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多种类型的回归模型

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数学建模第二次作业例一：（线性模型）针叶松数据该数据包含70棵针叶松的测量数据，其中y表示体积（单位立方英尺），X1为树的直径（单位：英寸），X2为树的高度（单位：英尺）。

解答：（1）问题分析：首先根据这组数据做自变量与因变量之间的关系图，如图 1.1。

由图可知y随X I、X2的增加而增加，从而可大致判断y与X1, X2呈线性关系。

判断是线性回归模型后进行细节的量纲分析，得出具体模型，从而利用已知的线性模型，借助R（2）模型基础设变量丫与变量X1,X2，…;XP间有线性关系丫= ：0 M X^ 2X2…P X P；其中；~ N（Of2）「0,宀…，-P和二2是未知参数，P-2,称上述模型为多元线性回归模型，则模型可以表示为：y i = -：0 ■ -1X i1 ... - ：p X ip , i 二1,2,…，n其中；i - N 0,二2，且独立分布即令Y -X -其中丫是由响应变量构成的n 维向量，X 是n (p+1)阶设计矩阵，一：是p+1维向量，并且满足2E （ ；） =0，Var （ ；） = I n与一元线性回归类似，求参数-的估计值？，就是求最小二乘函数 Q (P ) =(y -X$(y - X )达到最小的-的值。

-的最小二乘估计? - ：'X TX J X Ty从而得到经验回归方程丫＞ = ??P X p(3) 问题求解：由于体积与长度的量纲不一致，为了使等式两边量纲统一，首先利用 excel 软件对数据进行预处理，即对y 进行三次开方的处理。

其中，选择线的性模型为： 頒 =% +X i /i +X 2/2 +翳，i=1,…;703y 计算结果如下表1.1表1.1衙 1.301.261.441.621.44…4.755.47利用R 软件中的回归函数，可以求得-0=0.03291=0.17452=0.0142 根据计算结果可以将x i ,x 2的值带入回归方程求解y 值，将所得y 值（实验值） 与真实y 值（观测值）进行比较达到检验模型模拟优度的目的，得下图 1.2y=y2 a ，p = p 1a 1，x =y n一 1 11X iiX 21X 12X22x n 2X 1p X 2px np■y /lj则多元线性回归模型可表示为X m观测值与实验值对比图1.2由图1.2得，回归系数和回归方程检验都是显著的，模型模拟结果较好 则该题结果为：Vy i = 0. 00329 + 0. 1745K , + 0. 0142x 2i（4）模型评价：① 模型优点：选取线性回归模型有效反应了自变量与因变量之间的内在关系， 在利用线性模型的基础上，注意到保持等式两边量纲的一致性，体现模型的严 谨性。

