当前位置：文档之家 › 第七章 无穷级数讲义

第七章 无穷级数讲义

  • 格式：doc
  • 大小：1.46 MB
  • 文档页数：28

无 穷 级 数第一节 常数项级数1．概念与性质（1）定义：∑∞=∞→=1lim n n n n S u（2）性质1）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 分别收敛于σ,s ，则)(1n n n v u ±∑∞=收敛于σ±s .2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变.4) ∑∞=1n n u 收敛0lim =∞→n n u2.判敛准则(1)正项级数(∑∞=1n n u ,0≥n u ) 基本定理：∑∞=1n n u 收敛⇔n S 上有界。

1)比较判别法：设n n v u ≤,则（1） ∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛.（2） ∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.2)比较法极限形式：设∞→n lim)0(+∞≤≤=l l v u nn①若+∞<<l 0,则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同敛散.②若0=l ,则∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛,∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.③若+∞=l ,则∑∞=1n n v 发散⇒∑∞=1n n u 发散,∑∞=1n n u 收敛⇒∑∞=1n n v 收敛.3)比值法:设ρ=+∞→nn n u u 1lim,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 4)根值法: 设ρ=∞→n n n u lim ,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 (2)交错级数(∑∞=->-110,)1(n n n n u u )莱不尼兹准则: 若：(1)n u 单调减; (2) 0lim =∞→n n u ,则∑∞=--11)1(n n n u 收敛.(3)任意项级数(∑∞=1n n u ,n u 为任意实数)1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论①绝对收敛的级数一定收敛,即||1∑∞=n n u 收敛∑∞=⇒1n n u 收敛.②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.即: ∑∞=1n n u 条件收敛∑∞=+⇒12||n n n u u 和∑∞=-12||n n n u u 发散.题型一 正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散；（3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。

2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n neu u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nn n neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。

3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n n n ，而 p pp nn n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。

例7.2 判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+112d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n n n n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛.3）方法1° 由泰勒公式知)1(211)11ln(22n o n n n +-=+则 22221~)1(21)11ln(1nn o n n n -=+-而∑∞=1221n n 收敛，则原级数收敛. 方法2° 由不等式)0(,)1l n (1><+<+x x x xx知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n nn nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 例7.3 设⋅∞→nn n n1sin2lim 1=n u ，试讨论级数∑∞=1n n u 的敛散性.解 由01l i m1s i n2>=⋅∞→n nn n u n 知，n 充分大时0>n u ，且,11limsin2=∞→nn n n nu 则∑∞=1n n u 与∑∞=11sin21n nn n同敛散.而 2)1sin 2(lim =∞→n n n ，则当n 充分大时有231sin 2>n n ，从而有231sin211nnnn <. 而∑∞=1231n n收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛.