北京市初中生第21届迎春杯数学竞赛试题及答案

迎春杯历年试题全集（下）学而思在线目录北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (3)北京市第12届迎春杯决赛试题 (5)北京市第13届迎春杯决赛试题 (7)北京市第14届迎春杯决赛试题 (9)北京市第15届迎春杯决赛试题 (11)北京市第16届迎春杯小学数学竞赛预赛试题 (13)北京市第17届迎春杯科普活动日队际交流邀请赛试题 (14)北京市第18届迎春杯决赛试题 (17)北京市第19届迎春杯数学科普活动日计算机交流题 (19)北京市第20届迎春杯小学生竞赛试题 (21)北京市第21届迎春杯小学数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷 (23)北京市第 11 届迎春杯小学数学竞赛决赛试题1.计算：0.625×（＋ ）＋ ÷ ― 2.计算：[（－ × ）－ ÷3.6]÷3.4.5.6.某单位举行迎春茶话会，买来 4 箱同样重的苹果，从每箱取出 24 千克后，结果各箱所剩下的苹 果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。

那么原来每箱苹果重________千克。

游泳池有甲、乙、丙三个注水管。

如果单开甲管需要 20 小时注满水池；甲、乙两管合开需要 8 小时注满水池；乙、丙两管合开需要 6 小时注满水池。

那么，单开丙管需要________小时注满水池 。

如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形。

其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形若干个。

那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有________个。

如图，点 D 、E 、F 与点 G 、H 、N 分别是三角形 ABC 与三角形 DEF 各边的中点。

那么，阴影部分的面积与三角形 ABC 的面积比是。

7.五个小朋友 A 、B 、C 、D 、E 围坐一圈（如下图）。

老师分别给 A 、B 、C 、D 、E 发 2、4、6、8、1 0 个球。

然后，从 A 开始，按顺时针方向顺序做游戏：如果左邻小朋友的球的个数比自己少，则送 给左邻小朋友 2 个球；如果左邻小朋友的球的个数比自己多或者同样多，就不送了。

BA第21届“迎春杯”数学科普活动日北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷注意事项1．本试卷共十二道题，共1页.2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！问题一.计算:212)56154213301120912731(3⨯⨯-+-+-的值为多少?问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少?问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … …根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行?② 在该行上从左向右数的第几个数?问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值.问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米?问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条?问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个?问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222)200320022001+-+.求S 被2005除得的余数.问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD .如果△ABC 的面积等于a ,问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少?问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的31倒入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的31倒入甲容器,那么三个容器中各有酒精31千克.问甲容器中原来有酒精多少千克?问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米?参考答案及评分标准。

迎春杯初赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是迎春杯初赛的举办时间？A. 1月1日B. 2月2日C. 3月3日D. 4月4日答案：B2. 迎春杯初赛的参赛对象是？A. 小学生B. 初中生C. 高中生D. 大学生答案：C3. 迎春杯初赛的报名费是多少？A. 50元B. 100元C. 150元D. 200元答案：B4. 迎春杯初赛的考试科目包括哪些？A. 语文B. 数学C. 英语D. 以上都是5. 迎春杯初赛的考试时间是多长？A. 60分钟B. 90分钟C. 120分钟D. 150分钟答案：C6. 迎春杯初赛的考试形式是？A. 笔试B. 口试C. 笔试和口试D. 机考答案：A7. 迎春杯初赛的考试地点在哪里？A. 学校B. 图书馆C. 社区中心D. 以上都不是答案：A8. 迎春杯初赛的考试结果将在何时公布？A. 考试后一周B. 考试后两周C. 考试后三周D. 考试后一个月答案：B9. 迎春杯初赛的奖项设置包括哪些？B. 二等奖C. 三等奖D. 以上都是答案：D10. 迎春杯初赛的获奖者将获得什么？A. 证书B. 奖杯C. 奖金D. 以上都是答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 迎春杯初赛的报名时间是____月____日至____月____日。

答案：1月1日至1月15日2. 迎春杯初赛的考试地点通常设在学校的____。

答案：教室3. 迎春杯初赛的考试内容涵盖了____、____、____等学科。

答案：语文、数学、英语4. 迎春杯初赛的考试形式为闭卷，考试时间为____分钟。

答案：120分钟5. 迎春杯初赛的考试结果将在考试结束后的____周内公布。

答案：两周6. 迎春杯初赛的奖项设置中，一等奖的奖金为____元。

答案：1000元7. 迎春杯初赛的获奖者除了获得证书和奖金外，还将获得____。

答案：奖杯8. 迎春杯初赛的参赛者需要在报名时提供个人照片，照片的尺寸为____。

北京市小学生第21届迎春杯数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷第1题 计算：4.275.31949375.0832005⨯+⨯-⨯的值为多少？ 第2题 污水处理厂有甲、乙两个水池，甲池原有水960立方米，乙池原有水90立方米。

如果甲池的水以每小时60立方米的速度流入乙池，问：多少小时后，乙池中的水是甲池的4倍？第3题 将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图1中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K ，问：K 的值是多少？（图中有7条直线）第4题 实验小学六年级有学生152人。

现在要选出男生人数的111和女生5人，到国际数学家大会与专家见面。

学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。

问：实验小学六年级有男生多少人？第5题 小华有糖300克，他有一架天平及重量分别为30克和5克的两个砝码。

问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克？第6题 甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录入一份15400字的文稿。

当甲完成录入任务的65，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的字数相等。

问：甲的录入任务是多少个字？第7题 如图2所示，三角形ABC 被线段DE 分成三角形BDE 和四边形ACDE 两部分，问：三角形BDE 的面积是四边形ACDE 面积的几分之几？第8题 图3是一个奥林匹克五环标识。

