高中数学河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试理科数学试题 Word版含答案

2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 40 （14）3- （15）( （16）①②③ 三、解答题(17) 解：（Ⅰ）由2142n n n a a a +=++,得21211244(2)n n n n a a a a ++++=++=+.因为0n a >12n a +=+.因为12122log (2)1log (2)2n n n n n b a b a +++===+，又121log (2)2b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为12的等比数列.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，112()2n n b -=⋅，则112()2n n c n -=.012111112()4()2(1)()2()2222n n n S n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+,① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得：01211111112()2()2()2()2()222222n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+. 所以218(2n n S n -=-+.……………………………………………………………………………12分(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C .事件B ，C 互斥，且A B C =+. 所以该射手通过测试的概率212333213()()()()(1).444316P A P B P C C =+=+⋅-⋅= ………………5分 （Ⅱ）由题意，0,1,2X =. ……………………………………………………………………………6分212313321(0)(1);(1)(1)(1);4164438P X P X C ==-===⋅-⋅-=13(2)().16P X P A === ……9分所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数的数学期望为11137()012.168164E X =⨯+⨯+⨯=……………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒ 因为CD 为ACB ∠的平分线，所以3023.B C D A D C D∠=∠︒∴=…………………………2分 4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90CD E D E D ∠=︒⊥………………………………………………4分 在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥平面B . ……………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ……………7分以点H 为坐标原点，HC 为y 轴，HB 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则3(0,0,0),(0,(0,0,),(3,2H D B A33(0,,),(3,22DB AD ∴==-…………………8分 设平面ABD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则19题图1 19题图2 xyz0,0,DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以3(,,)(0,)0,22(,,)(0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅-=⎩即30,230.y z x +=⎨⎪-+=⎩取1x =,得(11)=-n .……9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)=m , ………10分设二面角B AD E --的大小为θ，则cos ||||θ⋅==m n m n 所以二面角B A --的余弦值为…………………………………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =.……………………………………………………1分又设00(,)M x y ，则00003.4y y x a x a ⋅=-+- 把2200221x y a b+=代入得220222220(1)3,4x b b a x a a -=-=--所以23b =. ……………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设1122334(,),(,),(,),(,),A x yB x yC x yD x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<< 由韦达定理得212224.34k x x k +=-+ …………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F C λ=得, 111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+，即23x y ++=或230.x y -+= …………………………12分（21） 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x =其定义域为(0,1)(1,).+∞………………………………………1分2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x 的单调递增区间为)+∞， ……………………3分由()0f x '<得()f x 的单调递减区间为 ……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x >时，()f x的最小值为2f e ==； ……………………7分 令22()(3),(1,)x g x x x e x =-+∈+∞，则222111()(3)(2)(3)222x x g x x x e x x e '=--+=--+， 由()0g x '>得函数()g x 在区间(1,2)上单调递增；由()0g x '<得函数()g x 在区间(2,)+∞上单调递减.所以22()xg x =-≤ …………………………………………………………………11分所以当1x >时，222()()(3)ln x x f x g x x x e x =>=-+，整理即得2(3)ln 0.xx x e x +-> …………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥. 因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，则OCD OFD ∆≅∆，所以90OCD OFD ∠=∠=，所以,,,O C D F 四点共圆. ………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥,所以FD 是圆的切线.所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅ 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅………………………10分（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，消去参数t 得tan (1)y x α=+.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，所以圆心到直线tan (1)y x α=+的距离2d ===， 化简得27t a n 8t a n 10αα-+=，解之得t a n α=或1tan .7α= ………………………………10分 （24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，∴15,.33a b == ………………………………5分（Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2(a b ++≥……………………………………………………………10分。