例7.4设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n n n 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定例7.5判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ n a n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sinπ单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.例7.6设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→l i m 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nn a 收敛. 题型三 任意项级数敛散性判定例7.7判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因n n n n n 2t a n |)!s i n (2t a n |22ππ≤，又n n 2~2t a n ππ， 则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→nn n n n n u .则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 例7.8讨论∑∞=11n pn na 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。

由于11>a ，当n 充分大时，pn p n na n a 1)1(11>++， 则01→/p n n a ，从而01→/p n n a ，故级数∑∞=11n p n na 发散. 3）当1=a 时， 若1=a ，原级数为1,11>∑∞=p n n p 时收敛，1≤p 时发散. 若1-=a ，原级数为∑∞=-1)1(n p nn.该级数在1>p 时绝对收敛；在10≤<p 时条件收敛，在0≤p 时发散. 例7.9设常数0>k ,则级数∑∞=+-12)1(n nn nk （A ）发散; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛; (D) 敛散与发散与k 取值有关.解 ∑∑∑∞=∞=∞=-+-=+-11212)1()1()1(n nn n n nn n k n n k ， 显然∑∞=-12)1(n n n 绝对收敛，而∑∞=-1)1(n nn条件收敛，则原级数条件收敛，故应选（C ）.7.10设常数0>λ，且级数∑∞=12n n a 收敛，则级数∑∞=+-12||)1(n n nn a λ.(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)敛散性与λ有关. 解 由不等式222b a ab +≤知)1(21)1(2222λλλ++≤+=+-n a n a n a n n n n. 而∑∞=12n n a 和∑∞=+121n n λ都收敛，则原级数绝对收敛，故应选（C ）. 例7.11设na n 10<≤,(⋅⋅⋅=,2,1n ),则下列级数中肯定收敛的是 (A) ∑∞=1n n a ; (B) ∑∞=-1)1(n n n a ;(C) ∑∞=1n n a ; (D) ∑∞=-12)1(n n n a .解法1直接法. 由n a n 10<≤知，2221|)1(|n a a n n n <≤-. 而∑∞=121n n收敛，则级数∑∞=-12)1(n n n a 肯定收敛，故应选（D ）.解法2排除法. 1）取n a n 21=，显然n a n 10<<，但∑∑∞=∞==1121n n n n a 发散，∑∑∞=∞==11121n n n na 发散，则（A ）和（C ）不正确.2）取⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=,,21,,21为偶数当为奇数当n nn a n n 显然有n a n 10<≤，但-+--+-+-=--∞=∑n a n n n n412181214121)1(1213 ∑∑∞=∞=-+-=111214121n n n n，而∑∞=-11221n n 收敛，∑∞=11n n 发散，则∑∞=-1)1(n n n a 发散，则（B ）不正确.故应选（D ）.例7.12设级数∑∞=1n n u 收敛,则必收敛的级数为(A)∑∞=-1)1(n n nn u ; (B) ∑∞=12n n u ; (C)∑∞=--1212)(n n n u u ; (D)∑∞=++11)(n n n u u .解法1直接法. 由于∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11n n u 也收敛. 从而有)(11∑∞=++n n n u u 收敛，故应选（D ）.解法2排除法. 1）取n u nn ln )1(-=，由交错级数的莱不尼兹准则知∑∞=1n n u 收敛，但∑∑∞=∞==-22ln 1)1(n n n nn n n u 发散. 则（A ）不正确. 2）取nu n n 1)1(--=，显然∑∞=1n n u 收敛，∑∑∞=∞==1121n n nnu 发散，则（B ）不正确，而∑∑∞=∞=-+-=-11212)21121()(n n n n nn u u ，≥+=，而∑∞=12n n 发散，则∑∞=--1212)(n n n u u 发散，（C ）不正确，故应选（D ）.