高斯小学奥数含答案三年级(下)第17讲找位置

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

生活中，我们经常遇见像开篇漫画这样的找位置的情况．找位置的时候，一定要分清行列．“横行竖列”．一般地，从上往下，依次称为第一行、第二行、第三行⋯⋯从左往右依次称为第一列、第二列、例题1. 如表所示，把正整数依次排列，请问：40 这个数在第几行第几列？58 呢？123456789101112131415161718192021222324分析」试着按着表里的规律继续写几列．你能发现什么规律．做这类题时，一开始的时候可以慢一点，不要着急赶速度，一定要认真想清楚计算的结果代表的含义．例题2. 某小城的城区主要分为11条大道（示意图如下），由于住户不多，所以所有的门牌号都是连续依次排着的，小胖住在第二大道，并且门牌号是第二大道上第五小的，那么小胖住在几号？住在30 号的小瘦要到小胖家玩，至少需要走多远？（假设相邻的门牌号之间都相距100 米，并且只能横着或者竖着走，不能斜着走，例如从3号到5 号至少要走200米，而3 号到16号就至少要走300米）第十一大道 「分析」 先找到他们两家分别都在什么地方， 如有必要自己动手画一画、 写一写， 把图中没有标出 的位置标出来．练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距 500米，那么从 8 号地区走到 21号 地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走） 1 2 3 4 59 10 11 12 13 141819 20 21 22 23 27从一个位置横平竖直地走到另一个位置， 只要计算两个位置之间行序号、 列序号的差异， 将这两个 差求和即可．这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数， 以及在间隔问题中学过的求间隔数 的方式是一致的．同学们可以细心体会一下．学习等差数列求和时， 我们曾经学习过 和 中间数 项数 ．在找位置中， 我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后， 放上一个十字架， 十字架会盖住 5 个数字，图中的十字架盖住了 8、12、13、14、18 这 5 个数字，它们的和为 65，请问：（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数 字之和为 123？（ 2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为 120？112 23213 24 314 25 415 26 516 2711 22 33一大道 第二大道 第三大道 第四大道 第五大道练习：3. 下表中有上下相邻的两个数字之和为49，请问：这两个数中较小的那个是多少？除了在表格中会涉及到位置相关的问题之外，在队列里同样也有位置的问题，接着我们来看一个队列里的问题．除了一条线的队列，有时我们也站成一个圆圈．和直线的情况不同，圆圈的情况会周而复始．这和我们之前学过的什么问题有关呢？例题5. 100名同学站成一圈，从班长萱萱开始，顺时针数下去，萱萱算1号，依次是2号、3号手．请问：1）第 10 个拍手的同学是几号？2） 10 号同学第二次拍手时，已经有多少次拍手了（这一次拍手也计算在内）？分析」 拍手的同学的序号有什么规律？ 10 号同学下一次拍手的时候，实际上是第几个人？例题6. 一块草地上，有一些树坑排成 7 8的方阵，如图所示： 7列B 两人一开始分别在左上角和右下角， A 沿“ S ”形每次隔过 2 个树坑跳一下， B 沿“ S ”形每次隔 过 1 个树坑跳一下（如图） ．请问， A 、B 两人将会在第 行，第 列的树坑相遇？到 100 号．萱萱拍了一下手；跳过 1 名同学， 3 号同学拍了一下手；又跳过 2 名同学， 6 号同 一下手；又跳过 3名同学， 10号同学拍了一下手⋯⋯就这样依次跳过一直 1、2、3、4、 5 名同学，拍 A 、随机数表随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数组成，并保证表中每个位置上出现哪一个数字是随机数表等概率的，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的概率相等．真正的随机数是使用物理现象产生的：比如掷钱币、骰子、转轮、使用电子元件的噪音、核裂变等等．这样的随机数发生器叫做物理性随机数发生器，它们的缺点是技术要求比较高．而通常我们使用的随机数表是使用伪随机数，这些数列是“似乎”随机的数，实际上它们是通过一个固定的、可以重复的计算方法产生的．计算机或计算器产生的随机数有很长的周期性．它们不真正地随机，因为它们实际上是可以计算出来的，但是它们具有类似于随机数的统计特征．采用随机号码表法抽取样本，完全排除主观挑选样本的可能性，使抽样调查有较强的科学性．比如，对银行来说，银行的ID 和密码非常脆弱．如果有随机数表，就可以防备此类事件．随机数表是指为每个客户指定各不相同的数字列表，申请时将该随机数表分配给客户，而不是按照一定的规律给出，这就安全很多．作业：1. 找一找，27和33这两个数分别在下表中的第几行第几列？16111627121738131849141951015202. 某小城的城区主要分为8 条大道（示意图如下），由于住户不多，所以所有的门牌号都是连续依次排着的，小云住在第二大道，并且门牌号是第二大道上第四小的，那么小云住在几号？住在23 号的小雨要到小云家玩，至少需要走多远？（假设相邻的门牌号之间都相距100 米，并且只能横着或者竖着走，不能斜着走）3. 下表中有一行的和为 140，那么这一行最左边的数是多少？ 1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 204.49个战士排成一列，从 1到 3报数，中间的那个战士报了多少？ 5. 40人排成一圈，从 1号到 30 号， 1号同学拍了一下手，然后每隔 2人有一名同学拍一下手， 即，接下来是4号同学、 7号同学⋯⋯拍手． 请问， 1号同学下一次拍手时， 已经有多少次拍手了？ （这一次拍手也计算在内）19210 311 4128 16大道 第二大道 第三大道 第四大道 第八大道解答：观察发现，每行有8 个数，可以看成8 个数一周期． 40 8 5 ，说明填满了 5 行，因此40 在第 5 行最后一个，即第5行第8列． 58 8 7L L 2，说明填满了7行，还多写了 2 个数．这2个数写到了下一行，也就是第8行．因此58在第8行第 2 列．2. 例题2答案：小胖在第46 号；至少需要走800 米．解答：观察发现，每列有11个房子．小胖住在第2行第5列，因此前4列已经被填满了，还要填两个房子才到第2个行．因此小胖家是 11 4 2 46号．小瘦住在30号，按照例题1的方式计算： 30 11 2LL 8，小瘦住在第8 行第 3 列．从第8 行第 3 列到第 2 行第 5 列，需要走8 2 5 3 8 段距离．每段距离是100 米，因此至少需要走 100 8 800 米．3. 例题3答案：（1）不能（2）可以，盖住的 5 个数是19、23、24、25、29．解答：（1）观察发现，这样的十字架五个数的和，正好是正中间的数的5 倍，（上面的数比它少5，下面的数比它多5，左面的数比他少1，右面的数比它大1，正好抵消）．123 5 24L L 3 ，有余数，无法求出中间的数，因此不可能．（2） 120 5 24 ，中间数是24．这样利用上下左右和中间数的大小关系，可以找到被盖住的五个数．4. 例题4答案：（1）1；（2）17；（3）4．解答：（1）4 个数一个周期． 37 4 9L L 1，最后一个同学是周期的第一个人，报1．（2）解答：类似地，14 4 3L L 2，第14 个位置上的同学报2．那么顺着数下去，第14 到第17的同学依次报2、3、4、1．因此报 1的小高在第17个位置．（3）解答：卡莉娅是报 4 的同学，也就是第16位的同学．由于卡莉娅报成了3．这样的话后面所有的同学都在周期中往前挪了一个数．最后一个同学原本报1，现在报 1 前面的4．5. 例题5答案：（1）55号；（2）20 次．解答：（1）第1个拍手的同学是1号，第二个拍手的同学是 1 2 3号，第3个拍手的同学是 1 2 3 6号⋯⋯第10 个拍手的同学是 1 2 L 10 55号．（2）第二次数到10 号同学，他是第110 个同学，经尝试，1 2 L 13 91，1 2 L 14 105，因此第110 个同学不拍手．第三次数到10号同学，他是第210 个同学．经尝试 1 2 L 20 210．此时他拍了手．这是第20 次拍手．简答：可以反向思维，让他们从相遇的坑跳回去．共56个坑，不算相遇点的坑， A 每次跳过3个，B 每次跳过 2 个．每次两人共跳过 5 个．，因此需要跳11 56 1 5 11 次．这样 A 跳过了 3 11 33 个坑，到达了第34个坑， 34 8 4L L 2 ，因此是填满了4列之后的第2个．是第2行第5列．7. 练习1答案：第5行第6列；第7行第4列．简答：6个数一周期． 30 6 5，在第5行第6列．40 6 6L L 4，在第7行第4列．8. 练习2答案：3500 米．简答：9 个数一周期．8 号地区在第 1 行第8 列． 21 9 2L L 3，21 号在第 3 行第 3 列．一共需要走 3 1 8 3 7 段， 7 500 3500米．9. 练习3答案：22．简答：上下相邻的两个数的差是5，和是49．利用和差问题，小数是49 5 2 22 ．10. 练习4答案：4．简答： 56 4 14 ，14 个整周期，最后一个人报4．11. 作业1答案：27在第2行第6列；33在第3行第7列．简答：5个数一个周期． 27 5 5L L 2，27在第2行，第5 1 6列．33 5 6L L 3，33在第3行，第 6 1 7 列．12. 作业2答案：小云住在26 号；要走600 米．简答：小云住在第 2 大道第 4 列， 8 3 2 26号． 23 8 2L L 7 ，小雨住在第7 大道第 3 列．因此他们相差7 24 3 6 段距离，也就是 6 100 600 米．13. 作业3答案：26．简答：中间数140 5 28 ，因此最左边的数是 28 2 26 ．15. 作业5答案：41．简答：每 3 人一周期，周期的第一个人拍手． 41 3 13L L 2 ，不拍手． 81 3 27 ，不拍手．121 3 40L L 1，拍手，是第 40 1 41 次．。