这五个环相交成9部分A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 。

请将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数。

问：这五个连续自然数的和的最大值是多少？第9题 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。

相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。

老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。

然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。

2021 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．已知实数a, b, c 满足2a +13b +3c =90，3a +9b +c = 72 ，则3b +c a +2b＝（）A. 2．B. 1．C. 0．D.【答】B.已知等式可变形为2(a + 2b) + 3(3b +c) = 90 ，3(a + 2b) + (3b +c) = 72 ，解得a + 2b =18 ，3b +c3b +c =18 ，所以a + 2b2．已知△ABC 的三边长分别是a,b, c ，有以下三个结论：（1）以a, b,c 为边长的三角形一定存在；（2）以a2 ,b2 , c2 为边长的三角形一定存在；（3）以| a -b | +1,| b -c | +1,| c -a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设a ≥b ≥c ，则有b +c >a .（1）因为b +c >a ，所以b +c +2边长的三角形一定存在；bcc a>a ，即( b +c)2 （a）2，即b+>，故以a, b, c 为（2）以a = 2,b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以a2 = 4,b2 = 9, c2 = 16 为边长的三角形不存在；（3）因为a ≥b ≥c ，所以| a -b | +1 =a -b +1,| b -c | +1 =b -c +1,| c -a | +1 =a -c +1 ，故三条边中| c -a | +1 大于或等于其余两边，而（|a-b|+1）+（|b-c|+1）=（a-b+1）+（b-c+1）=a-c+1+1>a-c+1=|c-a|+1，故以| a -b | +1 ，| b -c | +1，| c -a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a, b, c 满足a ≤b ≤c 且abc = 2(a +b +c) ，则称(a,b, c) 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(a,b, c) 为好数组，则abc = 2(a +b +c) ≤ 6c ，所以ab ≤ 6 .显然，a 只能为 1 或 2.若a＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c =5（不是整数）；2若a ＝1，则bc = 2(1 +b +c) ，于是可得(b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得(a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6，则OB＝（）10A. ．B.98． C. 714 A F B D E C6 4． D. ． 5 3 DE 【答】A. 过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE =180︒ - ∠BAD C= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以 AC = BC ，所以 OAB EB EB = AB ⋅ BC = 6⨯3 = 18 .B AC5 5 DO AD 4 10 再由 BE // AD ，得 = = = . OB BE 18 95 5．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在CB 的延长线上， 满足∠BAF = ∠CAE .已知 BC = 15 ， BF =6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）【答】B. B. 2 13 ． D. 2 15 ．AD 2 + DE 2 62 + 42 C. 2 ．如图，因为∠BAF = ∠CAE ，所以∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 ∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 = 12 ，所以 AD 2 = DE ⋅9 = 3⋅12 ，所以 AD = 6 ，DE = 4 . 从而 AE = 2 13 .6．对于正整数n ，设a 是最接近1的整数，则+1+ +1（）1911 n192 a 1 a 2a 3 a 200 193 194 A. ． B. 7n． C. 7． D. ．7 7【答】A.对于任意自然数k ，(k +1)2 =k 2 +k +1不是整数，所以，对于正整数n ，2 4nn 1一定不是整数. 2设m 是最接近的整数，则| mn |<1，m ≥ 1.2易知：当m ≥1时，| m -n |<1⇔ (m -1)2 <n < (m +1)2 ⇔m 2 -m +1<n <m2 +m +1.2 2 2 4 4于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足m2 -m +1 ≤n ≤m2 +m 时，m 是最接近即a n =m .所以，使得a n ＝m 的正整数n 的个数为2m .n的整数，注意到132 +13 =182 < 200 <142 +14 = 210 ，因此， a , a , , a1 2 200中，有：2 个 1，4 个 2，6 个 3，8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.1 1 1 1 1 1 1 1 1 191所以+++ += 2⨯+ 4⨯+ 6⨯+ + 26⨯+18⨯=.a 1 a2a3a 2001 2 3 13 14 7二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．使得等式【答】8 .由所给等式可得(13 a 1+ a = 成立的实数a 的值为 ．1+ a )3 = a 2 .令 x = ，则 x ≥ 0 ，且 a = x 2 -1 ，于是 有 (1+ x )3 = (x 2 -1)2， 整 理 后 因 式 分 解 得 x (x - 3)(x +1)= 0 ，解得 x = 0 ， x = 3 ， x = -1 （舍去），所以a = -1或 a = 8. 1 2 3 验证可知： a = -1是原方程的增根， a = 8是原方程的根.所以， a = 8.2．如图，平行四边形 ABCD 中，∠ABC = 72︒ ， AF ⊥ BC 于点 F ， AF交 BD 于点 E ，若 DE = 2AB ，则∠AED ＝ ．M 【答】66︒ .E 取 DE 的中点 M ，在Rt △ ADE 中，有 AM = EM = 1+ 1+ a1DE AB . 2B F C设∠AED =α，则∠AME =180︒- 2α， ∠ABM =α-18︒.又∠ABM =∠AMB ，所以180︒- 2α=α-18︒，解得α= 66︒.3．设m, n 是正整数，且m >n .若9m 与9n 的末两位数字相同，则m -n 的最小值为．【答】10.由题意知，9m - 9n = 9n ⋅ (9m-n -1) 是100 的倍数，所以9m-n -1是100 的倍数，所以9m-n的末两位数字是01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n =92t =81t .计算可知：812 的末两位数字是61，813 的末两位数字是41，814 的末两位数字是21，815 的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m -n 的最小值为10.4．若实数x, y 满足x3 +y3 + 3xy =1，则x2 +y2 的最小值为．1【答】.2因为0 =x3 +y3 + 3xy -1 = (x +y)3 + (-1)3 - 3x2 y - 3xy2 + 3xy= (x +y -1)[(x +y)2 - (x +y) ⋅ (-1) + (-1)2 ] - 3xy(x +y -1)= (x +y -1)(x2 +y2 -xy +x +y +1) =1(x +y -1)[(x -y)2 + (x +1)2 + ( y +1)2 ] ，2所以 x =y =-1或 x +y = 1.若x =y =-1，则x2 +y2 ＝2.若x +y = 1，则x2 +y2 =1[(x +y)2 + (x -y)2 ] =1[1+ (x -y)2 ] ≥1，当且仅当x =y =1时等号成立.1 22 2 2所以， x 2 + y 2 的最小值为 1 . 