例7.13设0≠n u ,),2,1(⋅⋅⋅=n 且1lim =∞→nn u n,则级数∑∞=+-+-111)11()1(n n n n u u . (A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散性不定. 解 由0≠n u ，1lim=∞→nn u n知，01lim 1lim =⋅=∞→∞→n u n u n n n n .令 ∑=+++-=nk k k k n u u S 111)11()1()11()1()11()11()11(11433221+++-+-+++-+=n n n u u u u u u u u 111)1(1++-+=n n u u ，则 11lim u S n n =∞→. 由级数定义知原级数收敛，但由于02)(lim 1)11()1(lim111≠=+=+-+∞→++∞→n n n n n n n u nu n nu u ， 而∑∞=11n n 发散，则∑∞=+++-111)11()1(n n n n u u 发散，故原级数条件收敛.例7.14设∑∞=-12)1(n nn na 收敛,则级数∑∞=1n n a .(A)条件收敛; (B) 绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定. 解 由于级数∑∞=-12)1(n n n n a 收敛，由级数收敛的必要条件知02)1(lim =-∞→n n n n a ，则数列n n n a 2)1(-有界，即存在0>M ，对一切的n 有M a n n n ≤-|2)1(|，从而有n n Ma 2||≤. 而级数∑∞=12n n M收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛，故应选（B ）.题型四 证明题与综合题例7.15设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛, ∑∞=1n n b 绝对收敛,证明级数∑∞=1n n n b a 绝对收敛.证 由于级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，则其部分和数列1112312)()()(a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=++有极限，从而数列}{n a 收敛，由于收敛数列必有界，则存在0>M ，使),2,1(|| =≤n M a n ，从而有 n n n b M b a ≤，而∑∞=1n n b 绝对收敛，则||1∑∞=n n n b a 收敛，即∑∞=1n n n b a 绝对收敛.例7.16 设极限n n na ∞→lim 存在,证明级数∑∞=12n n a 收敛.证法1由于极限n n na ∞→lim 存在，则数列}{n na 有界，即存在0>M ，使M na n ≤||，从而有n M a n ≤|| 因此222n M a n ≤. 而级数∑∞=122n nM 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.证法2由于极限n n na ∞→lim 存在，不妨设为l ，则l na n n =∞→lim ，从而有222lim l a n nn =∞→，即2221lim l n a nn =∞→. 由于级数∑∞=121n n 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.例7.17设)(x f 在],[b a 上可导,且1|)(|<≤'h x f ,对一切],[b a x ∈,有b x f a ≤≤)(,令)(1-=n n u f u ,),2,1(⋅⋅⋅=n ,其中],[0b a u ∈,证明)(11n n n u u -∑∞=+绝对收敛. 证 由于|||)(||)()(|||1111--+-'=-=-n n n n n n u u f u f u f u u ξ|)()(|||211----=-≤n n n n u f u f h u u h |||)(|212---'=n n u u f h ξ||||01212u u h u u h n n n -≤-≤-- ， 而级数∑∞=1n n h 收敛，则级数∑∞=+-11)(n n n u u 绝对收敛.例7.18设21=a ,)1(211nn n a a a +=+,),2,1(⋅⋅⋅=n ,证明(1) n n a ∞→lim 存在;(2) )1(11-∑∞=+n n na a 收敛. 证（1）因为11)1(211=⋅≥+=+nn n n n a a a a a ，则n a 下有界. 又1)111(21)11(2121=+≤+=+nn n a a a ，则}{n a 单调减，由数列单调有界准则知n n a ∞→lim 存在.（2）由（1）知111110++++-≤-=-≤n n n n n n n a a a aa a a ， 记1111)(+=+-=-=∑n nk k k n a a a a S ，由于n n a ∞→lim 存在，n n S ∞→lim 存在，即级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，由比较判别法知级数∑∞=+-11)1(n n na a 收敛. 例7.19设有方程01=-+nx x n ,其中n 为正整数,证明此方程存在唯一正实数n x ,并证明当1>α时,级数∑∞=1n nx α收敛. 证 令1)(-+=nx x x f n n ，当0>x 时，0)(1>+='-n nx x f n n ，则)(x f n 在],0[+∞ 上单调增，而0)1(,01)0(>=<-=n f f n n ，由此可知方程01=-+nx x n 存在唯一正实根n x ，由01=-+n nn nx x 及0>n x 知a an nn n nx n n x x 10110<<⇒<-=<.