第十七讲复杂竖式数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．竖式问题常见突破口有：1.首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；2.位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；3.相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们转化成基本问题加以解决．例题1请将右面的竖式补充完整．「分析」比较一下“□□□”和“□8”，这两个数分别是怎么来的呢？能得出什么结论呢？ 练习1请将右面的竖式补充完整．找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．例题2在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A 、B 、C 、D 各代表什么数字？（请写出所有可能）「分析」多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加法竖式．从哪部分更容易找到突破口呢？ 练习2在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数ABCD 是多少？×4× 286×8A B ×C D11 D D 8A B ×C D2 6 D D 1对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个不同的一位数，所得结果的关系或差异．例题3如图所示是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立．「分析」中间的三个乘积有什么大小关系呢？ 练习3请将右面的竖式补充完整．与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．例题4请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？「分析」除数是个三位数，它与商的百位和十位的乘积分别是234和351，你能求出除数是多少吗？ 练习4请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？×3 0 85 0 4 7 23 24 8×2 1 98 12 3 43 5 113 7 24 9 6例题5请把图中的乘法竖式补充完整．「分析」哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对比三个乘积，为什么有些是三位数，有些是四位数？你能填出第一个乘数的百位吗？×3 294 55例题6请把图中的除法竖式补充完整． 「分析」这个竖式中几乎都是空格，我们只好观察位数信息．竖式中包含了五个减法，发现什么熟悉的突破口了吗？ 课堂内外细说谜语谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“廋辞”或“隐语”．它起源于春秋战国，那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜语．汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的文字谜．南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟．隋唐时谜语由民间进入宫廷，许多皇帝都喜欢猜谜．北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐趣．南宋时，每逢元宵节，人们将自己制作的谜语挂在花灯上，供人们边观灯边猜谜取乐．南宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”．明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并出现了研究谜语制作的专门著作．谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式，并一直流传至今．谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎．在中国已经有2500年历史了，到清代其体系已经完备．谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱．谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜等等．并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填词一样）．谜语构成有四大要素：1. 谜面：是给猜谜者了解意图的谜题；2. 谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格 秋千格等）；3. 谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字 打一城市名等）；4. 谜底：是谜语的答案．4 5猜谜语之前，首先要看清楚谜面，再看看有没有谜格的要求，下来就看谜目是什么了．如果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了．例如：“颜料门市部”（打国家名字一）——以色列 谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列． 顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样 的颜料啦．作业1. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么第二个乘数是多少？2. 在左下图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．则乘积是多少？3. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？4. 在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么被除数是多少？5. 在右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么被除数是多少？6 76 123 6 92 4 6第十七讲 复杂竖式1.例题1答案：5812696⨯= 详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比2小，排除0，只能是1，进而得第一个乘数个位是8；再根据结果百位的6，可得乘法竖式为5812696⨯=． 2.例题2答案：54⨯详解：先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为108，即108⨯=AB D ．那么就有542⨯、363⨯、274⨯、186⨯、129⨯五种可能；再根据第二个乘式1⨯=AB C D ，可得AB 为36和12都是不可能的； 当AB 为54时，根据尾数分析可得，C 为3，所以有5432⨯；当AB 为27时，根据尾数分析可得，C 只能是2，27254⨯=不是三位数，所以不成立； 当AB 为18时，根据尾数分析可得，C 为7，所以有1876⨯； 综上所述，本题有两个答案． 3.例题3答案：37624893248⨯= 详解：先分析加法竖式，可得第一个加数为3008、第二个加数为1504、第三个加数为752； 这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数的个位是百位的4倍、十位是百位的2倍；那么第二个乘数就有124和248两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是0~9各一个”，可以排除124，正确结果是37624893248⨯=． 4.例题4 答案：27027 详解：分析竖式中的两个乘积234和351，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：2341172=⨯、3511173=⨯，所以除数为117、商为231； 接下来把竖式补充完整，可得被除数为27027． 5.例题5答案：495392194040⨯= 详解：如左上图，中间的三个乘数分别标为①、②、③．首先根据中间③的末位是5，可得第一个乘数的末位是5，那么中间①的个位是0； 接下来，比较分析①和③，它们分别是由第一个乘数乘以2和3所得，而①是三位数、③是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字所得的乘积②为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是9； 此时，竖式已经变成如右上图所示：根据①或②都可以判断出第一个乘数只能是495，由此可得结果为495392194040⨯=． 6.例题6答案：1000654123435067÷= 详解：首先，第一个减法竖式中有“黄金倒三角”，可得被除数前两位分别是1、0，①的十位是9； 除数4⨯=，所以除数十位为2，除数只可能是23或24，相应的①为92或96；再根据被除数个位为1，可得⑧⑨个位为1，而⑨是由除数乘以一个一位数所得，根据个位分析可得除数只能是23（排除24），①为92，且商个位为7，⑧⑨为161； 此时可得，⑤为235115⨯=，④的百位也是1；再观察竖式，被除数中的5所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为0；且⑥的百位、十位两个数字所组成的两位数要比23小，所以只能是15（百位为1、十位为5），由此可得④为116，且⑦的百位为1； 接下来分析16-=，由于⑦是由23乘以一个一位数所得且比150小，所以可得⑦是236138⨯=，即商的十位是6，⑥为154；此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了．根据第一个减法竖式可得其被减数只能是100或101，再结合23369⨯=、23492⨯=以及第二个减法竖式差为11可得，这两个减法竖式分别× 3 294 55① ② ③4 5 × 39294 55 1 54① ② ③4 5① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨是100928-=和806911-=；至此，整个竖式全部填完，为1000654123435067÷=．7. 练习1答案：12891068⨯=详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比8大，只能是9，进而尝试分析可得，只可能是12896⨯=、129108⨯=；所以乘法竖式为12891068⨯=．8. 练习2答案：6793详解： 先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间的第一个乘积）为201，即201⨯=AB D ．那么只可能是673⨯； 再看第二个乘式，6⨯=AB C D ，即6763⨯=C ，可得C 等于9．9. 练习3答案：21901⨯简答：先分析加法竖式，可得第一个加数为21、第二个加数为189；其中21只可能是211⨯，所以189219=⨯．（本题也可以根据189和21的9倍关系确定第二个乘数中的1和9）10. 练习4答案：42284简答：分析竖式中的两个乘积372和496，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：3721243=⨯、4961244=⨯，所以除数为124、商为341；接下来把竖式补充完整，可得被除数为42284．11. 作业1答案：901简答：首先把其中的加法算式补充完整：282520025228+=；再根据252是28的9倍，可得只能是28281=⨯、252289=⨯，即第一个乘数一定是28，第二个乘数为901．12. 作业2答案：3328简答：首先看加法算式，可得⨯AB D 的乘积为208，而208可以拆为524⨯或268⨯；再根据3⨯=AB C B ，可得AB 不能是26，只能为52，而C 则为6，竖式乘积为52643328⨯=．13. 作业3答案：15805简答：第二个乘数十位数字是0；根据乘积首位为1，可得两个乘数百位都是1；然后根据第一个乘数与第二个乘数个位数字的乘积可得第二个乘数的个位数字只可能是7或者9，然后逐一尝试即可．14.作业4答案：8931简答：67⨯=，即除数的个位是7，商的十位是1；然后根⨯=，所以一定是6717据6761⨯=．所以除数是687，商是13，被除数是8931．⨯=，可得一定是6873206115.作业5答案：39606简答：通过第一个乘积369和第二个乘积246可得除数为123，然后逐一分析即可．。

