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2019-2020年高中数学 1.3反射变换教案湘教版选修4－2教学目标:一、知识与技能：通过实例理解反射变换的定义及其几何意义；掌握反射变换矩阵的两种表达式，并能初步运用。
二、方法与过程借助例题的探险究，发现反射变换的两种矩阵形式，寻求两种不同形式的内在联系。
三、情感、态度与价值观在探究活动中，培养学生的合作交流意识，体验成功的喜悦，增强自信心；感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。
教学重点:推导反射变换矩阵的两种表达式教学难点：两种矩阵表达式生成思路及它们之间的内在联系教学过程一、新课引入如图，设平面上建立了直角坐标系。
设变换T将平面上每一点P（）变到P关于轴对称点P`，求点P`的坐标。
写出变换矩阵，并将变换用矩阵与列向量乘法的形式表示。
解：设点P`（），由于点P`与点P关于轴对称，因此，且变换矩阵为＝关于某条直线的轴对称变换又称关于直线的反射。
类似地可以写出关于轴的反射变换的矩阵为。
如果P`（）与P（）关于轴对称，那么＝二、讲解新课：1、反射变换例1 如图，设平面上建立直角坐标系，是一条过原点的直线，倾斜角为。
设平面上任一点P （）关于直线的 对换点P`（）。
试由求出。
解：设A 是直线在轴上方任意一点，，则OA=。
仍设=|OP|，=OP ，与旋转的情形类似地有|OP`|=|OP|=。
由于点P ，P`关于OA 对称，OA 平分POP`， 则有POA=AOP`， 即OA-OP=OP`-OA 从而OP`=2OA-OP=2 于是⎩⎨⎧-=-=-=+=+=-=αααθαθθααααθαθθα2c o s 2s i n 2c o s s i n 2s i n c o )2s i n (`2s i n 2c o s 2s i n s i n 2c o s c o s )2c o s (`y x r r r y y x r r r x 与都是的一次多项式，常数项为0，一次项系数分别是，和，组成矩阵 这个矩阵代表了将每个点P 变到其对称点P`的轴对称变换，变换前后的点P ，P`的坐标，之间的关系式可用矩阵乘法的形式表示为= 例2 求关于直线的反射变换解：如图建立平面直角坐标系，设点P （）关于直线的 对换点P`（）。
§1.3反射变换教学目标:一、知识与技能：通过实例理解反射变换的定义及其几何意义；掌握反射变换矩阵的两种表达式，并能初步运用。
二、方法与过程借助例题的探险究，发现反射变换的两种矩阵形式，寻求两种不同形式的内在联系。
三、情感、态度与价值观在探究活动中，培养学生的合作交流意识，体验成功的喜悦，增强自信心；感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。
教学重点:推导反射变换矩阵的两种表达式教学难点：两种矩阵表达式生成思路及它们之间的内在联系 教学过程一、新课引入如图，设平面上建立了直角坐标系。
设变换T 将平面上每一点P （y x ,）变到P 关于x 轴对称点P`，求点P`的坐标。
写出变换矩阵，并将变换用矩阵与列向量乘法的形式表示。
解：设点P`（``,y x ），由于点P`与点P 关于x 轴对称，因此⎩⎨⎧-==y y x x ``，且变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 关于某条直线l 的轴对称变换又称关于直线l 的反射。
类似地可以写出关于y 轴的反射变换的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001。
如果P`（``,y x ）与P （y x ,）关于y 轴对称，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 二、讲解新课：1、反射变换例 1 如图，设平面上建立直角坐标系，l 是一条过原点的直线，倾斜角为α。
设平面上任一点P （y x ,）关于直线l 的 对换点P`（``,y x ）。
试由y x ,求出``,y x 。
解：设A 是直线l 在x 轴上方任意一点，，则x ∠OA=α。
仍设r =|OP|，θ=x ∠OP ，与旋转的情形类似地有|OP`|=|OP|=r 。
由于点P ，P`关于OA 对称，OA 平分∠POP`，则有∠POA=∠AOP`，即x ∠OA-x ∠OP=x ∠OP`-x ∠OA从而x ∠OP`=2x ∠OA-x ∠OP=2αθ- 于是⎩⎨⎧-=-=-=+=+=-=αααθαθθααααθαθθα2c o s 2s i n 2c o s s i n 2s i n c o s )2s i n (`2s i n 2c o s 2s i n s i n 2c o s c o s )2c o s (`y x r r r y y x r r r x αα2sin 2cos `y x x +=与αα2cos 2sin `y x y -=都是y x ,的一次多项式，常数项为0，一次项系数分别是α2cos ，α2sin 和α2sin ，α2cos -组成矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααα2cos 2sin 2sin 2cos 这个矩阵代表了将每个点P 变到其对称点P`的轴对称变换，变换前后的点P ，P`的坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x 之间的关系式⎩⎨⎧-=+=αααα2cos 2sin `2sin 2cos `y x y y x x 可用矩阵乘法的形式表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααα2cos 2sin 2sin 2cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x例2 求关于直线0=+By Ax 的反射变换解：如图建立平面直角坐标系，设点P （y x ,）关于直线0=+By Ax l 的 对换点P`（``,y x ）。
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.2.了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点).1.恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换，都能把自身变成自身.因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E .2.伸压变换矩阵M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012把平面上每一个点P 都沿y 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变.像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换.3.反射变换 (1)反射变换的概念 像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形F ′的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.(2)反射变换的分类与矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1对应的变换是关于x 轴的轴反射变换.与矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换.与矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点的中心反射变换.与矩阵M 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的变换是关于直线y ＝x 的轴反射变换.4.线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.1.设单位向量i ＝(0，1)，j ＝(1，0)，以i ，j 为邻边的正方形称为单位正方形，则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？【提示】 由于Ei ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， Ej ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形. 2.如何理解伸压变换？【提示】 伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x 轴上方的点垂直向x 轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，而x 轴下方的点也垂直向x 轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x 轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动”.类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将y 轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y 轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而y 轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动”.3.