安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科数学试题

安徽六校教育研究会2021届高三第一次素质测试一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

新冠疫情俨然已成为二战以来全球最为严重的公共危机，其涉及国家之广，对于政治、经济、生活甚至生态环境影响之深，在不少方面已超过1929-1933年的大萧条。

新冠疫情何以会迅速蔓延全球?这对于世人究竟意味着什么?我们应该如何应对?全球化与技术化的发展具有两面性:一方面使得各国居民间的往来愈加便捷。

但是，另一方面，这也会推动新冠病毒在全球的迅猛传播，经济发达、交通便利、人口拥挤的大城市往往首当其冲。

从九省通衢的武汉、意大利最为富裕和现代化的伦巴第城市圈、英国的经济中心伦敦到世界之都纽约皆成为疫情的重灾区。

基于经济效益导向的全球产业链高度分工，因疫情供应链的突然中断，使得不少国家从N95口罩、医用棉签、防护服到呼吸机皆捉襟见肘，无法有效供给。

黑格尔曾言，遍览各民族的历史，我们可以得知，各民族未从历史中学到东西。

回眸过往，霍乱作为“十九世纪的世界病"，随着火车、轮船的发明肆虐全球，人口聚集而拥挤的大城市由于城市地下水系统匮乏、卫生设施薄弱，霍乱通过粪口途径广为传播，昔日的“全球化之都”伦敦首当其冲。

德国社会学家乌尔里希·贝克认为近代以来社会所依赖的各种技术手段与生产方式，其实都蕴含了众多风险。

如果说，过往阶级社会的驱动力可以概括为“我饿”，风险社会的驱动力可以表达为“我害怕"，焦虑的共同性代替了需求的共同性，“风险社会”由此产生。

一言以蔽之，全球化与技术化给世人带来生活便利的同时，也蕴含着深不可测的社会与技术的风险。

当前，如何应对新冠疫情这场全球性的公共危机，是世界许多国家政策议程所面临的首要问题。

基于全球新冠肺炎确诊数、感染率、治愈数、死亡数以及累积趋势的数据分析(时间截至2020年4月)，不少西方国家成为新冠肺炎的重灾区。

与此同时，有可能成为新冠肺炎重灾区的东亚主要国家与地区疫情防控，已见阶段性成效。

2021届安徽省合肥一中等六校教育研究会上学期第一次素质测试高三数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）A.φB.{|42}x x -<≤C.{ |4<<3}x x -D.{|12}x x -<≤ 【答案】D【解析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。

【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。

2．已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A ．2i --B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】D【解析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A.130,0a d dS >>B.130,0a d dS ><C.130,0a d dSD.130,0a d dS <<【答案】C【解析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零， 11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞． 故选：C ．【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A 1B C D 【答案】A【解析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e =本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程.5．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A ．23B ．43C ．13D ．213【答案】B 【解析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43．故选：B ．6．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

安徽六校教育研究会2021届高三第一次素质测试考试时间：120 分钟试卷分值：150 分注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

考试作答时，请将答案正确地填写在答题卡上。

第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷第一部分听力（共两节，满分 30 分）做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分）听下面 5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

Why does the man take a subway?The air in the subway is fresh. B. The traffic is too busy.C. The gas is too expensive.Where does the conversation take place?At the hotel. B. At the airport. C. At the bus stop. What does the man mean?He has had the same shoes.He doesn’t like the shoes.His wife doesn’t like the shoes.What is the woman’s attitude to the man’s quitting the course ?She respects it. B. She is against it.C. She supports it.When will Sally get her guitar back?On Friday. B. On Thursday. C. On Wednesday.第二节（共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分）听下面 5 段对话或独白。