生活中，我们经常遇见像开篇漫画这样的找位置的情况•找位置的时候，一定要分清行列. “横行竖列”.一般地，从上往下，依次称为第一行、第二行、第三行 从左往右依次称为第一列、第二列、CT大概是 按承上T 的 数坐吧?件么蚌怕的肖我呢！加謝门可从 器设去过电議 超矶我怕…小高，悔怎么 坐我前位于呢！魚除电懸阮里右这 么务人啊！我们诛坐营甲呢?啧？怎么 有人坐若了？ 丽口那个人奸 像是小高!—天F 卡莉 娜藏协想去看 ，电彫了・ I卡罚妍直小髙的蒂助下晒利地找到了 座位，开开心心地看完了 一场电影.你逞7排15评.在、 前面呢！我带你过去吧，G 以后记住了.横着的才 足排哦！is 排7座！嘘 1 Ffl^y r 总院里耍汰持 玄靜，给型頁 ：看捺的默吧・「分析」试着按着表里的规律继续写几列•你能发现什么规律.做这类题时，一开始的时候可以慢一点，不要着急赶速度，一定要认真想清楚计算的结果代表的含 义.例题2.某小城的城区主要分为~~11条大道（示意图如下），由于住户不多，所以所有的门牌号都是 连续依次排着的，小胖住在第二大道，并且门牌号是第二大道上第五小的，那么小胖住在几号？住在 30号的小瘦要到小胖家玩，至少需要走多远？（假设相邻的门牌号之间都相距100米，并且只能横着或者竖着走，不能斜着走，例如从3号到5号至少要走200米，而3号到16号就至少要走300米）1 2 3 4 5 6 7 89 1011 12131415 16 1718 192021222324例题1.如表所示，把正整数依次排列，请问:40这个数在第几行第几列？58呢?「分析」先找到他们两家分别都在什么地方, 的位置标出来.练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8号地区走到21号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 - 9 10 11 12 13 14 ...18 19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置， 只要计算两个位置之间行序号、 列序号的差异，将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数， 以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的•同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数•在找位置中，我们也能发现类似的性质：第一大道 1 12 23第二大道2 13 24 第三大道3 14 25 第四大道4 1526 第五大道5162711 22 33如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出第十一大道例题3.把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了& 12、13、14、18这5个数字，它们的和为65,请问：（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123 ? （2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120?第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方, 如有必要自己动手画一画、写一写, 把图中没有标出的位置标出来.练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示,相邻的两个地区间相距500米,那么从8号地区走到21 号地区最少需要走多少米？(只能横着走或竖着走,不能斜着走)1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置, 只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异, 将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数, 以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时, 我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中, 我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后, 放上一个十字架, 十字架会盖住5个数字, 图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字,它们的和为65,请问： (1)是否可能放上一个十字架,使其盖住的数字之和为123？( 2)是否可能放上一个十字架,使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来.练习:2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8号地区走到21 号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中，我们也能发现类似的性质: 例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问:（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方, 如有必要自己动手画一画、写一写, 把图中没有标出的位置标出来.练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示,相邻的两个地区间相距500米,那么从8号地区走到21 号地区最少需要走多少米？(只能横着走或竖着走,不能斜着走)1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置, 只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异, 将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数, 以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时, 我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中, 我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后, 放上一个十字架, 十字架会盖住5个数字, 图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字,它们的和为65,请问： (1)是否可能放上一个十字架,使其盖住的数字之和为123？( 2)是否可能放上一个十字架,使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来.练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8 号地区走到21号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中，我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问：（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来.练习:2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8号地区走到21 号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中，我们也能发现类似的性质: 例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问:（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来．练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8 号地区走到21号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可．这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的．同学们可以细心体会一下．学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数．在找位置中，我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问：（1 ）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为1 23？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？第一大道11223第二大道21324第三大道31425第四大道41526第五大道51627第十一大道112233「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来.练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8号地区走到21 号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）1 2 3 4 5 (9)10 11 12 13 14 (18)19 20 21 22 23 (27)从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可.这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的.同学们可以细心体会一下.学习等差数列求和时，我们曾经学习过和中间数项数 .在找位置中，我们也能发现类似的性质：例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问：（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？8。

《小学奥数》小学三年级奥数讲义之精讲精练第17讲应用题（二）含答案第17讲应用题（二）一、知识要点一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。

解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。

二、精讲精练【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。

问火车实际每小时行驶多少千米？练习1：1、一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。

但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？2、一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。

但实际到达时间是下午4时，提前2小时。

问火车实际每小时行驶多少千米？【例题2】小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。

回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？练习2：1、三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。

到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？2、甲、乙、丙3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带钱。

那么吃完后，丙应拿出4元8角钱，他应分别给甲、乙多少钱？【例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。

一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？练习3：1、有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进2筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。

1筐苹果和大箱子各重多少千克？2、有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7桶水，连缸共重390千克。