2第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (c ≠ 0) 的图象与 x 轴有唯一交点，则二次函数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆ = b 2 - 4ac = 0 ，所以b 2 = 4ac ≠ 0 . 故 二 次 函 数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的 判 别 式 ∆ = (b 3 )2 - 4a 3c 3 = b 6 - 1 (4ac )3 = b 6 - 1 (b 2 )3=15b62> 0 ，所以，二次函数y =a3 x2 +b3 x +c3 的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1 题相同.3. 题目和解答与（A）卷第 3 题相同.16 16 164．已知正整数a, b, c满足a2 -6b -3c +9 = 0 ，-6a +b2 +c = 0 ，则a2 +b2 +c2 ＝（） A.424． B. 430． C. 441． D. 460．【答】C.由已知等式消去c 整理得(a -9)2 +3(b -1)2 =75 ，所以3(b -1)2 ≤75 ，又b 为正整数，所以1 ≤b ≤6 .若b ＝1，则(a - 9)2 = 75 ，无正整数解；若b＝2，则(a -9)2 =72 ，无正整数解；若b ＝3，则(a - 9)2 = 63 ，无正整数解；若b ＝4，则(a- 9)2 = 48，无正整数解；若b ＝5，则(a - 9)2= 27 ，无正整数解；若b ＝6，则(a - 9)2 = 0 ，解得a = 9 ，此时c = 18 .因此，a = 9 ，b ＝6，c = 18 ，故a2 +b2 +c2 =＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6，则OB＝（）4A. ．B.36． C. 58 10． D. ．7 9【答】D.解答过程与（A）卷第4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目和解答与（A）卷第1 题相同.2 ．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D, E 分别为线段BC, OA的中点，∠ACB =7 ∠OED，∠ABC = 5∠OED ，则∠OED ＝.【答】10︒.如图，设∠OED =x，则∠A B=C5∠DOC =∠BAC =180︒-12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒- 2x1 1∠ODE =180︒-x - (180︒-2x) =x ，所以OD =OE =以∠DOC = 60︒，从而可得 x = 10︒.3.题目和解答与（A）卷第3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第4 题相同.OA 2 2OC ，所第二试（A）一、（本题满分 20 分）已知实数x, y 满足x +y = 3 ，11x y2 1+x2 +y=1，求x5 +y5 的值.21 解由x +y2+x2 +y=1可得2(x +y +x2 +y2 ) =x3 +y3 +x2 y2 +xy .2设xy =t ，则x2 +y2 = (x +y)2 - 2xy = 9- 2t ，x3 +y3 = (x +y)[(x +y)2 -3xy] = 3(9 -3t) ，代入上式可得2(3 +9 -2t) = 3(9 -3t) +t2 +t ，解得t =1或t = 3 . ……………………10 分当t = 3 时，xy = 3 ，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 -3m + 3 = 0 的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15 分当t = 1时，xy = 1，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 - 3m +1 = 0 的两实数根，符合题意.此时x5 +y5 = (x2 +y2 )(x3 +y3 ) - (x +y)x2 y2 = (9 - 2t) ⋅[3(9 - 3t)] - 3t2 = 123 .二、（本题满分25 分）如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC=45︒，E是∠BAC的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点， 点 F 在 AB 上且 EF ⊥AF = 1，BF = 5，求△ABC 的面积.AB. 已知解在FB 上取点D，使FD＝AF，连接ED 并延长，交△ABC 的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED＝180︒- 2 ∠EAD＝∠BAC，……………………10 分所以AG=B C，所以AC=B G，所以AC＝BG. ……………………15 分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高h =AC sin 45︒= 2 2 .1 1所以，△ABC 的面积S =⋅AB ⋅h =⨯ 6⨯ 22 22a 2b 2 2 a 2b -1 2 2 = 6 2 .……………………25 分三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对(a , b ) ，使得a 3= 49⨯3b+ 8 .解 显然， 49⨯3b+ 8 为奇数，所以a 为奇数.又因为a 3 = 49⨯3b+ 8 ≥ 49⨯3 + 8 > 53 ，所以a > 5 . ……………………5 分由a 3 = 49⨯3b + 8可得a 3 - 8 = 49⨯3b ，即(a - 2)(a 2 + 2a + 4) = 72 ⨯3b .……………………10 分设(a - 2, a 2+ 2a + 4) = d ，则d 为奇数.注意到a 2+ 2a + 4 = (a - 2)(a + 4) +12 ，所以d |12 ，所以d ＝1 或 3.……………………15 分⎧⎪a - 2 = 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b,若 d ＝1，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 7 , 均无正整数解. ……………………20 分⎪⎩ ⎩⎪ ⎧⎪a - 2 = 3⨯ 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b -1,若 d ＝3，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 3⨯ 7 , 解得a = 11， b = 3 .⎩⎪ ⎪⎩ 所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数a , b , c 满足a ≤ b ≤ c ， a + b + c = 16， a 2+ b 2+ c 2+ 1abc = 128 ，4求c 的值.解 设a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2- 2 y + (16 - x )2+ 1y (16 - x ) = 128 ，整理得4(x - 8)2 = 1y (x - 8) ，8所以 x = 8 或 y = 8(x - 8) .……………………10 分（1）若 x = 8 ，则a + b = 8 ，此时c ＝8.（2）若 y = 8(x -8) ，即ab = 8(a + b - 8) ，则(a - 8)(b - 8) = 0 ，所以a = 8或b = 8 . 当 a = 8时，结合a ≤ b ≤ c 可得a + b + c ≥ 24 ，与a + b + c = 16 矛盾. 当b = 8 时，结合a ≤ b ≤ c 及a + b + c = 16可得a = 0 ， c = 8. 综合可知： c = 8. ……………………20 分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m ，使得22m -1- 2m +1是完全平方数. 解 当m ＝1 时， 22m -1 - 2m +1 =1 是完全平方数. ……………………5 分当 m > 1时，设22m -1- 2m +1 = n 2 （ n 为正整数）.注意到22m -1- 2m +1 = 2⋅ (2m -1)2 - 2⋅ 2m -1 +1 = (2m -1 -1)2 + (2m -1)2 ，故可得(2m -1 -1)2 + (2m -1)2 = n 2 ，……………………10 分所以22m -2= n 2 - (2m -1 -1)2 = (n + 2m -1 -1)(n - 2m -1 +1) .……………………15 分设 x = n - 2m -1+1， y = n + 2m -1 -1，则 x < y ， xy = 22m -2 ，所以 x , y 均为 2 的方幂.……………………20 分。

