安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学答案及评分标准

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈R|x 1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞) 2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2，2 ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222b y a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x 6．已知实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+04404201y x y x y x ，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深， 对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m ，代表阴阳太极图的圆的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．47.79m 2 B. 54.07m 2 C ．57.21m 2 D ．114.43 m 29．已知数列{a n }中，a 1=l ，a 2 =2，且当n 为奇数时，a n+2-a n =2；当n 为偶数时，a n+2+l= 3(a n +1)．则此数列的前20项的和为A ．23311-+90B ．23311-+100C ．23312- +90D ．23312-+100 10．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，己知 3)65()0(==πg g ，函数y=f （x ）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f 11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为A ．2eB ．4eC ．e e-4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A. 22 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合能力测试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1，C-12，O-16，Na-23，S-32，Ca-40一、选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．北宋《本草图经》中载有：“绿矾形似朴消（Na2SO4·10H2O）而绿色，取此一物置于铁板上，聚炭，封之囊袋，吹令火炽，其矾即沸，流出色赤如融金汁者，是真也。

”下列对此段话的理解正确的是A．朴消是黑火药的成分之一 B．上述过程发生的是置换反应C．此记载描述的是鉴别绿矾的方法 D．“色赤”物质可能是单质铜8. 有机物X的结构简式如右图所示，下列有关说法错误的是A．X的分子式为C13H10O5 B．X分子中有五种官能团C．X能使溴的四氯化碳溶液褪色 D．X分子中所有碳原子可能共平面9．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A．46g乙醇中存在的共价键总数为7N AB．34g硫化氢在足量的氧气中燃烧转移电子总数为8N AC．标准状况下，22.4LHF含有的原子数为2N AD．64gCaC2晶体中阴离子和阳离子总数为2N A10．下列对实验现象的解释正确的是11．X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素。

元素W分别与元素X、Y、Z结合形成质子数相同的甲、乙、丙三种分子。

反应②是工业制硝酸的重要反应，乙与丙的混合物不能用玻璃瓶盛装。

上述物质有如图所示的转化关系：下列说法错误的是A．甲是易液化气体，常用作致冷剂 B．可以用甲在一定条件下消除丁对环境的污染C．甲、丙分子可以直接化合生成离子化合物D．丁是一种红棕色气体，是大气主要污染物之一12．常温下，将1molCaC2O4粉末置于盛有500mL蒸馏水的烧杯中，然后向烧杯中加入Na2CO3固体（忽视溶液体积的变化）并充分搅拌，加入Na2CO3固体的过程中，溶液中Ca2+和CO32-的浓度变化曲线如图所示，下列说法中不正确的是A．a=5.6B．常温下，Ksp(CaC2O4)＞Ksp(CaCO3)C．b点对应的溶液中，离子浓度关系为D．若使1molCaC2O4全部转化为CaCO3，至少要加入2.12molNa2CO313．苯甲酸在水中的溶解度为：0.18g（4℃）、0.34g（25℃）、6.8g（95℃）。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合能力测试注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题参考答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的参考答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他参考答案标号。

回答非选择题时,将参考答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1,C-12,O-16,Na-23,S-32,Ca-40一、选择题：本题共13小题,每小题6分,共78分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体,并吸收入自己的细胞内。

首次捕食绿藻后,这种软体动物体内便存在叶绿体并可以进行光合作用。

在光学显微镜下观察绿叶海蜗牛的细胞,可以分辨的结构有A．叶绿体和核糖体B．叶绿体和细胞壁C．叶绿体和细胞核D．细胞核和细胞壁2．PTEN是一种抑癌基因,表达的PTEN蛋白可以提高生物体的抗癌能力,但泛素连接酶可导致PTEN蛋白被降解。

西兰花经消化生成的3-吲哚甲醇能与泛素连接酶结合,调节其效用,抑制肿瘤生长。

下列叙述正确的是A．PTEN基因突变细胞就会癌变B．PTEN蛋白能控制细胞正常生长和分裂的进程C．3-吲哚甲醇对泛素连接酶的效用起促进作用D．3-吲哚甲醇可能改变了泛素连接酶的空间结构3．光合作用的发现是众多科学家不断努力的结果。