第十七讲牛吃草问题什么是“牛吃草问题”呢？同学们先来看看一个简单的例子：仓库里有一堆草，给4头牛吃，6天可以吃完，如果给3头牛吃，几天能吃完？ 这道题该怎么处理呢？我们可以借助下面这个关系式来进行求解：由于每头牛每天的吃草量是不变的，因此可以把它设为单位“1”．这样4头牛6天吃掉的草量就等于4624⨯=个单位，而3头牛每天吃掉“3”个单位的草，因此3头牛需要2438÷=天才能吃完．大家看，牛吃草问题是不是很简单？但是，这道题还不是真正的“牛吃草问题”呢．真正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库里吃草，而是去一片草地上吃草．大家能看出这其中的区别吗？地方更宽敞？草更新鲜？当然不是这些，最大的区别在于，仓库里草的总量是固定不变的，而草地上的草还在不停地生长，这样一来问题一下子就变复杂了．不过大家不用害怕，有了上面设单位“1”的方法后，这类题目的解法是很容易的，大家可以从下面的例子中学到这种方法．首先我们来看一下例题1，当草地原草量和生长量都告诉我们的时候，我们该如何解决“牛吃草问题”．-例题1一块草地有草180份，每天长5份．如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使得草永远吃不完，那么最多放养_______头牛；（2）6头牛，吃_______天；（3）10头牛，吃_______天；（4）_______头牛，吃18天；（5）_______头牛，吃15天．「分析」原有草量已知，要计算多少天可以把草吃完，关键是找出每天减少多少草量．练习1一块草地有草60份，每天长2份．那么：（1）要使得草永远吃不完，那么最多放养_______头牛；（2）5头牛，吃_______天；（3）7头牛，吃_______天；（4）_______头牛，吃10天；（5）_______头牛，吃15天．当原草量和生长量都未知时，我们该怎么办呢？例题2有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天就把草吃完了；如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了．（1）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？（2）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？「分析」这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长．假设1头牛1天吃1份草，会发现两种放养方法吃的总草量不同．为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了．练习2有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果放养21头牛，那么8天就把草吃完了．（1）放养多少头牛，12天才能把草吃完？（2）要使得草永远吃不完，那么最多放养多少头牛？我们可以把例2的方法总结一下，得出牛吃草问题的基本解题步骤：1.将每头牛每天的吃草量设为单位“1”；2.比较已知条件中的牛的吃草总量，算出草每天的生长量；3.计算草地原有草的总量；4.根据所问问题求解．前面的两道题都是草在生长，草的总量在增加．而实际生活中，草量有时也会随着时间不断减少，那么碰到这样的问题我们该怎么办呢？下面就来看一道这样的问题．例题3进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完．（1）放养多少只羊，12天才能把草吃完？（2）如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天？「分析」本题在羊吃草的同时，草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种．同前面的问题一样，我们还是要对比一下两个已知条件，算出草的减少速度和原有草总量．练习3进入冬季，有一片牧场上的草开始枯萎，因此均匀地减少．若在这儿放牛，可以供32头牛吃24天，或者供27头牛吃28天．（1）放养多少头牛，12天才能把草吃完？（2）如果在这片牧场上养21头牛，那么草可以供吃多少天？例题4有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？「分析」这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可．练习4一片草场，草每天都在均匀生长．如果在这片草场上放20头牛和24头羊，那么18天可以吃完；如果在这片草场上放15头牛和54头羊，那么15天就把草吃完．已知，一头牛每天吃的草量相当于3只羊每天吃的草量，请问如果在这片草地上放12头牛和18头羊可以吃几天？在前面的例题中，牛总是听话地呆在某一块草地上吃草，因此在吃的过程中，牛的数量不会发生改变．而实际上，牛有时不会老老实实呆在一块草地上的，它们会四处走动，而牛一走动就会改变草地上牛的数量．那么在吃草的过程中，牛的数量发生变化又该如何处理呢？请大家来看下面的问题．例题5一片草地，草每天都在均匀生长．有15头牛吃草，8天可以把草全部吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共需要多少天可以把草吃完？假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同．「分析」这道题牛的数量在变化，但同其他牛吃草问题一样，还是需要通过比较草量的变化求出每天生长的草量和原有草量．有很多的问题看上去和“牛吃草”毫无联系，但仔细观察就会发现，它们都只是换了个形式的“牛吃草”而已．这样的问题通常都可以看成牛吃草问题来求解，下面我们来看一个这样的例子．例题6有一个蓄水池装有8根排水管，某天天降大雨，雨水以均匀的速度不停地向这个蓄水池注入．后来有人想打开排水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把8根排水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果打开5根水管，需6小时把池内的水全部排光．想要4.5小时把池内的水全部排光，需同时打开多少根排水管？「分析」雨水注入蓄水池，排水管往外排水，这和牛吃草问题有什么类似呢？什么量相当于牛、什么量相当于草呢？课堂内外牛顿的故事牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．牛顿Newton（1642～1727，英国人）是大科学家，是近代科学的象征．他在世时作为科学界的主宰几乎被当作偶像崇拜．他作为英国皇家学会连任24年的终身会长，法国科学院至尊的外国院士，还兼任英国造币局局长和国会议员，并前所未有地被封为贵族，获得爵士称号．他死后作为自然科学家又第一个获得国葬，长眠于威斯敏斯特教堂，这是历代帝王和一流名人的墓地．牛顿去世之后，他的声望有增无减．他不仅有不朽的著作《自然哲学的数学原理》《光学》等流传于世，而且由于后继大师们的发展，他的思想观念长期统率着科学战线上的士卒．他在物理、数学研究上的主要成果，至今仍是各国大中学生必修的功课．牛顿名言：“我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就像是一个再海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现．”“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上．”“无知识的热心，犹如在黑暗中远征．”“你该将名誉作为你最高人格的标志．”“我能算出天体运行的轨道，却算不出人性的贪婪．”作业1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．那么要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？2.有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果放养8头牛，8天就把草吃完了；如果放养10头牛，6天就把草吃完了．如果放养14头牛，多少天就能把草吃完？3.有一片均匀生长的草地，可以供1头牛吃40天，或者供5只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量相当于3只羊每天吃的草．那么这片草地每天生长的草可供多少只羊吃1天？这片草地的原草量可供多少只羊吃1天？如果让1头牛与6只羊一起吃可以吃多少天？4.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，如果没有放养牛，牧场上的草全部枯萎需要多少天？5.一片草地，可供8头牛吃30天或者供10头牛吃25天．那么这片草地可供4头牛吃多少天？第十七讲牛吃草问题1.例题1答案：5；180；36；15；17详解：（1）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以需要放养5头牛；（2）方法一：6头牛每天吃6份，而草每天长5份，实际相当于每天消耗1份草，一共能吃1801180÷=天；方法二：6头牛派5头牛去吃每天新生长的草，而1头牛吃原草，仍然是180天；（3）方法同第二问，()÷-=天；18010536（4）方法一：18天，原草与新草一共是180518270+⨯=份，吃了18天，所以每天要吃2701015÷=份，所以需要15头牛；方法二：原草180份，吃18天，需要10头牛，但是还要有5头牛吃每天新长的草，一共要15头牛；（5）方法同第四问，18015517÷+=头．2.例题2答案：14；5详解：（1）设每头牛每天吃1份草，18头牛10天吃180份，24头牛7天吃168份．相差了18016812-=天的草，所以草每天的生长量是-=份，是因为多长了10731234-=÷=份．10天后是180份，10天长了40份新草，所以原草量是18040140份．140份草要14天吃完，需要10头牛，其中还需要4头牛吃每天的新草，一共需要10414+=头牛；（2）32头牛中有4头牛吃新草，剩下28头牛吃原有的140份草，所以需要吃÷=天．1402853.例题3答案：90；40详解：（1）设每只羊每天吃1份草，38只羊25天吃950份，30只羊30天吃900份．相差了95090050-=天的草，所以草每天的枯萎量-=份，是因为多枯萎了30255是50510⨯=份草，所以原草量是÷=份．30天后是900份，30天枯萎了3010300+=份．1200份草要12天吃完，即每天减少100份，其中每天枯萎900300120010份草，所以每天羊吃90份草，所以放养90只羊；（2）每天枯萎10份，放养20只羊，则每天一共减少30份，把1200份草吃光，需要12003040÷=天．答案：10详解：设每只羊每天吃1份草．14头牛可换为56只羊，所以56只羊30天吃⨯=份．每天的生长量是56301680⨯=份；70只羊16天吃70161120()()-⨯=份．17头牛和20 16801120301640-÷-=份，原草量是16803040480只羊相当于88只羊，其中有40只羊吃新草，剩下48只羊吃480份原草，需要10天．5.例题5答案：6天详解：设每头牛每天吃1份草，15头牛8天吃120份；15头牛7天，2头牛5天吃⨯+⨯=份．每天草的生长量是()()15725115-÷-=份．原草量是120115875-⨯=份．如果15头牛吃了2天，有5头牛吃原草，相当于还有10头牛1205880在吃原草，原草还剩下8010260-⨯=份．20头牛中5头牛吃每天新长的草，剩下的15头牛吃原有草，需要60154+=天．÷=天．一共用了2466.例题6答案：6根详解：设每根水管每小时排1份水，8根3小时排24份水，5根6小时排30份水，雨水每小时注入()()-⨯=份水．2根水-÷-=份水，池内原有2423183024632管用来排新注入的雨水，原水需要18 4.54÷=根水管，一共需要同时打开6根水管．7.练习1答案：2；20；12；8；6简答：（1）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以需要放养2头牛；（2）方法一：5头牛每天吃5份，而草每天长2份，实际相当于每天消耗3份草，一共能吃60320÷=天；方法二：5头牛派2头牛去吃每天新生长的草，而3头牛吃原草，仍然是20天；（3）方法同第二问，()÷-=天；607212（4）方法一：10天，原草与新草一共是6021080+⨯=份，吃了10天，所以每天要吃80108÷=份，所以需要8头牛；方法二：原草60份，吃10天，需要6头牛，但是还要有2头牛吃每天新长的草，一共要8头牛；（5）方法同第四问，601526÷+=头．答案：18；12简答：（1）设每头牛每天吃1份草，24头牛6天吃144份，21头牛8天吃168份．相差了16814424-=份，是因为多长了862-=天的草，所以草每天的生长量是24212÷=份．6天后是144份，6天长了72份新草，所以原草量是1447272-=份．72份草要12天吃完，需要6头牛，其中还需要12头牛吃每天的新草，一共需要61218+=头牛；（2）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以需要放养12头牛．9. 练习3答案：67；35简答：（1）设每头牛每天吃1份草，32头牛24天吃768份，27头牛28天吃756份．相差了76875612-=份，是因为多枯萎了28244-=天的草，所以草每天的枯萎量是1243÷=份．24天后是768份，24天枯萎了24372⨯=份草，所以原草量是76872840+=份．840份草要12天吃完，即每天减少70份，其中每天枯萎3份草，所以每天牛吃67份草，所以放养67头牛；（2）每天枯萎3份，放养21头牛，则每天一共减少24份，把840份草吃光，需要8402435÷=天．10. 练习4答案：30天简答：设每只羊每天吃1份草．20头牛可换为60只羊，所以84只羊18天吃84181512⨯=份；15头牛可换为45只羊，所以99只羊15天吃99151485⨯=份．每天的生长量是()()1512148518159-÷-=份，原草量是151********-⨯=份．12头牛和18只羊相当于54只羊，其中有9只羊吃新草，剩下45只羊吃1350份原草，需要30天．11. 作业1答案：12头简答：设每头牛每天吃草“1”，246144⨯=，218168⨯=，所以草每天生长量为 ()()1681448612-÷-=．要想草永远吃不完，牛每天吃掉的草不能超过草每天长的量，最多可放养12头牛，原草量不变．12. 作业2答案：4天简答：8864⨯=，10660⨯=，草每天生长量为()()6460862-÷-=，原草量是606248-⨯=．放养14头牛，草每天减少14212-=，经过48124÷=天草就吃完了．13. 作业3答案：1只；80只；10天简答：设每只羊每天吃草“1”，把牛转换为羊，340120⨯=，520100⨯=，草每天长()()12010040201-÷-=，可供1只羊吃一天．原有草量是12040180-⨯=，可供80只羊吃一天．1头牛和6只羊相当于是9只羊，可以吃()809110÷-=天．14. 作业4答案：30天简答：205100⨯=，16696⨯=，比较发现草每天枯萎()()10096654-÷-=．所以5天草共枯萎4520⨯=，原草量是10020120+=，没有牛的话，一共需要120430÷=天草全部枯萎．15. 作业5答案：50天简答：830240⨯=，1025250⨯=，比较30天吃的总草量240，和25天吃的总草量250，能判断出草在枯萎．草每天枯萎()()25024030252-÷-=，原草量是240302300+⨯=．有4头牛时，每天草的减少量是426+=，所以经过300650÷=天草吃完了．。