② 模型缺点：当x 值增大时，y 实验值增长速度加快，模拟出现偏差。

例二：（非线性模型）欧洲野兔这组数据包含71组观测值，其中y 为在澳大利亚的欧洲野兔干燥眼球重量（单 位：毫克）的对数值，x 为野兔相应的年龄（单位：天）。

、解答：（1） 问题分析：要求澳大利亚的欧洲野兔年龄与干燥眼球重量之间的关系，首 先应该大致分析两者之间的线性关系。

确定其大致性关系后进一步具体化分析， 得出澳大利亚的欧洲野兔年龄与干燥眼球重量之间的具体模型并建立函数模型， 通过对未知参数的求解得出最终结果。

本题中，通过 SPSS 模型进行初步估计后 建模具体求解 （2） 问题求解：利用spsS 软件对野兔年龄（自变量x ）与干燥眼球重量（因变量y ）进行画图初步分 析，所得结果如图2.1------ y 观测值 ------ y 实验值 ——线性（y 观测值） ——线性（y 实验值）JJ6.70- 次2.斗LT力斗即-203 301 fig. 31- i ay.tb-1 186 80-IS6J O9-177.60 1 73.73- 車 1 61.23-ip 5WTI 45.7214058130.66 104 JU- 94和- 01.0073.0S-€3.^7- 5U.25- 40 5522.3 口 -图2.1 由图2.1可知，x 、y 两者呈非线性关系，故需用非线性回归模型进行进一步估计(2)由(1)知x 、y 两者呈非线性关系，则用曲线估计中的线性、对数、逆模型、 二次项、立方、幕次、复合、S 、logistic 、增长、指数分布等11种模型进行拟合, 所得结果如表2.1，拟合效果图见图2.2.表2.1模型汇总和参数估计值 因变量重量方程模型汇总参数估计值R 方F df1 df2 Sig. 常数 b1b2b3线性 .762 217.236 1 68 .000 82.217 .264对数 .970 2184.028 1 68 .000 -173.394 62.940倒数 .636 118.830 1 68 .000 186.705 -3748.419二次 .950 636.309 2 67 .000 37.172 .689 -.001三次 .979 1016.731 3 66 .000 17.289 1.035-.0021.061E-6复合 .559 86.313 1 68 .000 76.813 1.002幕 .936 999.744 1 68 .000 7.021 .571S .860 416.599 1 68 .000 5.279 -40.205增长 .559 86.313 1 68 .000 4.341 .002指数.559 86.3131 68 .000 76.813 .002Logistic .55986.313 168.000.013.998EMW O O□2CD 400 60D 300 1DCO图22由表2.1知三次模拟的R方值0.979与其他10种模拟中相比最大，证明三次模型模拟的效果最好。

观察图2.2可进一步验证三次模型模拟所得曲线与观测值最接近，故用三次模型进行具体模拟。

(3)由(2)知x、y两者符合三次非线性模型，则设x、y之间的函数关系为y i=b1-b2(xi-b3)A(-1)+c 过sps歎件求解得相关参数bl、b2、b3、c如表2.2表2.2模型汇总和参数估计值由表2.2知, b1=1.035、b2=-0.002、b3=1.061 10』、c=17.289则x、y之间函数关系为：y i=1.035--0.002)*(xi-1.061 10”)+ 17.289。

其函数图象如图2.3图2.3（3）模型评价：①模型优点：该模型充分考虑x、y变量之间的非线性关系，经过多种模拟模型的相互比较筛选，得出模拟效果最好的三次非线性模型模拟函数，结果比较可靠，从函数图象来看模拟值与真实值之间较为接近，模拟效果较好。

②模型缺点：从最终的模拟模式图中我们可以看到当自变量年龄较大时，重量的真实值与模拟值差异增大，模拟效果变差。

例三（分类数据模型）：降雨数据北京市25年有关降雨资料，X1,X2,X3,X4是4个预报因子，y表示降雨情况：y=1表示偏少，y=2表示正常，y=3表示偏多。

解答：（1）问题分析考虑多因素的影响时，对于反应变量为分类变量时（如本题的预报因子），用线性回归模型就不合适，因此可以采用logistic回归模型进行统计分析，由于题目中响应变量（降雨情况）是由3种不同的取值，于是便可以利用多分类的Logistic模型。