2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解析】：解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x ＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则=（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f（x）+g（x）=x3﹣x2+1，则f（1）=（）A．﹣l B．l C．﹣2 D．2【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据题意，计算出f（1）+g（1）、﹣f（1）+g（1）的值即可．【解析】：解：由题可知：f（1）+g（1）=1﹣1+1=1，f（﹣1）+g（﹣1）=﹣1﹣1+1=﹣1，由∵f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴﹣f（1）+g（1）=﹣1，所以f（1）=1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解析】：解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a，可得b== a因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：D．【点评】：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．5．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①在4个人中任取2人，作为一个整体，②将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，分别计算这2步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解析】：解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42=6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6种情况，则共有6×6=36种不同的报名方法，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，关键是认真分析题意，确定计算的步骤．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解析】：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．7．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=0+++…+的值，用裂项法即可求值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，S=0+，n=1＜2015；第二次循环，S=0++，n=2＜2015；第二次循环，S=0++，n=3＜2015；…当n=2015时，S=0+++…+=1﹣…+﹣=1﹣=，此时满足2015≥2015，退出循环，输出S的值为：．故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．8．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．【解析】：解：===又由于===由==1﹣故原式=故选：B【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．9．（5分）已知x，y满足区域D：，给出下面4个命题：p1：∀x，y∈D，2x﹣y≥2p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2p3：∂x，y∈D，p4：∀x，y∈D，，其中真命题是（）A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y，由几何意义可知﹣6≤z≤3；再由表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，从而确定答案即可．【解析】：解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，令z=2x﹣y，则由图象可知，直线2x﹣y﹣z=0经过点C时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值；由于C（2，1），A（﹣1，4）；故﹣6≤z≤3；故p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2正确；而表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，故结合图象可知，≤≤5，故p4：∀x，y∈D，正确；故选D．【点评】：本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为（3，y0）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为（3，y0），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．【解析】：解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，因为A点坐标为（3，y0），所以AE=3+，EH=p，所以2p=3+，所以p=2，所以y2=4x，此时A（3，2），k AF=，所以直线AF的方程为（x﹣1），代入抛物线方程可得3（x﹣1）2=4x，解得x=3或，所以y=2或﹣，所以△AOB的面积为=，故选：A．【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】：利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解析】：解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）已知定义域为R的连续函数f（x），若f（x）满足对于∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，则称函数f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：①若f（x）=1是一个“反m倍函数”，则m=﹣1；②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；③f（x）=x2是一个“反m倍函数”；④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，其中正确结论的个数是（）A．l B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．【解析】：解：根据“反m倍函数”的定义，∵∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，∴f（m+x）+mf（x）=0成立，①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=﹣1，故①正确，②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=﹣sinπx+sinπx=0，故②正确，③若f（x）=x2，则（x+m）2+mx2=0，即（m+1）x2+2mx+m2=0，则，此时方程无解，故不存在m，故③错误．④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f （2），f（0）互为相反数，则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，故正确的是①②④，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为160．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数，再根据x2项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=•a r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故展开式中含x2项的系数为6a=12，可得a=2．再令3﹣r=0，可得r=3，故展开式的常数项为•23=160，故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解析】：解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．【点评】：本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．15．（5分）如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且，若，则λ=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据已知条件及图形得出：，，并且，所以由即可得到=﹣20，进行数量积的运算即可求得λ．【解析】：解：，；∵∠BAC=90°，∴；又；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．16．（5分）巳知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax只有一个零点，，S△ABC=sinA•sinB，则边c=1．【考点】：余弦定理；正弦定理．【分析】：由关于x的方程的判别式等于零求得b=a；根据，求得cosC=﹣，C=；由正弦定理求得a=csinA，b=csinB，代入S△ABC=sinA•sinB，求得边c的值．