高三数学一轮复习直线的方程课件

为
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
⁠
.
⁠
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝

(5)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(
×)
(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × )
(3)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程
的负半轴上,则直线MN的方程为(
A.3x-y-6=0
B.3x+y+6=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y-6=0
)
(2)过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的
1
3
的直线方程为
(3)过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程
为
.
.
答案 (1)C
(2)4x+3y-13=0 (3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0
—
随α的增大而增
大
—
随α的增大而
增大
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
点斜式 过点(x0,y0),斜率为k
在y轴上的截距为b,斜
斜截式
率为k
过两点(x1,y1),(x2,y2)
两点式
(其中x1≠x2,y1≠y2)
在x轴、y轴上的截距
截距式
分别为a,b(a,b≠0)
一般式 —
方程
y-y0=k(x-x0)
适用条件
与x轴不垂直的直线
y-y0=k(x-x0)
-1
-1
=
2 -1 2 -1

+ =1

√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0

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高考一轮总复习•数学
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对点练 1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，
若 fπ4－x＝fπ4＋x，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为(
)
π π 2π 3π A.4 B.3 C. 3 D. 4
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)； 若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
高考一轮总复习•数学
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
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理清教材 强基固本

1 得 A(2－k，0)，B(0,1－2k)．
由|PA|·|PB|＝
(4＋4k2)(1＋k12)
＝
8＋4(k2＋k12)≥4.
当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值．
又 k＜0，∴k＝－1，这时 l 的方程是 x＋y－3＝0.
方法二：设∠BAO＝θ(0＜θ＜π2 )，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
6
6
＝5＋(a－3)＋a－3≥5＋2 (a－3)·a－3
＝5＋2 6，
当且仅当 a－3＝a－6 3，即 a＝3＋ 6时，a＋b 取得最小值 5＋2 6，
此时 b＝2＋ 6，直线 l 的方程为 x ＋ y ＝1， 3＋ 6 2＋ 6
即(2＋ 6)x＋(3＋ 6)y－12－5 6＝0.
1．(2008 年全国Ⅰ高考)若直线ax＋yb＝1 通过点 M(cos α，sin α)，
方程的形式 y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
已知条件
局限性
(x1，y1)为直线上一定 点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
k为斜率，b是直线在y
轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式 截距式 一般式
(x1≠x2且y1≠y2)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2，y2)是 不包括垂直于x轴和y轴
【方法点评】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或
记为：
(A2、B2、C2不为0)．
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(3)l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或

方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).

=

,

⋅

=
.所以



=
=


= +

≥ ,当且仅当


.所以直线的倾斜角为



=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =





− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;

当直线不过原点时，设直线方程为

+

−
= ≠ ,
因为直线过点 ,

,所以


,

= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈

[ , ].故选B.


D.[ , ]


.由于 ∈ [ , ]，所以


[ , ]，即倾斜角的取值范围是

（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公


+ = .

D. 零度角
2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有
()
A. ab>0，bc>0
B. ab>0，bc<0
C. ab<0，bc>0
D. ab<0，bc<0
3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有
()
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4. 直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点________．
()
答案：D
解析： 设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q. ∵q∈R，-1≤-cos q≤1，∴-1≤tan a≤1， ∴a∈ 0,434,
题型二 求直线的方程
【例2】 求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于
12的直线方程．
解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设
方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线
的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k¹0)．
当x=0时，y=4+3k，
当y=0时，x=-4 -3，
k
所以3k+4- 4 -3=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=1 - ，
k
3
所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-41 =- (x+3)，
一条直线的倾斜角a的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小 写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为 k=________.