安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学试题参考答案1．B 【思路点拨】首先解出两个集合，再根据交集的定义求A B【解析】22660x x x x >-⇔--<，解得：23x -<<， 即{}23A x x =-<<，5222x<=，解得：52x <，即52B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，52,2AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故选：B2．D 【思路点拨】由复数除法化简复数为代数形式，然后由复数的分类求解．【解析】2()(2)222122(2)(2)555a i a i i a ai i i a a i i i i ++++++-+===+--+，它为纯虚数， 则2105a -=且205a +≠，解得12a =． 故选：D ．3．B 【思路点拨】模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件得出结论．【解析】程序运行时变量值在循环体变化如下：1,1,1a S n ===，判断不满足4?n >；3,4,2a S n ===，判断不满足4?n >；5,9,3a S n ===，判断不满足4?n >；7,16,4a S n ===，判断不满足4?n >；9,25,5a S n ===，满足4?n >，输入25S =．故选：B ．4．C 【思路点拨】频率分布直方图中求出频率0.5对应的数值即可得．【解析】由频率分布直方图在区间[10,60)上的频率为(0.0040.012)250.4+⨯=，中位数在[60,85)上，设中位数为x ，600.50.4250.01625x --=⨯，解得66.25x =． 故选：C ．5．D 【思路点拨】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，即可判断各选项是否正确.【解析】对于A ，若//m α，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误； 对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若//m α，//n β，//m n ，则//αβ，或平面α与平面β相交，所以C 错误； 选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确. 故选:D.【名师指导】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．B 【思路点拨】先分配甲，按甲分到D 班和不分到D 班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．【解析】甲分到D 班，有336A =种方法；甲分到B 或C 班，有方法数1122228C C A =，总共有方法数为6814+=种． 故选：B ．【名师指导】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，安排甲时需分类讨论：甲安排在D 班时，另外三人随便安排即可，甲安排在BC 两班之一，由丁只有两个班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论． 7．B 【思路点拨】由函数()()x f x ωϕ=+()()0,0,ωϕπ>∈的最小正周期为2π可计算出4ω=，然后根据三角函数图象的平移变换规律及三角函数的图象与性质得到关于ϕ的方程，即可得解． 【解析】由题意得242πωπ==，故()()4f x x ϕ=+，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数24463y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，由243y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数得232k ππϕπ-+=+，k ∈Z 得76k πϕπ=+，k ∈Z ， ()0,ϕπ∈，6π=ϕ，故选：B ．【名师指导】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学推理学习情境．考查逻辑思维能力和运算求解能力． 8．B 【思路点拨】计算出12c =，然后由指数函数和幂函数的性质比较,a b 与12的大小．【解析】91log 32c ==，121553422933b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11554119322b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<． 故选：B ．【名师指导】本题考查幂和对数的大小，掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题关键．能利用函数单调性的利用单调性比较，不能利用函数的单调性的或不同类型的数的可以与中间值如0或1等比较，本题对数值为12，然后把幂与12比较可得． 9．C 【思路点拨】由10AF =求出A 点坐标，求出O 关于准线的对称点P ，线段PA 的长就是所求最小值．【解析】易知抛物线28x y =的焦点为(0,2)F ，准线为:2l y =-，设(,)A x y ，不妨设0x >，210AF y =+=，8y =，则2864x y ==，8x =，O 关于准线l 的对称点为(0,4)P -，MA MO MA MP AP +=+≥，当且仅当,,A M P 三点共线时，等号成立，AP ==所以|MA |+|MO |的最小值为 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查直线上动点到两定点距离和的最小值问题，根据是平面上两点间线段最短，解题方法是利用对称性求出其中一个定点关于定直线的对称点，然后求出这个对称点与另一定点的距离即为最小值．10．C 【思路点拨】确定函数()f x 的性质，作出函数()f x 的图象，解方程(())30f f x +=时，先确定()3=-f t 的解t ，并确定解的范围，然后再研究()f x t =的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用．【解析】作出函数()f x 的图象，0x <时，1()2f x x x=+≤-（1x =-时取等号），(,1)-∞-上()f x 递增，(1,0)-上()f x 递减，(0,)+∞上()f x 递增，由图象可知()3=-f t 有三个解123,,t t t ，不妨设12310t t t <-<<<，由于1(2)232f -=-->-，因此12t <-， 于是1()f x t =有3个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有一个解，共5个解． 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查方程的根与函数零点个数问题，解题方法是用换元法把方程的解的个数转化转化为函数图象与直线交点个数，转化是解决这类问题的关键．11．C 【思路点拨】分析出等差数列{}n a 的公差大于零，由87<1a a -分析出70a <，780a a +>，可得出130S <，140S >，进而可得出结果.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，87<1a a -，所以，8787710a a aa a ++=<，可得()7780a a a +<，由于等差数列的前n 项和n S 有最小值，且2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则02>d，即0d >， 所以，78a a <，若70a >，则870a a >>，这与()7780a a a +<矛盾，所以，70a <，780a a +>， 则()113137131302a a S a +==<，()()114147814702a a S a a +==+>，因此，当0n S <时，n 的最大值为13.故选：C.【名师指导】方法点睛：对于等差数列前n 项和的最值，可以利用如下方法求解： （1）将n S 表示为有关n 的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理； （2）从项的角度出发：①若n S 有最大值，只需将数列{}n a 中所有的非负项全部相加； ②若n S 有最小值，只需将数列{}n a 中所有的非正项全部相加.12．A 【思路点拨】利用导数确定函数是减函数，证明()(2)1f x f x +-=，这样不等式可化为12()()f x f x ≤形式再利用单调性可解．【解析】22111()()22x xx x e f x eee e --'=--+=-++，212x x e e e e+≥=，（当且仅当21xx e e e=，即1x =时等号成立）， 所以21()02f x e '≤-+<．所以()f x 是减函数．2211()(2)(2)22x x x x f x f x e e x e e x ---+-+-=-++-+-1=，即1()(2)f x f x -=-， 不等式(2020)(20212)1f x f x ++-≤化为(20212)1(2020)(22020)f x f x f x -≤-+=--，又()f x 递减，所以2021222020x x -≥--，解得4039x ≤． 故选：A ．【名师指导】方法点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的性质，首先利用导数确定函数的单调性，然后对函数式进行变形得()(2)1f x f x +-=，这是解题的关键．由此性质不等式可化为(20212)(2018)f x f x -≤--，这样再利用单调性解出不等式．13【思路点拨】求出a b -，再由模的坐标表示计算．【解析】由题意(3,5)a b -=--==14．17【思路点拨】设角α为锐角，利用同角三角函数的基本关系可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可求得0cos x α=的值. 【解析】不妨设α为锐角，即02πα<<，所以，5336πππα，所以，sin 314πα⎛⎫+==⎪⎝⎭ 所以，01cos cos cos 33233x ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112147⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：17.15．【思路点拨】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【解析】由已知224,8a b ==，所以4823c =+=，即12(23,0),(23,0)F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=， 12113sin 32832322AF F S mn π==⨯⨯=△． 故答案为：83．【名师指导】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16．20π．【思路点拨】证明EF ⊥平面ADF ，从而得EF AF ⊥，再由90ABE ∠=︒，得AE 的中点O 是三棱锥F ABE -的外接球的球心，求出球半径后可得表面积．【解析】∵BE EF ⊥，//AD BE ，∴EF AD ⊥，又EF FD ⊥，AD FD D =，,AD FD ⊂平面ADF ，∴EF ⊥平面ADF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴EF AF ⊥，而90ABE ∠=︒，∴AE 的中点O 到四点,,,A B E F 的距离相等，即为三棱锥F ABE -的外接球的球心，AE 为球直径，又22224225AE AB BE =+=+=，∴外接球表面积为()22445202AE S πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：20π．【名师指导】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是找到外接球球心，求得球的半径．