【解析】：解：△ABC中，关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax，即2x2﹣2bx﹣2ax+2a2+b2=0，根据此方程有唯一解，可得△=﹣8（2a2+b2）=0，∴b=a．又，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，故2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即2acosC+a=0，∴cosC=﹣，C=．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=5a2，∴c=a．∵==，∴a=csinA，b=csinB，∴S△ABC=sinA•sinB=•sinC=csinA•csinB，∴c2=1，∴c=1．【点评】：本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）由直线与圆的位置关系可得S n=n2，所以a1=S1=1，所以a n=2n﹣1；由b6=b3b4，得b1=1，又b3和b5的等差中项是2a3，得q=2，从而；（2）根据T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，与2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，可得﹣T n，即得T n=3+（2n﹣3）2n．【解析】：解：（1）由于x+y=2n总是将圆平均分为两部分，所以，即S n=n2，所以a1=S1=1，当n≥2时=2n﹣1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n﹣1；等比数列{b n}中由于b6=b3b4，即，故b1=1，设公比q＞0，由b3和b5的等差中项是2a3，及2a3=2×（2×3﹣1）=10，可知b3+b5=20，所以q2+q4=20，解得q=2，从而；（2）若c n=a n b n，则T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，所以T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，两式相减，得﹣（2n﹣1）2n==﹣3+2×2n﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，所以T n=3+（2n﹣3）2n．【点评】：本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．18．（12分）某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （115，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若，则P（u﹣ς＜X＜u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X＜u+2ς）=0.9544，P（u﹣3ς＜X＜u+3ς）=0.9974．【考点】：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在130分以上以及[120，140]的学生数，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解析】：解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）因为=0.0013，根据正态分布：P（115﹣3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，所以P（X≥130）=，又0.0013×10000=13，所以前13名的成绩全部在130分以上；根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）如图所示的多面体ABC﹣EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=，且AC=EH，AE=EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F﹣BG﹣H的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解析】：（1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=EH，∴AB=EG，取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，又∵EG⊂平面EFGH，∴OB⊥EG，又∵EF=FG=，∴OF⊥EG，∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，∵BF⊂平面OBF，∴BF⊥EG；（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵GH=1，EH=，∠EGH=90°，∴EG==2，∵EF=FG=，∴OF=1，∵AE=EG，∴OB=2，∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，0），设平面GBF的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（2，2，1），设平面GBH的一个法向量为=（x2，y2，z2），同理可得=（0，2，1），∴===，由图可知，二面角F﹣BG﹣H为钝角，∴其余弦值为．【点评】：本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得c2=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有+=1，解可得a2=4，进而可得b2=3，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；每种情况下求出与的值，再求其乘积均可得•=﹣1，由向量数量积的性质分析可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，而抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则C2=1，由题意可得AF2=x0+=x0+1=，故x0=；所以y02=4×=，则y0=，则A（，），有+=1，解可得a2=4，又由c2=1，则b2=3，故椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，由于，可得=1﹣=，所以y=±，所以P（，）Q（，﹣），因为A 2（2，0），所以=﹣1，=1，所以•=﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），则x1+x2=，x1•x2=，=，═•==﹣1，所以A2P与A2Q垂直，综合可得所以与夹角的大小为90°．【点评】：本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解析】：解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念，∴存在x0＞0，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即a[ln（x0+a）﹣（x0+a）+1]=a（lnx0﹣x0+1）+a（lna﹣a+1）=a（lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1），∴ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，∴．∴，∵x0＞0，∴a．∴实数a的取值范围是．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化与化归、分离参数等数学思想方法，着重考查恒成立问题的解法，难度较大．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解析】：证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．【点评】：本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（I）由直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，可得直线l的参数方程为，（t为参数）；把dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解析】：解：（I）∵直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，∴t1t2=9．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=9．【点评】：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。

