【理科数学】安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试卷含答案

2020届安徽省六校教育研究会高三第二次模拟考试理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（共12小题）1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|}，则M N等于（）A．{x|x＜4} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|1＜x＜3}2．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A．B．C．D．3．已知函数，若f（0）＜0，则此函数的单调减区间是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]4．已知正实数a，b，c满足：，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．设在α∈R，则“cosα＝”是“α＝“的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．已知命题p：∃x0∈R，使得lg cos x0＞0；命题q：∀x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q7．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（1﹣，+∞）C．（1﹣，1）D．（1，e）8．已知y＝f（x+2）是奇函数，若函数g（x）＝f（x）﹣有k个不同的零点，记为x1，x2，…，x k，则x1+x2+…+x k＝（）A．0 B．k C．2k D．4k9．已知函数f（x）＝sin cosωx﹣（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（）A．（，）B．[，] C．[4，] D．[4，）10．下列命题中正确的是（）A．函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（3，1）B．“a＞0，b＞0”是“”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．若，则M＞N11．已知函数，若对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[4，+∞）B ．（4，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，4）12．已知函数f （x ）＝（x 2﹣2x ）e x，若方程f （x ）＝a 有3个不同的实根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围是（ ）A ．（，0）B ．（，0）C ．（，）D ．（0，）二．填空题（共4小题） 13．已知的值域是则x x x x y x cos sin 2cos sin ,2,0++=⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈π ． 14．=+++-⎰-dx x xx x 112221sin 1）（ ．15．已知函数f （x ）＝2x﹣a ，g （x ）＝1+x 3，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ． 16．设x ＝1是函数的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则]＝ ．三．解答题（共6小题）17．已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且．（Ⅰ）若c 2＝5a 2+ab ，求；（Ⅱ）若，，求a +b 的值．18．已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝5，b 1＝﹣1，且满足，，n ∈N *，n ≥2．（1）求证：数列{a n ﹣b n }为等比数列；（2）求数列的前n项和为S n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD；（Ⅱ）若P A＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1．（1）求•；（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，求．21．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（m，2）（m＞0）处的切线方程为y＝﹣x+3，求f（x）的单调区间．（Ⅱ）若方程f（x）﹣1＝0在x∈（，e]上有两个实数根，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝2lnx+ax，g（x）＝x2+1﹣2f（x）（1）讨论函数f（x）在[4，+∞）上的单调性；（2）若a＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：a＜1．参考答案与试题解析一． 选择题ADDBB DCCDD AA二．填空题（共4小题）13．][21,1+，14．322+π15[﹣1，1] 16.2017．三．解答题（共6小题） 17．解：（Ⅰ）∵，∴2ab cos C +×ab sin C ＝0，可得cos C +sin C ＝0，∴tan C ＝﹣，∵C ∈（0，π）， ∴C ＝，∴由余弦定理可得：c 2＝a 2+b 2+ab ，又∵c 2＝5a 2+ab ，可得：b 2＝4a 2，即b ＝2a ， ∴由正弦定理可得：＝＝2． （II ）∵C ＝，，∴由余弦定理可得21＝a 2+b 2+ab ， 又∵＝ab sin C ＝ab ，∴解得ab ＝4，∴21＝a 2+b 2+ab ＝（a +b ）2﹣ab ＝（a +b ）2﹣4， ∴a +b ＝5．18．解：（1）证明：a n ﹣b n ＝（3a n ﹣1﹣b n ﹣1）﹣（） （a n ﹣1﹣3b n ﹣1）＝2（a n ﹣1﹣b n ﹣1），又a 1﹣b 1＝5﹣（﹣1）＝6，所以{a n ﹣b n }是首项为6，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，a n﹣b n＝3•2n．①因为a n+b n＝（3a n﹣1﹣b n﹣1）+（）（a n﹣1﹣3b n﹣1）＝a n﹣1+b n﹣1，a1+b1＝5+（﹣1）＝4，所以{a n+b n}为常数列且a n+b n＝4．②联立①②得a n＝3•2n﹣1+2，故．所以S n＝＝．19．解：（Ⅰ）取P A中点M，连结EM、DM，．（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系．可得D（2，0，0），C（2，1，0），P（0，0，4），B（0，2，0），E（0，1，2），，，设平面CDE的法向量为；，可得，令z＝1，则x＝1，∴平面CDE的法向量为；平面ABCD的法向量为；因此．即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为．20．解：（1）依题意，焦点为F（，0），准线l的方程为x＝﹣．设点M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+，则有M1（﹣，y1），N1（﹣，y2），＝（﹣p，y1），＝（﹣p，y2）．联立方程组，消去x得y2﹣2mpy﹣p2＝0，于是，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2．∴•＝p2+y1y2＝p2﹣p2＝0．（2）设抛物线准线与x轴交点为F1，M（x1，y1），N（x2，y2），|MM1|＝|MF|＝x1+，|NN1|＝|NF|＝x2+，于是：S1＝•|MM1|•|F1M1|＝（x1+）|y1|，S2＝•|M1N1|•|FF1|＝p|y1﹣y2|，S3＝•|NN1|•|F1N1|＝（x2+）|y2|．∴＝＝，由得x1x2＝m2y1y2+（y1+y2）+＝﹣m2p2+m2p2+＝，x1+x2＝m（y1+y2）+p＝2m2p+p，∴＝＝＝4，故＝4．21．解：（Ⅰ）f’（x）＝﹣+．由题意可得2＝﹣m+3，解得m＝1，∴，解得a＝2．∴f（x）＝+lnx，f’（x）＝﹣+＝．当x＞2时、f'（x）＞0，当0＜x＜2时、f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（Ⅱ）方程f（x）﹣1＝0在x上有俩个实数根即方程a＝x（1﹣Inx）在x上有两个实数根，令h（x）＝x（1﹣lnx），则h'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣Inx，当≤x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当1＜x≤e时，h’（x）＜0，h（x）单调递减∴h（x）max＝h（1）＝1．又h（）＝，h（e）＝0，∴．即实数a的取值范围是（，1）22．解：（1）依题意，f′（x）＝+a＝若a＝0，则f′（x）＝＞0，故函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；若a≠0，令f′（x）＝0，解得x＝﹣，①若a＞0，则﹣＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增；②若a≤﹣，则﹣≤4，则f′（x）≤0，则函数f（x）在[4，+∞）上单调递减；③﹣＜a＜0，则﹣＞4，则函数f（x）在[4，﹣]单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减；综上所述，a≥0时，函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，a≤﹣时，函数f（x）在[4，+∞）单调递减，﹣＜a＜0时，函数f（x）在[4，﹣]单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．（2）证明：依题意，x2+1﹣4lnx﹣2ax≥0，而g′（x）＝2x﹣﹣2a＝，令g′（x）＝0，解得x＝＞1，因为a＞0，故＞1，故g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0＝，又g′（x）＝2（﹣+x﹣a）故﹣+x0﹣a＝0①要使g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，且g（x）＝0有唯一解，只需g（x0）＝0，即﹣2lnx0+（x20+1）﹣ax0＝0②由①②可知，﹣2lnx 0+（x2+1）﹣x0（﹣+x0）＝0，故﹣2lnx0﹣x20+＝0，令h（x0）＝﹣2lnx0﹣x20+，显然h（x0）在（1，+∞）上单调递减，因为h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2+＜0，故1＜x0＜2，又a＝﹣+x0在（1，+∞）单调递增，故必有a＜1．。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈R|x 1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞) 2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2，2 ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222b y a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x 6．已知实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+04404201y x y x y x ，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深， 对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m ，代表阴阳太极图的圆的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．47.79m 2 B. 54.07m 2 C ．57.21m 2 D ．