迎春杯数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 32. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？ - A. 10π厘米- B. 15π厘米- C. 20π厘米- D. 25π厘米3. 一个数的平方根是8，那么这个数是：- A. 16- B. 64- C. 8- D. 无法确定4. 以下哪个表达式的结果不是整数？- A. (-3)^2- B. √16- C. 2^3- D. 1/35. 以下哪个数是完全数？- A. 6- B. 28- C. 496- D. 36二、填空题（每空3分，共15分）1. 如果一个三角形的三个内角分别是50°、60°和______，那么它是一个锐角三角形。

2. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

3. 一个等差数列的前三项分别是2、5、8，那么它的公差是______。

4. 如果一个分数的分子是15，分母是______，那么它的倒数是1/3。

5. 一个圆的直径是14厘米，它的面积是______平方厘米（结果保留π）。

三、解答题（每题10分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米和5厘米，求它的体积。

2. 一个等差数列的前10项之和是110，首项是2，公差是d。

求这个数列的第10项。

四、证明题（每题10分，共10分）证明：对于任意的正整数n，n^3 - n^2 + n - 1 可以被6整除。

答案：一、选择题1. B2. C3. B4. D5. C二、填空题1. 70°2. 83. 34. 455. 39π三、解答题1. 长方体的体积是 3cm * 4cm * 5cm = 60立方厘米。

2. 等差数列的第10项是 2 + (10-1) * d = 2 + 9d，由于前10项之和是110，我们有 10 * (2 + 2 + (10-1) * d) / 2 = 110，解得 d = 3，因此第10项是 2 + 9 * 3 = 29。