一般三棱锥外接球球心一定在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．如果三棱锥的面是直角三角形，则外心更易找到，从而外接球球心也易找到． 17．【思路点拨】（1）首先根据正弦定理，边角互化，可得22212a b c -=，再结合余弦定理求得ac ，最后计算ABC 的面积；（2）首先将正切化为正余弦，再利用正余弦定理化为边，最后代入22212a b c -=，化简求值. 【解析】（1）因为2222sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理，22222b c a +=，即22212a b c -=，若3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又22212a b c -=，所以232ac c =，而2c =，所以6ac =，所以1sin 22ABCSac B ==. （2）由22212a b c -=，知222222222222223tan sin cos 2231tan sin cos 22a c b c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c bc+-+-=====+-+-. 【名师指导】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．【思路点拨】（1）首先计算城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数，再补全22⨯列联表，并根据参考数据计算2K ，和临界数据比较，作出判断；（2）首先根据列联表分析，在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，再利用超几何分析求分布列和数学期望.【解析】（1）设城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数为n ，则1604n n =+，解得：20n =，再根据22⨯列联表依次补全表格()22160204040603210.6677.8791006080803K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X 的可能取值为0，1，2.()0242261015C C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()204226225C C P X C ===. 所以X 的分布列为：X 的数学期望()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】关键点点睛：本题第二问的关键是根据列联表，可知偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，然后可知抽取的6人中的农村和城市学校个数，再按照超几何分布列表计算.19．【思路点拨】（1）要证明面面垂直，首先SAC 中求SA ，利用边长证得SA AC ⊥，再利用三角形全等，可证明SA ⊥平面ABC ；（2）方法一，向量坐标法，以A 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，分别求平面ABD 和SAB 的法向量,m n，利用公式cos ,m n m n m n⋅=求解；方法二，几何法，利用垂直关系作出二面角的平面角，直接求正弦值.【解析】（1）因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC 是等边三角形，所以3DCA π∠=，所以SA =，所以222SC SA AC SA AC =+⊥，.又SAB SAC ≌，得SA AB ⊥，又AB AC A ⋂=，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC .（2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3,0)C ，3)S ，所以13(3)22D ，， 所以(2,0,0)AB =，13322AD =(，). 设(,,)m x y z =为平面ABD 的法向量，由0,0.m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20,1330.22x yx z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令1z =,得()0,2,1m =-.而平面SAB 的一个法向量(0,1,0)n =，所以25cos ,5m n m n m n⋅==-. 设二面角S AB D --的平面角为θ，则5sin 5θ=. 方法2：取AC 中点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，过点E 作EF AB ⊥于F ，连接DF ，DFE ∠为二面角D AB C --的平面角.在Rt DEF △中，3DE =32EF =，152DF =，所以5cos EF DEF DF ∠==， 因为二面角S AB D --的平面角与二面角D AB C --的平面角互余， 所以二面角S AB D --5【名师指导】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20．【思路点拨】（1）分别求,b c ，再利用222a b c =+，求椭圆方程；（2）首先设直线l 方程为：+1y kx =，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用两点间距离表示22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再化简，代入根与系数的关系求k . 【解析】（1）由已知得24b =，得2b =，4c =，22220a b c =+=，所以椭圆C 的方程为221204x y +=. （2）易知直线l 斜率存在，设直线l 方程为：+1y kx =. 联立2212041x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(15)10150k x kx ++-=，则2400600k ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221015k x x k +=-+，1221515x x k =-+. ∵OP OQ =，∴22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即：[]12121212()()()()4x x x x k x x k x x -+=--++.∵12x x ≠，∴21212()()40x x k x x k ++++=， ∴3221010401515k k k k k --+=++，解得10k =，2k =，3k = 所以满足条件的直线l 方程为：1y =、1y x =+和1y x =+. 【名师指导】关键点点睛：本题考查直线与圆锥曲线相交问题，常规步骤是直线与椭圆联立后得到根与系数的关系后，利用两点距离得到22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简是关键，利用平方差公式和点在直线上化简，求值.21．【思路点拨】（1）求出导函数()'f x ，按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）0x ≥时不等式成立，在0x <时，首先217()232f x x ++作为a 的函数是递减的，只要证明1a =时不等式成立即可，为此令()217232x h x e x x =+++（0x <），求出导函数()h x '，为了确定它的正负，需要对其进行再次求导（再引入一个函数，求导），由零点存在定理确定()h x '的零点0x 的范围，得min 0()()h x h x =，再证明最小值0()0h x >，可能要对0x 进一步缩小，才可得证．【解析】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+. ①当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=得()ln x a =-，且()ln x a <-时()0f x '<，()f x 单调递减；()ln x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增.综上，0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；0a <时，()f x 在()(),ln a -∞-单调递减，在()()ln ,a -+∞单调递增. （2）证明：①当0x ≥时，显然有()2170232f x x ++>； ②当0x <时，令()()221717232232x g a f x x xa e x =++=+++在01a ≤≤时单调递减，所以只需证明()10g >，即2170232x e x x +++>. 令()217232x h x e x x =+++（0x <），则()()1x x h x e x ϕ'==++，显然()x ϕ单调递增（()10xx e ϕ'=+>），()20ϕ-<，()10ϕ->，所以存在唯一()02,1x ∈--，使()00x ϕ=，且()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()h x 单调递减；()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>，()h x 单调递增，所以()()0h x h x ≥.因为()00x ϕ=，所以0010x e x ++=，即()001xe x =-+， 所以()()()0222000000017171251232232232x h x h x e x x x x x x ≥=+++=-++++=-. 又因为5ln 42ln 220.6934=≈⨯>，所以544e <，所以54511044e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，从而052,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以220125152502322432x ⎛⎫->⨯--= ⎪⎝⎭. 所以()0h x >，故待证不等式成立.【名师指导】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是转化．首先分类，0x ≥时不等式恒成立，在0x <时，先把参数a 作为主元，讨论后发现只要1a =时不等式成立即可，1a =时，引入新函数，求其最小值，证明最小值大于0，证明时由于最小值点不能求出，因此设为0x ，由零点存在定理得出0x 的范围，然后证明出结论．22．【思路点拨】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【解析】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=．∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=． （2）曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C上的动点为,sin M αα）， 则2C 上的动点到1C距离|2sin()6|d πα+-==．∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C距离的最大值是∴2C 上的动点到1C距离的取值范围是⎡⎣． 【名师指导】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【解析】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增， 所以min ()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤， 所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <， 所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【名师指导】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。