114.43 m 29．已知数列{a n }中，a 1=l ，a 2 =2，且当n 为奇数时，a n+2-a n =2；当n 为偶数时，a n+2+l= 3(a n +1)．则此数列的前20项的和为A ．23311-+90B ．23311-+100C ．23312- +90D ．23312-+100 10．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，己知 3)65()0(==πg g ，函数y=f （x ）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f 11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为A ．2eB ．4eC ．e e-4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A. 22 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．323 13 14．2a r -四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）解：（1）由πsin 62a b B c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2sin sin cos 6a b c B B c B π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭．…………2分由正弦定理得sin sin sin sin cos A B B C C B +=+， ……………………3分得()sin sin sin sin cos B C B B C C B +++，得cos sin sin sin C B B C B +=．因为sin 0B ≠cos 1C C -=， ……………………5分即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ……………………6分又0πC <<，所以πC =． ……………………7分+ba解：（1）取棱AE 上一点H ，使得2AH HF =，连接GH ，HD ， ……………………1分 ∵2AH HF =，2BG GE =∴GH ∥AB ，且13GH AB =，………2分∵2CF FD =∴FD ∥AB ，且13FD AB =，…………3分∴GH ∥FD ，且GH =FD ,∴FG ∥DH ……………………………………5分 又∵FG ⊄平面ADE ，DH ⊂平面ADE∴FG ∥平面ADE ……………………6分 （2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，作EK OB ⊥，垂足为K ， ∵菱形ABCD 中，2AD BD ==， ∴△ABD 为等边三角形，∵,OE AD OB AD ⊥⊥，OE OB O =∴∠BOE 是二面角E AD B --的平面角，即∠EOK =180°-∠BOE =60°，且AD OBE ⊥平面 ∴3cos602OK OE ==，即2OB OK = 又∵2BG GE =,∴OG ∥EK又∵EK ⊂平面OBE ∴EK AD ⊥又∵,EK OB AD OB O ⊥=∴EK ⊥平面ABD∴OG ⊥平面ABD …………………………………………9分 分别以为,,OA OB OG 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -………………10分 则点(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)A B D G -， …………………………………………11分 所以(0,3,1),(2,0,0)BG BC AD =-==-，114(,333FG FD DO OG CD DO OG BA DO OG =++=++=++= ……………………12分设n BCG ⊥平面，(,,)n x y z =，记FG 与平面BCE 所成角大小为θ，由2030n BC x n BG z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(0,1,3)n = …………………………………………13分4(3sinFG n FG nθ⋅==， 综上，FG 与平面BCE ．……………………15分C证明：（1）令()e 1x f x x =--，0,()e 10x x f x '∀>=->则)(x f 在),0(+∞单调递增，所以0)0()(=>f x f 即e 1x x >+； ……………………3分 令x x x x g +-+=1)1ln()(，0)1()1(111)(,022>+=+-+='>∀x xx x x g x 则)(x g 在),0(+∞单调递增，所以0)0()(=>g x g 即xxx +>+1)1ln( ……………………5分 所以x x x x x x >+>+++)1()1ln(,)1ln(1）（，所以1e (1)x x x +<+综上，11e (1)x x x x ++<<+； …………………………………………7分 （2）结合第（1）问，e 1x x +≥对任意的x ∈R 恒成立，………………………………………8分令(1,2,,)kx k n n=-=，则e10k nkn--≥≥， …………………………………10分(1)e n k k n --≤即11(1)e n n --≤，22(1)e n n --≤，…，(1)e n n nn--≤ ……………………12分112112e (1e )1(1)(1)(1)e e ee 11e n n n n nnn nn--------+-++-+++=<--≤. ……………………14分所以*1()e 1nnnk n n k n =-<∈-∑N （）. ………………………………………………………………15分18. （17分）解:（1）依据表中数据，220.188(3371038)0.837 2.70643457117x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯， ……………………2分依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没．有．关联． ………………………………4分 （2）设i A =“第i 天去甲餐厅用餐”，i B =“第i 天去乙餐厅用餐”，i C =“第i 天去丙餐厅用餐”，则i A 、i B 、i C 两两互斥，1,2,,.i n = …………………………………………5分根据题意得()()()11111,42P A P B P C ===，()1|12i i P A A +=，()1|13i i P A B +=，()1|12i i P A C +=，()1|12i i P B A +=，()1|12i i P B C +=，()1|23i i P C B +=. ……………………………………7分(i)由22121B B A B C =+，结合全概率公式，得2212112112111113()()()(|)()(|)42228P B P B A B C P A P B A P C P B C =+=+=⨯+⨯=，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38. …………………………………………9分(ii)记第()n n *∈N 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为n p ，n q ，n r ， 则11111,42p q r ===，由全概率公式，得()()()111111111111()()()()()()()(||)|n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P A P A A A B A C P A A P A B P A C P A P A A P B P A B C P A p P C ------------=++=++=++=……………………11分故 111111(2)232n n n n p p q r n ---=++≥ ① 同理1111(2)22n n n q p r n --=+≥ ②12(2)3n n r q n -=≥ ③1n n n p q r ++= ④由①②，113n n n p q q -=+，由④，1111n n n p q r ---=--， 代入②，得：11122n n q q -=-，即1111()323n n q q --=--， 故13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为112-，公比为12-的等比数列， ……………………14分即1111()3122n n q --=--, 所以1111()32n n q +⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………15分于是，当2n ≥时 1111311111()1()3292411()992n n n n n n p q q -++=+⎡⎤⎡⎤=--+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-- ………………………………………………………………16分综上所述，11,(1)4411(),(2)992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩≥. …………………………………………17分19.（17分）解:（1）由题意可得|OM |＝1，且M 为NF 1的中点， 又O 为F 1F 2的中点，所以OM ∥NF 2，且|NF 2|＝2|OM |=2.因为点F 1关于点M 的对称点为N ，线段F 1N 的中垂线与直线F 2N 相交于点T ， 由垂直平分线的性质可得|TN |＝|TF 1|，所以||TF 2|－|TF 1||＝||TF 2|－|TN ||＝|NF 2|＝2＜|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点T 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.1211,2,2a c F Fb ====故曲线C 的方程为2213y x -= …………………………………………7分（2）由题意可知：直线DE 的斜率存在，设()()()1122:11,,,,DE y k x D x y E x y =-+，联立方程()221113y k x x y ⎧⎪⎨-==-+⎪⎩，消去y 得：()()()222321130k x k k x k ------=，……………8分则()()()()()2222230Δ4143132420k k k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+--+=->⎪⎩，解得2k <，且k ≠ …………………………………………10分()()21212222113,33k k k x x x x kk----+==--， ① …………………………………………11分由()1,0A ，得直线()11:11y AD y x x =--， 令2x =，解得111y y x =-，即110,1y P x ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得220,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭，……………………12则()()2121122111111111k x k x x y yx x x -+-++=+----()()()()()()122112111111kx k x kx k x x x +--++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--()()()()12121212212211kx x k x x k x x x x +-+--=-++()()()()()()()22222222221321212213313211332(1)62(1)(12)2(1)(3)(1)321(3)616k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----⋅+-⋅----=-----+-----+-----=-----+--=-= ……………………………………………………………………………………16分所以PQ 的中点为定点(2,3). ………………………………………………………………17分。