(2) 模型基础① 设y 是一个响应变量有c 个取值，从0到c-1,并且y=0是一个参照组,协变量x=( x“X 2，…，X p )，那么可以得到y 的条件概率：e g k（x ）C —1J （X ） j 丄其中k=0,1,2,...,c-1.由此得到相应的logistic 回归模型：「P （y = klx ）1 J =B ko + 兀 + …+ %X pPQ = o pjp p②最小二乘估计对y 每一个取值进行n 次独立观测，可以得到如下矩阵:■ c _1,p记 B=( j 2...,-c_1)，则有 Y=XB 成立.于是可以得到1的最小二乘估计：一 X T X J J X T Y③ 似然函数为构造似然函数，利用二进制编码表示观测值，规定如果y=0那么y 0=1,y 1=y 2=・=y c-1=0;如果 y=1,那么 y °=0,y 1=1, y 2=・=y c-1=0;以此类推，c -1可以得出无论y 取何值，总有a y j 二1成立，可得似然函数:j 弓 其中兀j (Xi )= P(y = j Xi )■yn y 12 …y 1p1xny 21ay 22 …a+y 2pa=1 X 21a Jn 1y n2…y n_1 丿 1 IX n1y 12… y 、y 111P 令 Y= y 21y 22…a+y 2P』n1 y n2…yn7^10x 1pX 2pB=■11個0■ c _1,0-21-px 11X 1p X=—,0c J,1x 21 Xn 1X 2pXnp丿P （ y=k|x ）= ------ 1 +Z eg k （x ）=ln -p l （:） nF 」［6（X i ）y 0i「：1（X i ）yn 6_1（Xi ）y c」］ =【"c」J nJ耳对(*)式两端取对数得似然函数：c_1 nL (「二U y ji l n#i x 1j =0 i 4（3）模型求解：本题中，c=3,可以取y=2作为参照组，通过Stata软件中的mlogit命令, 建立多类结果的logistic回归，如下图3.1y Caef-5td. Err,z P>I z|[95% 匚onf.Interv&l]1K1543,85711C2330.50,000.9 97-317610.1318705,9x2-12,1565003,1350.990-901S+2399793,927x37.3630292159.4860.9 97-^225+1514239^877 -1 ・ 7107M726.7509-0-00-1426+1161422■&导cons504.2257334110.60.000,999-654340.66553492(bafc outcome)3X1-4.37B45S8.6571&3-0.510.613-21.34C2212.50931x2 1.109713.5992927 1.850.064*.06487&8 2.264306x30571044.0041536-0.660.437-.5219637.1077749.0062997.04747S70.130.654-.086753.0393525 cons-90.1769250.26632-1.790.073-IBS.69718.343253图3.1从图中可以得出：logit （y i —；y2）=543.86X i - 12.16x2 7.36x3 - 1.71x4 504.23logit （y3—y2）= - 4. 38x1 1. 11x2- 0. 57x30. 01x3- 90. 18（4）模型评价本题将二分类logistic回归模型的知识推广到多分类logistic回归模型，有效的解决了多种响应变量的分类数据问题。

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多元线性回归模型

多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数R2:又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程2 2-2 2 门度的统计量‘克服了R随解释变量的增加而增大的缺陷，与R的矢系为R2=1 -（1 -R2）-n — k —1 3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。

4、正规方程组：采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和矢于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为XX A XYo5、方程显著1•生检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性矢系在总体上是否显著成立作岀判断。

、单项选择题1、C ： F统计量的意义2、A： F统计量的定义22 Z ei3、B ：随机误差项方差的估计值:? ・n _k_14、A :书上P92和P93公式5、C： A参看导论部分内容；B在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99,比较F统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ： A截距项可以不管它；B不考虑betaO ；C相矢矢系与因果矢系的辨析9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、 D : AB不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD :概念性3、BCD :总体显著，则至少一个参数不为04、BC :参考可决系数和F统计量的公式5、AD :考虑极端情况，ESS=O,可发现CE错四、判断题、1 ' " 2、” 3 > X 4 > X：调整的可决系数5、”五、简答题1、答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相矢尖系”的假定：三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。

数据挖掘技术之回归分析超全总结，常见回归模型介绍及应用场景

数据挖掘技术之回归分析超全总结，常见回归模型介绍及应用场景

数据挖掘技术之回归分析超全总结，常见回归模型介绍及应用场景回归分析介绍回归分析通常是指用一个或者多个输入X（称为自变量，解释变量或者预测变量）来预测输出Y（称为因变量，响应变量或者结果变量）的一种方法•连续型变量：如人的身高，每天的运动小时数•类别型变量：o无序类别变量：如性别，职业o有序类别变量：如运动强度（低，中，高），成绩（优，良，中，差）简单线性回归用一个连续型的解释变量预测一个连续型的响应变量比如：用广告投入金额去预测销售收入金额销售收入=b+a*广告投入简单多项式回归用一个连续型的解释变量预测一个连续型的响应变量，模型的关系是n阶多项式比如：用广告投入金额去预测销售收入金额销售收入=b+a1*广告投入+a2*广告投入^2多元线性回归用两个或多个连续型的解释变量预测一个连续型的响应变量比如：用风速和当日辐照值去预测光伏电站的发电效率PR发电效率PR=b+a1*风速+a2*当日辐照值多元多项式回归用两个或多个连续型的解释变量预测一个连续型的响应变量，模型的关系是n阶多项式和交叉乘积项比如：用广告投入金额和研发投入金额去预测销售收入金额销售收入=b+a1*广告投入+a2*研发投入+a11*广告投入^2+a22*研发投入^2+a12*广告投入*研发投入多变量回归用一个或者多个解释变量预测多个响应变量Logistic逻辑回归用一个或多个解释变量预测一个类别型响应变量注：Logistic回归的解释变量可以是连续型变量，也可以是类别型变量；响应变量是类别型变量比如：广告的点击率预估问题（二分类问题），图像识别问题（多分类问题）Poison泊松回归用一个或多个解释变量预测一个代表频数的变量Cox比例风险回归用一个或多个解释变量预测一个事件（死亡，失败或者旧病复发）发生的时间。