安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={1,3，zi }，i 为虚数单位,B={4}，A ∪B=A 则复数z =（ ）A ．-2iB ． 2i C.-4i D.4i 2.“2x =(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是（ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ4.在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ,28466,5a a a a •=+=,则57a a =（ ） A ．56 B ．65C ．23D ．325. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．||()x f x x= B ．()2()lg1f x x x =+C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．221()1x f x x-=+ 6. 已知正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH|<2的概率为（ ）A ．8π B ．184π+ C ．4π D ．144π+7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ） A. ()2log log 2e e ππ+> B. log log 1e e ππ> C. e e e e ππ->- D. ()3334()e e ππ+<+8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关是是否否开始()f x 输入()()0?f x f x +-=()f x 有零点？()f x 输出结束于原点对称的两点，AF 的中点为M,BF 的中点为N,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为377，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．49. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含,x y 正半轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。

安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测（数学理）doc高中数学 数学试题〔理科〕〔考试时刻：120分钟总分值：150分〕本卷须知：1．选择题用答题卡的考生，答第1卷前，务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．选择题用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，填在答题卷相应的选择题栏上。

3．答第二卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置；答题时，请用0.5毫米的黑色签字笔直截了当答在答题卷上，不要在试题卷上答题。

4．考试终止，监考人将答题卷和答题卡一并收回，第I 、Ⅱ卷不收回。

第一卷〔总分值50分〕一、选择题〔本大题共l0题，每题5分，共50分；在每题给出的4个选项中，只有一是符合题目要求的〕 1．复数5(3)2iZ i i=-+-在复平面内的对应点位于 〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合2{1,0,4},A N =-≤∈集合B={x|x -2x-30,x }， 全集为U ，那么图中阴影部分表示的集合是〔 〕 A ．{4} B ．{4，—1} C ．{4，5} D ．{—1，0} 3．以下命题：①,x ∀∈R 不等式2243x x x +>-成立; ②假设2log log 22x x +≥ ，那么x>1; ③命题〝00,c ca b c a b>><>若且则〞的逆否命题；④假设命题p: 2,11x x ∀∈+≥R ，命题q ：2,210x x x ∃∈--≤R ，那么命题p q ∧⌝是真命题.其中真命题只有〔 〕A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．假如执行如图的程序框图，那么输出的值是〔 〕A ．2018B ．—1C ．12D ．25．从四棱锥S —ABCD 的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为〔 〕A ．17B ．12 C ．27D ．476．某一几何体的正视图与侧视图如图，那么在以下图形中，能够是该几何体的俯视图的图形有 〔 〕 A ．①②③⑤ B ．②③④⑤ C ．①②④⑤D ．①②③④ 7．函数2ln 2(0)()21(0)x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．38．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆221(2)x y=-+都相切，那么双曲线C 的离心率是 〕A ．632或B ．23或C ．2323或 D ．23632或 9．如图，△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE交于F ，设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+则 为 〔 〕 A ．11(,)32B ．11(,)43C ．33(,)77D ．29(,)52010．函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分不为1212(),(),,f x f x x x 若分不在区间〔0，1〕与〔1，2〕内，那么21b a --的取值范畴是 〔 〕A ．〔一1，一14〕B ．〔—∞，14〕∪〔1，+∞〕C ．〔1,14〕 D ．〔2,24〕第二卷〔总分值100分〕二、填空题〔本大题共5题，每题5分，共25分；把答案填在题中横线上〕 11．在20171(2)x x x-+-的展形式中含项的系数是 。

安徽省合肥市2020年高三第一次教学质量检测（数学理科）doc 高中数学数学〔理科〕试题〔考试时刻：120分钟，总分值150分〕一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的，〕 1．不等式21x <的解集为A ．{|11}x x -<<B ．{|1}x x <C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x x <->或2．复数21iz i=+的共轭复数z = A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．曲线2242110x y x y +---=上到直线3450x y ++=距离等于1的点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．sin 2cos x x =，那么2sin 1x +=A ．65 B ．95 C ．43D ．535．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >同时110S =，假设n k S S ≤对n N *∈恒成立，那么正整数k 构成集合为A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}6．将A ．B ．C ．D ．Ｅ排成一列，要求A ．B ．C 在排列中顺序为〝A ．B ．C 〞或〝C ．B ．A 〞〔能够不相邻〕，如此的排列数有〔 〕种。