2020届安徽省六校教育研究会高三第二次素质测试理综全真演练物理试题一、单选题 (共7题)第(1)题啤酒是青岛这座城市的“专属味道”，如图是青岛市民喜欢的袋装原浆，某次售卖时，售货员将7°C冰镇原浆倒入密封袋中快速封口，密封袋内有啤酒和少部分空气且不断有气体从啤酒中析出，静置一段时间后，发现密封袋鼓胀起来。

已知大气压强，室温为27°C，封闭气体（视为理想气体）体积从0.2L增大为0.25L。

下列说法正确的是（ ）A．外界对内部封闭气体做正功B．静置后内部封闭气体的内能增加C．静置后内部封闭气体的分子速率都增加D．根据气体实验定律，可求出静置后内部封闭气体的压强第(2)题甲物体的质量是乙物体的2倍，甲从H高处自由落下，乙从2H高处与甲物体同时自由落下。

不计空气的影响，在它们落地之前，下列说法中正确的是（ ）A．两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度是乙速度的2倍B．两物体落地时速度相同C．下落1s末，它们的速度相同D．下落过程中甲的加速度是乙加速度的2倍第(3)题如图所示，真空中水平直线上的、两点分别固定正点电荷A、B，点电荷A、B的电荷量之比为，abcd为正方形，且对角线bd与ac相交于点，已知点电荷B在a点产生的电场强度大小为，a到的距离为a到距离的3倍。

下列说法正确的是（ ）A．b、d两点的电场强度相同B．电子在d点的电势能大于在c点的电势能C．a点的电场强度大小为D．c点的电场强度大小为第(4)题如图，表面光滑的固定斜面倾角为30°，顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。

初始时刻，A、B处于同一高度并恰好静止状态。

剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则（ ）A．A的质量是B的质量的2倍B．两物体着地的瞬间速度相同C．从剪断绳子到落地，两物体动能的变化量不同D．从剪断绳子到落地，两物体重力的冲量相同第(5)题小球在空中自由下落，无风条件下，小球受到的空气阻力大小与其下落速度大小的平方成正比。

2020届安徽省六校教育研究会高三第二次素质测试理综全真演练物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题卢瑟福的α粒子散射实验的结果表明( )A．原子还可再分B．原子核还可再分C．原子具有核式结构D．原子核由质子和中子组成第(2)题如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度、与x轴成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中的运动时间之比为（不计重力）（ ）A．2：1B．1：2C．1：D．1：1第(3)题如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率运行，初速度大小为的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。

若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v-t图象（以地面为参考系）如图乙所示。

已知，物块和传送带间的动摩擦因数为，物块的质量为m。

则（ ）A．时刻，小物块离A处的距离最大B．时间内，小物块的加速度方向先向右后向左C．时间内，因摩擦产生的热量为D．时间内，物块在传送带上留下的划痕为第(4)题如图所示，一物块在光滑的水平面上受恒力F的作用向左运动，其正前方固定一个足够长的轻质弹簧，则关于物块与弹簧接触后的运动，下列说法中正确的是( )A．物块一直做加速度减小的加速运动B．物块一直做加速度增大的减速运动C．当物块刚与弹簧接触时加速度最大D．当弹簧处于最大压缩量时，物块的加速度最大第(5)题跳伞比赛中，运动员经历加速下降和减速下降两个直线运动过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是（ ）A．合力对系统始终做负功B．合力对系统始终做正功C．重力做功的功率始终增大D．重力对系统始终做正功第(6)题两颗人造地球卫星A、B，绕地球做匀速圆周运动，如图所示。

已知：m A=2m B，2R A=3R B，用R、T、E k、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积，下面关系式正确的是（ ）A．T A<T B B．E kA>E kBC．S A=S B D．第(7)题“灵楼准拟泛银河，剩摘天星几个”，曾经，古人对天宫充满向往，如今，梦想走进现实。

