现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据

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现代控制理论第四章答案

G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2

现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )

现代控制理论试题

《现代控制理论》复习题3
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（×）1.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统；
（×）2.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上；
（×）4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（√）5.状态反馈不改变系统的能控性。
二、（20分）已知系统的传递函数为
（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；
（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。
答:（1）将G(s)写成以下形式：
解：能控标准形为
能观测标准形为
对角标准形为
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是，它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值的特征向量是
取变换矩阵，则
因此，
从而，
由期望极点可得期望的闭环特征多项式
通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K。
②变换法
验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。
将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵
设期望的特征多项式为
而能控标准型的特征多项式为
通过
可得
由此方程组得到
因此，要设计的极点配置状态反馈控制器
六、（20分）给定系统状态空间模型

第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题

第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案5.1 判断下列函数的正定性1) 2221231213()2322V x x x x x x x =++-+x 2) 222123121323()82822V x x x x x x x x x =++-+-x 3) 22131223()2V x x x x x x =+-+x解1) T T 211()130101V A -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x x x , 因为顺序主子式2120,50,13->=>- 2111302011--=> 所以0>A ，()V x 为正定函数。

2) T T 841()421111V -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x Ax x x , 因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--841421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。

3) T T 1212110()1001V -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x Ax x x , 因为顺序主子式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解方程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ⎧-+++=⎨--++=⎩只有一个实孤立平衡点（0，0）。

在（0，0）处将系统近似线性化，得**1111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，由于原系统为定常系统，且矩阵1111-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦的特征根1s i =-±均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间

第5章“控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案.doc

2) T T 841()421111V -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x Ax x x , 因为主子式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--841421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。

3) T T 1212110()1001V -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x Ax x x , 因为顺序主子式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解方程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ⎧-+++=⎨--++=⎩只有一个实孤立平衡点（0，0）。

离散条件下的李雅普诺夫稳定判据

离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。

在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。

而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。

2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。

它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。

3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。

这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。

而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。

4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。

对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。

5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。

一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。

常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。

不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。

6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。

通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。

7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。

希望本文的介绍对您有所帮助。

基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。

4.3 李雅普诺夫稳定判据

xT (t ) AT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) A(t ) x(t )
xT (t )[ AT (t )P(t ) P(t ) P(t ) A(t )]x(t )
令
AT (t ) P(t ) P(t ) P(t ) A(t ) Q(t )
P 12 P22 Pn 2

Pn 1 P2n Pnn
( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即:
1 0
2 0 ……
n 0
(4.34)
二次型标量函数 V ( x ) 为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子式满足：
i
=
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f ( x, t )
ex
(4.36)
不失一般性 , 设系统的平衡状态为 xe 0 。如果 x e 0 ，可以通过变换为零。连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数 V ( x) ，对所有 x(t ) 的有连续的一阶偏导数，且 V ( x) 是正定的，则
1
2
2 1
2 2
例4.15 分析系统
x1 x1 x 2 x 2 x1 x 2
的稳定性。
解则平衡点为
x e 0 0T
2 ，取 V ( x) x12 x2
2 V ( x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1 ( x1 x2 ) (x1 x2 ) 2( x12 x2 )

现代控制理论试卷及答案

现代控制理论试卷一、简答题（对或错，10分）（1）描述系统的状态方程不是唯一的。

（2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

（3）对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

（4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

（5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

（6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

（8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

（9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

（10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。

对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。

二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。

（15分）1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12(0)0,(),0(0)1tx u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、设系统的传递函数为()10()(1)(2)y s u s s s s =++。

试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。

（15分）四、已知系统传递函数2()2()43Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。

（15分）五、已知系统的动态方程为[]211010a x x uy b x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