A ．12B ．20C ．40D ．607．命题：〝假设120k a k b +=那么120k k ==〞是真命题，那么下面对,a b 的判定正确的选项是A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b正视图侧视图俯视图18．一个空间几何体的三视图及部分数据如下图，那么那个几何体的体积是A ．3B ．52C ．2D ．329．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm ，把一枚半径为１cm 的硬币任意平掷在那个平面，那么硬币不与任何一条平行线相碰的概率是A ．14 B ．13 C ．12D ．2310．曲线1y x =与直线14x x ==、及x 轴所围成的区域的面积是A ．34B ．ln 2C ．2ln 2D ．ln21-11．如图，该程序运行后输出的结果为A ．14B ．16C ．18D ．6412．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，那么a 的取值范畴是 A．(,(1,2]-∞B．[1)[2,)-+∞C ．D ．)+∞二．填空题：〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上〕 13．18(x 展开式中的常数项为___________. 14．写出命题：〝对任意实数m ，关于x 的方程x 2+x+m = 0有实根〞的否定为：___________________15．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，同时通过另一顶点的椭圆的离心率为________. 16．观看下表的第一列，填空三．解答题〔本大题共6个小题，共74分。

2020届安徽省六校教育研究会高三第一次调研考试数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C.D.4.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位5.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知定义在R 上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系（ ）A. B. C. D.7.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A.（-3，3） B.（-6，6）C.（）D.（）8.函数的图象可能是9.若函数的图象过点，则（ ）A. 点是的一个对称中心 B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.11.若平面向量，满足，且，，则（ ）A. 5B.C. 18D. 25 12.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.D.第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2021-2022学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次素质测试数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈N|x2−8x+12<0}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=()A. {x|3≤x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4，5}2.复数z=(√3−i)(1+i)2，则|z|=()A. 4√2B. 4C. 2√3D. 2√23.一个至少有3项的数列{a n}中，前n项和S n=12n(a1+a n)是数列{a n}为等差数列的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是()A. 经过三点确定一个平面B. 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D. 一个三棱锥四个面可以都为直角三角形5.二项式(x+1)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为20，则n=()A. 7B. 6C. 5D. 46.将点A(−35,45)绕原点逆时针旋转π4得到点B，则点B的横坐标为()A. −7√210B. −6√25C. −√210D. √2107.已知抛物线y2=2px(p>0)，A和B分别为抛物线上的两个动点，若∠AOB=π2(O 为坐标原点)，弦AB恒过定点(4,0)，则抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x8.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为()A. 932B. 58C. 38D. 7169. 把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有( )A. 20个B. 62个C. 63个D. 64个10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15.如图所示． 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n 2填入n ×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数的和为N n ，如图三阶幻方记为N 3=15，那么N 11的值为( )A. 670B. 671C. 672D. 67511. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，过F 2的直线交双曲线于M ，N 两点(M 在第一象限)，若ΔMF 1F 2与ΔNF 1F 2的内切圆半径之比为3：2，则直线MN 的斜率为( )A. √6B. 2√6C. √3D. 2√312. 设a =2√e ，b =2ln2，c =e 24−ln4，则( )A. c <a <bB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ +b ⃗ =(1,3)，则|a ⃗ −b ⃗ |=______． 14. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，AE 是△ABC 的高线，则异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为______．15. 正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔⋅威发首先引入．sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割secα=1cosα，余割cscα=1sinα.已知t >0，且sec 2x +tcsc 2x ≥16对任意的实数x(x ≠kπ2,k ∈Z)均成立，则t 的最小值为______．16. 已知函数f(x)={|x +3|,x ≤02x 3−6x +3,x >0，设g(x)=kx +52，且函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）(4n−1)(n∈N∗)，设b n=log2a n．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=23(1)分别求{a n}和{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{1(b n+1)(b n+3)18.三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3+c3=b2a+b2c.(1)求B；(2)若b=√3，求△ABC的面积最大值．19.近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%.为掌握某校学生近视情况，从该校高三(1)班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．(1)用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(2)设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A发生的概率．20.如图，在多面体ABCEFM中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=π2，四边形ABFE为矩形，AE⊥面ABC，AE//CM，AE=AC=2CM=6，N为AB 中点，面EMN交BC于点G．(1)求CG长；(2)求二面角B−EG−N的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且ΔPF1F2面积的最大值为3√2．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F2作与x轴不垂直的直线l1交椭圆于A，B两点，第一象限点M在椭圆上且满足MF2⊥x轴，连接MA，MB，记直线AB，MA，MB的斜率分别为k，k1，k2，探索k1+k22−k是否为定值，若是求出；若不是说明理由．22.设p，q>1，满足1p +1q=1.证明：(1)对任意正数x，有x pp +1q≥x；(2)对任意正数a，b，有a pp +b qq≥ab．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为集合A={x∈N|x2−8x+12<0}={x|2<x<6,x∈N}={3,4，5}，又B={x|log2(x−1)<2}={x|1<x<5}，所以A∩B={3,4}．故选：C．先求出集合A，B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了交集及其运算，一元二次不等式以及对数不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=(√3−i)(1+i)2=(√3−i)(2i)=2+2√3i，∴|z|=√22+(2√3)2=4．故选：B．根据已知条件，运用复数的运算法则化简z，再求出z的模即可．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若S n=12n(a1+a n)，则当n≥2时，S n−1=12(n−1)(a1+a n−1)，两式相减得，2a n=n(a1+a n)−(n−1)(a1+a n−1)，即(n−1)a n−1=a1+(n−2)a n①，当n≥3时，(n−2)a n−2=a1+(n−3)a n−1②，①−②得，2(n−2))a n−1=(n−2)(a n+a n−2)，∴2a n−1=a n+a n−2，∴数列{a n}为等差数列，∴充分性成立，若数列{a n}为等差数列，则S n=12n(a1+a n)显然成立，∴必要性成立，∴前n项和S n=12n(a1+a n)是数列{a n}为等差数列的充要条件，利用等差中项法判断充分性，又必要性显然成立，可判断出结论．