1937年,英国科学家希尔首次获得了离体叶绿体悬浮液,将此悬浮液（含水,不含CO2）与黄色的高铁（Fe3+）盐混合,照光后发现叶绿体有气泡放出、溶液由黄色变为浅绿色（Fe2+）。

在遮光下,则没有气泡产生,也没有颜色变化。

下列叙述错误的是A．实验过程中可以检测到糖的生成B．实验表明氧气是叶绿体在光照的条件下产生的C．溶液颜色变化的原因是叶绿体在光照条件下生成的还原剂将Fe3+还原为Fe2+D．与恩格尔曼的水绵实验相比,希尔的实验排除了细胞内其他结构的影响4．下表是对某单基因遗传病进行调查后整理出的数据。

2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．实数x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值为（）A．B．1C．D．24．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2＝2y，（x∈Z，y∈Z），则该方程的整数解有（）组．A．1B．2C．3D．45．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．36．直线1：2x+y+3＝0倾斜角为α，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知点M（2，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|＝7|MO|．则p的值为（）A．1或B．或3C．3或D．1或8．函数f（x）＝sin x+x3+x，则a＞﹣1是f（a+1）+f（2a）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，将数列{a n}依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则2021在第几组（）A．8B．9C．10D．1110．已知三棱锥A﹣BCD满足：AB＝AC＝AD，△BCD是边长为2的等边三角形．其外接球的球心O满足：++＝，则该三棱谁的体积为（）A．B．C．D．111．圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO＝α，则最小值为（）A．﹣4+B．﹣3+C．﹣4+2D．﹣3+212．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且首项a1＞0，给出下列命题：p1：若，则（a3﹣1）（q﹣1）≤0；p2：若a1+a2＝，则．则下列说法正确的是（）A．p1为真命题，p2为假命题B．p1，p2都为真命题C．p1为假命题，p2为真命题D．p1，p2都为假命题二、填空题（共4小题）.13．从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为．14．若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n＝．15．双曲线mx2﹣ny2＝1左右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为双曲线渐近线上一点，若以F1F2为直径的圆经过P点，且∠APB＝．则该双曲线的渐近线方程为．16．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．三、解答题：共70分．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学理科安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B D C B C B A A C D11．提示：考虑函数ln 1(0)y ax x =->与24(0)y x ax x =+->的图象，不难知它们有公共的零点t 时，()0f x ≥恒成立．于是，24e at t =-= 12．提示：取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111A B AEM ≌△，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时，MN 最小．此时由MF ⊥面1111A B C D ，可知MFN △为等腰直角三角形，MF =，故122()222PM PM EM MF AA +=+=+≥=（）．三、解答题：共70分。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）【解析】（1）由题，222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++ 1cos()1cos()2cos cos A B A B A B =--++++22cos()22cos A B C =++=-1=，解得1cos 2C =，所以60C =︒． （6分） （2）由余弦定理，22216c a b ab =+-=，再由222||38CA CB a b ab +=++= ，解得2227a b +=，11ab =，所以2()49a b +=，7a b +=，故ABC △的周长为11．（12分）18．（12分）【解析】（1）因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥，由PAB △为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥，又PB BC B = ，故PA ⊥平面PBC ． （5分）（2）取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为PA PB =，AD BD =，所以PO AB ⊥，DO AB ⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则1AO BO PO ===，2DO ==， 又BC AB ⊥，DO PA ⊥，所以//OD BC 且OD BC =，于是 (0,0,1)P ，(0,1,0)A -，(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(2,1,1)PC =- ，(0,1,1)AP = ，(2,1,0)AD = ， 设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则 020n AP y z n AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =得平面PAD 的一个法向量(1,2,2)n =- ， 设直线PC 与平面PAD 所成的角为α，则sin cos ,||||PC n PC n PC n α⋅=<>==⋅ （12分）19．（4a =；|5PF ==，此时3a =-．综上，实数a 的值为3-或4． （6分）（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以MA x ∥轴且MO MA MP ==，（12分）20．（12分）【解析】（1）2()2(sin cos )x x f 'x e e x x λ=+-，(0)2f 'λ=-，(0)f λ=-，所以直线l 方程为(2)y x λλ=--，即(2)(1)2y x λ=-+-，恒过点(1,2)--． （5分）21．（12分）【解析】（1）由题，X 的可能取值为1k 和1k k+， 1()(1)k P X p k==-，1(1(1)k k P X p k +==--，故X 的分布列为 111()(1)[1(1)]1(1)k k k k E X p p p k k k+=⋅-+⋅--=--+． （5分） （2）（ⅰ）由（1），记1()1(1)k f p p k=--+，因为0k >，所以()f p 在(0,1)p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理． （8分）（ⅱ）记11()1(1)10.9k k g k p k k=--+=-+，当()1g k <且取最小值时，该方案最合理， 因为(1) 1.1,(2)0.69,(3)0.604,(4)0.594,(5)0.61g g g g g ==≈≈≈，所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次． （12分）（二）选考题：共10分。