2015年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•商丘二模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则M∩N等于（）A．（﹣2，﹣1]B．（﹣2，1]C．[1，3）D．[﹣1，3）2．（5分）（2015•商丘二模）复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．3 C．﹣3 D．3．（5分）（2015•商丘二模）已知向量，若与共线，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）（2015•南昌三模）下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假5．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•商丘二模）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）（2015•乌鲁木齐模拟）执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣B．C．D．38．（5分）（2015•商丘二模）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣29．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．10．（5分）（2015•许昌三模）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）（2015•商丘二模）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．2 D．112．（5分）（2015•商丘二模）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+1）=﹣f（x），且当0≤x ＜1时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣ln|x|的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：每小题5分，共20分13．（5分）（2015•商丘二模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为．14．（5分）（2015•商丘二模）设，则展开式的常数项为．15．（5分）（2015•商丘二模）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．16．（5分）（2015•商丘二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2﹣a2，A=，则B=．三、解答题17．（12分）（2015•西宁校级模拟）已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2015•商丘二模）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，（Ⅰ）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）（2015•上海模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．20．（12分）（2015•商丘二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．（12分）（2015•商丘二模）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．四、请考生在22、23、24三道题中任选一题作答22．（10分）（2015•南昌三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DC•BP．23．（2015•南昌三模）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．24．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．2015年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知集合{}23M x x =-<<，{}121x N x =+≥，则M N 等于______.A ．(]2,1--B ．(]2,1-C ．[)1,3D ．[)1,3-答案：D考点：指数函数单调性的应用．菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合．分析：由121x +≥得1x -≥，再求它们的交集即可．解答： 解：{}{}1211x N x x x ==- +≥≥， {}{}{}23113M N x x x x x x ∴=-<<-=-< ≥≤，故选D ．点评：本题属于不等式运算为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．不等式运算时可用指数函数的单调性．2．复数z 为纯虚数，若()3i z a -⋅=+i （i 为虚数单位），则实数a 的值为______.A ．13- B ．3 C ．3- D ．13答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a 的值． 解答：解：()3i i z a -⋅= +，()()()()()()i 3i 313i i 3i 3i 3i 10a a a a z -∴===--++++++， 又z 为纯虚数，3100a a 3-=⎧∴⎨≠⎩+，解得：13a =． 故选：D ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知向量)1a =,()01b =，-,(,c k =，若2a b -与c 共线，则k 的值为_____. A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案：A考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算和向量共线定理即可得出．解答：解：)1a = ，()0,1b =- ，)())2120,13a b ∴-=-= ．2a b - 与c 共线，30k =，解得1k =．故选A ．点评：本题考查了向量的运算和向量共线定理等基础知识与基本方法，属于基础题．4．下列命题，真命题是_____.A ．0a b -=的充要条件是1a b = B ．x ∀∈R ,e e x x > C ．0x ∃∈R ,00x ≤ D ．若P q ∧为假，则p q ∨为假答案：C考点：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：A ．由10a a b b=⇒-=，反之不成立（0b =时），即可判断出正误； B ．取e x =时，e e x x =，即可判断出正误；C ．取00x =，则00x ≤成立，即可判断出正误；D ．若P q ∧为假，则p 与q 至少有一个为假命题，因此p q ∨不一定为假，即可判断出正误． 解答：解：A ．由10a a b b =⇒-=，反之不成立（0b =时），因此0a b -=是=1a b的必要不充分条件； B ．取e x =时，e e x x =，因此不正确；C ．取00x =，则00x ≤成立，正确；D ．若P q ∧为假，则p 与q 至少有一个为假命题，因此p q ∨不一定为假，不正确． 故选：C ．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力，属于基础题．5．设双曲线的﹣个焦点为F ，虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为______.A B C D 考点：双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线b y x a=垂直，得出其斜率的乘积为1-，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得．解答： 解：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 则(),0F c ，()0,B b直线:0FB bx cy bc -=+与渐近线b y x a =垂直， 所以1b a c b-⋅=-，即2b ac =所以22c a ac -=，即2e e 1=0--，所以（舍去） 点评：本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．6．在递增的等比数列{}n a 中，已知134n a a =+，364n a a ⋅=，且前n 项和为42n S =，则n =______.A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A考点：等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得1a 和n a 是方程234640x x -=+的两根，结合数列递增可解得12a =，32n a =，再由42n S =的q ，可得n 值．