本题考查了等差数列的定义、等差中项法的应用、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：对于A：经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B：由多个三角形构成的多面体不一定是三棱锥，故B错误；对于C：各侧面都是正方形的棱柱，底面为菱形的四棱柱不是正棱柱，故C错误；对于D：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形，如图所示：故选：D．直接利用锥体的定义和性质，正四棱柱体的定义的应用求出结果．本题考查的知识要点：锥体的定义和性质，正四棱柱体的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵二项式(x+1)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为C n3=20，则n=6，故选：B．由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数，再根据展开式中x3的系数为20，求得n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．【解析】解：设直线OA的倾斜角为θ，则sinθ=45√(−35)2+(45)2=45，cosθ=−35，则cos(θ+π4)=cosθcosπ4−sinθsinπ4=(−35)×√22−45×√22=−7√210．则点B的横坐标为−7√210．故选：A．设直线OA的倾斜角为θ，利用任意角的三角函数的定义可求sinθ，cosα的值，进而由题意根据两角和的余弦公式即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设l：x=my+4，代入y2=2px，得y2−2pmx−8p=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=−8p，则x1x2=y12y224p2=16．∵∠AOB=π2(O为坐标原点)，∴x1x2+y1y2=0，即16−8p=0，解得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x；故选：B．设l：x=my+4，代入y2=2px，得y2−2pmx+4p=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理结合向量的数量积求解p，即可得到抛物线方程；本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则GF=1，EF到DE的距离d=12，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×2×1−1×12=52，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S=5222=58．故选：B．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C61个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C62个，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故满足条件的总个数为C61+C62+C63+C64+C65=62个．故选：B．从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C61个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C62个，以此类推，对所求的结果求和，即可求解．本题主要考查组合及简单计数问题，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，N n=1n [1+2+3+⋯…+(n2−1)+n2]=1n×(1+n2)×n22=(1+n2)⋅n2，故N11=(1+121)×112=671．故选：B．根据等差数列的前n项和公式，求出N n的通项公式，然后代入n=11进行计算即可．本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n项和公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设△MF 1F 2的内切圆为圆O 1，与三边的切点分别为A ，B ，C ， 如图所示，设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ， 由双曲线的定义可得{(m +n)−(m +t)=2a n +t =2c ， 所以n =a +c ，由此可知，在△MF 1F 2中，O 1B ⊥x 轴于点B ，同理可得O 2B ⊥x 轴于点B ， 所以O 1O 2⊥x 轴，过圆心O 2作CO 1的垂线，垂足为D ，因为∠O 2O 1D +∠BF 2C =180°，∠BF 2C +∠CF 2x =180°， 所以∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，设ΔMF 1F 2与ΔNF 1F 2的内切圆半径r 1、r 2之比为3：2，因为r 1r 2=32，不妨设r 1=3，r 2=2，则O 2O 1=3+2=5，O 1D =3−2=1， 在Rt △O 2O 1D 中，O 2D =√52−12=2√6，所以tan∠O 2O 1D =O 2DO 1D =2√6，故直线l 的斜率为2√6． 故选：B ．设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ，利用双曲线的定义可得n =a +c ，作出图形，结合图形分析，可知∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出tan∠O 2O 1D ，即可得到直线l 的斜率．本题考查直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为∠O 2O 1D 进行求解，考查数形结合法的运用，逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设f(x)=xlnx ，则a=√eln√e=f(√e)，b=f(2)，c=e2ln(e22)2=f(e22)．因为f′(x)=lnx−1(lnx)2，所以当1<x<e时，f′(x)<0；当x>e时，f′(x)>0．所以f(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增．因为f(2)=f(4)，且1<√e<2<e<e22<4，所以f(√e)>f(2)=f(4)>f(e22)，即a>b>c．故选：D．构造函数f(x)=xlnx，利用函数单调性判断a，b，c的大小．本题考查利用函数的单调性比较大小，属于中档题．13.【答案】2√2【解析】解：由a⃗+b⃗ =(1,3)，可得|a⃗+b⃗ |=√10，那么(|a⃗+b⃗ |)²=10，即a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =10，∵|a⃗|=|b⃗ |=2，∴2a⃗⋅b⃗ =2；∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2−2a⃗⋅b⃗ =√10−2=2√2；故答案为：2√2．根据a⃗+b⃗ =(1,3)，可得|a⃗+b⃗ |=√10，则|a⃗−b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2−2a⃗⋅b⃗ ，即可求解．本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法，属于基础题．14.【答案】√336【解析】解：在棱长为2的正四面体ABCD中，AE是△ABC的高线，取AD，EC和AC的中点N，G，F，连接NG，GF，NF，可得NG//CD，GF//AE，异面直线AE和CD夹角的平面角为∠FGN，作正四面体的高DO ，且DO =2√63，O 落在AE 的三等分点上，作NM 垂直AE ，可得NM//DO ；且NM =√63，NM ⊥△ABC ，在△EMF 中，可得EM =2√33，EF =12，∠MEF =90°，∴MF =√1912；∵NM ⊥△ABC ，∴△NMF 是直角三角形， ∴NF =32；在△GNF 中，NF =32，NG =1，GF =√32余弦定理可得cos∠FGN =2√3；那么异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为√336．故答案为√336．作直线AE 和CD 的平行线在同一平面的夹角，即为异面直线AE 和CD 夹角，根据余弦定理求解余弦值，从而可得夹角的正弦值．主要考查了空间直线与直线形成的空间角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题15.【答案】9【解析】解：sec 2x +tcsc 2x =(sec 2x +tcsc 2x)(sin 2x +cos 2x) =sin 2xcos 2x +t +1+cos 2xsin 2x t ≥t +1+2√t ，当且仅当sin 2xcos 2x =cos 2x sin 2xt 时，取等号，∵sec 2x +tcsc 2x ≥16 ∴t +1+2√t ≥16 解得：t ≥9或t ≤−25(舍) 故答案为：9．运用基本不等式求解，巧用“1”，sin 2x +cos 2x =1，运用基本不等式化简(sec 2x +tcsc 2x)(sin 2x +cos 2x)，即可求出t 的范围．本题考查了基本不等式中巧用“1”的做题方法，属于基础题．16.【答案】(−92,56)【解析】解：当x >0时，f(x)=2x 3−6x +3， ∴f′(x)=6x 2−6=6(x 2−1)=6(x +1)(x −1)，若x ∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；若x ∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 且f(0)=3，f(1)=−1，则画出f(x)的大致图像，如图所示：，函数g(x)=kx +52恒过点(0,52)，要使函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可，且交点不可为(−3,0)和切点， ①当k >0时，若g(x)=kx +52过点(−3,0)，则k =56， ∴0<k <56，②当k =0时，符合题意，③当k <0时，在(0,+∞)内，只需要求出过定点(0,52)与函数图像的切线的斜率即可，设切点坐标为(x 0,y 0)，则{y 0=2x 03−6x 0+3y 0−52x=6x 02−6， 解得{x 0=12y 0=14，∴切线的斜率为6x 02−6=−92， ∴−92<k <0，综上所述，实数k 的取值范围为(−92,56)， 故答案为：(−92,56).