2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．实数x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值为（）A．B．1C．D．24．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2＝2y，（x∈Z，y∈Z），则该方程的整数解有（）组．A．1B．2C．3D．45．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．36．直线1：2x+y+3＝0倾斜角为α，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知点M（2，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|＝7|MO|．则p的值为（）A．1或B．或3C．3或D．1或8．函数f（x）＝sin x+x3+x，则a＞﹣1是f（a+1）+f（2a）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，将数列{a n}依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则2021在第几组（）A．8B．9C．10D．1110．已知三棱锥A﹣BCD满足：AB＝AC＝AD，△BCD是边长为2的等边三角形．其外接球的球心O满足：++＝，则该三棱谁的体积为（）A．B．C．D．111．圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO＝α，则最小值为（）A．﹣4+B．﹣3+C．﹣4+2D．﹣3+212．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且首项a1＞0，给出下列命题：p1：若，则（a3﹣1）（q﹣1）≤0；p2：若a1+a2＝，则．则下列说法正确的是（）A．p1为真命题，p2为假命题B．p1，p2都为真命题C．p1为假命题，p2为真命题D．p1，p2都为假命题二、填空题（共4小题）.13．从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为．14．若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n＝．15．双曲线mx2﹣ny2＝1左右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为双曲线渐近线上一点，若以F1F2为直径的圆经过P点，且∠APB＝．则该双曲线的渐近线方程为．16．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．三、解答题：共70分．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H-1，C-12，O-16，Na-23，S-32，Ca-407．北宋《本草图经》中载有：“绿矾形似朴消（Na2SO4·10H2O）而绿色，取此一物置于铁板上，聚炭，封之囊袋，吹令火炽，其矾即沸，流出色赤如融金汁者，是真也。

”下列对此段话的理解正确的是A．朴消是黑火药的成分之一B．上述过程发生的是置换反应C．此记载描述的是鉴别绿矾的方法D．“色赤”物质可能是单质铜8. 有机物X的结构简式如右图所示，下列有关说法错误的是A．X的分子式为C13H10O5B．X分子中有五种官能团C．X能使溴的四氯化碳溶液褪色D．X分子中所有碳原子可能共平面9．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A．46g乙醇中存在的共价键总数为7N AB．34g硫化氢在足量的氧气中燃烧转移电子总数为8N AC．标准状况下，22.4LHF含有的原子数为2N AD．64gCaC2晶体中阴离子和阳离子总数为2N A10．下列对实验现象的解释正确的是11．X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素。

元素W分别与元素X、Y、Z结合形成质子数相同的甲、乙、丙三种分子。

反应②是工业制硝酸的重要反应，乙与丙的混合物不能用玻璃瓶盛装。

上述物质有如图所示的转化关系：下列说法错误的是A．甲是易液化气体，常用作致冷剂B．可以用甲在一定条件下消除丁对环境的污染C．甲、丙分子可以直接化合生成离子化合物D．丁是一种红棕色气体，是大气主要污染物之一12．常温下，将1molCaC2O4粉末置于盛有500mL蒸馏水的烧杯中，然后向烧杯中加入Na2CO3固体（忽视溶液体积的变化）并充分搅拌，加入Na2CO3固体的过程中，溶液中Ca2+和CO32-的浓度变化曲线如图所示，下列说法中不正确的是A．a=5.6B．常温下，Ksp(CaC2O4)＞Ksp(CaCO3)C．b点对应的溶液中，离子浓度关系为D．若使1molCaC2O4全部转化为CaCO3，至少要加入2.12molNa2CO313．苯甲酸在水中的溶解度为：0.18g（4℃）、0.34g（25℃）、6.8g（95℃）。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学理科安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B D C B C B A A C D11．提示：考虑函数ln 1(0)y ax x =->与24(0)y x ax x =+->的图象，不难知它们有公共的零点t 时，()0f x ≥恒成立．于是，24e at t =-= 12．提示：取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111A B AEM ≌△，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时，MN 最小．此时由MF ⊥面1111A B C D ，可知MFN △为等腰直角三角形，MF =，故122()222PM PM EM MF AA +=+=+≥=（）．三、解答题：共70分。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）【解析】（1）由题，222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++ 1cos()1cos()2cos cos A B A B A B =--++++22cos()22cos A B C =++=-1=，解得1cos 2C =，所以60C =︒． （6分） （2）由余弦定理，22216c a b ab =+-=，再由222||38CA CB a b ab +=++= ，解得2227a b +=，11ab =，所以2()49a b +=，7a b +=，故ABC △的周长为11．（12分）18．（12分）【解析】（1）因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥，由PAB △为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥，又PB BC B = ，故PA ⊥平面PBC ． （5分）（2）取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为PA PB =，AD BD =，所以PO AB ⊥，DO AB ⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则1AO BO PO ===，2DO ==， 又BC AB ⊥，DO PA ⊥，所以//OD BC 且OD BC =，于是 (0,0,1)P ，(0,1,0)A -，(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(2,1,1)PC =- ，(0,1,1)AP = ，(2,1,0)AD = ， 设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则 020n AP y z n AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =得平面PAD 的一个法向量(1,2,2)n =- ， 设直线PC 与平面PAD 所成的角为α，则sin cos ,||||PC n PC n PC n α⋅=<>==⋅ （12分）19．（4a =；|5PF ==，此时3a =-．综上，实数a 的值为3-或4． （6分）（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以MA x ∥轴且MO MA MP ==，（12分）20．（12分）【解析】（1）2()2(sin cos )x x f 'x e e x x λ=+-，(0)2f 'λ=-，(0)f λ=-，所以直线l 方程为(2)y x λλ=--，即(2)(1)2y x λ=-+-，恒过点(1,2)--． （5分）21．（12分）【解析】（1）由题，X 的可能取值为1k 和1k k+， 1()(1)k P X p k==-，1(1(1)k k P X p k +==--，故X 的分布列为 111()(1)[1(1)]1(1)k k k k E X p p p k k k+=⋅-+⋅--=--+． （5分） （2）（ⅰ）由（1），记1()1(1)k f p p k=--+，因为0k >，所以()f p 在(0,1)p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理． （8分）（ⅱ）记11()1(1)10.9k k g k p k k=--+=-+，当()1g k <且取最小值时，该方案最合理， 因为(1) 1.1,(2)0.69,(3)0.604,(4)0.594,(5)0.61g g g g g ==≈≈≈，所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次． （12分）（二）选考题：共10分。