6生活中，我们经常遇见像开篇漫画这样的找位置的情况．找位置的时候，一定要分清行列．“横行竖列”．一般地，从上往下，依次称为第一行、第二行、第三行……从左往右依次称为第一列、第二列、第十七讲 找位置第三列……例题1.如表所示，把正整数依次排列，请问：40这个数在第几行第几列？58呢？1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24……………………「分析」试着按着表里的规律继续写几列．你能发现什么规律．练习：1.找一找，30和40这两个数分别在下表中的第几行第几列？1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18………………容易发现，要找到某个号码在第几行第几列，我们就要用到之前在周期问题中学过的知识．通过观察号码排列的周期规律，利用除法找到完整周期的个数，再看余数说明下一行中有几个数．做这类题时，一开始的时候可以慢一点，不要着急赶速度，一定要认真想清楚计算的结果代表的含义．例题2.某小城的城区主要分为11条大道（示意图如下），由于住户不多，所以所有的门牌号都是连续依次排着的，小胖住在第二大道，并且门牌号是第二大道上第五小的，那么小胖住在几号？住在30号的小瘦要到小胖家玩，至少需要走多远？（假设相邻的门牌号之间都相距100米，并且只能横着或者竖着走，不能斜着走，例如从3号到5号至少要走200米，而3号到16号就至少要走300米）78「分析」先找到他们两家分别都在什么地方，如有必要自己动手画一画、写一写，把图中没有标出的位置标出来． 练习：2. 一座城市的布局大约如下图所示，相邻的两个地区间相距500米，那么从8号地区走到21号地区最少需要走多少米？（只能横着走或竖着走，不能斜着走）从一个位置横平竖直地走到另一个位置，只要计算两个位置之间行序号、列序号的差异，将这两个差求和即可．这一点和我们之前在等差数列中学过的求等差数列的公差个数，以及在间隔问题中学过的求间隔数的方式是一致的．同学们可以细心体会一下．学习等差数列求和时，我们曾经学习过=⨯和中间数项数．在找位置中，我们也能发现类似的性质： 例题3. 把自然数按下表排列后，放上一个十字架，十字架会盖住5个数字，图中的十字架盖住了8、12、13、14、18这5个数字，它们的和为65，请问：（1）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为123？（2）是否可能放上一个十字架，使其盖住的数字之和为120？1 2 3 4 5 … 9 10 11 12 13 14 … 18 19 20 21 22 23 … 27 … … … … … … …… … … … … … …1 12 23 ... ... 2 13 24 ... ... 3 14 25 ... ... 4 15 26 ... ... 5 16 27 ... ... ... ... ... ... (11)2233……第一大道 第二大道 第三大道 第四大道 第五大道 第十一大道 …………1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 20……………「分析」表格中数字的规律很容易找到，能不能找到十字架所盖的数字之和与其中数字的规律呢？练习：3.下表中有上下相邻的两个数字之和为49，请问：这两个数中较小的那个是多少？……………16 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 101 2 3 4 5除了在表格中会涉及到位置相关的问题之外，在队列里同样也有位置的问题，接着我们来看一个队列里的问题．例题4.37名同学站成一排1至4报数，小高、墨莫、萱萱和卡莉娅他们四人站在第14个到第17个的位置，但不知道谁站在哪个位置．碰巧的是，他们刚好按照小高、墨莫、萱萱和卡莉娅的顺序分别报了1、2、3、4这4个数，请问：（1）最后一个同学报了多少？（2）小高站在第几个？（3）如果卡莉娅不小心报错成了3，而后面的同学接着卡莉娅的报数往下报并且没有再次出错，这样的话最后一个同学会报几？「分析」每个位置上的同学应该报多少有什么规律吗？如果一个同学出错了，多报了1，他对后面的同学会产生什么样的影响呢？练习：4.56个人排成一队，1至4报数，最后一名同学报了多少？除了一条线的队列，有时我们也站成一个圆圈．和直线的情况不同，圆圈的情况会周而复始．这和我们之前学过的什么问题有关呢？例题5.100名同学站成一圈，从班长萱萱开始，顺时针数下去，萱萱算1号，依次是2号、3号……910一直到100号．萱萱拍了一下手；跳过1名同学，3号同学拍了一下手；又跳过2名同学，6号同学拍了一下手；又跳过3名同学，10号同学拍了一下手……就这样依次跳过1、2、3、4、5……名同学，拍手．请问：（1）第10个拍手的同学是几号？（2）10号同学第二次拍手时，已经有多少次拍手了（这一次拍手也计算在内）？「分析」拍手的同学的序号有什么规律？10号同学下一次拍手的时候，实际上是第几个人？例题6. 一块草地上，有一些树坑排成78 的方阵，如图所示：A 、B 两人一开始分别在左上角和右下角，A 沿“S ”形每次隔过2个树坑跳一下，B 沿“S ”形每次隔过1个树坑跳一下（如图）．请问，A 、B 两人将会在第_______行，第_______列的树坑相遇？… A … … …… … …… … … …B 8行 7列课堂内外随机数表随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数组成，并保证表中每个位置上出现哪一个数字是随机数表等概率的，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的概率相等．真正的随机数是使用物理现象产生的：比如掷钱币、骰子、转轮、使用电子元件的噪音、核裂变等等．这样的随机数发生器叫做物理性随机数发生器，它们的缺点是技术要求比较高．而通常我们使用的随机数表是使用伪随机数，这些数列是“似乎”随机的数，实际上它们是通过一个固定的、可以重复的计算方法产生的．计算机或计算器产生的随机数有很长的周期性．它们不真正地随机，因为它们实际上是可以计算出来的，但是它们具有类似于随机数的统计特征．采用随机号码表法抽取样本，完全排除主观挑选样本的可能性，使抽样调查有较强的科学性．比如，对银行来说，银行的ID和密码非常脆弱．如果有随机数表，就可以防备此类事件．随机数表是指为每个客户指定各不相同的数字列表，申请时将该随机数表分配给客户，而不是按照一定的规律给出，这就安全很多．作业：1.找一找，27和33这两个数分别在下表中的第几行第几列？1 6 11 16 ……2 7 12 17 ……3 8 13 18 ……4 9 14 19 ……5 10 15 20 ……2.某小城的城区主要分为8条大道（示意图如下），由于住户不多，所以所有的门牌号都是连续依次排着的，小云住在第二大道，并且门牌号是第二大道上第四小的，那么小云住在几号？住在23号的小雨要到小云家玩，至少需要走多远？（假设相邻的门牌号之间都相距100米，并且只能横着或者竖着走，不能斜着走）11123. 下表中有一行的和为140，那么这一行最左边的数是多少？4. 49个战士排成一列，从1到3报数，中间的那个战士报了多少？5. 40人排成一圈，从1号到30号，1号同学拍了一下手，然后每隔2人有一名同学拍一下手，即，接下来是4号同学、7号同学……拍手．请问，1号同学下一次拍手时，已经有多少次拍手了？（这一次拍手也计算在内）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... ... ... ... ... 1 9 ... ... 2 10 ... ... 3 11 ... ... 4 12 ... ... ... ... ... (8)16……第一大道 第二大道 第三大道 第四大道 第八大道…………13第十七讲 找位置1.例题1答案：40在第5行第8列；58在第8行第2列．解答：观察发现，每行有8个数，可以看成8个数一周期．4085÷=，说明填满了5行，因此40在第5行最后一个，即第5行第8列．58872÷=，说明填满了7行，还多写了2个数．这2个数写到了下一行，也就是第8行．因此58在第8行第2列． 2.例题2答案：小胖在第46号；至少需要走800米．解答：观察发现，每列有11个房子．小胖住在第2行第5列，因此前4列已经被填满了，还要填两个房子才到第2个行．因此小胖家是114246⨯+=号．小瘦住在30号，按照例题1的方式计算：301128÷=，小瘦住在第8行第3列．从第8行第3列到第2行第5列，需要走()()82538-+-=段距离．每段距离是100米，因此至少需要走1008800⨯=米． 3.例题3答案：（1）不能（2）可以，盖住的5个数是19、23、24、25、29．解答：（1）观察发现，这样的十字架五个数的和，正好是正中间的数的5倍，（上面的数比它少5，下面的数比它多5，左面的数比他少1，右面的数比它大1，正好抵消）．1235243÷=，有余数，无法求出中间的数，因此不可能．（2）120524÷=，中间数是24．这样利用上下左右和中间数的大小关系，可以找到被盖住的五个数． 4.例题4答案：（1）1；（2）17；（3）4． 解答：（1）4个数一个周期．37491÷=，最后一个同学是周期的第一个人，报1．（2）解答：类似地，14432÷=，第14个位置上的同学报2．那么顺着数下去，第14到第17的同学依次报2、3、4、1．因此报1的小高在第17个位置．（3）解答：卡莉娅是报4的同学，也就是第16位的同学．由于卡莉娅报成了3．这样的话后面所有的同学都在周期中往前挪了一个数．最后一个同学原本报1，现在报1前面的4． 5.例题5答案：（1）55号；（2）20次．解答：（1）第1个拍手的同学是1号，第二个拍手的同学是123+=号，第3个拍手的同学是1236++=号……第10个拍手的同学是121055+++=号．（2）第二次数到10号同学，他是第110个同学，经尝试，121391+++=，1214105+++=，因此第110个同学不拍手．第三次数到10号同学，他是第210个同学．经尝试1220210+++=．此时他拍了手．这是第20次拍手．146.例题6答案：第2行第5列．简答：可以反向思维，让他们从相遇的坑跳回去．共56个坑，不算相遇点的坑，A 每次跳过3个，B 每次跳过2个．每次两人共跳过5个．，因此需要跳11()561511-÷=次．这样A 跳过了31133⨯=个坑，到达了第34个坑，34842÷=，因此是填满了4列之后的第2个．是第2行第5列．7.练习1答案：第5行第6列；第7行第4列．简答：6个数一周期．3065÷=，在第5行第6列．40664÷=，在第7行第4列．8.练习2答案：3500米．简答：9个数一周期．8号地区在第1行第8列．21923÷=，21号在第3行第3列．一共需要走()()31837-+-=段，75003500⨯=米．9.练习3 答案：22．简答：上下相邻的两个数的差是5，和是49．利用和差问题，小数是()495222-÷=． 10. 练习4答案：4．简答：56414÷=，14个整周期，最后一个人报4． 11. 作业1答案：27在第2行第6列；33在第3行第7列． 简答：5个数一个周期．27552÷=，27在第2行，第516+=列．33563÷=，33在第3行，第617+=列． 12. 作业2答案：小云住在26号；要走600米．简答：小云住在第2大道第4列，83226⨯+=号．23827÷=，小雨住在第7大道第3列．因此他们相差()()72436-+-=段距离，也就是6100600⨯=米． 13. 作业3答案：26．简答：140528=÷=中间数，因此最左边的数是28226-=． 14. 作业415答案：1．简答：中间的人是第()491225+÷=人，25381÷=．15. 作业5答案：41．简答：每3人一周期，周期的第一个人拍手．413132÷=，不拍手．81327÷=，不拍手．1213401÷=，拍手，是第40141+=次．。

