重大数统学院随机过程复习资料
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1.某城市每天发生交通事故数N 是随机变量，具有均值m ，方差2σ，设Y 为造成死亡的事件，如果每次事故造成死亡的概率为p ，且发生死亡交通事故与其它交通事故相互独立，且与每天发生交通事故数N 相互独立，求Y 的均值与方差。
2.设随机变量n X X X ,,,21…相互独立，如果：~(),1,2,P i n X i i λ= 求12n Y X X X =+++…的分布
3.设随机变量X 的分布函数为()X F x ，()X F x 连续严格单调，求()X Y aF x b =+的特征函数。
4.设X 为非负随机变量，其分布函数为()X F x ，证明
0()[1-()]X E X F x dx +∞
=
∫
5.设随机过程{(),}X t t T ∈为正交增量过程，证明：
22(,)min(,) ,X R s t s t st s t T σμ=+∈
6.设1233(,,)~(,)N a ξξξΣ。
其中211(2,1,2)',130101a ⎡⎤⎢⎥=Σ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求1123212,ηξξξηξξ=++=−的联合分布。
7.设{(),}X t t T ∈为一随机过程。
令1()()0()X t x Y t X t x
<⎧=⎨≥⎩，求证均值[()]E Y t 和12(,)R t t γ分别为()X t 的一维分布函数和二维分布函数
8.设随机过程{(),[,]}X t t a b ∈满足2[()]0,()0,[()]E X t X a E X t ==<+∞，且当 s t <时(,)(,)X X R s t R s s =，则{(),[,]}X t t a b ∈有正交增量性。
9.设}0),({≥t t X 为维纳过程，求随机过程{()(),0,0}X t l X l t l +−≥≥的协方差函数，其中l 为常数
10.设}0),({≥t t N 为泊松过程，证明：对于任意t s <<0，有 k n k k
n t s t s C n t N k s N P −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===1})()({，其中n k ≤均为非负整数。
11.设}0),({≥t t X 与}0),({≥t t Y 均为泊松过程，且相互独立，以及
0)]([,0)]([21>=>=t t Y E t t X E λλ，证明：对于n k ≤≤0，有
k n n k n q p C n t Y t X k t X P −==+=})()(|)({，其中p q p −=+=1,211
λλλ。
12.证明：独立增量过程是马尔可夫过程。
13.设,1,21≥+++=n U U U X n n 其中}{n U 为独立随机序列，证明}1,{≥n X n 为马氏过程
14.设]2,0[~,sin )(πU A At t X =，证明：},2,1),({ =t t X 是协方差平稳过程
15.设一个坛子装N 个球，他们或者为红色或者为黑色，从坛子中随机摸球，并换成另外一种颜色，记n X 为经过n 次摸球后坛子中的黑球数，写出转移概率矩阵，画出转移概率图。
16.设}0,{≥n X n 为离散分支过程。
(0)111{},0,1,2,2k P Z k k +==
= 求种群灭绝的概率。
17.考虑掷一个均匀的骰子的试验，设n X 表示在前n 次抛掷中出现的最大点数，求这个马氏链}1,{≥n X n 的转移概率矩阵。
18.重复掷一对均匀的硬币，设n X 表示在n 次抛掷中正面出现的次数， 求马氏链}1,{≥n X n 的状态空间和转移概率矩阵。