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试题考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合103x M x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{N y y =∈=R ，则M N ⋂等于（ ）A. [)1,1-B. [)0,1C. ()3,0-D. ()3,1--2. 若()1i 2i z -=，则2i z -=（ ） A. 0B. 1C.D. 23. 6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （ ） A. 2B. 2-C. 4D. 4-4. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为35. 椭圆222214x y a a +=-经过点()2,3，则其离心率e =（ ）A.12B.C.D.6. 若函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰存三个零点，两个极值点，则ω的取值范围是（ ） A. 717,36⎛⎤⎥⎝⎦ B. 1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 720,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭7. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）A. 12πB. 24π C 36πD. 48π8. 已知函数22()e ln ln (0)x f x a x x x a a =-+>，若方程()0f x =有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,c ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为1,0n S a >，且()()1111780S S S S --<，则（ ） A. 9100a a +> B. 7118S S S <<C. 当10n =时，n S 取最大值..D. 当0nS <时，n 的最小值为1910. 已知直线()():2110l a x a y +-+-=与圆22:4C x y +=交于点,A B ，点()1,1,P AB 中点Q ，则（ ）A. AB的最小值为B. AB 的最大值为4 C. PA PB ⋅为定值D. 存在定点M ，使得MQ 为定值11. 已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()()112f x g x -++=，()()22g x f x --=，()()42g x f x --=，且当(]0,1x ∈时．()21f x x =+，则（ ）A. ()20242g =B.20241()0i g i ==∑C 函数()f x 关于直线3x =对称D. 方程()2024f x x +=有且只在2个实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点A 的横坐标为6,则AB =______．13. 已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心地为正方形ABCD 各边的中点（如图），若P 在 BC 上，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为______．为.14. 设0S 是以定点0P 为球心半径为r 的球面，0π是一个固定平面，0P 到0π的距离为,a a r >．设M S 是以点M 为球心的球面，它与0S 外切并与0π相切．令A 为满足上述条件的球心M 构成的集合．设平面π与0π平行且在π上有A 中的点．设d ∑是平面π与0π之间的距离．则d ∑的最小值为______．四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，πsin 62a b B c +⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若a b c +==，求角C 的平分线CD 的长度.16. 如图，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是菱形，点,F G 分别在棱,CD BE 上，2,2,2BG GE CF FD EA ED AD BD ======．（1）证明：//FG 平面ADE ；（2）若二面角E AD B --大小为120°，求FG 与平面BCE 所成角的正弦值． 17. （1）已知0x >，证明：11e (1)x x x x ++<<+；（2）证明：()*1()e 1nnnk n n k n =-<∈-∑N ． 18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域 性别南区 北区 合计男331043女 38 7 45合计 71 17 88（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第()*n n ∈N天他去甲餐厅用餐的概率np ．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++； α 0.100 0050 0.025 0.010x α 2.706 3.841 5.0246.63519. 已知点()()122,0,2,0,F F M -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的中垂线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若点()()1,0,1,1A H ，直线:2l x =，过点H 的直线1l 与C 交于D E 、两点，直线AD AE 、与直线l 分别交于点P Q 、．证明：PQ 的中点为定点．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R ，集合103x M x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{N y y =∈=R ，则M N ⋂等于（ ）.A. [)1,1-B. [)0,1C. ()3,0-D. ()3,1--【答案】B 【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合M ，再求出集合N ，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由103x x -<+，即()()130x x -+<，解得31x -<<， 所以{}10313x M xx x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，又{{}0N y y y y =∈==≥R ，所以{}|01M N x x =≤< . 故选：B2. 若()1i 2i z -=，则2i z -=（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】首先根据复数的除法运算公式， 化解复数z ，再结合复数的运算和模的公式，即可求解. 【详解】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z +===-+--+，则2i=1i z ---，2i z -==.故选：C3. 6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （ ） A. 2 B. 2- C. 4D. 4-【答案】B 【解析】【分析】写出展开式的通项，再令3r =，即可求出展开式中3x 的系数，从而得解.【详解】二项式6(1)ax -展开式的通项为()16C rrr ax T +=-（其中06r ≤≤且N r ∈），令3r =可得()()33443466C C T ax a x --==⋅， 所以()346C 160a -=，解得2a =-.故选：B4. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差5. 椭圆222214x y a a +=-经过点()2,3，则其离心率e =（ ）A.12B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】将点代入椭圆方程得216a =，即可得椭圆方程，由题意离心率公式求解即可.【详解】将()2,3代入222214x y a a +=-可得224914a a +=-， 化简可得4217160a a -+=，解得216a =或21a =（舍去），故椭圆方程为2211612x y +=，所以4,a b ==，故2c =， 故12c e a ==， 故选：A6. 若函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰存三个零点，两个极值点，则ω的取值范围是（ ） A. 717,36⎛⎤⎥⎝⎦B. 1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 720,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】由x 的取值范围求出π3x ω-，再结合题意及正弦函数的性质得到π5π2ππ32ω<-≤，解得即可. 【详解】当()0,πx ∈，则πππ,π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()0ω>， 依题意可得π5π2ππ32ω<-≤，解得71736ω<≤， 即ω的取值范围是717,36⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：A7. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】D【解析】【分析】先求出正四面体-P ABC 的外接球半径,再求出11OO PO PO =-=再结合外接球知识求出该八面体的外接球半径,结合球的表面积计算即可. 【详解】如图：设O 为正四面体-P ABC 的外接球球心，1O 为111A B C △的中心,H 为ABC 的中心, M 为BC 的中点， 因为正四面体-P ABC 棱长为8，易得PH ⊥平面ABC ，易得8AH ==，PH ⊥平面ABC ，AH ⊂平面BCD ，则,PH AH PH ⊥==， 由正四面体外接球球心为O ，则O 在PH ，则OP OA R ==为外接球半径，由222AH OH BO +=得222)R R +-=，解得R =，即PO =,在正四面体111P A B C -中，易得11A O ==1PO ==，所以11OO PO PO =-=则该八面体的外接球半径1AO ==,所以该球形容器表面积的最小值为(24π48π=，故选：D.8. 