(2)如图，∵kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取 值范围是_______13_，___3_____．
【解析】 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
角度 2：与直线有关的最值问题 【例 3】 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程． (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
【解】 设直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值 叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
ab·4ab＝9，当且仅当 a＝6，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为6x＋3y＝1，即 x＋2y－6＝0.
角度 3：由直线方程求参数值(范围)
【例 4】 已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线
的斜率 kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( C ) A．[－ 6， 6]
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)当 x＝－3 时，y＝0，所以直线过定点(－3，0)． (3)当 y＝0 时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．

知识点 2 直线在 y 轴上的截距 在直线 l 的斜截式方程 y＝kx＋b 中，我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0，b)的纵坐标_b_称为直线 l 在 y 轴上的截距．
4.直线ax2－by2＝1 在 y 轴上的截距是(
)
A．|b|
B．－b2
C．b2 B [令 x＝0，则 y＝－b2.]
D．±b
[解] 设直线方程为 y＝16x＋b，则 x＝0 时，y＝b；y＝0 时，x＝ －6b.
由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即 6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
[母题探究] 1．(变条件)本例的条件变为：已知△ABC 的三个顶点分别是 A(0， 3)，B(4，2)，C(2，1).若直线 l 过点 A，且将△ABC 分割成面积相等 的两部分，求直线 l 的斜截式方程．
[解] 设直线 y＝ 3x＋1 的倾斜角为 α，则 tan α＝ 3，又 α∈[0， π)，所以 α＝60°，
知识点 1 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x1，y1)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距_b_
图示
方程形式 y－y1＝___k_(_x_－__x1_适用条件
斜率存在
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．
(2)与 x 轴平行； [解] 与 x 轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即 y＝4. (3)与 x 轴垂直． [解] 与 x 轴垂直，斜率不存在，方程为 x＝3.
类型 2 直线的斜截式方程 【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，与 y 轴的交点坐标为(0，2)； [解] 由题意知直线在 y 轴上的截距为 2，由直线的斜截式方程可 知，所求直线方程为 y＝2x＋2.

设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0),
则有A（ 3 2 , 0）,B(0,2-3k), k
1 2 S ABO 2 3k (3 ) 2 k 1 4 [12 9k ] 2 k 1 4 1 [12 2 (9k) ] 12 12 12, 2 k 2 当且仅当 9k 4 , 即 k 2 时,等号成立，S△ABO取最小值12. k 3 此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.
（5）过点（a,0）和（0，b）的直线方程为 x y 1. ( ) a b （6）平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程.( )
【解析】（1）正确.直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的 倾斜程度，不能确定直线的位置. （2）错误.当倾斜角α=90°时，其斜率不存在. （3）错误.倾斜角是0°的直线有无数条. （4）错误.当斜率k不存在时，直线方程为x=1. （5）错误.当ab=0时，直线方程为x=0或y=0. （6）错误.当直线与x轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式
【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为
y 2 x 1 即3x+2y+1=0. ， 4 2 3 1 答案：3x+2y+1=0
6.过点M（3，-4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方
程为__________.
【解析】当在两坐标轴上截距均为0时，设方程为y=kx， 又过M(3,-4)，≨有-4=3k,得 k 4 , 3 4 ≨直线的方程为 y x. 3 当在两坐标轴上的截距均不为0时，
【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3时, 求 y 1 的取值范围. x 1
【解析】由 y 1 的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD上 x 1 任一点P(x,y)连线的斜率,如图. ≧线段的端点为C(2,4),D(3,2),

解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围 求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ， 并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算 公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜 式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能 【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则 直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足 的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待 定的系数，再由题设条件求出待定系数．

上的截距等于-3 3 .
4
4
3
3
【方法技巧】直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By=-Ax-C; ②当B≠0时,得斜截式:
A C y x . B B
(2)一般式化为截距式的步骤 方法一: ①把常数项移到方程右边,得Ax+By=-C; ②当C≠0时,方程两边同除以-C,得 ③化为截距式:
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. ( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. ( )
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示垂 直于x轴的直线. ( )
【解析】 (1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关
x y 1. C C A B
Ax By 1; C C
方法二: ①令x=0求直线在y轴上的截距b;
②令y=0求直线在x轴上的截距a;
③代入截距式方程
x y 1. 由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的 ,而两点式和点斜式 a b
不惟一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
令y=0得
【延伸探究】若题(2)中直线在y轴上的截距为1,试求m的值. 【解析】由题意得 4m 1
m m
2
1,
所以
m 0且m 1, 5 21 m m 0, 解得 5 21 所以m 2 . 2 . 4m 1 m m, m 2
3.求直线方程的常规要求 (1)求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一 般式. (2)对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y 的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项,含y项,常数项 顺序排列.