安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}11,1A x B x x x ⎧⎫=∈>-=∈>⎨⎬⎩⎭R R ，则A B =（ ） A. ()1,+∞ B. ()0,∞+C. ()(),10,-∞-+∞ D. ()(),11,-∞-+∞『答案』D『解析』由11A x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭R{0x x =>或}1x <-， {}1B x x =∈>R {1x x =>或}1x <-，所以AB =()(),11,-∞-+∞.故选：D.2.已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 43i +B. 43i -C. 43i -+D. 43i --『答案』A『解析』由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A.3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A.2728倍 B.4735倍 C.4835倍 D.75倍 『答案』B『解析』设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==， 所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B.4.函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A. 2213y x -=B. 22126x y -=C. 2213x y -=D. 22162x y -=『答案』C『解析』由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±，b ∴=，连接FA，则FAb AO a ===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C.6.已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A.2 B. 3C.4 D. 5『答案』B『解析』作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π『答案』C『解析』由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，由正弦定理可得24sin120AD ==，解得2AD =，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以OA ==该几何体外接球的表面积为：(2432S ππ=⋅=.故选：C.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A. 247.79m B. 254.07mC. 257.21m D. 2114.43m 『答案』B『解析』由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458=，设三角形的腰为a，由正弦定理可得10135sin45sin2a=，解得1352a=，所以三角形的面积为：()211351cos135sin455022521222S⎛⎫-=⨯=⋅=+⎪⎝⎭，所以每块八卦田的面积约为：)21251454.078π-⨯⨯≈.故选：B.9.已知数列{}n a中，121,2a a==，且当n为奇数时，22n na a+-=；当n为偶数时，()2131n na a++=+．则此数列的前20项的和为（）A.1133902-+ B.11331002-+C.1233902-+ D.12331002-+『答案』A『解析』当n为奇数时，22n na a+-=，则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =++++=+++++++()()()24201091012111102a a a ⨯=⨯+⨯++++++-()1101313100101333902-=+--+=-.故选：A.10.函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()506g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 2f x x =B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()2sin f x x =-D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭『答案』A『解析』由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()0g =所以sin A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.11.已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A. 2eB. 4eC.D.『答案』D『解析』如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩24at t e =-=，解得a = 故选：D.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则2PM +的最小值为（ ）A.B.C.D.2『答案』D『解析』取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，MF =，故()1222222PM PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22a a a a ==，则13a =__________． 『答案』1232 『解析』由247941499,22a a a a ==， 所以1055792412a a q q a a ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.2243492a a a ==，所以3232a =， 所以1010133212313222a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：1232 14.6⎛⎝__________． 『答案』160-『解析』(()5636616612rrrr rr rr T C C x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，由51362r-=，可得3r =. ∴系数为()3633612160C --⋅⋅=-.故答案为：160-15.如图，两个同心圆O 的半径分别为2，AB 为大圆O 的一条 直径，过点B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为M ，点P 为劣弧BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则()AM BP CP +的最大值是__________．『答案』8『解析』以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A -、()2,0B ，由2,OB OM ==OM BC ⊥，所以45BOM ∠=，所以()1,1M ，即()3,1AM =又OM 平分BC ，所以90BOC ∠=，则()0,2C ,设()2cos ,2sin P θθ，则()2cos 2,2sin BP θθ=-，()2cos ,2sin 2CP θθ=-，所以()4cos 2,4sin 2BP CP θθ+=--，所以()()12cos 64sin 28AM BP CP θθθϕ+=-+-=+-()8θϕ=+-，sinϕϕ⎛== ⎝，所以()AM BP CP +的最大值是8.故答案为：8.16.已知两动点,A B 在椭圆()22211x C y a a+=>上，动点P 在直线34100x y +-=上，若APB ∠恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．『答案』0,3⎛ ⎝⎭『解析』根据题意可得，圆2221x y a +=+上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直， 因此当直线 34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离时， APB ∠恒为锐角，故2214a +<=，解得213a <<从而离心率0,3e ⎛= ⎝⎭.