已知函数22()e ln ln (0)x f x a x x x a a =-+>，若方程()0f x =有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,c ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先将方程()0f x =改写成222ln222e ln e x x a x x a=；再构造函数()e x g x x =，利用导数判断其单调性，得出222ln x x a=，即ln ln x x a -=-，将方程()0f x =有两个不同的实数解转化为函数()ln x x x ω=-与ln y a =-的图象有两个不同的交点；最后利用导数研究函数()ln x x x ω=-的值域，列出不等式，求解即可.【详解】由题目条件可得：0x >. 令()0f x =，可得：22eln ln 0xa x x x a -+=，则22eln xx a x a =，即222222e ln xx x x a a=，222ln222e lne x x a xx a =.令()e x g x x =，则()222ln x g x g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；()e e x xg x x '=+.因为0x >， 所以()0g x '>，则函数()e x g x x =在区间()0,∞+上单调递增，所以222ln x x a=，即ln ln x x a -=-.所以方程()0f x =有两个不同的实数解等价于方程ln ln x x a -=-有两个实数解，即函数()ln x x x ω=-与ln y a =-的图象有两个不同的交点.因为()111x x x xω-'=-=，令()0x ω'>，得1x >；令()0x ω'<，得01x <<.所以函数()ln x x x ω=-在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 则()min 1x ω=.又因为当0x →时，()x ω→+∞；当x →+∞时，()x ω→+∞. 所以ln 1a ->，解得：1ea <. 又因为0a >， 所以10ea <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程与函数思想、利用导数确定判断函数的单调性及最值等.解题关键在于将方程()0f x =改写成222ln 222e ln e x x a x x a =；构造函数()e x g x x =，利用导数判断其单调性，得出222ln x x a=，将方程根的问题转化为函数图象交点问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为1,0n S a >，且()()1111780S S S S --<，则（ ） A. 9100a a +> B. 7118S S S <<C. 当10n =时，n S 取最大值D. 当0nS <时，n 的最小值为19【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据等差数列的基本性质，结合10a >分析公差判断即可；对B ，根据作差法结合A 中结论分别判断811711,S S S S --的正负即可；对C ，由9100,0a a ><判断即可；对D ，根据9100,0a a ><可得11792d a d -<<-，再分析0n S <时满足112n a d -<-判断即可.【详解】对A ，()()1111780S S S S --<则()()891011910110a a a a a a a +++++<， 由等差数列性质可得()91010230a a a +⨯<，即()910100a a a +<.因为10a >，若公差0d >，则910,0a a >，不满足，故0d <，则910a a >. 则910100,0a a a +><，故A 正确；对B ，由A ，910100,0a a a +><，故9100,0a a ><.则()11789101191020S S a a a a a a -+=++=+>，则117S S >， 又118910111030S S a a a a -++=<=，故118S S <，故B 正确；对C ，由9100,0a a ><可得129101112,...0,,,...0a a a a a a ><，故当9n =时，n S 取最大值，故C 错误； 对D ，由91012170a a a d +=+>，10190a a d =+<，可得11792d a d -<<-. 故当()1102n n n d S na -=+<时，需要满足112n a d -<-，故n 的最小值为19，故D 正确. 故选：ABD10. 已知直线()():2110l a x a y +-+-=与圆22:4C x y +=交于点,A B ，点()1,1,P AB 中点为Q ，则（ ）A. AB 的最小值为B. AB 的最大值为4C. PA PB ⋅为定值D. 存在定点M ，使得MQ 为定值 【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线过定点()1,1P 进行逐项分析，对于A ，根据CP 和直线l 垂直时，AB 取最小值求解即可；对于B ，验证直线l 能否过圆心即可； 对于C ，联立直线和圆的方程，将PA PB ⋅表示出来求解即可；对于D ，利用CQ PQ ⊥，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线()():2110l a x a y +-+-=，即()210a x y x y -+--=，故直线过定点()1,1P ,且圆22:4C x y +=的圆心为()0,0，半径为2,22114+< ，故()1,1P 在圆C 内，对于A ，当CP 和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d CP ==，此时AB最小，=2AB A 正确； 对于B ，当=4AB 时，AB 为圆的直径，此时直线过圆心，()()201010a a +⨯-+⨯-= 方程无解，故直线不可能过圆心，故B 错误；对于C ，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()()()()()121212121212=11112PA PB x x y y x x x x y y y y ⋅--+--=-++-++，当直线l 斜率不存在时，:1l x =，联立圆22:4C x y +=得，y =， 此时1322=2PA PB ⋅=--+-当直线l 斜率存在时，设直线()11y k x -=-，联立圆22:4C x y +=，得()22114x k x ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()2222122230k x k kx kk ++-+--=，21222122221231k k x x k k k x x k ⎧-+=-⎪⎪+∴⎨--⎪=⎪+⎩， ()1212=22y y k x x k +++-，()()()()()222121212121111=1y y k x k x k x x k k x x k ⎡⎤⎡⎤=-+⨯-++-++-⎣⎦⎣⎦, ()()()()()222121212121212=2=111PA PB x x x x y y y y k x x k x x k ∴⋅-++-+++-++++,带入得：222=232212k k k PA PB k k --+--⋅++= ，故PA PB ⋅为定值2-，故C 正确；对于D ，AB 中点为Q ，故CQ AB ⊥,且()1,1P 在AB 上， 所以CQ PQ ⊥,故PQC △是直角三角形，当M 为PC 中点11,22⎛⎫⎪⎝⎭时，1=2MQ PC =为定值，故D 正确. 故选：ACD11. 已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()()112f x g x -++=，()()22g x f x --=，()()42g x f x --=，且当(]0,1x ∈时．()21f x x =+，则（ ）A. ()20242g =B.20241()0i g i ==∑C. 函数()f x 关于直线3x =对称D. 方程()2024f x x +=有且只2个实根 【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，构造方程，通过解方程组求出函数()f x 和函数()g x 的性质，然后利用函数性质来判断各个选项的正误.【详解】对于A ：由()()()()11242f x g x g x f x ⎧-++=⎪⎨--=⎪⎩，可得()()()()2242f x g x g x f x ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，所以(2)(4)4g x g x -+-=所以[2(2)][4(2)]4g x g x --+--=，即()(2)4g x g x ++=所以(2)(4)4g x g x +++=，得()(4)g x g x =+，故()g x 为周期函数，且周期为4，又()()()()11222f x g x g x f x ⎧-++=⎪⎨--=⎪⎩，可得()()()()2222f x g x g x f x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，故(2)(2)4g x g x -++=，令0x =可得()22g =，令()(2)4g x g x ++=中的0x =可得()02g = 所以()()202402g g ==，A 正确；对于B ：因为当(]0,1x ∈时，()21f x x =+，所以()12f =，由()()112f x g x -++=得()()112f g +=，所以()10g =在由()()42g x f x --=得()()312g f -=，所以()34g =，又()()402g g ==，所以()()()()()20241()506123450602424048i g i g g g g =⎡⎤=+++=⨯+++=⎣⎦∑，B 错误；对于C ：由()()()()11242f x g x g x f x ⎧-++=⎪⎨--=⎪⎩，可得()()()()2242f x g x g x f x ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，故(2)(4)0f x f x -+-=，即(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x +=，由()()()()11222f x g x g x f x ⎧-++=⎪⎨--=⎪⎩，可得()()()()112112f x g x g x f x ⎧-++=⎪⎨+--=⎪⎩，故(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，所以()(2)()f x f x f x +=-=-故()f x 为奇函数，关于1x =对称，且周期为4，又当(]0,1x ∈时．()21f x x =+，作出()f x 的图象如下：由图可知函数()f x 关于直线3x =对称，C 正确； 对于D ：方程()2024f x x +=，即()f x x =，由图可知，函数()f x 的图象和y x =的图象有3个交点，即方程()2024f x x +=有3个实根，D 错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：对于抽象函数构成函数关系，我们可以通过构造方程组来研究函数的性质，就像解方程组一样，想求什么就消去什么就行了.