当1>a 时级数∑∞=11n a n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=1n an x 收敛.例7.20设)(x f 在点0=x 的某邻域内具有二阶连续导数,且0)(lim=→xx f x ,证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.证法1由于0)(lim0=→xx f x ，则0)0(=f ，且0)(lim )0()(lim )0(00==-='→→xx f x f x f f x x .由泰勒公式可知)10(!2)()0()0()(2<<''+'+=θθx x f x f f x f .由题设可知)(x f ''在包含原点的某个闭区间)0](,[>δδδ上连续，则存在0>M ，使]),[()(δδθ-∈≤''x M x f ，令nx 1=，当n 充分大时，有212)1(n M n f ≤. 因为级数∑∞=121n n 收敛，则级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛. 证法2 由于0)(lim0=→xx f x ，则0)(lim 0=→x f x ，且)(lim 1)(lim )(lim 0000x f x f x x f x x x '='==→→→.加之)(x f ''的连续性，由洛必达法则知2)0(2)(lim 2)(lim )(lim 0020f x f x x f x x f x x x ''=''='=→→→ 从而有2|)0(|1)1(lim 2f n n f n ''=∞→. 由于级数∑∞=121n n收敛，则级数∑∞=1)1(n n f 收敛，即∑∞=1)1(n nf 绝对收敛. 第二节 幂 级 数1.收敛半径;收敛区间;收敛域. 定理1(阿贝尔定理)(1) 若∑∞=1n nn x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则当||||0x x <时，∑∞=1n n n x a 绝对收敛.(2) 若∑∞=1n nn x a 当0x x =时发散,则当||||0x x >时，∑∞=1n n n x a 发散.定理2 如果ρ=+∞→nn n a a 1lim,则ρ1=R .定理3 如果ρ=→∞n n n a ||lim ,则ρ1=R .2.幂级数的性质:(1)四则运算性质: 和,差,积,商. (2)分析性质:连续性,可导性,可积性. 3.函数的幂级数展开.1)定理:设)(x f 在0x x =处任意阶可导,则n n n x x n x f )(!)(010)(-∑∞=收敛于)(x f ⇔0)(lim =∞→x R n n .2)几个常用的展开式 （1）;1112 +++++=-n x x x x)11(<<-x （2） +++++=!!212n x x x e nx)(+∞<<-∞x（3） +--++-=--)!12()1(!3sin 1213n x x x x n n )(+∞<<-∞x（4） +-++-=-)!2()1(!21cos 212n x x x nn )(+∞<<-∞x（5） +-++-=+-nx x x x nn 12)1(2)1ln( )11(≤<-x （6） ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα)11(<<-x题型一 求收敛域例7.21求下列幂级数的收敛域 (1) ∑∞=-1!)1(n nnn x n (2) n n n n x n )1()2(31--+∑∞= (3) ∑∞=--12)1(2)1(n nn nx n (4) n n n n x n ∑∞=-+1])1(3[解（1）01111lim !)!1(1lim lim1=++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ，则+∞=R .故原幂级数收敛域为),(+∞-∞.（2）n nn n n n n n n n nn n n n u u )2(3)2(3lim )2(31)2(3lim lim 11111-+-+=-+⋅+-+=++∞→++∞→+∞→ 3)32(1)32(23lim=-+--=∞→nnn . 或3)32(1lim 3)2(3lim||lim =-+=-+=∞→∞→∞→nn n nnnn n n n n nu . 则31=R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1111)32(131)2(3n n n nn n n n n n ， 由于∑∞=11n n发散，∑∞=-11)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=+-=--+111)32(1)1(3)1()2(3n nn n nn n n n n n n ，则原幂级数在311-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.（3）212lim||lim ==∞→∞→nn n n n n u ，由于该幂级数只有偶次项，则2=R . 当21±=-x 时，原级数为∑∞=-1)1(n n n 发散.则原幂级数收敛域为)21,21(+-. （4）nnn n n n nu )1(3lim||lim -+=∞→∞→不存在，而n n n n n nn n nn u u ])1(3[1])1(3[lim lim 111-+⋅+-+=++∞→+∞→， 由于11lim =+∞→n n n ，且1])1(3[])1(3[lim 1=-+-++∞→nn n n n ，但])1(3[lim 1+∞→-+n n 不存在，则nn n u u 1lim+∞→不存在.