故答案为：0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A B A B -+++= （1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=，求的周长解：()1由题222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++()()1cos 1cos 2cos cos A B A B A B =--++++()22cos 22cos 1A B C =++=-= 解得1cos 2C =，所以60C ︒= ()2由余弦定理，22216c a b ab =+-=， 再由22238CA CB a b ab +=++= 解得：2227,11a b ab +==所以()249,7a b a b +=+=故ABC ∆的周长为1118.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥平面, ,2,PAB PA PB AB BC AD BD =====（1）求证：PA ⊥平面PBC ；（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值．()1证明：因为BC ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥由PAB ∆为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥又PB BC B ⋂=，故PA ⊥平面PAB .()2解：取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为, PA PB AD BD ==，所以,PO AB DO AB ⊥⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面,ABCD PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz -则 1AO BO PO ===， 2DO =，又,BC AB DO PA ⊥⊥，所以//OD BC 且,OD BC =于是 ()()()(),,0,0,10,1,02,0,02,10,,P A D C -()()()2,1,10,1,12,,,,10PC AP AD =-==，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则·0·20n AP y z n AD x y ⎧=+=⎨=+=⎩ 令1x =得平面PAD 的一个法向量()1,2,2n =-设直线PC 与平面PAD 所成的角为α， 则6sin cos ,963PC nPC n PC n α====19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点．（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积．解：()1由题，()1,0F ，若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94a >时， 设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，则,,D P A 三点共线时， PA PF +的最小值为()15AD a =--=，此时4;a =若线段AF 与抛物线C 有公共点，即94a ≤时， 则,,A P F 三点共线时， PA PF +的最小值为：5PF ==，此时3a =-综上，实数a 的值为3-或4.()2因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且 MO MA MP ==，设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线C 的方程解得29,t =于是 MO MA MP ===， 所以191322OPA p S MA y ∆== 20.已知函数()()2cos 1x x f x e e x R λλ=--∈，直线l 是曲线()y f x =在0x =处的切线．（1）求证：无论实数λ取何值，直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线l 经过点()1,6，试判断函数()f x 的零点个数并证明．解：()()()()()2 1 '2'022,,0x x f x e e sinx cosx f f λλ=+-=-=-所以直线l 方程为()2,y x λλ=--即()()212y x λ=-+-，恒过点()1,2.--()2将()1,6代入直线l 方程，得 2.λ=-考虑方程()0,f x =即2210x x e cosxe +-=，等价于20,x x e ecosx --+= 记()2x x g x e e cosx -=-+，则()'22220,x x g x e e sinx sinx sinx -=+-≥=-≥于是函数()g x 在R 上单调递增，又()220,0202g e e g πππ-⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭ 所以函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点， 即函数()f x 存在唯一零点. 21.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数． 解：（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k+ ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()11111111k k k k E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >， 所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．（1）求线段AB 长的最小值；（2）求点M 的轨迹方程．解：()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y += 即()22416,x y +-=圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线，易知()2,2P 在圆2C 内，当2PC AB ⊥时，线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，设()2,, M x y C M PM ⊥，()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，化简得()()223:12x y -+-=，当点M 与点P 重合时，也满足上式，故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-=23.已知非零实数,a b 满足a b <．（1）求证：332222a b a b ab -<-；（2）是否存在实数λ，使得2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，请说明理由解：()()()()()3322221222a b a b ab a b a ab b ab a b ---=-++--()()()2222324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,0a b a b <∴-< 又223024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ 332222a b a b ab ∴-<- ()22211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即3322b a b a a b abλ--≥ 即()2222*b ab a a b abλ++≥ ①当0ab >时，()*即22221b ab a b a a b a bλ++≤=++恒成立 22b a b a a b a b+≥= （当且仅当a b =时取等号），故3λ≤②当时()0,*ab <22221b ab a b a a b a bλ++≥=++恒成立 22b a b a b a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥-综上，[]1,3λ∈-。