2017年全国迎春杯小学高年级决赛A卷竞赛数学试卷1.算式（63 -吃卜（1一±）的计算结果是答宰64原式=(632-1)弓(63-1)解析二(63-l)x (63+1" (63-1)=64・2.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺〃，那么这个圉形的周长是厘米（兀取3.14 ）2384解析图形腎:等于5段孤长梓1个半径分别羊算再求和:周长二x 2n: x 100 + x 2JT x 200 + x 2n: x 300 + x 2^ x 400 + x 2^ x SOO + SOO 》5 5 5 3 =2H X 1500 + 500V= 2384 ・3.在2016年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军•统计4局比赛中中国队的得分，发现前2局的得分之和比后2局的得分之和少12% ,前3局的得分之和比后3局的得分之和少8%・已知中国队在第2局和第3局中各得了25分f那么中国队在这4局中的得分总和为 _______ ・答案94解听设第一局中国队得a分，第四局中国队得b分f根据题意有：b-a=12%x（b+25）=8%x（b + 50）■解得h = 25 , a = 19 .所以，四局得分总和19 + 25 + 25 +25 = 94分.4.________________________________________________________________________________ 右面两个算式中f相同汉字代表扌目同数字,不同汉字代表不同数字，那么四位数第= ___________________________________________9285首先，t血两个式子f由"白"与’诗’不同可推知"甫“ =5 ;其次，"李白"+ “杜甫’97 + 86= 183 ,所以”背“二1 , “i寺“不超过7 ; 再次，由第三个式子知“李""杜"=1 , ”白“不超过2 ,"诗“不小于牡j主意到”白"与:背］不相同,所以“白” =2与迖=7 r+ …二177 ，打］-f|:li f = 7 ，”］ = 92，牡毎=85 .<«=苛.李白一杜甫=诗5・n个数排成一列,其中任意连续三个数之和都小于30 ,任意连续四个数之和都大于40 ,贝山的最大值为_____________ ・答宰5解析分析任意连续4个数「b , c , d ,前三个数的和要小于等于2 9 ,即c ,这四个数的和要大于等于41 ,即a+b+c<29 ；所以第四个数要大于等于12,即d"2 •同理,b+c + d>29 f a+b + c+d<41 ;所以a>12・综上所述，如果有连续的四个数,这四个数两边都要大于12・如果这一列有6个数a , b , c , d f . f ：观察前4个r那么a > 12 f d > 12 ;观祭中间4个f那么b > 12 , e>12 ;观禁后4个,可吆c>12 f f>12 .所以a + b + c> 12 ,与三个数之和小于30矛盾.所以这列数的个数不可能大于5 ,下面构造5个数组成的数列:12 r 12 r 5 r 12 , 12 .所以的最大值是5・警+警+严+…+脅+临2“22-1 亚-1 62-1 20142-1 zulb 1的计算结果是2016 — 2016 — 2016 _ 2016 — 2016 — 2016 — 20161 ~ 1 - 18163264答宰解析32+?+・・・+ 1 + 1 ) _______ 72016^i-W 2017x X x U2 2017------- 2016^1 ---------642017x 2016T- X2U172U16 x£2016_2ZUlo2017 x V—E +原式二=327.有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数f那么这个四位数是___________答宰77769.抢红包是微信辟里一种有趣的活动,发红包的人可以发总计一走金额的几个红包,群里相应数重的成员可以抢到这些红包,并且金额是随机分配的・一天陈老师发了总计50元的5个红包，被孙、成、饶、赵.乔五个老师抢到・陈老师发现抢到红包的5个入抢到的金额都不一样,都是整数元的.而且还恰好都是偶数•孙老师说：”我抢到的金额是10的倍数•“解析把这个四位数N分解质因数,设N二2a x 3b x …，因为6N=2a+1x3b+1x p yix...因为N = 2a"1x3b'1xp rf lx...是完全立方数f所以3|a + l r且3|b +1・是完全平方数，所以3|a-l f且3|b-那么，「b的最小值为5小的最小值为25X35=7776 ,而N的第二最小值为2兀3兀5二38880不是四位数，所以N=7776・&在空格里填入数字1~6 f使得每行、每列和每个2 x 3的昌（粗线框）内数字不重理・若虚线框A f B,C , D , E , F中各目数字和依次分别为a 且a二b,c二d,e> f・那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数答宰31462解析第T :由c二d易知c里面的数是6 f <1里面的数是3 r 2 f 1 •由c > f易知'E里面的数5 , 6 , F里面的数是1 第二步：言内排除.第三步:观察八最小是1 + 2 + 3+ 4 = 10,而B中剩下两个数只能填1,4,5,要凑出大于等于10的数只能是所以中剩下两个数是然后简单的官内排除区域和就可以，具体过程如下・成老师说:“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半•”饶老师说:“乔老师抢到的比除了孙老师以夕卜其他所有老师抢到的总和还多・”赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数・”乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3倍・"已知这些老师里只有一个老师没说实话那么这个没说实话的老师抢到了 _________ 元的红包・f答宰16解析突破口：分析饶老师和乔老师两人说的话，两人的话不可能同时成立，所以两人中必有一人没说真话，所以其余三人说的话都是真话・观察孙老师说的话：他只能是10 r 20 , 30 r 40之一；根据成老师说的话，孙老师钱的一半也得是偶数f所以孙老师只能是20 f 40 ;如果孙老师的钱是40 ,根据成老师说的话,成老师和赵老师加起来应该为20 f这样总数已经超过50 ,不可能・所以孙老师抢到了20 ,成老师和赵老师加起来为10 ;赵老师说其他人抢到的都是他的倍数，所以成老师也是赵的倍数：将10拆成两个偶数，一个是另一个的倍数,只能是2 + 8 •所以成老师抢到了8元f赵老师抢到了2元・下面只剩饶老师和乔老师，他们的和应该是50-20 -10 =20 ;再分析他们说的话：如果乔老师说的是真话，那么饶老师应该抢到15元，乔老师抢到5元，与每人都是偶数矛盾，所以乔老师没说真话r饶老师说的是真话；如果饶老师抢到的大于等于6元f那么乔老师抢到的为14元，小于除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和f所以饶老师抢到的只能是4元f这样说谎话的是乔老师，抢到16元.10.如图f P是四边形ABCD内部的点f AB : BC : DA = 3 : 1 : 2 f Z.DAB = ZCBA= 60°・圉中所有三角形的面积都是整数，如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别是20和17 ,那么四边形ABCD的面积最大是__________ ・D答室147延长AB , AC交于M .连结MP r易知三角形ABM为正三角形#DM : DA = 1 : 2 ,解析如图所示rCM: CB=2： 1 ,所以三角形DIVIP和三角形CIVIP的面积分别为10 , 34 r即四边形DPCM的面积是44・再观察三角形DM C ,由于DPB的面积为整数,所以它的面积也为整数，并且三角形M DC是三角形M AB的2 79 ,所以四边形ABCD的面积为三角形M AB面积的硏，为使ABCD的面积尽量大，三角形M AB的面积要尽重大,那么三角形M DC的面积应尽量大r三角形M DC面积最大为44-2 =42 f这时四边形ABCD的面积7为42弓=147・11•有一列正整数，其中第1个数是1 ,第2个数是1、2的最小公倍数.第3个数是1、2、3的最小公倍数...... 第n个数是1、2 .......... n的最小公倍数,另吆这列数前100个数中共有 _________ 个不同的值・答宰36蚪衍观祭数歹U的第n项和n+ 1项，a n= [12... n] r a n+l= [12...n n+ 1],当n + 1同】时，a n+l= a n/当n + 1 |an不成立时r ^+1>30 f即f如果质因数的最高次澤在之前都已经出现过，得到的新数等于原来的数；当某个质因数第一次出现时，得到的新数大于原来的数・所以新出现的数发生在如下几个数：1,21z 22z 23 , 24f 25 , 26( 31f 32 , 33 , 34f 51, 52 , 71r 72 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 f 37 f 41,43,47,53 , 59 , 61 ,7 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97共36个.12.如图，有一个固走好的正方体框架A B两点各有一只电子跳蚤同时开始跳动・已知电子跳蚤速度相同，且每步只能沿棱跳到相邻的顶点两只电子琬蚤各ME了3步f途中从未相遇的跳法共有________ 种・r答室343解析对正方体每个顶原黒白间隔染色，同一种颜色中不同的两点，都可以视作正方体某一面上对角线的两点所以同一种颜色f中不同的两点间招对位蚩固定不变・TF始A、B都在黑点上r如果第-i^A向右，那么B可以向左或向下有2种走法，如果第一步A向后f那么B可以向前或向下有两种走法f如果第一步A向下，曲吆B 可以向前或向左或向下有3中走法所以第一步共有7种走法；第一步后A、B从都在黑原上原倒了都在白点上，但两点间相对位置不会发生改变，f所以第二步同样有7种走法；同理第三步也有7种走法・根据乘法原理，共有73=343种走法.13.甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，与此同时乙从B地出发匀速去A地；过了9分钟，丙从A地出发骑车去B地，在途中C地追上了甲；甲.乙招遇时,丙恰好到B地；丙到B地后立即调头，且速度下降为原来速度的一半；当丙在C地追上乙OO时,甲恰好到B 地・那么AB 两地间路程为 _______ 米・答宰 1620聲析 根据题意画出下面的线段图，（1）表示在丙出发前甲乙二人走过的路程，（2）表示丙追上甲的过程，（3）表示到甲乙相遇时的过程，（4）表示丙追上乙的过程・观察（4）甲乙丙三人走过的路程，不难发现在相同时间内丙走过的路程等于甲乙二人走过的路程和，所以（4）中丙的速度是甲乙二人的速度和,所以在（2 ）、（3）中丙的速度是甲乙二人的速度和的2倍，所以把 （2 ）、（3）两个阶段合起来f 丙走的路程是甲乙二人走过路程的2倍f 即AB = 2DG r 即DG 为全程的一 半f 所以AD + BG=DG f 所以（1 ）的时间和（2 ） . （3 ）的时间加起来也相等，所以甲乙分别在（1 ）内跑 的路程与（2 ）、（3 ）内跑的路程和相等f 即AD 二DE f BG=GE .再观祭丙一人走过的（3 ）、（4）:走相同的路程，速度减少了 50% ,速度比是2 :1 ,所以这两段时间比是1：2 ,即（3）、（4）两个阶段的时间比是1: 2 f 那么甲乙二人在这两个阶段的路程比也是1 ： 2『即 EB = 2CE , CE= 2EF •综合AD = DE r BG = GE , EB = 2CE f CE = 2EF f 设EF = a ,刃B 么CE = 2a f 另B 么EB = 4a ・又因为 EG = GB r 所以EG 二GB = 2a f 所以FG = a •这样，乙（1 ） （ 2 ） （3 ） （4）四个阶段走过的路程分别 为2a, a f a r 2a r 所以四段的路程比2:1:1:2，时间比也为2:1:1:2，所以甲在这四段的路程比也是2 ： 1 ： 1 ： 2 , BP AD : DC ： CE ： EB = 2 ： 1 ： 1 ： 2 ・易知AD = 60 x 9 = 540 米,所以 AB = S40 + 2 X （2 + 1 + 1 + 2） = 1620 米.14. 在一个8 x 8的方格棋盘中放有3 6枚棋子，每个方格中至多放一枚棋子•恰好使最外层所有方格中均没有棋子，规定每一步 操作可选择一枚棋子f 跳过位于邻恪（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格中,同时拿掉被M 滋的棋子（如下圉所示）；若令8格中没有棋子,则不能进行操作f 那么最后在棋盘上最少剩下 _________ 枚棋子・答案 2如图所示，一组"三连棋子仲间一排）”可以通过一个“催化棋子（右下角的一个）“全部消掉，最后只剩下这个催化棋子:。