另外，对于方程根的个数问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点A 的横坐标为6,则AB=的【答案】323##2103【解析】【分析】结合题意求出(6,A 及直线l 的方程，与抛物线联立结合韦达定理得到223x =，利用弦长公式计算即可.【详解】由题意可得抛物线2:8C y x =的焦点为()2,0F , 由抛物线的对称性，不妨设点A 在第一象限，则点B 在第四象限， 因为点A 的横坐标为6,所以28648y =⨯=，解得y =±，不妨设(6,A ，所以AF k ==l 的方程为)2y x =-，设()22,B x y ，联立)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得2320120x x -+=, 所以0∆>，22063x +=，解得223x =，所以23233AB ==. 故答案为：323. 13. 已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心地为正方形ABCD 各边的中点（如图），若P 在 BC上，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为______．【分析】如图，以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，[]π,2πθ∈,又()()()()1,2,1,0,1,0,1,2,A B C D --，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.【详解】如图，以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 设()cos ,sin P θθ，[]π,2πθ∈又()()()()1,2,1,0,1,0,1,2,A B C D --，则()()()cos 1,sin 2,2,0,0,2AP AD AB θθ=+-==-，AP AD AE λμ=+，即()()()cos 1,sin 20,22,0θθλμ+-=-+ cos 12sin 22θμθλ+=⎧∴⎨-=-⎩，解得cos 122sin 2θμθλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，()2sin cos 111πcos sin 3322224θθλμθθθ⎫-+⎛⎫+=+=-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎭, 因为[]π,2πθ∈，则π5π9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当π2π4θ+=时，πcos 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，则λμ+..14. 设0S 是以定点0P 为球心半径为r 的球面，0π是一个固定平面，0P 到0π的距离为,a a r >．设M S 是以点M 为球心的球面，它与0S 外切并与0π相切．令A 为满足上述条件的球心M 构成的集合．设平面π与0π平行且在π上有A 中的点．设d ∑是平面π与0π之间的距离．则d ∑的最小值为______． 【答案】2a r- 【解析】【分析】过0P 作0π的垂线，交0π于O ，建立空间直角坐标系，使得0P 的坐标为()0,0,a ，且(),,M x y z A ∈，再根据球相切的性质化简可得()2222x y a rz a r +-=++，进而可得最小值.【详解】过0P 作0π的垂线，交0π于O .以O 为原点，0π为xOy 面建立空间直角坐标系使得0P 的坐标为()0,0,a . 则平面π与0π之间的距离为z .(),,M x y z A ∈当且仅当()()2222x y z a z r ++-=+，即()22222x y a r z a r ++-=+， 故()2222x y a rz a r +-=++. 因此，当0x y ==时z 取最小值2a r-.故答案为：2a r- 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，πsin 62a bB c+⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若a b c +==，求角C 的平分线CD 的长度.【答案】15. π316. 1 【解析】【分析】（1cos 1C C -=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）利用余弦定理求得2ab =，根据面积相等建立方程求解即可. 【小问1详解】由πsin 62a b B c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭得π2sin sin cos 6a b c B B c B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭.由正弦定理得sin sin sin sin cos A B B C C B +=+，得()sin sin sin sin cos B C B B C C B ++=+，得cos sin sin sin C B B C B +=.因为sin 0B ≠cos 1C C -=，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πC <<，所以π3C =. 【小问2详解】由余弦定理得22222cos ()3a b ab C a b ab =+-=+-，可得2ab =，又ABC CBD CAD S S S =+ ，所以1π1π1πsin sin sin 232626ab a CD b CD =⋅⋅+⋅⋅，即1111122222a CD b CD =⋅⋅+⋅⋅，所以1CD ===. 16. 如图，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是菱形，点,F G 分别在棱,CD BE 上，2,2,2BG GE CF FD EA ED AD BD ======．（1）证明：//FG 平面ADE ；（2）若二面角E AD B --大小为120°，求FG 与平面BCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取棱AE 上一点H ，使得2AH HF =，连接,GH HD ，再证明四边形GHDF 为平行四边形，从而根据FG DH ∥证明即可；（2）取AD 中点O ，连接,OE OB ，作EK OB ^，垂足为K ，根据几何关系证明OG ⊥平面ABD ，再分别以为,,OA OB OG为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，根据二面角与线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】取棱AE 上一点H ，使得2AH HE =，连接,GH HD ，2,2AH HE BG GE == ，//GH AB ∴，且1133GH CD AB ==，2CF FD = ，//FD AB ∴，且13FD AB =， //GH FD ∴，且GH FD =，故四边形GHDF 为平行四边形， //FG DH ∴.又FG ⊄ 平面,ADE DH ⊂平面ADE ，//FG ∴平面ADE .【小问2详解】取AD 中点O ，连接,OE OB ，作EK OB ^，垂足K ，菱形ABCD 中，2ADBD ==，ABD ∴ 为等边三角形，,,OE AD OB AD OE OB O ⊥⊥= ，BOE ∴∠是二面角E AD B --的平面角，即18060EOK BOE ∠=︒-∠=︒，且AD ⊥平面OBE ，cos60OK OE ∴=︒=，即2OB OK =， 又2,//BG GE OG EK =∴ ， 又EK ⊂ 平面OBE ，EK AD ∴⊥，又,EK OB AD OB O ⊥= ， ,AD OB ⊂平面ABD ，EK ∴⊥平面ABD ，OG ∴⊥平面ABD .分别以为,,OA OB OG为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则点()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B D G -，所以()()0,,2,0,0BG BC AD ===-，为114,333FG FD DO OG CD DO OG BA DO OG ⎛⎫=++=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭， 设n ⊥平面(),,,BCG n x y z =，记FG 与平面BCE 所成角大小为θ，由200n BC x n BG z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(n = ，sin θ，综上，FG 与平面BCE ． 17 （1）已知0x >，证明：11e (1)x x x x ++<<+；（2）证明：()*1()e 1nnnk n n k n =-<∈-∑N ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）构造()e 1xf x x =--，()()ln 11xg x x x=+-+，分别求导分析单调性，结合()()00f x f >=，()()00g x g >=证明即可；（2）结合第（1）问，e 1x x ≥+对任意的x ∈R 恒成立，再令()1,2,,kx k n n=-= ，得到1e nkk n -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，再累加求和证明即可. 【详解】（1）证明：令()()e 1,0,e 10x xf x x x f x =--∀>=->'则()f x 在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f >=即e 1x x >+； 令()()()2211ln 1,0,011(1)(1)x xg x x x g x x x x x =+-∀>=-=+++'>+ 则()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()00g x g >=即()ln 11xx x+>+ 所以()()()11ln 1,ln(1)x x x x x x +++>+>，所以1e (1)x x x +<+.综上，11e (1)x xx x ++<<+；（2）结合第（1）问，e 1x x ≥+对任意x ∈R 恒成立，令()1,2,,k x k n n =-= ，则e 10k n kn-≥-≥，1e n k k n -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭即12121e ,1e ,,1e n n nnn n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1121e 1e 121111e e e 1e e 1n n n nnn n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤+++=< ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 即121111e 1n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ()()()121e 1nnnnnnn n n n n n n ---+++<- ，所以()*1()e 1nnnk n n k n =-<∈-∑N ． 