多分类Logistic回归教程与结果解读

多分类Logistic回归教程与结果解读

Logistic回归分析（logit回归）一般可分为3类，分别是二元Logistic回归分析、多分类Logistic回归分析和有序Logistic回归分析。

logistic回归分析类型如下所示。

Logistic回归分析用于研究X对Y的影响，并且对X的数据类型没有要求，X可以为定类数据，也可以为定量数据，但要求Y必须为定类数据，并且根据Y的选项数，使用相应的数据分析方法。

如果Y有两个选项，如愿意和不愿意、是和否，那么应该使用二元Logistic回归分析(SPSSAU【进阶方法->二元logit】)；如果Y有多个选项，并且各个选项之间可以对比大小，例如，1代表“不愿意”，2代表“无所谓”，3代表“愿意”，这3个选项具有对比意义，数值越高，代表样本的愿意程度越高，那么应该使用多元有序Logistic回归分析(SPSSAU【进阶方法->有序logit】)；如果Y有多个选项，并且各个选项之间不具有对比意义，例如，1代表“淘宝”，2代表“天猫”，3代表“京东”，4代表“亚马逊中国”，数值仅代表不同类别，数值大小不具有对比意义，那么应该使用多元无序Logistic回归分析(SPSSAU 【进阶方法->多分类logit】)。

1、多分类logistic回归分析基本说明只要是logistic回归，都是研究X对于Y的影响，区别在于因变量Y上，logistic回归时，因变量Y是看成定类数据的，如果为二元（即选项只有2个），那么就是二元logistic回归； 如果Y是多个类别且类别之间无法进行对比程度或者大小，则为多分类logistic 回归；如果Y是多个类别且类别之间可以对比程度大小（也称为定量数据，或者有序定类数据），此时则使用有序logistic回归。

多分类logistic回归的难点在于：因变量为类别数据，研究X对Y的影响时，如果为类别数据，那么不能说越如何越如何，比如不能说越满意越愿意购买；而只能说相对小米手机来说，对于手机外观越满意越愿意购买苹果手机。

多种因素回归公式

多种因素回归公式

多种因素回归公式在实际数据分析中，我们经常需要基于已知因素来预测或解释一些因变量的变化。

这时候，多因素回归分析就是一种常用的统计方法。

多因素回归模型是一种通过数学方程将一个或多个自变量与因变量关联起来的方法。

这篇文章将介绍多种因素回归公式及其相关应用。

1.简单线性回归模型最简单的多因素回归模型是简单线性回归模型。

在简单线性回归模型中，因变量（称为Y）的变化被一个自变量（称为X）线性关系所解释。

回归公式：Y=β0+β1X+ε其中，Y是因变量，X是自变量，ε是误差项，β0和β1是回归系数。

简单线性回归模型通常用于探索两个变量之间的线性关系，例如身高与体重的关系、广告投入与销售额之间的关系等。

2.多元线性回归模型多元线性回归模型是简单线性回归模型的扩展，可以处理多个自变量。

回归公式：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1，X2，...，Xn是自变量，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。

多元线性回归模型可以用于解释因变量与多个自变量之间的关系，例如销售额和广告投入、人口增长和GDP等。

3.多项式回归模型多项式回归模型是一种非线性回归模型，可以在回归中引入多项式项，以更好地拟合数据。

回归公式：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε其中，Y是因变量，X是自变量，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，n为多项式的次数。

多项式回归模型通常用于解释因变量与自变量之间的非线性关系，例如时间序列中的趋势分析。

4.对数回归模型对数回归模型用于研究两个或多个变量之间的对数关系。

常见的对数回归模型包括对数线性回归模型和对数多项式回归模型。

回归公式：Y = β0 + β1ln(X1) + β2ln(X2) + ... + βnln(Xn) + ε其中，Y是因变量，X1，X2，...，Xn是自变量的对数变换，ε是误差项，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。