初中奥数迎春杯重点题型练习题①计算：定义一种新运算a☆b 满足：a☆b=b×10+a×2.那么2011☆130=_____________.②从 1999 年到2010 年的12 年中，物价涨幅为150%(即1999 年用100 元能购买的物品，2010 年要比原来多花150 元才能购买).若某个企业的一线员工这12 年来工资都没变，按购买力计算，相当于工资下降了 %.③右图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是10 厘米.那么阴影图形的面积是平方厘米(π取3.14).④某届“数学解题水平展示”读者评选活动初试共有12000 名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别.小学的两个组共占总人数的___________.⑤右图是一个除法竖式.这个除法竖式的被除数是___________.⑥算式1!×3-2!×4+3!×5-4!×6++2009!×2011-2010!×2012+2011!的计算结果是___________.⑦春节临近，从2011 年1 月17 日(星期一)起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚.若每天离厂的工人人数相同，到1 月31 日，厂里还剩下工人121 名，在这15 天期间，统计工厂工人的工作量是2011 个工作日(一人工作一天为1 个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计).其中周六、日休息，且无人缺勤.那么截至到1 月31 日，回家过年的工人共有___________人.⑧有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011 倍.这个整数的最小值是___________.⑨一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西2 套房;各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住.一天他们5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第3 个入住的，第1 个入住的就住我对门.”钱说：“只有我一家住在层.”孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了.” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着.”周说：“我家住在106 号，104 号空着，108 号也空着.”他们说的话全是真话.设第1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数ABCDE =___________.⑩6 支足球队，每两队间至多比赛一场.如果每队恰好比赛了2 场，那么符合条件的比赛安排共有___________ 种.0～9 能够组成两个五位数A 和B，如果A+B 的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B 的不同取值共有___________ 个.甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，在AB 间往返行走;甲出发的同时，丙也从A 出发去B.当甲、乙两人第一次迎面相遇在C 地时，丙还有100 米才到C;当丙走到C 时，甲又往前走了108 米;当丙到B 时，甲、乙正好第二次迎面相遇.那么A、B 两地间的路程是___________米.如右图，大正方形被分成了面积相等的五块.若AB 长为3.6厘米，则大正方形的面积为___________平方厘米.用 36 个3×2×1 的实心小长方体拼成一个6×6×6 的大正方体.在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到___________个小长方体.。