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=为奇数，为偶数，n nn n n u nnn n n ,2,4])1(3[ 因此，分别考虑幂级数∑∞=---11212122k k k x k 和∑∞=12224k kk x k.容易求得幂级数∑∞=---11212122k k k x k 的收敛半径211=R ，而幂级数∑∞=12224k kk x k的收敛半径412=R ，则原幂级数收敛半径为41. 当41±=x 时，∑∞=---11212122k k k x k 收敛，∑∞=12224k kk x k发散，则原幂级数发散，故原幂级数收敛域为)41,41(-.例7.22 设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 收敛,在2=x 发散,则该幂级数收敛域为____.解 由于幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，由阿贝尔定理知当|10||1|-<-x ，即1|1|<-x ，原幂级数收敛. 当|12||1|->-x ，即1|1|>-x ，原幂级数发散. 则该幂级数收敛域为).2,0[例7.23已知∑∞=-1)(n n n a x 在2-=x 处条件收敛，则n n a x n )(12-∑∞=在21ln =x 处(A) 绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）必发散 （D ）敛散性由a 确定 （A ）题型二 将函数展开为幂级数例7.24将下列函数展开为x 的幂级数.(1)223)(x x x f +=; (2)256512)(x x xx f ---=;(3)x xx f -+=11arctan )( (4)21ln arctan )(x x x x f +-=(5) x x x x x f -+-+=arctan 2111ln41)( (6))21ln()(2x x x f --= (7))1ln()(432x x x x x f ++++= 解（1）)2,2(,23)1()2()1(2321123)(0011222-∈-=-=+=∑∑∞=∞=++x x x x x xx f n n n n n nn . （2）∑∑∞=∞=+-=-++=--+=00)6()1(116111166)(n n n n n x x x x x x x f ∑∞=-∈+-=0)1,1(,)16)1((n n n nx x .（3）)1,1(,)1(11)(022-∈-=+='∑∞=x x x x f n nn .⎰∑⎰∑∞=∞=++-=-='=-xn xn n n nnx x dx x dx x f f x f 000012212)1()1()()0()(， 又41arctan )0(π==f ，则)1,1(,12)1(4)(012-∈+-+=∑∞=+x n x x f n n n π.（4）⎰∑∑⎰∞=+∞=+-=-=+=x n n n n nn xn x dx x x dx x 0012020212)1())1((1arctan ， ∑∞=--=+=+12122)1(21)1ln(211ln n n n nx x x ，则 ∑∑∞=-∞=+--+-=+-=1210222)1(2112)1(1ln arctan )(n nn n n n n x n x x x x x f )1,1(,)22)(12()1(022-∈++-=∑∞=+x n n x n n n .（5）x x x x x f -+--+=arctan 21))1ln()1(ln(41)(，∑∞==--=-++-++='14421111)1(21)1111(41)(n nx x x x x x f ， ⎰⎰∑∑∞=+∞=-∈+==+'=xxn n n nx n x dx x f dx x f x f 011414)1,1(,14)()0()()(.（6）)21ln()1ln()]21)(1ln[()(x x x x x f -++=-+= ∑∑∑∞=∞=++∞=+-∈--=--+-=111111)21,21(,2)1()2()1()1(n n n n n n n n n n x x n n x n x .（7）)1ln()1ln(11ln)1ln()(55432x x xx x x x x x f ---=--=++++= ∑∑∞=-∞=------=11151)()1()()1(n nn n n n n x n x )1,1(,115-∈+-=∑∑∞=∞=x nx n x n n nn .例7.25将下列函数在指定点处展开为幂级数. (1)x x f sin )(=在4π=x 处; (2)231)(2++=x x x f 在1=x 处; (3) 2)2(1)(+=x x f 在1-=x 处. 解 （1）)]4cos()4[sin(22]4)4sin[(sin )(ππππ-+-=+-==x x x x x f ])!2()4()1()!12()4()1([22212∑∑∞=∞=+--++--=n n nn n n n x n x ππ),(,!)4()1(222)1(+∞-∞∈--=∑∞=-x n x n nn n π.（2）)1(31)1(212111)2)(1(1)(-+--+=+-+=++=x x x x x x x f311131211121-+⋅--+⋅=x x∑∑∞=∞=-----=00)31()1(31)21()1(21n n n n nn x x∑∞=++<<----=01131,)1)(3121()1(n nn n n x x .