2.2.3 反射变换

反射变换-人教A版选修4-2 矩阵与变换教案一、知识点1. 反射变换的定义反射变换是将一个点关于直线对称成一个新的点，直线称为对称轴，被对称的点称为对称点。

一个点对于两条相交的直线的对称变换，可以看作是两个方向相反的反射变换。

2. 反射变换的矩阵表示以直线 y = ax + b 为对称轴，其矩阵表示为：| 1 - 2a^2 2ab |R = 1/ (| 2ab 1 - 2b^2 |)| 0 0 |3. 反射变换的性质（1）反射变换是不改变距离大小的变换，即对于直线 AB 和A’B’，点 A 到直线 AB 的距离和点A’ 到直线A’B’ 的距离是相等的。

（2）反射变换满足线性运算，即 R(x1 + x2) = R(x1) + R(x2) 以及 R(kx) =kR(x)，其中 k 为常数。

（3）反射变换还具有反向性，即进行两次反射变换后还原原来的点。

二、教学设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生将掌握反射变换的定义，矩阵表示以及性质等知识；同时，能够运用所学知识解决反射变换的相关问题。

2. 教学重点和难点（1）教学重点：反射变换的定义、矩阵表示和性质。

（2）教学难点：如何运用所学知识解决反射变换的相关问题，如求解经过反射变换后的坐标等。

3. 教学过程（1）引入通过讲解实际场景中的反射现象，如水面反射、镜面反射等，激发学生对反射变换的兴趣和认识。

（2）讲授首先，通过图示等方式，介绍反射变换的定义，以及反射变换的示例；然后，讲解反射变换的矩阵表示，帮助学生理解并掌握相应的公式；最后，讲解反射变换的性质，并结合具体的例子进行说明。

（3）例题练习针对反射变换中的相关问题，设计一系列例题，在课堂上由教师讲解，并且组织学生进行练习和答题，加深对所学知识的理解和掌握，同时锻炼学生的运用能力。

4. 课堂小结教师对学生进行带头小结，帮助学生回顾本节课所学内容，并进行归纳总结，以便学生更好地掌握知识点。

三、课堂反思针对本节课教学情况，我认为还需加强与学生的互动交流，尤其是在例题练习中，应该适当地引导学生思考和讨论，增强他们的自主思考和解决问题的能力，同时通过每节课的反思总结，不断优化和改进教学方式，提高教学质量。

2.2几种常见的平面变换反射变换三维目标1.知识与技能掌握反射变换的矩阵表示与几何意义从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β.2.过程与方法通过实例，借助几何图形来研究平面图形的几何变换，让学生感到生动. 3.情感、态度与价值观将新旧知识结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 反射变换 教学难点证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β 教学过程一、情境设置已知在平面直角坐标系的第一象限有一张汽车图片F ，将它做关于x 轴、y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到图片F 1，F 2，F 3.这些变换能用矩阵来表示吗？二、学生活动在图片F 上任取一个P(x,y)，假设三个变换分别为T 1，T 2，T 3，对应的矩阵分别记为M 1，M 2，M 3，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T 三、建构数学1.反射变换 像⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,1001,1001这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.相应地，前者叫做轴反射，后者称为中心反射，其中的定直线称为反射轴，定点称做反射点.探究已知格子纸上有一面小旗（如图），请在格纸上画出它关于x 轴、关于y 轴和关于原点对称的图形.四、数学应用例 求直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为直线y ＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110x y y x y x 故⎪⎩⎪⎨⎧=='0'00y x x y '0'0004,4y x x y =∴= 从而直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变成直线.41x y =例 求曲线y 2＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为曲线y 2＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110x y y x y x ，故⎪⎩⎪⎨⎧=='00'00y x x y '02'00204,4y x x y =∴= 从而曲线y 2＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变成曲线y x 42= 例 二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. 证明：假设矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a(a,b,c,d 不全为零)对应的变换把平面上的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)变成平面上的点P 1′(x 1′,y 1′),P 2′(x 2′,y 2′)，令α＝,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡22y x ，M α＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'1'1y x ，M β＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'2'2y x ，故说明：⑴把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换（平面上的线性变换都可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的线性变换）.⑵当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000把平面上的所有点都变换到坐标原点（0,0），此时为线性变换的退化情况，因此在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可.想一想：曲线y ＝f(x)在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,1001,1001作用下变换所得图形的方程分别是什么？)()(1001x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()(1001x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- )()(1001x f y x f y --=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--五、回顾反思1.知识点：反射变换，线性变换2.思想方法：数形结合，类比 六、作业 见数学教学案 教学后记。