迎春杯初一试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方是4B. 3的立方是27C. 4的平方是16D. 5的立方是125答案：C2. 哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：B4. 哪个选项表示的是不等式？A. 3x + 2 = 11B. 5y - 3 < 12C. 2z = 6D. 4w + 7 ≥ 11答案：B5. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 不规则多边形答案：B6. 一个圆的周长是2πr，那么它的面积是多少？A. πr^2B. 2πr^2C. 4πr^2D. 8πr^2答案：A7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A8. 以下哪个表达式的结果是一个整数？A. 2.5 × 3B. 4 ÷ 2C. 3.14 × 2D. 5 - 2.5答案：B9. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，那么它的周长是多少？A. 12B. 16C. 18D. 20答案：C10. 以下哪个选项是完全平方数？A. 16B. 17C. 18D. 19答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5 或 -512. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的取值范围是______到______。

答案：1 到 713. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。

答案：414. 一个数除以它的相反数等于______。

答案：-115. 一个角的补角是120°，那么这个角是______。

答案：60°三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：2x - 3 = 7答案：2x - 3 = 72x = 7 + 32x = 10x = 517. 计算：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x - 3)答案：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x - 3)= 3x^2 - 2x + 1 - x^2 - 4x + 3= 2x^2 - 6x + 418. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。

2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021初中数学测试一、 填空（每题5分，共50分）1. |1|2|2|3|3|4|4|5|5|6|6|x x x x x x -+-+-+-+-+-的最小值是2. 方程134221683202119781935x x x +++=-的解的整数部分是3. 设1213,,,m m m 是13个两两不同的正整数，1213488m m m +++=，设a 是其中任意3个数相加得到和的最小值，则a 最大可以是4. 满足3333a b c abc +=+且||,||,||11a b c ≤的整数,,a b c 一共有组5. 如图所示，1272,36,,,33ADC ABC AEG AEC AFG AFC ∠=∠=∠=∠∠=∠︒︒则EGF ∠=6. 已知,,a b c 满足202120222021202320212024a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则b =7. 设(,,)f a b c 是7777()a b c a b c ++---的四次不可约因式且(,,)f a b c 的系数的最大公因数是1，则|(1,1,1)|f =8. 已知1391135x x x ++=---的三个根从小到大为,,αβγ，则区间[1,],[3,],[5,]αβγ的长度之和为9. 梯形ABCD 中//,AB CD O 是对角线交点，如果9,36COD AOB S S ∆∆==，则梯形ABCD面积的整数部分为10. 设a 是一个有理数且a 的十进制小数表示中，小数点后连续出现了2,0,2,1这四个数字，则a 的分母的最小值是二、 解答或证明题（第一题10分，第二，三题每题20分。

）1. 在实数范围内解方程329330x x x -+-= 2. 设1226,,,m m m 是26个正整数且它们的质因数均小于100，求证：其中一定若干个（含一个）正整数的乘积是完全平方数3. 如果XYZ ∆相似于ABC ∆（即,,X A Y B Z C ∠=∠∠=∠∠=∠）且X 在BC 上，Y 在AC 上，Z 在AB 上，XYZ ∆的三条高线交于H ，求证：HA HB HC ==2021初二数学测试三、 填空（每题5分，共50分）11. |1|2|2|3|3|4|4|5|5|6|6|x x x x x x -+-+-+-+-+-的最小值是解：设12345616211,2,3,,6x x x x x x x x =========，则1nii x x=-∑在12n x x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=处取最小值，也就是5x =时，最小值为4664626++++=12. 方程134221683202119781935x x x +++=-的解的整数部分是 解：即(7)2472(7)546(7)245202119781935x x x -+⨯-+⨯-+⨯=-，故7x = 13. 设1213,,,m m m 是13个两两不同的正整数，1213488m m m +++=，设a 是其中任意3个数相加得到和的最小值，则a 最大可以是解：不妨设1213m m m <<<，则123a m m m =++，要让a 最大，因让113~m m 尽可能地平均；由48831323334353637383940414250=++++++++++++知道a 最大为9614. 满足3333a b c abc +=+且||,||,||11a b c ≤的整数,,a b c 一共有组解：()3322323()0a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---= 故a b c ==或0a b c ++= 当a b c ==时，有23组当0a b c ++=时，有397组共420组，其中重复，故答案为41915. 如图所示，1272,36,,,33ADC ABC AEG AEC AFG AFC ∠=∠=∠=∠∠=∠︒︒则EGF ∠=解：设,,,ADE ABC ECF x αβ∠=∠=∠=则()2180180,,33x x AEG XFG EAF x αβαβ︒--︒--∠=∠=∠=++则()21802180360332722361801801323333x x EGF x βαβαβ︒--⎡⎤︒--∠=︒-++++⎢⎥⎣⎦︒⨯︒=︒--=︒--=︒16. 已知,,a b c 满足202120222021202320212024a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则b =解：答案是117. 设(,,)f a b c 是7777()a b c a b c ++---的四次不可约因式且(,,)f a b c 的系数的最大公因数是1，则|(1,1,1)|f =解：()777743223432()7()()()23225a b c a b c a b a c b c a a b a b ab b a c a bc ++---=++++++++++则|(1,1,1)|39f = 18. 已知1391135x x x ++=---的三个根从小到大为,,αβγ，则区间[1,],[3,],[5,]αβγ的长度之和为解：韦达定理，答案为1319. 梯形ABCD 中//,AB CD O 是对角线交点，如果9,36COD AOB S S ∆∆==，则梯形ABCD 面积的整数部分为20. 设a 是一个有理数且a 的十进制小数表示中，小数点后连续出现了2,0,2,1这四个数字，则a 的分母的最小值是解：答案94四、 解答或证明题（第一题10分，第二，三题每题20分）4. 在实数范围内解方程329330x x x -+-=解：33333122(1)(1),2(1)1,21x x x x x +-=+-=+=-5. 设1226,,,m m m 是26个正整数且它们的质因数均小于100，求证：其中一定若干个（含一个）正整数的乘积是完全平方数 解：设1~100的质数为1225,,,p p p ，设{}126,,S m m =对任意的A S ⊆，设A 中元素的乘积125125p p αα=，则125,,αα按照奇偶分类有252类，而S 有2621-个非空子集，故存在两个不相同的子集合121,,A A S A ⊆元素的乘积与2A 元素的乘积的质因数中每个i p 的指数同奇偶，故1A 元素的乘积2A ⨯元素的乘积为平方数设11222112\,\ , B A A B A A B B B ===⋃，则B ≠∅且B 中元素的乘积为平方数 6. 如果XYZ ∆相似于ABC ∆（即,,X A Y B Z C ∠=∠∠=∠∠=∠）且X 在BC 上，Y 在AC 上，Z 在AB 上，XYZ ∆的三条高线交于H ，求证：HA HB HC ==证明：如图，设X ’、Y ’、Z ’为▲ABC 三边的中点，易知▲X ’Y ’Z ’~▲ABC.设O 是▲X ’Y ’Z ’的垂心，由OX ’⊥Z ’Y ’，Z ’Y ’∥BC 得OX ’⊥BC ，即OX ‘为BC 的中垂线，因此O 为▲ABC 的外心.由▲X ’Y’Z’与▲XYZ 相似，以O 为位似中心作位似旋转变换，使▲X ’Y’Z’变换到▲XYZ ，∵O 为▲X’Y’Z’的垂心，故O 为▲XYZ 的垂心.即O 为▲ABC 的外心和▲XYZ 的垂心.答题卡（仅此页和下一面提交）1．2答题卡（仅上一页面和此页面提交）姓名学校联系电话3.。

