高考数学压轴专题漳州备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案解析

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识要点

一、选择题

1．若,2，2cos2sin4，则sin2的值为（ ）

A．78 B．78 C．18 D．18

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到2cossin4，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；

【详解】

解：因为2cos2sin4

所以222cossinsincoscossin44

所以22cossincossincossin2

,cossin02Q，

所以2cossin4

所以21cossin8，即221cos2cossinsin8，11sin28

所以7sin28

故选：A

【点睛】

本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；

2．已知函数sin3cosfxaxx的一条对称轴为56x，函数fx在区间12,xx上具有单调性，且12fxfx，则下述四个结论：

①实数a的值为1；

②1,xfx和22,xfx两点关于函数fx图象的一条对称轴对称；

③21xx的最大值为， ④12xx的最小值为23．

其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据56x是函数fx的一条对称轴，确定函数fx，再根据函数fx在区间12,xx上具有单调性，得到21xx的最大值为2T，然后由12fxfx，得到11,xfx和22,xfx两点关于函数fx的一个对称中心对称求解验证.

【详解】

∵56x是函数fx的一条对称轴，∴53fxfx，

令0x，得503ff，即33322a，所以1a，①正确；

∴sin3cos2sin3fxxxx．

又因为函数fx在区间12,xx上具有单调性，

∴21xx的最大值为2T，且12fxfx，

∴11,xfx和22,xfx两点关于函数fx的一个对称中心对称，

∴121233223xxxxk，kZ，

∴12223xxk，kZ，

当0k时，12xx取最小值23，所以①③④正确，②错误．

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.

3．在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，已知coscos2bCcBb，则ab( )

A．23 B．2 C．2 D．1 【答案】B

【解析】

【分析】

由正弦定理及题设可知，sincossincos2sinBCCBB，即sin()2sinBCB，又ABC，可得sin2sinAB，再由正弦定理，可得解

【详解】

由正弦定理：2sinsinbcRBC，又coscos2bCcBb

得到sincossincos2sinBCCBB，即sin()2sinBCB

在ABC中，ABC

故sin()2sinAB，即sin2sinAB

故sin2sinaAbB

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

4．已知函数sin(),0()cos(),0xaxfxxbx的图像关于y轴对称，则sinyx的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()yxab的图像（ ）.

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件确定,ab关系，再化简cosyxab，最后根据诱导公式确定选项.

【详解】

因为函数,0,0sinxaxfxcosxbx的图像关于y轴对称，所以sincos22ab，sincosab，即sincossincosbaab，，因此π2π()2abkkZ，

从而cossinyxabsinxx,选D.

【点睛】

本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

5．已知函数f（x）＝2x－1，2cos2,0?2,0axxgxxax（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）

A．1,2 B．2,3 C．1,1,22U D．371,,224U

【答案】C

【解析】

【分析】

对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.

【详解】

当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数gx的值域为[0,++∞），满足题意.

当a＜0时，y=22(0)xax的值域为（2a,+∞）, y=cos20axx的值域为[a+2,-a+2],

因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,

所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,

由题得2a＜1，即a＜12，即a＜0.

当a＞0时，y=22(0)xax的值域为（2a,+∞）,y=cos20axx的值域为[-a+2,a+2],

当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222aaaa.

当0＜a＜23时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜12.所以0＜a＜12.

综合得a的范围为a＜12或1≤a≤2，

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．已知函数()2sin()0,,2fxx的部分图象如图所示，其中01f，5||2MN，则点M的横坐标为（ ）

A．12 B．25 C．1 D．23

【答案】C

【解析】

【分析】

由(0)1f求出56，由5||23MN，再根据()2fx可得答案.

【详解】

由函数()2sin()0,,2fxx的部分图象，

可得(0)2sin1f，56，

22512||2243MN，

函数5()2sin36fxx，

令52sin236x，

得52,0362xkk得1x.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3，属于中档题.

7．如图，直三棱柱ABCABC的侧棱长为3，ABBC，3ABBC，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF，当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，则异面直线AF与AC所成的角为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

设AEBFa，13BEBFEBFVSBBV，利用基本不等式，确定点

E，F的位置，然后根据//EFAC，得到AFE即为异面直线AF与AC所成的角，再利用余弦定理求解.

【详解】

设AEBFa，则23119333288BEBFaaVaa，当且仅当3aa，即32a时等号成立，

即当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，点E，F分别是棱AB，BC的中点，

方法一：连接AE，AF，则352AE，352AF，2292AFAAAF，13222EFAC，

因为//EFAC，所以AFE即为异面直线AF与AC所成的角，

由余弦定理得222819452424cos93222222AFEFAEAFEAFEF，

∴4AFE．

方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则0,3,0A，3,0,0C，0,3,3A，3,0,02F，

∴3,3,32AFuuuur，3,3,0ACuuur，

所以9922cos,92322AFACAFACAFACuuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur，

所以异面直线AF与AC所成的角为4．

故选：C

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.

8．在ABC中，若2sinsincos2CAB，则ABC是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形

【答案】B

【解析】

试题分析：因为2sinsincos2CAB，所以，1cossinsin2CAB，即2sinsin1cos[()],cos()1ABABAB,故A=B，三角形为等腰三角形，选B。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

9．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3），则f（x）的最小值为（ ）

A．12 B．14 C．34 D．22

【答案】A

【解析】

【分析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为11cos223fxx，再求最值.

【详解】

已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3），