第四讲寻找隐藏周期67其实泰勒斯就是从之前的日食记录中找到了日食发生的周期，根据周期做出了预言．周期现象无处不在，日常生活里有很多这样的例子，例如分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过七天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行……所以学好周期问题对于我们平时生活会很有帮助，本讲就先解决几个简单的周期问题．在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．例题1如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里的数乘积是多少？ 分析：跳几步一个周期？两只电子跳蚤分别落在了哪个圆圈中？练习1钟表上现在时针正对着数字2，那么121小时后时针正对着数字几？有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期．这就需要我们按照规律，把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算．例题2伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．请问：当数到200的时候，123 4 5 678 正好数到哪根手指？分析：开始数1的时候指着的是大拇指，下一次指到大拇指的时候是数几呢？几个数一个循环？ 练习2如图，在A ，B 两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间．从A 出发，每天走到下一站，到达B 地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A 站，那么第100天时它在哪个站？例题3100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？分析：试着把每位同学报的数都写出来，找找看有没有周期？练习3同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学第四讲 寻找隐藏周期1. 例题1答案：12详解：不论顺时针还是逆时针都是7步一个周期．1007142÷=，相当于顺时针跳2步，落在3号圈中；2007284÷=，相当于逆时针跳4步，落在4号圈中，乘积为12．2. 例题2答案：食指详解：第1次数大拇指是1，下次是9，也就是8个数一周期，200825÷=，正好数到食指．3. 例题3答案： 3 1 2 3 456 7 8 910 11 …… 11 A 1 2 …… B÷=，最后一名报3．详解：报数依次为1，7，9，3，1，7……，4个数一周期．1004254.例题4答案：3；42÷=，最后一名报详解：报数依次为1，3，3，9，7，3，1，3，3……，6个数一周期．84614⨯=个．3．每个周期有3个人报3，14个周期共143425.例题5答案：各有5、6、8、7颗详解：第2天早上分配完之后是（7、8、6、5），第3天（8、5、7、6），第4天（5、6、8、7），第5天（6、7、5、8），第6天（7、8、6、5）与第2天相同，所以4天一周期，除去第1天÷=，所以应该与周期中的第3个即第4天相同，（5、6、8、7）．还有99天，9942436.例题6答案：C站÷=，详解：停车地点依次为B，C，D，E，F，E，D，C，B，A，B，C……，10次一周期．2013102013÷=，上次加油后又走了5站，上次加油在C站．这时在D站．2013825157.练习1答案：3简答：12个小时一个周期．12112101÷=，对着数字3．8.练习2答案：3号站简答：下次回A站的时候是第25天，24天一个周期，1002444÷=，应该在3号站．9.练习3答案：2简答：报数依次为6，2，4，8，6，2……，4个数一周期．504122÷=，第50名报2．10.练习4答案：4简答：报数依次为4，9，6，4，4，6，4，4……，3个数一周期．()502316-÷=，最后一名报4．11.作业1答案：人简答：周期是“大好人”，()-÷=，是“人”字．44231412.作业2答案：9简答：每个周期12个小时，301226÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，369+=．13.作业3答案：3÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以第110简答：前几个报的数为1，3，9，7，1，3，9，7……周期为4．1104272个人报3．14.作业4答案：6910 简答：9，8，6，2，4，8，6，2，4……周期为4，有头周期，头是9，()9914242-÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，那么第99个数是6．15. 作业5答案：F简答：从A 到G 再到B 是一个周期，周期为12．15012126÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以在F 房．报6，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2，再报出乘积的个位来．请问：第50个同学报的是几？例题484位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？总共有多少人报的数是3？练习450位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4，第二位同学报9，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？例题5甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石．每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：宝石最多的人分给其他三人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？分析：先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示，试着再往下填几行：甲乙丙丁第1天10 7 5 4第2天7 8 6 5第3天第4天第5天…………例题6一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车站A，B，C，D，E，F．汽车从A出发，每到一站即停车，到达F后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A后再返回，……，如此往返行驶．如果汽车从出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站？分析：将停车的汽车站写出来看能否发现周期规律？11课堂内外哈雷彗星哈雷彗星是最著名的短周期彗星，每隔75或76年就能从地球上看见，哈雷彗星是唯一能用裸眼直接从地球看见的短周期彗星，也是人一生中唯一可能以裸眼看见两次的彗星．这颗彗星的周期最早是英国人爱德蒙·哈雷测量出来的，因此这颗彗星就以他为名．1695年，已是皇家学会书记官的哈雷开始专心致志地研究彗星．他从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星，用一年时间计算了它们的轨道．发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，虽然经过近日点的时刻有一年之差，但可能解释为是由于木星或土星的引力摄动所造成的．一个念头在他脑海中迅速地闪过：这三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归．但哈雷没有立即下此结论，而是不厌其烦地向前搜索，发现1456年、1378年、1301年、1245年，一直到1066年，历史上都有大彗星的记录．在哈雷生活的那个时代，还没有人意识到彗星会定期回到太阳附近．自从哈雷产生了这个大胆的念头后，便怀着极大的兴趣，全身心地投入到对彗星的观测和研究中去了．在通过大量的观测、研究和计算后他大胆地预言，1682年出现的那颗彗星，将于1758年底或1759年初再次回归．哈雷作出这个预言时已近50岁了，而他的预言是否正确，还需等待50年的时间．他意识到自己无法亲眼看见这颗彗星的再次回归，于是，他以种幽默而又带点遗憾的口吻说：如果彗星根据我的预言确实在1758年回来了，公平的后人大概不会拒绝承认这是由一位英国人首先发现的．在哈雷去世10多年后，1758年底，这颗第一个被预报回归的彗星被一位业余天文学家观测到了，它准时地回到了太阳附近．哈雷在18世纪初的预言，经过半个多世纪的时间终于得到了证实．后人为了纪念他，把这颗彗星命名为“哈雷彗星”．1213作业1. “我是大好人大好人……”依次重复排列，第44个字是什么？2. 现在时针指着钟面上的数字“3”，那么过30小时后，时针指着数字几？3. 110位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以3，再报出乘积的个位来，那么第110个同学报的是多少？4. 数列9，8，6，2 …… 从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，请问，第99个数是多少？5. 如图，七个小矮人住在A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 这7座房子中，白雪公主第一天在A 房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC ……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客．请问，第150天白雪公主在哪个房子中做客？A CB D F E G14。