解答：解：由等比数列的性质可得13264n n a a a a -=⋅=，又134n a a =+，1a ∴和n a 是方程234640x x -=+的两根，解方程可得2x =或32x =，等比数列{}n a 递增，12a ∴=，32n a =，42n S = ，12324211n a a q q q q--∴==--， 解得4Q =，13224n -∴=⨯，解得3n =故选：A点评：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出y 的值为______.A ．34-B ．12C ．52D ．3答案：B考点：程序框图．菁优网版权所有专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：第一次执行循环体后，3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x = 第二次执行循环体后，12y =，此时52y x -=，满足退出循环的条件， 故输出的y 值为12故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．8．已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_____.A ．1B ．2C ．1-D ．2-答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由()ln y x a =+，得1'y x a =+，由直线1y x =-与曲线()ln y x a =+相切，得1=1x a +，所以切点是()1,0a -，由此能求出实数a ．解答：解： ()ln y x a =+， ∴1'y x a=+， 直线1y x =-与曲线()ln y x a =+相切，∴切线斜率是1，则'1y =，11x a∴=+， 1x a =-，ln10y ==，所以切点是()1,0a -，切点()1,0a -在切线1y x =+上，所以0=11a -+，解得2a =．故选B ．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是______.A ．π8B ．π4C ．3π8D ．3π4答案：C考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值． 解答：解：函数()πsin 2cos224f x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭++的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数π224y x φ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+， 图象关于y 轴对称，可得ππ2π42k φ-=+， 即ππ=28k φ-， 当1k =-时，φ的最小正值是3π8． 故选：C ．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．10．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则该几何体的体积为__.A ．16B ．13C ．23D ．56答案：D考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体是正方体削去一个角，先计算被消去的三棱锥体积，再求几何体的体积即可．解答： 解：该几何体是正方体削去一个角，体积为11151********-⨯⨯⨯⨯=-=． 故选：D ．点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键． 11．已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB = ，则弦AB 的中点到准线的距离为____.A ．83B ．43C ．2D ．1答案：A考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设BF m =，由抛物线的定义知1AA 和1BB ，进而可推断出AC 和AB ，及直线AB 的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y ，进而跟韦达定理求得12x x +的值，则根据抛物线的定义求得弦AB 的中点到准线的距离．解答：解：设BF m =，由抛物线的定义知13AA m =，1BB m =，ABC ∴△中，2AC m =，4AB m =，AB k ，直线AB 方程为)1y x -，与抛物线方程联立消y 得231030x x -=+，所以AB 中点到准线距离为125811233x x ==+++． 故选A ．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．12．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x =-+，且当01x <≤时，()f x x =，则函数()()ln g x f x x =-的零点个数为_______.A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B考点：抽象函数及其应用；函数的周期性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：根据题意，函数()()ln g x f x x =-的零点个数即函数()y f x =的图象与函数ln y x =的图象交点的个数；进而根据题意，分析函数()y f x =的周期与解析式，再由函数图象变换的规律分析函数ln y x =的图象，在同一坐标系中做出()y f x =的图象与ln y x =的图象，即可得其图象交点的个数，即可得答案． 解答：解：根据题意，函数()()ln g x f x x =-的零点个数即函数()y f x =的图象与函数ln y x =的图象交点的个数；对于()f x 有()()1f x f x =-+，设10x -<≤，则011x <≤+，此时有()()()11f x f x x =-=-++，又由()()1f x f x =-+，则()()()1f x 2f x f x =-=++，即函数()f x 的周期为2； 而()ln ,0ln ln ,0x x y x x x >⎧⎪==⎨-<⎪⎩， 在同一坐标系中做出()y f x =的图象与ln y x =的图象，可得其有三个交点，即函数()()ln g x f x x =-有3个零点；故选B ．点评：本题考查抽象函数的应用，关键在于根据题意，分析出函数f （x ）的解析式以及图象．二、填空题：13．设变量x ，y 满足约束条件236y x x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤+y ≥≥，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．答案：9考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+ 经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由36y x y x =⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3A 将()3,3A 的坐标代入目标函数2z x y =+，得2339z =⨯=+．即2z x y =+的最大值为9．故答案为：9点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．设π20sin2a xdx =⎰，则62a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的常数项为_____.答案：160 考点：二项式定理的应用；定积分．菁优网版权所有 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：利用积分求出a ，再利用展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可求得结论． 解答： 解：ππ22011πsin 2=cos2cos2cos01222a xdx x⎛⎫=-=-⋅-= ⎪⎝⎭⎰，62a x x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭+可化为612x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，其通项为()6662166122rr r r r r r T C x C x x ---⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭+，令620x -=，则3r =，62a x x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭+展开式的常数项为362160rC ⋅=．故答案为：160． 点评：本题考查积分知识，考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，90BAC ∠=︒,2AB AC ==．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为_______． 答案：12π 考点：球的体积和表面积．菁优网版权所有 专题：计算题；空间位置关系与距离；球． 