注意事项：安徽六校教育研究会2020 届高三第二次素质测试数学（理科）1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12 个题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A = {x ∈ R | 1> -1} ，B = {x ∈ R | x |> 1} ，则A I B = xA．(1, +∞) B．(0, +∞) C．(-∞, -1) Y (0, +∞) D．(-∞, -1) Y (1, +∞)2．已知复数z 满足：z i = 3 + 4i （i 为虚数单位），则z =A．4 + 3i B．4 - 3i C．-4 + 3i D．-4 - 3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% ．2015 年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019A．37倍B．47倍C．48倍D．7倍2835 35 54．函数y = sin | x | + x在x ∈[-2π , 2π ] 上的大致图象是A．B．C．D．43 32 ⎨x 2 y 25．已知双曲线 C : - = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F ， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与双a 2b 2曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 A ( 3 , 3) ，则双曲线 C 的方程为2 2A ． x 2 - y = 1 3 x 2 y 2B ． - = 1 2 6 ⎧x + y -1 ≥ 0 x 2C ． - y 2= 1 3 x 2 y 2D ． - = 16 26．已知实数 x , y 满足不等式组 ⎪2x - y + 4 ≥ 0 ，则| 3x + 4 y | 的最小值为 ⎪⎩4x + y - 4 ≤ 0A ． 2B ． 3C ． 4D ． 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A ． 24πB ． 28πC ． 32πD ． 36π正视图 侧视图俯视图 8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为 4m ，则每块八卦田的面积约为 A ． 47.79m 2 B ． 54.07m 2 C ． 57.21m 2 D ．114.43m 29．已知数列{a n } 中，a 1 = 1 ， a 2 = 2 ，且当 n 为奇数时，a n +2 - a n = 2 ；当 n 为偶数时，a n +2 + 1 =3(a n + 1) ．则此数列的前 20 项的和为311- 3 A ． 2 + 90 311 - 3 B ． 2+ 100312 - 3C ． 2+ 90D ． 312 - 32+ 10010．函数 g (x ) = A sin(ω x + ϕ )( A > 0,ω > 0, 0 < ϕ < 2π ) 的部分图象如图所示，已知 g (0) = g ( 5π) =6y = f (x ) 的图象可由 y = g (x ) 图象向右平移 π个单位长度而得到，则函数 f (x ) 的 3 解析式为 A ． f (x ) = 2 s in 2x B ． f (x ) = 2 s in(2x + π)3 C ． f (x ) = -2 s in 2x D ． f (x ) = 2 s in(2x - π)31 3 y3O π65π 6x111．已知函数 f (x ) = (ln ax -1)(x 2 + ax - 4) ，若 x > 0 时， f (x ) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的值为A ． 2eB ． 4eC D12．如图，棱长为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，P 为线段 AB 1 的中点，M , N 分别为线段 AC 1 和棱 B C 上任意一点，则 2PM A ． 2B C 的最小值为D ． 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈R|x1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞)2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍 B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2π，2π ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222by a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x6．已知实数x,y满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+44421yxyxyx，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m，代表阴阳太极图的圆的半径为4m，则每块八卦田的面积约为A．47.79m2 B. 54.07m2 C．57.21m2 D．114.43 m29．已知数列{a n}中，a1=l，a2 =2，且当n为奇数时，a n+2-a n=2；当n为偶数时，a n+2+l= 3(a n+1)．则此数列的前20项的和为A．23311-+90 B．23311-+100 C．23312-+90 D．23312-+10010．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=AxAxf的部分图象如图所示，己知3)65()0(==πgg，函数y=f（x）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为 A ．2e B ．4e C ．ee -4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别 为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A.22B ．2C ．3D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，再求出元素个数即可.【详解】因为，所以中元素的个数为.故选：B【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足：（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.3.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与年以前的年均脱贫率相比即可.【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为.所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.5.已知首项为正数的等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.【详解】因为，，所以，即.因为，.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设，根据的图象和值域得到的范围，即可得到的范围，从而得到的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.【详解】令，的图象如下所示：因为值域为，所以的最大范围为，最小范围为.所以，，，.即的最大值为，最小值为.所以可能为.故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，，根据余弦定理得到，再根据图形计算八卦田的面积即可.