反射变换的作用是什么？【提示】 根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2：解惑： 疑问3： 解惑：求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎢⎦⎥⎥0 12对应的变换作用下所得的图形.【导学号：30650011】【精彩点拨】 矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的是沿y 轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹.【自主解答】 任意选取直线y ＝4x 上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变为P ′(x 0′，y 0′)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x012y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0′y0′.则有：⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x0′，12y0＝y0′，故⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x0′，y0＝2y0′.又因为点P 在直线y ＝4x 上， 所以y 0＝4x 0，即有2y 0′＝4x 0′.因此y 0′＝2x 0′，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12作用下变成直线y ＝2x .利用伸压变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解.(2)已知曲线C ′是曲线C 在伸压变换作用下得到的，求与伸压变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解.(1)若将本例变为：一直线l 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变成直线y ＝2x ，求该直线的方程.(2)若本例变为：直线y ＝4x 在二阶矩阵M 对应的沿y 轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y ＝2x ，试求矩阵M .【解】 (1)任意选取直线l 上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12对应的变换作用下变为P (x 0′，y 0′)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x012y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0′y0′则有⎩⎪⎨⎪⎧x0′＝x0y0′＝12y0.又因为点P ′(x 0′，y 0′)在直线y ＝2x 上， 所以y 0′＝2x 0′，即有12y 0＝2x 0， 因此y 0＝4x 0，从而求得该直线为y ＝4x .(2)设P (x 0，y 0)为直线y ＝4x 上的任意一点，P ′(x 0′，y 0′)是P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的伸压变换作用下得到的点，则此点在直线y ＝2x 上.设伸压变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k ≠0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0′y0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0ky0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x0′＝x0，y0′＝ky0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x0′，y0＝1ky0′.将其代入y ＝4x 中，得4x 0′＝1k y 0′，即y 0′＝4kx 0′.又y 0′＝2x 0′，∴4k ＝2，得k ＝12，所以所求矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求直线y ＝6x 在矩阵⎣⎢⎦⎥10对应的变换作用下所得的图形的表达式.【精彩点拨】 先求出y ＝6x 上任意一点P (x 0，y 0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到点P ′(x 0′，y 0′)的坐标，再用代入法求解.【自主解答】 任意选取直线y ＝6x 上的一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y0＝x′0，x0＝y′0. 又因为点P (x 0，y 0)在直线y ＝6x 上，所以y 0＝6x 0，则有x ′0＝6y ′0.所以y ′0＝x′06， 从而可知直线y ＝6x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的变换作用下变成直线y ＝x6.求曲线C (或点)在反射变换下得到的曲线C ′的表达式(或点的坐标)同伸压变换，使用代入法(相关点法).在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的变换下得到的直线过点P (4，1)，求实数k的值.【导学号：30650012】【解】 设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y′＝x. 代入直线y ＝kx ，得x ′＝ky ′.将点P (4，1)代入上式，得k ＝4.(教材第16页例2)验证圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a ＞0，b ＞0)对应的伸压变换下变为椭圆x 2＋y24＝1，试求a ，b 的值.【命题意图】 本题主要考查求伸压变换T 作用下得到的曲线的方程，同时考查了函数方程思想、转化与化归思想.【解】 设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点P ′(x ′0，y ′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝ax0，y′0＝by0.即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x′0a ，y0＝y′0b .又点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝1上， 所以x 20＋y 20＝1，所以x′20a 2＋y′20b 2＝1，即x2a2＋y2b2＝1.由已知条件可知，椭圆方程为x 2＋y24＝1.所以a 2＝1，b 2＝4.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝2.1.恒等变换将直线x ＋2y －1＝0变换为________. 【解析】 恒等变换保持原图形不变. 【答案】 x ＋2y －1＝02.如图221，把△ABC 变成△A ′B ′C ′的变换矩阵可能是________.(其中A (0，－1)，B (1，0)，C (0，1)，A ′(0，－1)，B ′(2，0)，C ′(0，1))图221【解析】 注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可能对应的是沿x 轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20013.函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14变换作用下的结果为________.【导学号：30650013】【解析】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝4y′，代入y ＝x 2，得：y ′＝14x ′2.把x ′，y ′换为x ，y ，即得y ＝14x 2.【答案】 y ＝14x 24.已知双曲线x24－y23＝1，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的反射变换把双曲线变成的曲线是________.【解析】 设双曲线上任意一点P (x ，y )在反射变换下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ，y′＝y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x′，y ＝y′. 代入双曲线方程，得x′24－y′23＝1， ∴双曲线x24－y23＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01对应的反射变换下所得图形仍是它本身.【答案】x24－y23＝1我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