第一讲和差倍中的隐藏条件- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就6需要把“隐藏”了的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1小高和墨莫玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子．一开始小高有18枚棋子，墨莫则有22枚．玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了10枚棋子．请问：此时小高有多少枚棋子？分析:在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？练习1有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？小故事阿呆和阿瓜去包子铺买包子，一共买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿呆，阿呆不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿呆，最后给了阿呆一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子？从上面的故事你能得到什么样的结论？总结：___________________________________________________________________________．7例题2小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子都剪去了几米？分析:两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量又会是谁呢？练习2两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍．那么此时短面条还剩多少厘米？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：给来给去和不变，同增同减差不变．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -小判断小山羊把10捆草分给大山羊，不变量：______．两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量：______．小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量：______．儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：______．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当然，并不是所有的题目都能有不变的“和”或“差”，这时分析倍数所对应的和或差就非常重要，我们常用的方法是画出线段图．89- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -分析:寻找题目中的倍数关系，这时的倍数关系所对应的和或差，你知道哪个？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -下面，我们来看看如何找出隐藏的“差”条件．练1：阿呆和阿瓜一样多，阿呆又买了4块，阿瓜买了29块，谁的糖多？多多少块？ 练2：阿呆比阿瓜多10个，阿呆又买了4块，阿瓜吃了2块，谁的糖多？多多少块？练习画图画图举例例子：阿呆比阿瓜多18块糖，阿瓜给阿呆2块后，谁的糖多？多多少块？阿瓜 阿呆18 后 后 2222阿呆糖多，多22块．练习3阿呆和阿瓜一起一共有100元钱．阿呆花了10元买零食，阿瓜花了40元买玩具，这时阿呆的钱是阿瓜的4倍．那么后来阿呆有多少钱？ 阿呆和阿瓜一共有130元钱．每包瓜子5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的5倍．那么后来阿呆有多少钱？例题3练3：阿瓜给阿呆2块后阿呆和阿瓜一样多，之前谁的糖多？多多少块？练4：阿瓜给阿呆8块后阿瓜比阿呆多27块，之前谁的糖多？多多少块？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长15厘米．把它们同时点燃．1小时后细蜡烛缩短了20厘米，而粗蜡烛只缩短了15厘米．此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍．请问：粗蜡烛还剩多长？分析：寻找3倍关系下粗蜡烛和细蜡烛的长度差？练习4莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快．在接下来的两个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？例题5红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多5个．如果从红盒中取出12个球，然后向蓝盒中放入19个球，那么蓝盒中的球就是红盒的3倍．求最后红盒和蓝盒中各有多少个球？分析：寻找3倍关系下蓝盒和红盒的球数差？试着画出线段图表示一下．10例题6有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的3倍多10．求甲、乙两堆卡片各有多少张？分析：开始时甲堆和乙堆中的卡片差几张？分析清楚倍数关系下甲乙两堆差多少张？课堂内外爱迪生与电灯爱迪生是美国人，生于1847年．他从小很喜欢问大人“为什么”，让大人无法回答．5岁时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋．爱迪生进小学读了3个月，老师说他是低能儿，只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习．爱迪生13岁在火车上边卖报边做实验，一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地板，他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子．23岁到纽约闯天下，发明了一部电报机，赚了40000美元，辞掉工作专心研究．爱迪生在1879年10月31日发明电灯．他每天工作超过18小时以上，不停的努力，不断发明有用的东西．他一生中发明1093件专利．有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击，他也常常鼓励别人．他到80岁还在研究他完全不懂的植物．作业1.有大小两个水瓶，分别装有430毫升和250毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量和小瓶一样多．则从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？2.小高的积分比墨莫多30分．老师给他们每人发了100分后，小高的积分比墨莫的2倍少90分．那么墨莫后来有多少分？113.有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟．同时点燃这两支蜡烛，过多少分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍？4.小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干．小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了39块饼干，而卡莉娅只吃了17块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，那么卡莉娅原来有多少块饼干？5.红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有多少个球？1213第一讲 和差倍中的隐藏条件1.例题1 答案：25枚．详解：后来两人一共40枚棋子．小高(4010)225+÷=枚，墨莫15枚． 2.例题2 答案：87米．简答：开始两根绳子相差1639766-=米，减去同样长的两段后，还是相差66米．后来短绳子长度为()(666)7110-÷-=米．剪去了971087-=米． 3.例题3 答案：100元．简答：买完瓜子后，一共120元．后来阿瓜有()1205120÷+=元．阿呆有205100⨯=元． 4.例题4答案：30厘米．简答：点燃后，粗蜡烛比细蜡烛长15152020-+=厘米．后来细蜡烛有()203110÷-=厘米．粗蜡烛有10330⨯=厘米． 5.例题5答案：13个，39个．简答：后来红盒比蓝盒少1219526+-=个，这时红盒有()263113÷-=个．蓝盒有13339⨯=个． 6.例题6答案：65张，33张．简答：“如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等”说明甲比乙多32张．“从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中”，这时甲比乙多3211254+⨯=张，这时乙有()()54103122-÷-=张，甲有225476+=张．开始甲有761165-=张，乙有221133+=张． 7.练习1答案：90毫升．简答：后来两瓶水一共690210900+=毫升．小瓶有()90021300÷+=毫升，大瓶倒了30021090-=毫升给小瓶． 8.练习2答案：15厘米．简答：减去同样长的两段后，还是相差15厘米．后来短面条长度为()152115÷-=厘米． 9.练习3 答案：40元．简答：买完东西后，一共50元．后来阿瓜有()504110÷+=元．阿呆有10440⨯=元． 10. 练习4答案：75厘米．简答：两个月后，萱萱比卡莉娅长1204575-=厘米．这时卡莉娅有()752175÷-=厘米．1411. 作业1答案：90毫升．简答：倒完后各有()4302502340+÷=毫升，那么倒了43034090-=毫升． 12. 作业2答案：120分．简答：发完后小高还是比墨莫多30分．墨莫后来有()()309021120+÷-=分． 13. 作业3答案：55分钟．简答：能烧的时间差为30分钟，所以过()()70100703155--÷-=分钟． 14. 作业4答案：50块．简答：小山羊剩下的饼干有()()39173111-÷-=块，原来有50块． 15. 作业5答案：60个．简答：后来红盒比蓝盒多728540++=个．则后来蓝盒有()403120÷-=个，红盒有60个．。