【详解】如图所示：设，.，解得：.因为.所以每块八卦田的面积.故选：C理计算三角形面积，属于中档题.9.锐角中，角，所对的边分别为，若，，则角的大小为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简得到，根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【详解】因为，所以.因为为锐角三角形，所以，即.，即.因为，即，解得：.因为为锐角三角形，所以.故选：D查了三角函数的恒等变换，属于中档题.10.函数在上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.11.若定义在上的增函数的图象关于点对称，且，令，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.【详解】因为函数向左平移一个单位得到，函数的图象关于点对称，所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.B选项，，故B正确.C选项，，故C正确.D选项，，因为在上为增函数，所以，即.所以，故D正确.故选：A【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.【详解】连接，过作，连接，过作.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.所以.又因为，所以.即.因为，所以.在中，.因为，所以.即，.所以.即的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量，满足，则向量的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先化简得到，再计算即可得到.【详解】，，解得.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题.14.已知函数，则使得的的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到：，再根据的范围解不等式即可.【详解】由题知：，即.因为，所以.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题.15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________【答案】【解析】【分析】首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处，再计算外接球半径及表面积即可.【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.在中，如图所示：为中点，，所以.，，.，.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题.16.已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.【详解】设，过点切线为，由题知：联立，因为直线与椭圆相切，所以，整理得：.设切线，的斜率分别为，，因为，所以，即.所以点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为.，解得.又因为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.17.已知数列前项和为，且（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）由题知：①，当时，②，①②化简得：，即，又因为当时，，，所以是以首项为，公差为的等差数列.即，.（2）由（1）知，再利用分组求和的方法即可得到.【详解】（1）由题知：①，当时，②，①②得：.所以，即：.当时，，解得，则.所以是以首项为，公差为的等差数列.，即.（2）..【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题.18.受“非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，具体情形统计如下表所示：自受影响后第周猪肉单价（元/斤）（1）求猪肉单价关于的线性回归方程（2）当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：，参考公式：【答案】（1）；（2）应从第周开始【解析】【分析】（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算，，即可得到回归直线方程.（2）分别计算当和时对应的值，比较即可得到结论.【详解】（1），.，.所以，.故.（2）当时，，当时，，所以应从第周开始释放进口猪肉.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面，.（1）求证：平面；（2）求顶点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先由已知得到，根据平面得到，再利用线面垂直的判定即可证明平面.（2）首先取的中点，连接，，根据，得到平面，设点到平面的距离为，再利用等体积转化即可求出.【详解】（1）因为为等腰直角三角形，所以.平面，平面，所以.平面.（2）取的中点，连接，.因为和均为等腰三角形，所以，.因平面，平面，所以.平面.在中，，所以.在中，，，所以.又因为，，，所以四边形为矩形，即，.在中，，，所以.因为在中，，，所以.设点到平面的距离为，因为，即，.【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查点到面的距离，等体积法为解题的关键，属于中档题.20.已知函数，直线是曲线在处的切线经过点.（1）求实数的值；（2）若函数，试判断函数的零点个数并证明.【答案】（1）；（2）一个，证明见解析【解析】【分析】（1）首先求导，计算得到切点为，计算得到切线斜率，再利用点斜式即可写出切线方程，代入解即可.（2）求导得到，函数在上单调递增，根据计算，，即可得到函数在区间上存在唯一零点.【详解】（1）.因为，所以切点为..所以曲线在处的切线方程为.将代入，解得：.（2）所以函数在上单调递增，又，.所以函数在区间上存在唯一零点，即函数存在唯一零点.【点睛】本题第一问考查导数中的切线问题，第二问考查利用导数求函数零点个数问题，属于中档题.21.已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点为坐标原点.（1）若的最小值为，求实数的值；（2）若梯形内接于抛物线，，的交点恰为，且，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别讨论和时的最小值，根据图形即可求出的值.（2）首先设，，，根据得到点在与中点连线上，从而得到点的坐标及.再设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根系关系即可得到，解出的值即可得到直线的方程.【详解】（1）①当线段与抛物线没有公共点，即时,设抛物线的准线为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，故.②当线段与抛物线有公共点，即时，.故或（舍去）.综上.（2）设，，，则，.因为，所以，即.即线段与的中点纵坐标相同，故中点与中点连线平行于轴.由平面几何知识知：点在与中点连线上，故.于是，.设直线的方程为，.，.所以.解得：，故直线的方程为，即.【点睛】本题第一问考查根据抛物线的定义求最值问题，第二问考查根据直线与抛物线的弦长求直线方程，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．（1）求线段长的最小值；（2）求点的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为当点与点不重合时，设，化简得当点与点重合时，也满足上式，故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.23.