【点睛】方法点睛：（1）构造函数()e 1xf x x =--，()()ln 11xg x x x=+-+，求导分析单调性，并结合()()000f g ==证明常用不等式11e (1)x xx x ++<<+；（2）有累加形式证明的不等式，通常根据前问的结论，代入特殊值可得不等式，最后累加求和进行证明. 18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域 性别南区 北区 合计男 33 10 43 女38745 的合计 71 17 88（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第()*n n ∈N天他去甲餐厅用餐的概率np ．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++； α 0.100 0.050 0.025 0.010x α 2.706 3.841 5.0246.635【答案】（1）没有关联（2）（ⅰ）38；（ⅱ）()()11,14411,2992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】【分析】（1）根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解（ⅰ），根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解（ⅱ）. 【小问1详解】依据表中数据，220.188(3371038)0.837 2.70643457117x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设=i A “第i 天去甲餐厅用餐”，i B =“第i 天去乙餐厅用餐”，i C =“第i 天去丙餐厅用餐”， 则i i i A B C 、、两两独立，1,2,,i n = ． 根据题意得()()()()()()11111111111,,,,42232i i i i i i P A P B P C P A A P A B P A C +++======， ()()()111112,,223i i i i i i P B A P B C P C B +++===．（ⅰ）由22121B B A B C =+，结合全概率公式，得()()()()()()221211211211111342228P B P B A B C P A P B A P C P B C =+=+=⨯+⨯=， 因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38． （ⅱ）记第()*n n ∈N 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为,,nnnp q r ，则11111,42p q r ===，由全概率公式，得 ()n n p P A =()111n n n n n n P A A A B A C ---=++ ()()()111n n n n n n P A A P A B P A C ---=++()()()()()()111111n n n n n n n n n P A P A A P B P A B P C P A C ------=++故()1111112232n n n n p p q r n ---=++≥ ① 同理()1111222n n n q p r n --=+≥ ②()1223n n r q n -=≥ ③1n n n p q r ++= ④由①②，113n n n p q q -=+， 由④，1111n n n p q r ---=--， 代入②，得：11122n n q q -=-，即1111323n n q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为112-，公比为12-的等比数列，即11113122n n q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以111132n n q +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦于是，当2n ≥时113n n n p q q -=+11111113292n n+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1411992n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭综上所述：()()11,14411,2992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解；（4）当出现()1nn a f n a -=时，用累乘法求解. 19. 已知点()()122,0,2,0,F F M -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的中垂线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若点()()1,0,1,1A H ，直线:2l x =，过点H 的直线1l 与C 交于D E 、两点，直线AD AE 、与直线l 分别交于点P Q 、．证明：PQ 的中点为定点．【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由双曲线定义得到点T 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，求出答案；（2）设()()()1122:11,,,,DE y k x D x y E x y =-+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线()11:11y AD y x x =--，求出P 的坐标，同理得到Q 的坐标，得到PQ 的中点坐标. 【小问1详解】由题意可得1OM =，且M 为1NF 的中点， 又O 为12F F 的中点，所以2OM NF ∥，且222NF OM ==．因为点1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的中垂线与直线2F N 相交于点T ， 由垂直平分线的性质可得1TN TF =，所以21221224TF TF TF TN NF F F -=-==<=，所以由双曲线的定义可得，点T 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线．1211,2,2a c F Fb ===== 故曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】由题意可知：直线DE 的斜率存在，设()()()1122:11,,,,DE y k x D x y E x y =-+，联立方程()221113y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()()222321(1)30k x k k x k ------=，则()()()()2222230Δ4143132420k k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤=-+--+=->⎪⎣⎦⎩， 解得2k <，且k ≠()212122221(1)3,33k k k x x x x k k ----+==--，① 由()1,0A ，得直线()11:11y AD y x x =--， 令2x =，解得111y y x =-，即112,1y P x ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得222,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭，则()()1212121211111111k x k x y y x x x x -+-++=+---- ()()()()()()122112111111kx k x kx k x x x ⎡⎤⎡⎤+--++--⎣⎦⎣⎦=--()()()()12121212212211kx x k x x k x x x x +-+--=-++()()()()22222221(1)3212213321(1)3133k k k k k k k k k k k k k ----⋅+-⋅----=-----+-- ()()()()()()22222(1)62112213(1)3213k k k k k k k k k k k k ---+-----=-----+-61-=-6=， 所以PQ 的中点为定点()2,3.【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.。

安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈R|x1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞)2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍 B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2π，2π ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222by a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x6．已知实数x,y满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+44421yxyxyx，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m，代表阴阳太极图的圆的半径为4m，则每块八卦田的面积约为A．47.79m2 B. 54.07m2 C．57.21m2 D．114.43 m29．已知数列{a n}中，a1=l，a2 =2，且当n为奇数时，a n+2-a n=2；当n为偶数时，a n+2+l= 3(a n+1)．则此数列的前20项的和为A．23311-+90 B．23311-+100 C．23312-+90 D．23312-+10010．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=AxAxf的部分图象如图所示，己知3)65()0(==πgg，函数y=f（x）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为 A ．2e B ．4e C ．ee -4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A.22B ．2C ．3D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。