到x y 2sin =的变换，体会平面直角坐标系的压缩变化；2.通过实例x y sin =到x y sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸长变换；3.通过实例x y sin =到x y 2sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸缩变换；4.通过例2的演练，会求给出方程所对应图形经过伸缩变换后的图形；5.通过练习，会求平面直角坐标的伸缩变换；6.通过解决问题的过程，体会变换等思想。
二、教学过程1.复习回顾问题1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x 。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换。
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx 。
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换。
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x?是上述1，2的“合成”，先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的1/2；在此基础上再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x 。
即在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P ’(x ’, y ’)，坐标对应关系为:⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 321，，①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
2.新课探究设),(y x p 是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎪⎩⎪⎨⎧>=>=)0(,)0(,''μμλλϕy y x x ：② 的作用下，点),(y x p 对应到点)','('y x p ，称ϕ为平面直角坐标系中的左边伸缩变换，简称伸缩变换。
4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换自主整理 1.一般地,由⎩⎨⎧'='=y y x kx ,所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为k 向着___________轴的伸缩变换（当k ＞1时，表示____________；当k ＜1时，表示____________），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍． 答案:y 伸长 压缩2．直线经过伸缩变换后是____________，圆经过伸缩变换后可能成为____________． 答案:直线 椭圆 高手笔记1.直线经过伸缩变换后仍是直线．由此可知，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变． 2．圆经过伸缩变换后可能成为椭圆，反之，椭圆经过伸缩变换后成为圆或椭圆．3．点(x,y)经过伸缩变换⎩⎨⎧'='=y ly x kx ,后的坐标变为(kx,ly)；曲线f(x,y)＝0经过伸缩变换⎩⎨⎧'='=y ly x kx ,后的曲线方程为0)1,1(=y l x k f . 名师解惑1.正弦函数，x∈R 的图象经过怎样的变换，变为函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R （其中A ＞0，ω＞0，ω≠１）的图象？剖析：y=sinx 先按向量a=(-φ,0)经过平移变换后变为y=sin(x+φ)，再按伸缩系数k=ω1向着y 轴进行伸缩变换，最后按伸缩系数k=A 向着x 轴进行伸缩变换，得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象．2.设P(x,y)是变换前图形f(x,y)＝0上点的坐标，P′(x′,y′)是变换后P 点对应点的坐标，在伸缩变换⎩⎨⎧'='=y ly x kx ,下,P 、P′点的坐标有什么关系？剖析：若已知P 点坐标(x,y)，则变换后的对应点P′的坐标为(kx,ly)；反之，若已知P′的坐标为(x′,y′)，则P 点坐标为)1,1(y lx k ''． 讲练互动【例题1】在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换．思路分析：利用待定系数法，设变换为⎩⎨⎧='='yy x x μλ,（其中λ,μ＞0）,可将其代入第二个方程，通过比较系数求出λ,μ的值．解：设所求的伸缩变换为⎩⎨⎧='='y y x x μλ,（其中λ,μ＞0），代入方程2x′-y′＝４，得2λx-μy＝４．与x-2y ＝2比较，将其变成2x-4y ＝４，比较系数得λ=1,μ=4．所以伸缩变换为⎩⎨⎧='='y y x x 4,,即直线x-2y ＝2上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的４倍,可得到直线2x′-y′＝４．绿色通道求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了． 变式训练1.（1）在平面直角坐标中，圆x 2+y 2=1经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x 31,21后的曲线方程是什么？（2）在平面直角坐标中，一条曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧'='=y y x x 2,后，曲线方程变为y 2=2x,则原来的曲线方程是什么？解：（1）设P(x,y)是变换前的点，P′(x′,y′)是变换后P 点的对应点，由题意，⎩⎨⎧'='=,3,2y y x 代入x 2+y 2=1中，整理得4x′2+9y′2=1,即4x 2+9y 2=1,此曲线方程表示的图形是椭圆．（2）变换后的曲线方程为y 2=2x ，即y′2=2x′，把⎩⎨⎧='='yy x x 2,代入，整理得到y 2=x ，此曲线方程表示的图形是抛物线． 【例题2】已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R ． （1）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 思路分析：首先要把y=21cos 2x+23sinxcosx+1变为y=Asin(ωx+φ)的形式，再根据平移和伸缩公式求解． 解：(1)y=21cos 2x+23sinxcosx+1 ＝21·1+4322cos 1++x sin2x+1 ＝41cos2x+43sin2x+45＝21sin(2x+6π)+45. 由2x+6π=2k π+2π，解得x=k π+6π,k∈Z . 所以y 取得最大值时，对应的x 的集合为{x ｜x=k π+6π,k∈Z }． （2）将y=sinx 的图象按向量a=(6π-,0)平移，得到y=sin(x+6π)的图象；将y=sin(x+6π)按伸缩系数21向着y 轴进行伸缩变换，得到y=sin(2x+6π)的图象；将y=sin(2x+6π)按伸缩系数21向着x 轴进行伸缩变换，得到y=21sin(2x+6π)的图象；将y=21sin(2x+6π)按向量b=(0,45)平移，得到y=21sin(2x+6π)+45的图象．绿色通道本题主要考查三角函数的恒等变换和函数图象的变换．一般要把已知条件中的三角函数式变换为y=Asin(ωx+φ)+B 的形式，再根据相应的平移或伸缩变换公式求解． 变式训练2．曲线y=2cos3x 经过怎样的伸缩变换可使方程变形为y=cosx ？ 解：由y=2cos3x,得2y =cos3x ，令y′=2y,x′=3x，可得y′=cosx′．所以函数y=2cos3x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 21,3得到函数y=cosx ．教材链接［P 35思考］(1)由⎩⎨⎧'='=y ky x kx ,所确定的伸缩变换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由x=x′,ky=y′所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换（当k ＞1时，表示伸长；当k ＜1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍． ［P 36思考］(2)由⎩⎨⎧'='=y ky x kx ,所确定的伸缩变换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P′（x′,y′）是变换后曲线上的点，由kx=x′,ky=y′所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 分别向着x 轴、y 轴的伸缩变换（当k ＞1时，表示伸长；当k ＜1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的k 倍．。
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