已知非零实数满足．（1）求证：；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】又即即①当时，即恒成立（当且仅当时取等号），故②当时恒成立（当且仅当时取等号），故综上，【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，再求出元素个数即可.【详解】因为，所以中元素的个数为.故选：B【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足：（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.3.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与年以前的年均脱贫率相比即可.【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为.所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.5.已知首项为正数的等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.【详解】因为，，所以，即.因为，.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设，根据的图象和值域得到的范围，即可得到的范围，从而得到的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.【详解】令，的图象如下所示：因为值域为，所以的最大范围为，最小范围为.所以，，，.即的最大值为，最小值为.所以可能为.故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，，根据余弦定理得到，再根据图形计算八卦田的面积即可.【详解】如图所示：设，.，解得：.因为.所以每块八卦田的面积.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理计算三角形面积，属于中档题.9.锐角中，角，所对的边分别为，若，，则角的大小为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简得到，根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【详解】因为，所以.因为为锐角三角形，所以，即.，即.因为，即，解得：.因为为锐角三角形，所以.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.10.函数在上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.11.若定义在上的增函数的图象关于点对称，且，令，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.【分析】首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C 选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.【详解】因为函数向左平移一个单位得到，函数的图象关于点对称，所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.B选项，，故B正确.C选项，，故C正确.D选项，，因为在上为增函数，所以，即.所以，故D正确.故选：A【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】C首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.【详解】连接，过作，连接，过作.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.所以.又因为，所以.即.因为，所以.在中，.因为，所以.即，.所以.即的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量，满足，则向量的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先化简得到，再计算即可得到.【详解】，，解得.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题.14.已知函数，则使得的的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到：，再根据的范围解不等式即可.【详解】由题知：，即.因为，所以.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题.15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________【答案】【解析】【分析】首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处，再计算外接球半径及表面积即可.【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.在中，如图所示：为中点，，所以.，，.，.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题.16.已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.【详解】设，过点切线为，由题知：联立，因为直线与椭圆相切，所以，整理得：.设切线，的斜率分别为，，因为，所以，即.所以点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为.，解得.又因为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.17.已知数列前项和为，且（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）由题知：①，当时，②，①②化简得：，即，又因为当时，，，所以是以首项为，公差为的等差数列.即，.（2）由（1）知，再利用分组求和的方法即可得到.【详解】（1）由题知：①，当时，②，①②得：.所以，即：.当时，，解得，则.所以是以首项为，公差为的等差数列.，即.（2）..【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题.18.受“非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，具体情形统计如下表所示：自受影响后第周猪肉单价（元/斤）（1）求猪肉单价关于的线性回归方程（2）当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：，参考公式：【答案】（1）；（2）应从第周开始【解析】【分析】（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算，，即可得到回归直线方程.（2）分别计算当和时对应的值，比较即可得到结论.【详解】（1），.，.所以，.故.（2）当时，，当时，，所以应从第周开始释放进口猪肉.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面，.（1）求证：平面；（2）求顶点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先由已知得到，根据平面得到，再利用线面垂直的判定即可证明平面.（2）首先取的中点，连接，，根据，得到平面，设点到平面的距离为，再利用等体积转化即可求出.【详解】（1）因为为等腰直角三角形，所以.平面，平面，所以.平面.（2）取的中点，连接，.因为和均为等腰三角形，所以，.因平面，平面，所以.平面.在中，，所以.在中，，，所以.又因为，，，。