分析：由90BAC ∠=︒，2AB AC ==，得到BC ，即为A 、B 、C 三点所在圆的直径，取BC 的中点M ，连接OM ，则OM 即为球心到平面ABC 距离，在Rt OMB △中，1OM =，2MB =，则OA 可求，再由球的表面积公式即可得到． 解答：解：如图所示：取BC 的中点M ，则球面上A 、B 、C 三点所在的圆即为M ， 连接OM ，则OM 即为球心到平面ABC 的距离， 在Rt OMB △中，1OM =，2MB =，223OA OM MB ∴==+，即球的半径R 为3， ∴球O 的表面积为24π12πS ==R ． 故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积计算问题，考查球的截面性质，考查运算能力，是基础题． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知22ac b a =-，π6A =，则B =_____．答案：π3考点：余弦定理．菁优网版权所有 专题：解三角形． 分析：22ac b a =- ，π6A =，利用正弦定理可得22sin sin sin sin A C B A =-，又5π6C B =-，可得215π1sin sin 264B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化为2cos 4sin 1B B B =-，与22sin cos 1B B =+联立解出即可． 解答：解：22ac b a =- ，π6A =， ∴22sin sin sin sin A C B A =-， ∴215π1sin sin 264B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化为2111cos sin 224B B B ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，化为2cos 4sin 1B B B =-，又22sin cos 1B B =+， 联立解得1cos 2B =，sin B =．π3B ∴=． 点评：本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题17．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足215327a a a =+，763S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b a =且11n n n b b a -=++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 考点：数列的求和；等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式． （Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和． 解答： 解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，0n a >则()21111242772163a a d a d a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩++++， 得132a d =⎧⎨=⎩21n a n ∴=+法二：{}n a 是等差数列且215327a a a =+，233227a a ∴=，又0n a > ，37a ∴=．…()177477632a a S a === +，49a ∴=， 432d a a ∴=-=，()3321n a a n d n ∴=-=++．（Ⅱ）11n n n b b a -= ++且21n a n =+，123n n b b n ∴-=++当2n ≥时，()()()()()()1122112121532n n n n n b b b b b b b b n n n n ---=---=-= ++++++++++， 当1n =时，13b =满足上式，()2n b n n =+()11111222n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭++121111111111111111232435112n n n T b b b b n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ++++++++++11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++++． 点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23（Ⅰ）分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；（Ⅱ）在容器 入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）设出“小球落入A 袋中”为事件M ”，小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件N ，而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．（II ）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，运用概率公式求解即可．解答： 解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件M ”，小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件N ， 而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故()18127273P M ==+， 从而()()121133P N P M =-=-=． （II ）显然，随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4且24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()042421103381P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()131421813381P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4044211643381P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ξ的分布列为：本题考查了离散型的随机变量的数学期望，分布列的求解，关键是读懂题意，判断概率的类型，准确求解即可．19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=︒，2AB PC ==，AP BP =． （I ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，AC ，由已知条件推导出PO AB ⊥，CO AB ⊥，从而AB ⊥平面PCO 由此能证明AB PC ⊥．（Ⅱ）由已知得OP OC ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B PC D --的余弦值． 解答：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，AC ， APB △为等腰三角形，PO AB ∴⊥…又 四边形ABCD 是菱形，120BCD ∠=︒， ACB ∴△是等边三角形，CO AB ∴⊥… 又CO PO O = ，AB ⊥ 平面PCO ， 又PC ⊂平面PCO ，AB PC ∴⊥ …（Ⅱ）解：ABCD 为菱形，120BCD ∠=︒，2AB PC ==，AP BP =，1PO ∴=，CO 222OP OC PC ∴=+， OP OC ∴⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()01,0A ，-，()0,1,0B ，)0,0C，()0,0,1P ，)2,0D-，)1,0BC=-，)0,1PC=-，()0,2,0DC，设平面DCP的法向量(),,n x y z=，则20PC n zDC n y⎧⋅-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x=，得(1,0,n=，设平面PCB的法向量()π,,a b c=，PC m cBC m b⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，令1a=，得(π=1,，cos,m n=，二面角B PC D--为钝角，∴二面角B PC D--的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知椭圆()2222:10x yC a ba b=>>+的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y=++与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点()2,0M的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足OS OT tOP=+（O为坐标原点），求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d a=，再由等腰直角三角形得到b c=，解方程即可得到a，b的值；（2）设()00,P x y，设出直线():2l y k x=-，联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x，y的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．