y x2.2几种常见的平面变换投影变换三维目标1.知识与技能掌握投影变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 投影变换 教学难点 投影变换矩阵 教学过程一、情境设置如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？二、学生活动 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x 轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x 轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T ，并且有T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0''x y x y x故变换T 对应的矩阵为M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001三、建构数学像⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射. 四、数学运用 例5研究矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101所确定的变换. 解：对于平面上的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x y x 0101， 因此，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，如图所示. 例6 研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2). 解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121， 所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，线段AB 变换成线段AB ，其中A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，如图所示. 变：研究直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形. 解：在直线y=2x 上取点A(0,0),B(1,2) 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121，所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，点A 、B 分别变换成点A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，因此直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到直线y ＝－x. ●思考 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000的变换作用如何？ 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到y 轴上时，纵坐标保持，横坐标变化为0.●思考我们学习过的变换中，哪些是一一映射？哪些不是？恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换都是一一映射，投影变换是映射，但不是一一映射.五、回顾反思1.知识点：投影变换2.思想方法：数形结合六、作业 见数学教学案 教学后记。

苏教版高中数学章节目录(泰州地区)必修一第一章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程2.6 函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系1.3 空间几何体的表面积和体积第二章2.1 直线与方程2.2 圆与方程2.3 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1 算法的含义1.2 流程图1.3 基本算法语句1.4算法案例第二章统计2.1 抽样方法2.2 总体分布的估计2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第三章概率3.1 随机事件及其概率3.2 古典概型3.3 几何概型3.4 互斥事件必修四第一章三角函数1.1 任意角、弧度1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象和性质第二章平面向量2.1 向量的概念和表示2.2 向量的线性运算2.3 向量的坐标表示2.4 向量的数量积2.5 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.2 二倍角的三角函数3.3 几个三角恒等式必修五第一章解三角型1.1 正弦定理1.2 余弦定理1.3 正弦定理、余弦定理的应用第二章数列3.1 数列2.2 等差数列2.3 等比数列第三章不等式3.1 不等关系3.2 一元二次不等式3.3 二元一次不等式与简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 简单的逻辑联结词1.3 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线2.5 圆锥曲线的统一定义2.6 曲线与方程第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 空间向量的应用选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 导数在实际生活中的应用1.5 定积分第二章推理与证明2.1 合情推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充3.2 复数的四则运算3.3 复数的几何意义选修2-3第一章计数原理1.1 两个基本计数原理1.2 排列1.3 组合1.4 计数应用题1.5 二项式定理第二章概率2.1 随机变量及其概率分布2.2 超几休分布2.3 独立性2.4 二项分布2.5 随机变量的均值和方差2.6 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析选修4-2 矩阵与变换2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1 矩阵的概念2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几何常见的平面变换2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换2.2.5 投影变换2.2.6 切变变换2.3 变换的复合与矩阵乘法2.3.1 矩阵乘法的概念2.3.2 矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵的概念2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用选修4-4 坐标系与参数方程4.1 坐标系4.1.1 直角坐标系4.1.2 极坐标系4.1.3 球坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1 曲线的极坐标方程的意义4.2.2 常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1 参数方程的意义4.4.2 参数方程与普通方程的互化4.4.3 参数方程的应用4.4.4 平摆线与圆的渐开线感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景学院专业学号学生姓名指导教师姓名指导教师职称指导教师单位年月日学位论文写作声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：日期：年月日论文作者签名：导师签名：日期：年月日。

线性变换的几何背景摘要线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。

本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。

我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。

关键词：线性变换；几何现象；矩阵The geometry background of linear transformationAbstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects have various aspects.Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix。