函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，转化为当x >0时，函数y =f(x)−g(x)的值有正有负，当x <0时，函数y =f(x)−g(x)的值也要有正有负，所以f(x)与g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可，且交点不可为(−3,0)和切点，画出函数f(x)的大致图像，利用数形结合法求k 的取值范围即可．本题主要考查了分段函数的应用，考查了求切线方程，同时考查了数形结合的思想，是中档题．17.【答案】解：(1)S n =23(4n −1)(n ∈N ∗)，当n =1时，可得a 1=2；由a n =S n −S n−1(n ≥2)， 可得a n =23(4n −1)−23(4n−1−1) =2⋅4n−1，当n =1时，a 1=2⋅41−1=2，满足； ∴数列{a n }的通项公式a n =2⋅4n−1； 又∵b n =log 2a n ， ∴b n =2n −1；故得数列{b n }的通项公式b n =2n −1． (2)由(1)可知b n =2n −1， 设数列{1(bn +1)(b n +3)}={c n }，那么c n =12n⋅(2n+2)=14(1n −1n+1) ∴数列{1(b n +1)(b n+3)}的前n 项和T n =14(1−12+12−13+⋯…+1n −1n+1)=14(1−1n+1)．【解析】(1)根据a n =S n −S n−1，即可求解{a n }的通项公式；再结合b n =log 2a n ，从而求解{b n }的通项公式； (2)将b n 带入数列{1(bn +1)(b n +3)}，对其进行裂项处理，即可求解前n 项和T n ．本题考查了数列的通项公式和求和公式，关键是裂项，考查了转化能力和分析能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为a 3+c 3=b 2a +b 2c ，所以(a +c)(a 2−ac +c 2)=b 2(a +c)， 所以a 2−ac +c 2=b 2，即a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理知，cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac=12，因为B ∈(0,π)， 所以B =π3．(2)由(1)知，a 2+c 2−b 2=ac ， 因为b =√3，所以a 2+c 2−3=ac ，所以a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，即ac ≤3， 所以S =12acsinB ≤12×3×√32=3√34， 故△ABC 的面积最大值为3√34．【解析】(1)利用立方和公式化简原等式，可得a 2+c 2−b 2=ac ，再由余弦定理，得解； (2)结合(1)中结论可得a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，知ac ≤3，再由S =12acsinB ，得解． 本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式与立方和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，又P(X =k)=C 4k C 33−kC 73(k =0,1,2,3)，所以X 的分布列为：则X 的数学期望为E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(2)设B 为事件“抽取的3人中，不近视2人，近视1人”， 设C 为事件“抽取的3人中，不近视1人，近视2人”， 则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，所以P(A)=P(B ∪C)=P(X =2)+P(X =1)=1235+1835=67，故事件A 发生的概率为67．【解析】(1)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； (2)利用互斥事件的概率公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，互斥事件有一个发生的概率公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)如图，延长EM 、AC ，设EM ∩AC =H ，连接BH ，∵AE//CM ，且AE =2CM ，∴C 为AH 的中点， 则BC 为△ABH 的中线， ∵N 为AB 的中点，∴HN 为为△ABH 的中线，又HN ∩BC =G ，∴G 为△ABH 的重心， 故BG ：GC =2：1， 由BC =6，知CG =2；(2)以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CM 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则B(0,6，0)，G(0,2，0)，E(6,0，6)，N(3,3，0)， GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−2,6)，GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,0)， 设平面GBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y =0m ⃗⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6x −2y +6z =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)； 设平面GNE 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{n⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6x 1−2y 1+6z 1=0n ⃗ ⋅GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1+y 1=0，取x 1=1，得n⃗ =(1,−3,−2)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−3√2×√14=−3√714． 由图可知，二面角B −EG −N 为锐角， ∴二面角B −EG −N 的余弦值为3√714．【解析】(1)延长EM 、AC ，设EM ∩AC =H ，连接BH ，证明BC 为△ABH 的中线，HN 为为△ABH 的中线，可得G 为△ABH 的重心，则CG 可求；(2)以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CM 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面GBE 的法向量与平面GNE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −EG −N 的余弦值．本题考查空间中两点间的距离的求法，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)∵椭圆的离心率为√63，ΔPF 1F 2面积的最大值为3√2， ∴{ e =ca =√6312b ⋅2c =3√2a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =√3， 故椭圆的方程为x 29+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵MF 2⊥x 轴， ∴M(√6,1)．设直线l 1的方程为y =k(x −√6)，联立直线l 1与椭圆方程{y =k(x −√6)x 29+y 23=1，化简整理可得，(3k 2+1)x 2−6√6k 2x +18k 2−9=0，由韦达定理可得，x 1+x 2=6√6k 23k 2+1，x 1x 2=18k 2−93k 2+1，∴k 1+k 22=12(1x −√62x −√6)=12[1√6)−1x −√62√6)−1x −√6]=12[2k −(x −√6x−√6)]=12[2k 12√6(x −√6)(x −√6)]=12[2k −−2√63k 2+1−33k 2+1]=12[2k −2√63]=k −√63， ∴k 1+k 22−k =−√63， 故k 1+k 22−k 为定值，定值为−√63．【解析】(1)由已知条件椭圆的离心率为√63，ΔPF 1F 2面积的最大值为3√2，列出方程，即可求解．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由MF2⊥x轴，可得M(√6,1)，设直线l1的方程为y=k(x−√6)，联立直线与椭圆方程，可得(3k2+1)x2−6√6k2x+18k2−9=0，再结合韦达定理和斜率公式，即可求解．本题主要考查了直线与椭圆的综合，需要学生较强的综合能力，属于难题．22.【答案】证明：(1)令f(x)=x pp +1q−x(x>0)，则f(1)=0，求导可得f′(x)=x p−1−1，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，故对任意的x>0，恒有f(x)≥f(1)=0，即得证．(2)令f(x)=x pp +b qq−bx(b>0)，则f(a)=a pp+b qq−b q=0，f′(x)=x p−1−b，当0<x<b1p−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>b1p−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x=b1p−1处取得极小值，f(b1p−1)=bpp−1p+b qq−b⋅b1p−1=bqp+b qq−b q=0，其中q=pp−1，故对任意x>0，f(x)≥f(b1p−1)=0，特别f(a)≥0，即得证．【解析】(1)令f(x)=x pp +1q−x(x>0)，则f(1)=0，求导可得f′(x)=x p−1−1，由函数的单调性可得，f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，即对任意的x>0，恒有f(x)≥f(1)=0，即可求证．(2)令f(x)=x pp +b qq−bx(b>0)，则f(a)=a pp+b qq−b q=0，由函数的单调性可得，f(x)在x=b1p−1处取得极小值，也是最小值，将x=b1p−1代入函数中，即可求证．本题主要考查不等式与导数的综合应用，需要学生熟练掌握利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。