解答：解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为()222x c y a-=+，∴圆心到直线10x y=++的距离*d a==，椭圆()2222:10x yC a ba b=>>+的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b c=，a，代入*式得1b c==即a=故所求椭圆方程为2212xy=+；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为()2y k x=-，设()00,P x y，将直线方程代入椭圆方程得：()2222128820k x k x k --=++，()()4222=64412821680k k k k ∴--=->△++212k ∴<， 设()11,S x y ，()22,T x y 则2122812k x x k =++，，当0k =时，直线l 的方程为0y =，此时0t =，OS OT tOP =+成立，故0t =符合题意．当0t ≠时得0122812k tx x x k2==++，()0121224412kty y y k x x k k -==-=+++， 2021812k x t k ∴=⋅+，021412ky t k -=⋅+， 将上式代入椭圆方程得：()()42222222341611212k k t k t k =+++，整理得：2221612k t k =+由212k <知204t <<，所以()2,2t ∈-．点评：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题． 21．已知函数()()2ln 1f x x ax x =-++,a ∈R ．（Ⅰ）当14a =时，求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若对任意实数()1,2b ∈，当(]1,x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增π()'f x()f x处取到极小值为时，函数在（）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，）＜，代入化简得），∴a时，恒成立；时，函数）上单调递减，此时由题，只需，；③当a=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．四、请考生在22、23、24三道题中任选一题作答22．（10分）（2015•南昌三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DC•BP．考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 专题：立体几何． 分析：（1）连结BD ，由弦切角定理得∠EAD=∠ABD=∠PCA ，由此能证明AD=AB ．（2）由已知得∠ADC=∠ABP ，∠PAB=∠ACD ，从而△ACD ∽△APB ，由此能证明DA 2=DC •BP ． 解答： 证明：（1）连结BD ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线EP 交CB 的延长于P ，∠EAD=∠PCA ， ∴∠EAD=∠ABD=∠PCA ， ∴AD=AB ．（2）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线EP 交CB 的延长于P ，∠EAD=∠PCA ， ∴∠ADC=∠ABP ，∠PAB=∠ACD ， ∴△ACD ∽△APB ， ∴，又AD=AB ，∴DA 2=DC •BP ．点评：本题考查线段长相等的证明，考查DA 2=DC •BP 的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 23．（2015•南昌三模）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数方程为：（α为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答：解：（1）∵直线l 的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，∴，∴x ﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．24．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值．解答：解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…（1分）∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…（2分）∵其解集为[0，4]，∴，∴m=3．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2=（a+b）2=9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…（10分）点评：本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．。

商丘市2015年高三第二次模拟考试数 学（文科）本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。

满分为150分，考试时间为120分钟。

考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。

考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知R 为实数集，集合{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B A（A ）{}2|≥x x （B ）{}3|->x x （C ）{}32|<≤x x （D ）R （2）已知22(1)a bi i+=+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则a b +=（A ）7- （B ）7 （C ）4- （D ）4（3）已知变量,x y 满足约束条件211,10x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（A ）3- （B ）0 （C ）1 （D ）3（4）若xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32，2x b =，x c 32log =，则当1x >时，,,a b c 的大小关系是（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b << （5）在ABC ∆中，已知DC BC 3=，则AD =（A ）AC AB 3132+ （B ）AC AB 3132-（C ）1233AB AC + （D ）1233AB AC - ， ，（6）已知命题p ：函数11x y a+=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(1,2)-点；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是 （A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧⌝ （C ）p q ⌝∧（D ）p q ∧⌝（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(∈x R,0>ω)的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 （A ）向左平移2π个单位长度 （B ）向右平移2π个单位长度 （C ）向左平移4π个单位长度 （D ）向右平移4π个单位长度（9）在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，3ABC S ∆=，则AB AC ⋅的值为（A ）2- （B ）2 （C ）4± （D ）2±（10）在递增的等比数列{}n a 中，已知134n a a +=，3264n a a -⋅=，且前n 项和为42n S =，则n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π （12）已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（A ）79 （B ）13 （C ）59 （D ）23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。