第十七讲 周期问题初步前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．我们一起去探险吧！！！ 去哪里呢？ 我知道有个地儿叫狄安娜神庙！！ 小朋友们，你们能快速找出第100根柱子上的图案吗？谁能找到第100根柱子上的字母．那他就能得到无尽的财宝！！听说神庙里的每根柱子上都刻着字母．快跑去数啊！！！快快！！数……数，我数！原来每一列的柱子上刻的是一样的字母！萱萱卡莉娅墨莫墨莫萱萱卡莉娅 墨莫卡莉娅 萱萱 萱萱墨莫萱萱a b c d e f g 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 17…… ……我们生活中有很多周期现象：潮起潮落、黑夜白天的交替、春夏秋冬的循环等等．一天24个小时就是一个周期，因为一天过后，我们会重新计时；一周七天是一个周期，因为一周过后，我们又会从周一开始……观察以下图片，你发现了什么？像这样的一些数、图像和事物，按照周而复始的规律循环出现，这种特殊的规律问题称为周期问题．例题1如图所示：10幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第10幅图．【提示】先找到小笑脸的旋转规律,它是按照顺时针还是逆时针旋转的？练习1如图所示：16幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第16幅图．第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 ……第16幅……第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 第10幅在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．注意在有余数的除法中，余数要比除数小．例题2下面图形排列是有规律的，那么你知道第33个图形是什么？前33个图形中有几个“○”？【提示】找一找规律，发现4个图形为一个周期．练习2下面图形排列是有规律的，那么你知道前面24个图形中共有多少个“○”吗？例题3有一列数按这样的方式排列：2、3、4、2、3、4、2、3、4……那么第20个数是几呢？这20个数的和又是多少呢？【提示】几个数是一个周期？一个周期的和是多少？练习3有一列数按这样的方式排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4……第18个数是几呢？这18个数的和又是多少呢？例题4…………图图肚子饿了，便对妈妈说：“我要吃红烧肉红烧肉红烧肉……”请问图图说的第29个字是什么？前29个字中有几个“红”？【提示】对于开头比较特殊的周期问题，我们可以先把特殊部分去掉．练习4有一列数按这样的方式排列：3、9、4、3、2、1、4、3、2、1……请问第39个数字是什么？前39个数字的和是多少？例题5如下表所示，表格中每行文字都是循环出现的：第一行是“猫和老鼠”4个汉字不断重复，第二行是“熊出没”3个汉字不断重复．那么第36列从上到下依次是哪两个汉字？【提示】多重周期问题，我们要分别去看它们的周期．例题6求2×2×……×2（2008个2相乘）+ 3×3×……×3（2009个3相乘）的个位数字．【提示】一个2相乘末尾是2，2×2的末尾是4，2×2×2的末尾是8……以此类推找规律．课堂内外生活中的周期生活中有许多的事物不断地周而复始．比如，地球365天左右绕太阳公转一周，同时每24小时自转一次；钟表每天嘀嗒嘀嗒地走个不停，时针每12小时转一周，分针每60分钟转一周，秒针每60秒转一周；人类一个星期接着一个星期地学习、工作；春夏秋冬年年复、春播秋种年年重、候鸟每年南迁北徙……这些都是周期现象．数学中也有这样的现象：任意选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数．用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步，必得6174．如：9963－3699=62646642－2466=4176 7641－1467=6174作业1. 如图所示，9幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第9幅图．2. 找出下面图形排列的规律，根据规律算出前面30个图形中共有几个○？3. 有一列数按这样的方式排列：2、4、6、8、2、4、6、8、2、4、6、8……那么第15个数是几？前15个数的和是几？4. 有一组有规律的文字：我有大头下雨不愁下雨不愁下雨不愁……那么第19个字是几？前19个字中有几个“雨”？5. 如下表所示：表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“天道酬勤”4个汉字不断重复，第二行是“革命尚未成功”6个汉字不断重复．那么第30列从上到下的两个汉字依次是什么？…………第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 第9幅第十七讲 周期问题初步1.例题1答案：如图所示详解：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照逆时针的旋转．先找规律，发现第5幅图和第1幅图是一样的，那么就是4幅图为一个周期．再看10幅图里有几个周期：10422÷=，所以第10幅图就是第3个周期的第2个，也就是第2幅图．2.例题294个图形为一个周期．先算出33个图形里有几个周期：33481÷=，商8表示33个图形里有8个周期，余1表示第9个周期的第1个图形，．一个周期里有一个，那么8个周期就是188⨯=，第9个周期还有一个图形，也是，所以应该是819+=（个）．3.例题3 答案：3；59详解：数列以“2、3、4”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要出20个数里有几个周期：20362÷=，所以第20个数是第7个周期里的第2个数，即“3”．再算出每个周期和是2349++=，20个数里有6个周期，即6个9，加上2与3，所以20个数的和是692359⨯++=． 4.例题4 答案：烧；9详解：本题是一个以“我要吃”为头的周期，如果去掉“我要吃”就是一个普通周期．以“红烧肉”三个字为一个周期，不断重复出现．先算出29个字里有几个周期：(293)382-÷=，所以第29个字是第9个周期的第2个字，即“烧”．一个周期里有一个“红”，29个字里有8个周期，加上“红”与“烧”．所以有1819⨯+=（个）“红”． 5.例题5 答案：鼠，没详解：第一行是以“猫和老鼠”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出36个数里有几个周期：3649÷=，第4幅 第10幅所以第36个字是“鼠”．第二行是以“熊出没”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出36个数里有几个周期：36312÷=，所以第36个字是“没”．那么第36列从上到下依次是：鼠、没． 6.例题6 答案：9详解：本题需要要先找规律． 第一步：222⨯⨯⨯（2008个2相乘）1个2个位为2；224⨯=，个位为4；2228⨯⨯=，个位为8；222216⨯⨯⨯=，个位为6；2222232⨯⨯⨯⨯=，个位为2；22222264⨯⨯⨯⨯⨯=，个位为4……我们发现这个算式的个位是有规律的，以“2、4、8、6”四个数为一个周期，重复出现的．先要算出2008个数里有几个周期：20084502÷=，所以第2008个数是“6”． 第二步：333⨯⨯⨯（2009个3相乘）一个3个位为3；339⨯=，个位为9；333⨯⨯的结果个位为7；3333⨯⨯⨯的结果个位为1；33333⨯⨯⨯⨯的结果个位为3；333333⨯⨯⨯⨯⨯的结果个位为9……，我们发现这个算式的个位是有规律的，以“3、9、7、1”四个数为一个周期，重复出现的．先要算出2009个数里有几个周期：200945021÷=，所以第2009个数是第503的周期里的第1个数，即“3”．那么2×2×……×2（2008个2相乘）333+⨯⨯⨯（2009个3相乘）的个位数字是639+=．7.练习1答案：如图所示简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照顺时针的旋转．通过找规律，发现第5幅图和第1幅图是一样的，那么就是4个为一个周期．那么就要先看16图形里有几个周期：1644÷=，那么第16个这个周期的最后一个．8.练习2 答案：18简答：这道题的图形按照“”依次不断的重复出现，以4个图形为一个周期．先算出24个图形里有几个周期．2446÷=，商6表示24个图形里有6个周期．而一个周期里有3个，那么6个周期就是16318⨯=个．第4幅 第16幅9. 练习3 答案：2；43简答：数列以“1、2、3、4”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出18个数里有几个周期：18442÷=，所以第18个数是第5个周期里的第2个数，即“2”．再算出每个周期和是123410+++=，18个数里有4个周期，即4个10，加上1与2，所以18个数的和是4101243⨯++=．10. 练习4答案：4；106简答：本题是一个以“3、9”为头的周期，如果去掉“3、9”就是一个普通周期．以“4、3、2、1”四个数为一个周期，不断重复出现．先算出39个数里有几个周期：(392)491-÷=，所以第39个数是第10个周期的第1个数，即“4”．再算出每个周期四个数的和是432110+++=，39个数里有9个10，加上4，还要加上开头的3和9，所以前39个数的和是910439106⨯+++=． 11. 作业1答案：如下图所示：简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图中的“笑脸”自身是按照逆时针旋转，“爱心”自身是按照顺时针旋转，因此可以画出第4幅图．找规律发现4幅图为一个周期，因为9421÷=，所以第9幅图和第1幅图是相同的． 12. 作业2答案：18简答：经观察，图形排列规律是从第一个开始，5个图形为一个周期，则3056÷=（周），所以前面30个图形中共有6318⨯=（个）“○”． 13. 作业3答案：6；72简答：数列以“2、4、6、8”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出15个数里有几个周期： 15433÷=，所以第15个数是第4个周期里的第3个数，即“6”．再算出每个周期和是246820+++=，15个数里有3个周期，即3个20，加上2、4和6，所以15个数的和是32024672⨯+++=．14. 作业4答案：不；3简答：本题是一个以“我、有、大、头”为头的周期，如果去掉“我、有、大、头”就是一个普通周期．以“下、雨、不、愁”四个字为一个周期，不断重复出现．先算出19个字里有几个周期：(194)433-÷=，所以第19个字是第4个周期的第3个字，即“不”．再根据每个周期中有1个“雨”，余下的3个字中有1个“雨”。