最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+， 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=， 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______． 【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥． 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值． 【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=． 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++， 令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。

2020届安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会高三上学期第一次素质测试数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）A.φB.{|42}x x -<≤C.{ |4<<3}x x -D.{|12}x x -<≤【答案】D【解析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。

【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤ 【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。

2．已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ） A ．2i -- B ．2i - C ．2i -+ D ．2i +【答案】D【解析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A.130,0a d dS >>B.130,0a d dS ><C.130,0a d dSD.130,0a d dS <<【答案】C【解析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞．故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A ．1BC ．2D 【答案】A【解析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程.5．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ） A ．23 B ．43C ．13D ．213【答案】B【解析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长. 【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43． 故选：B ．6．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

本试卷分第一卷和第II 卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1至第2页，第II 卷第3至第5页。

全卷总分值150分，考试时间为120分钟。

考生考前须知：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中的姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹明晰。

作图题可先用铅笔在答题卡的规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 集合A={1,3，zi }，i 为虚数单位,B={4}，A ∪B=A 那么复数z =〔 〕A ．-2iB ． 2i C.-4i D.4i 2.“2x =(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线〞的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是〔 〕 A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ4.在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ,28466,5a a a a •=+=,那么57a a =〔 〕 A ．56 B ．65C ．23D ．325. 某流程图如下图，现输入如下四个函数， 那么可以输出的函数是〔 〕A ．||()x f x x=B ．()2()lg 1f x x x =+-C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．221()1x f x x -=+ 6. 正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，那么满足|PH|<2的概率为〔 〕A ．8π B ．184π+ C ．4π D ．144π+7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率，那么以下不等式不成立的是〔 〕 A. ()2log log 2e e ππ+> B. log log 1e e ππ+> C. e e e e ππ->- D. ()3334()e e ππ+<+8.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M,BF 的中点为N,假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为37，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．3B ．5C ．2D ．49. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动〔含,x y 正半轴上的整点〕，其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。