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三角形全等辅助线————旋转与平移共同的特点：都有长度相等，且有一端点重合的线段中点旋转：A'CB等腰直角三角形, 等边三角形旋转CBAEBA正方形旋转FDCFEDCBA【精选例题】旋转中点类【例1】以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰R t A B D ∆和等腰R t A C E ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<< 后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．【例2】（顺义区2009一模第25题）已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．⑴若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；图1ABCDEM⑵如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图2MEDCBA【例3】在四边形ABCD 中，设M , N 分别为CD , AB 的中点，求证(12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．N MDCBA【例4】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．CBA O E F对角互补类【例5】如图，90ABC ∠=︒，BD 为ABC ∠的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点D ，另外两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =EDAB C【例6】如图，120ABC ∠=︒，BD 为ABC ∠的角平分线，60DEF ∠=︒且角的两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =ABCD【例7】如图，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积为18，求DP 的长．PDCBA【例8】直角三角形ABC 中9068A AB BC ∠=︒==，，；P 为BC 的中点，ABC ∆绕着点P 逆时针旋转90︒到DEF ∆，求重叠部分PQKR 的面积．【例9】已知，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，在DA 的延长线上任取一点E ，连接EC ，作12ECF BCD ∠=∠，使CF 与AB 的延长线交于F ，连结EF ，请画出完整图形，探究：线段BF 、EF 、ED 之间具有怎样的数量关系，并说明理由DCBA【例10】（1）如图1，四边形ABCD 中，AB CB =，60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；图1DBA（2）如图2，四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=︒，若点P 为四边形ABCD 内一点，且120APD ∠=︒，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．P图2DC BA平移【例11】如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．PN M CBA【例12】 (07年北京中考如图，已知ABC ∆⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外，连结AD 、AE ，写出使此图中只存．．在两对．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；CB A⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．⑴DE CB A【例13】如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E ）B C （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-3平移加旋转【例14】如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，∠B 的外角∠CBG 的平分线BF 交DE 的垂线EF于F 。
1 / 4图1NMEDCBA图2NMEDCBA第6讲 平移、旋转、翻折与三角形全等一、专项练习【板块一】平移与全等问题1. 如图，已知△ABC(1)请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB +AC ＞AD +AE ．【板块二】旋转与全等问题2. 在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．2 / 4图1NM FEC BA图2NMCBA3. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，直线AN ，BM 分别交两三角形于点E 、F .连接EF . (1)求证：AN =BM ；(2)求证：△CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.3 / 4HF ED CBA4. 如图，EF 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，AH ⊥EF ，H 为垂足，求证：AH =AB ．【板块三】翻折与全等问题5. 如图①所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ． 请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系．（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6.已知△ABC，∠BAD=∠CAD，AB=2AC，AD=BD，求证：DC⊥AC．ACDB4/ 4。