【解】（1）平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2）平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间接法/第一法）
1 2

x1 x2

x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】系统平衡状态为： xe 0 0 T

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⎧ 1 = − x1 + x 2 + x1 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪x (2) ⎨ 2 = − x1 − x 2 + x 2 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪ ⎩x
【解】：（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：
A= ∂f ∂x T ⎡ ∂f 1 ⎢ ∂x =⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣ 1 ∂f 1 ⎤ ⎡1 − 3 x1 2 ⎡1 − 1⎤ −1 ⎤ ∂x 2 ⎥ ⎥ =⎢ =⎢ ⎥ 2⎥ ∂f 2 ⎥ 1 − 3x 2 ⎦ ⎢ 1 ⎥ x = 0 ⎣1 1 ⎦ ⎣ ∂x 2 ⎥ ⎦ x =0
t − t0 = − 1 1 0.05 v ( x, t ) =− ln = 10.955 v( x0 , t0 ) λ2 100
ηmin
ln
4-7
试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
6
第四章
Lyapunov 稳定性理论
⎧ 1 = x1 − x 2 − x1 3 ⎪x (1) ⎨ 2 = x1 + x 2 − x 2 3 ⎪ ⎩x
0.5 1
= 0.75 > 0 ， 0.5 0.5
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k )
3 0⎤ ⎡1 3 0⎤ ⎡1 − 3 1⎤ ⎡ 1 0.5 0.5⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢− 3 − 2 − 3⎥ − ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ ⎢0.5 1 G T PG − P = ⎢ 3 − 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1⎥ 0 0⎥ 0 0⎥ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎢ ⎣1 ⎦⎢ ⎣0.5 0 ⎦⎢ ⎣0 − 3 0 ⎥ ⎡ 8 4.5 7 ⎤ ⎥ =⎢ ⎢4.5 6 1.5⎥ ⎢ 7 1.5 8 ⎥ ⎦ ⎣ 8 4.5 7
【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z −1 f ( z ) = zI − A =
−3
0
3 −1
z+2 3 =0 0 z
z1 = 0.1173 + 2.6974i z 2 = 0.1173 - 2.6974i z 3 = − 1.2346
特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法，
1 + 2 x1 x 2
2
− 1 + x1 + 3 x 2 ⎦ ⎥ x =0
2⎥
⎤
⎡− 1 1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣− 1 − 1⎦
sI − A =
s +1 1
−1 s +1
= s 2 + 2s + 2 = 0
系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。 4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数 a 、 b 的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。
T
P12 P22 P23
P13 ⎤ P23 ⎥ ⎥ P33 ⎥ ⎦ P12 P22 P23 P13 ⎤ ⎡− 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ P23 ⎥ ⎥ = ⎢ 0 −1 0 ⎥ P33 ⎥ ⎦ ⎣ 0 0 − 1⎥ ⎦ ⎢
⎡0 0 ⎢ T G PG − P = ⎢1 0 ⎢0 1 ⎣
0 ⎤ ⎡ P11 k ⎥⎢ ⎥ P12 2 ⎥⎢ 0 ⎦⎢ ⎣ P13
2 = −x2 x v( x 2 ) = 0.5 x 2 2 ⎧≤ 0 ( x 2 ) = x 2 x 2 = −x2 2 ⎨ ⇒ v ⎩= 0
(x ≠ 0) (x = 0)
所以系统不稳定。 4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。
3 0⎤ ⎡1 ⎢ x(k + 1) = ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ x(k ) ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣1
Q=I A P + PA = − I
T
求矩阵 P ，即
⎡0 − 2 ⎤ ⎡ P11 ⎢1 − 1.5⎥ ⎢ P ⎣ ⎦ ⎣ 21 P12 ⎤ ⎡ P11 +⎢ P22 ⎥ ⎦ ⎣ P21 P12 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎢− 2 − 1.5⎥ = ⎢ 0 − 1⎥ P22 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦⎣
⎡ a1 1 − 1 ⎤ ⎥ =x ⎢ ⎢ 1 b1 − 2⎥ x ⎢ ⎦ ⎣− 1 − 2 c1 ⎥
T
a1 > 0,
a1 1
1 b1
a1
1
−1
> 0, 1 b1 − 2 > 0 − 1 − 2 c1
满足正定的条件为：
⎧a1 > 0 ⎪ ⎨a1b1 > 1 ⎪a b c + 4 > b + 4 a + c 1 1 1 ⎩ 1 1 1
二次型函数为负定。 (3)
10 1 − 2 ⎡ 10 1 − 2⎤ 10 1 ⎥ ⎢ 4 − 1 ⎥, ⇒ 10 > 0, = 39 > 0 1 4 − 1 = 17 > 0 P=⎢ 1 1 4 ⎥ ⎢ 2 1 1 2 1 1 − − − − ⎦ ⎣
二次型函数正定。 4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
【解】：（1）设
v( x) = 0.5 x1 2 + 0.5 x 2 2
⎧ ( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1x2 − x1x2 − x2 2 = − x2 2 ⎨ v =0 ⎩≤ 0 ( x = 0) 为半负定。 ( x ≠ 0)
( x) ≡ 0 时，有 x 2 ≡ 0 , 又因为 v 2 ≡ 0 ，代入状态方程得： x1 ≡ 0 . 则x ( x) 不恒为零。所以系统在 x ≠ 0 时， v
第四章
Lyapunov 稳定性理论
第四章
4-1 试确定下列二次型是否正定。
Lyapunov 稳定性理论
(1) v( x) = x1 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 + 2 x1 x 2 − 6 x 3 x 2 − 2 x1 x 3 (2) v( x) = − x1 2 − 10 x 2 2 − 4 x 3 2 + 6 x1 x 2 + 2 x 3 x 2 (3) v( x) = 10 x1 2 + 4 x 2 2 + x 3 2 + 2 x1 x 2 − 2 x 3 x 2 − 4 x1 x 3 【解】：（1）
k > 0 ，求平衡点 x e = 0 渐近稳定
时 k 值范围。【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
4
第四章
Lyapunov 稳定性理论
−1 0 z −1 = 0 f ( z ) = zI − A = 0 z 0 −k/2 z
z1 = 0.5 2k z 2 = -0.5 2k z3 = 0
P12 P22 P23
⎡ P13 ⎤ ⎢0 ⎢ P23 ⎥ ⎥ ⎢0 P33 ⎥ ⎦ ⎢0 ⎣
12 4−k
2
1 0 k 2
⎤ 0⎥ ⎡ P11 P12 1⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎣ P13 ⎦
12 4−k2
⇒ P11 = 1, P12 = 0, P13 = 0, P23 = 0
P22 = − 1, P33 =
4-6
⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡x 设系统的状态方程为 ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然 x − − 2 1 .5⎥ ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
后再求从封闭曲线 v( x) = 100 边界上的一点到封闭曲线 v( x) = 0.05 内一点的响应时间上限。【解】：令
因为 8>0，
8 4.5
4.5 6
= 27.75 > 0 ， 4.5 6 1.5 = 4.5 > 0 ，所以 P 正定。 7 1.5 8
∆v(k ) 为正定，所以系统在原点不稳定。
4-5
⎡ ⎢0 设离散系统状态方程为 x(k + 1) = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣
1 0 k 2
⎤ 0⎥ 1⎥ x(k ) ⎥ 0⎥ ⎦
( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1 (− x1 + x2 ) + x2 (− x1 − x2 ) = − x12 − x2 2 v
= xT ⎢
⎡− 1 0 ⎤ ⎥x ⎣ 0 − 1⎦
= x T Px
P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系，所以可以单独分析各变量的稳定性。 ⎧≥ 0 (x ≠ 0) 1 = x1 v( x1 ) = 0.5 x1 2 ⇒ v ( x1 ) = x1 x 1 = x1 2 ⎨ x ⎩= 0 ( x = 0 )
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（2）设
v( x) = 0.5 x1 2 + 0.5 x 2 2
( x) = x1x 1 + x2 x 2 = x1 (− x1 + x2 ) + x2 (2 x1 − 3x2 ) = − x12 − 3 x2 2 + 3 x1x2 v
± 0.5 2k < 1 ⇒ 0 < k < 2 时平衡点渐近稳定。
方法二：
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k ) ∆v(k ) = x T (k )Qx(k )
令
Q = −I
⎡ P11 Q = G PG − P ，设 P = ⎢ ⎢ P12 ⎢ ⎣ P13
1 − 1⎤ 1 1 −1 ⎡1 1 1 ⎥ ⎢ 4 − 3⎥, ⇒ 1 > 0, = 3 > 0, 1 4 − 3 = −4 < 0 P=⎢1 1 4 ⎥ ⎢ −1 − 3 1 ⎣− 1 − 3 1 ⎦