镜面反射坐标系变换1.引言1.1 概述镜面反射是物体表面光线遇到平滑表面时发生的一种光的现象。

在镜面反射中，光线遇到平滑的表面时，会沿着入射角等于反射角的方向发生反射。

这意味着光线在镜面反射中并不改变入射角的大小，可以形成清晰、明亮的反射图像。

镜面反射在日常生活中具有广泛的应用。

例如，当我们看到镜子中的自己时，就是通过镜面反射的现象实现的。

此外，镜面反射还被广泛应用于光学领域，例如激光器中的反射镜、光学显微镜中的镜面反射等。

此外，镜面反射也在光线传播和成像的研究中具有重要的意义。

坐标系变换是一种数学上的操作，用于改变物体或点的坐标表示方式。

在三维空间中，我们常常需要进行坐标系的转换，以便更好地理解和描述物体在不同坐标系下的运动和变换。

常见的坐标系变换包括平移、旋转和缩放等。

坐标系变换具有广泛的应用领域。

在计算机图形学中，坐标系变换被广泛用于三维模型的建模和渲染，可以实现物体在三维空间中的平移、旋转和缩放等变换效果。

在机器人学中，坐标系变换也起着重要的作用，可以实现机器人在不同坐标系下的运动和控制。

此外，坐标系变换还在地图制作、追踪和导航等领域中得到了广泛应用。

综上所述，镜面反射和坐标系变换是两个在光学和数学领域中非常重要的概念。

对于理解光的传播和物体运动变换等问题具有重要意义，并在实际应用中发挥着不可替代的作用。

在接下来的文章中，我们将详细介绍镜面反射和坐标系变换的定义、原理、特点和应用，希望能够帮助读者更深入地理解和应用这两个概念。

1.2 文章结构本篇长文主要包括引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将对镜面反射和坐标系变换进行概述，并明确文章的目的。

首先，我们会简要介绍镜面反射的定义、原理、特点和应用，以及坐标系变换的概述、方法和原理。

接下来，我们将说明本文的目的，即探讨镜面反射和坐标系变换的意义、影响、重要性和应用。

在正文部分，我们将详细阐述镜面反射和坐标系变换的相关内容。

首先，在镜面反射部分，我们将深入探讨镜面反射的定义和原理，通过实例和实验结果展示镜面反射的特点和应用。

反射变换的名词解释反射变换是数学中非常重要的一个概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中被广泛应用。

反射变换（Reflective transformation）指的是一个物体或图形关于某个轴或面对称的变换过程。

在这篇文章中，我将对反射变换进行详细的解释与探讨。

1. 反射变换的定义与特点反射变换是一种保持角度不变但改变方向的变换方式。

通过沿着某一轴线或平面对称，使得图形的每一个点与其对称点关于对称轴或对称面上线对称，即实现了图形的镜像效果。

反射变换通常使用一个轴或平面来进行对称操作，被称为对称轴或对称面。

2. 反射变换的应用领域2.1 几何学中的反射变换在几何学中，反射变换是重要的基础变换之一。

它常常用于解决镜像对称问题、推导几何定理、证明几何性质等。

例如，在解决关于镜子的问题时，反射变换可以帮助我们确定光线的反射方向，从而实现几何光学中的计算和分析。

2.2 物理学中的反射变换物理学中，反射变换是对光线、声波等传播方式的描述。

根据反射定律，入射光线与反射光线之间的角度相等，但方向相反。

通过对反射变换的研究，科学家可以预测和解释反射现象，如镜面反射、声波的反射等。

2.3 计算机图形学中的反射变换在计算机图形学中，反射变换是一种常用的图形变换方式。

通过反射变换，可以实现图像的对称显示，从而呈现出多种非常有趣的视觉效果。

计算机游戏、虚拟现实和动画制作等领域都广泛应用了反射变换，使得图像更加真实、逼真和美观。

3. 反射变换的数学表示数学上，反射变换可以通过矩阵乘法来表示。

对于二维空间中的点(x, y)，关于对称轴y=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[1, 0][0, -1]其中，矩阵的第一行表示x坐标保持不变，第二行表示y坐标取相反数。

类似地，关于对称面x=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[-1, 0][0, 1]这样，我们可以通过矩阵运算来实现反射变换，从而对图形进行镜像处理。

4. 反射变换的意义与启示反射变换作为一种重要的数学概念，不仅在学术研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个领域。

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。

通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。