2020—2021学年北师大版七年级数学培优卷姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）1．已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<2．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）A ．50°、130°B ．都是10°C ．50°、130°或10°、10°D ．以上都不对3．如图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（ ）A ．从起点到终点共用了50minB ．20~30min 时速度为0C ．前20min 速度为4/km hD ．40min 与50min 时速度是不相同的4．如图，,AM CM 平分BAD ∠和BCD ∠，若3442B D ∠=︒∠=︒，，则M ∠=（ ）A ．34︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒5．已知，如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，延长AD 到点E ，连接BE 、CE ，∠ABD+12∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD 为等腰三角形；②AE=AC ；③BE=CE=CD ；④CB 平分∠ACE ．其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．将一长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，若30BEF ∠=︒，33AB ，则EG =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．若220x x +-=，则3222016x x x +-+等于（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．－20208．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A ．12 B ．10 C ．9 D ．6二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．若(3)1x x -=，则x 的值为_ _．10．若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则a =_________ __． 11．如图，已知A 1B //A n C ，则∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n 等于__________(用含n 的式子表示)．12．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C D →→→运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y ＝13时，x 的值等于_____________． 13．如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝12厘米，BC ＝8厘米，CD ＝14厘米，∠B ＝∠C ，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为___ __厘米/秒时，能够使△BPE 与以C 、P 、Q 三点所构成的三角形全等．14．如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别S 、S 1、S 2，且S=36，则S 1-S 2=_____ __．三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共30分。

2021年迎春杯中年级复赛试题【题目】今年是2021年，又到了迎春杯中年级复赛的时刻。

今年的复赛试题非常特别，我们需要考察学生的综合素质。

请你设计一份复赛试题，包含以下几个部分：数学应用题、逻辑推理题、文化常识题、语言表达题和体育运动题。

每部分各占一定分值，总分为60分。

【数学应用题】（10分）假设你是一家公司的老板，现在需要招聘一位销售经理。

你对两位候选人进行了面试，他们的简历如下：候选人A：本科毕业于某著名大学数学专业，有5年的销售经验，其中2年的销售经理经验。

候选人B：高中毕业，自学数学和销售知识，有8年的销售经验，其中3年的销售经理经验。

你该如何选择呢？请根据以下题目进行决策分析：1. 你有一批价值50万的货物需要销售，共有三种销售渠道：线上销售、实体店销售和促销活动销售。

三种销售渠道的预期收益分别为10万、30万和40万。

已知三种销售渠道的销售量与进货量的比例相同，但线上销售渠道的库存成本较低。

请问你该如何安排进货量以最大化总收益？【逻辑推理题】（10分）假设你被困在一个密闭的房间里，只有一扇窗户可以逃脱。

窗户上有三个开关，A、B和C。

其中两个开关是控制一个灯的开关，灯是用来判断哪个开关是单独控制的。

灯的状态有两种可能：亮着或者熄灭。

1. 如果你打开其中一个单独控制的开关，灯的状态就会改变（要么变亮，要么变暗）。

那么这两个开关分别是什么开关？2. 如果你听到门外有脚步声接近，那么哪个开关很可能是与灯一起控制的开关？请给出理由。

【文化常识题】（5分）“大江东去”是出自哪首诗？这首诗的作者是谁？【语言表达题】（5分）请用简短的语句描述你理想中的未来生活是什么样的？注意语句要通顺、流畅，不要有语法错误。

【体育运动题】（5分）描述一种你最擅长的运动项目，并分享一下你是如何练习这个项目的。

这种运动对于你的身体有什么好处？同时谈谈你认为最重要的体育精神是什么？这就是迎春杯中年级复赛的全部试题。

期待同学们用丰富的知识和实践经验来解答这些问题，展现出你们综合素质的魅力！。