（3）))1()1(())1(11()21()(0'+--='++-='+-=∑∞=n n n x x x x f∑∞=-<<-+--=1102,)1()1(n n n x x n .例7.26将)1ln()(2x x x f +=展开为x 的幂级数,并求)0()(n f .解 ∑∞=--∈-=+11)1,1(,)1()1ln(n nn x n x x ，则 ∑∞=+--=+=1212)1()1ln()(n n n n x x x x f .于是nx 项系数 2)1(2)1(11--=--=--n n a n n n . 从而有 2!)1()0(2)1(!)0(1)(1)(--=⇒--=--n n f n n f n n n n . 例7.27 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,1 0,sin )(x x x x x f ,求)0()(n f解 由于∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n n x x ，则∑∞=+-==02)!12()1(sin )(n nn n x x x x f . 于是 )!2()0()!12()1()2(2n f n a n n n=+-=，从而12)1()0()2(+-=n f n n . 012=+n a ，从而0)0()12(=+n f .题型三 级数求和例7.27求下列幂级数的和函数(1) ∑∞=+1)1(n n n n x (2) 221212-∞=∑-n n n x n(3) n n n x n n ∑∞=+02!21 (4) 120)!12(1)1(+∞=∑++-n n n x n n解 （1）易求得该幂级数收敛域为]1,1[-.令∑∞=-∈+=1]1,1[)1()(n nx n n x x S . 当0=x 时，0)(=x S .当10≤<x 时，∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=++---=+-=+=1111111)1ln(1)1()(n n n n n n n n n x x x n x n x n n x x S )1ln()11(1])1ln([1)1ln(x xx x x x --+=------=，故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--+==.10),1ln()11(1,0,0)(x x x x x S （2）21212lim ||lim =-=∞→∞→nn n n n n u ，则2=R . 当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散. 则原级数收敛域为)2,2(-. 令 221212)(-∞=∑-=n n nx n x S ， )2,2(-∈x ， 当0=x 时，21)(=x S . 当20<<x 时， ))2(1()21()2(212)(1212112221'='='=-=∑∑∑∑∞=∞=∞=--∞=n nn n n n n n n n n x x x x x x n x S222222)2(2)2(2121x x x x xx x -+='-='⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅， 故 )2,2(,)2(2)(222-∈-+=x x x x S .（3）∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+=+010202!)2()2()!1()2(!1!21n n n nn n n n n n x xn n x n n x n n∑∑∞=∞=+-+-=212)2()!1(1)2()!2(1n n xn n e xn x n),(,)124(24222222+∞-∞∈++=++=x e x x e e x e x xxxx.（4）易求得该级数收敛域为),(+∞-∞.∑∑∞=∞=++'+-=++-=002212))!12()1(21()!12(1)1()(n n n n n nx n x n n x S)sin 2())!12()1(2(012'='+-=∑∞=+x xx n x n n n),(),cos (sin 21+∞-∞∈+=x x x x .例7.29求下列常数项级数的和.(1) ∑∞=-222)1(1n n n (2) ∑∞=+--022)1()1(n nn n n 解 （1）令∑∞=-=221)(n nn x x S ， )1,1(-∈x ，则∑∑∑∑∞=+∞=-∞=∞=+--=+--=21212212112121121)(n n n n n n n n n x x n x x n x n x x S ]2)1ln([21)]1ln([22x x x x x x -------=)0,1|(|),1ln(21422≠<--++=x x x xx x故2ln 4385)21(2)1(122-==-∑∞=S nn n. 注：这里用到∑∞=--=1)1ln(n nx n x ，这是一个常用的结论.（2）∑∑∑∞=∞=∞=-+--=+--0102)21()21)(1(2)1()1(n n nn n nn n n n n ，322111)21(0=+=-∑∞=n n . 令 ∑∑∑∞=∞=∞=-''=-=-=0222)()1()1()(n n n n n nx x xn n xx n n x S322)1(2)11(x x x x -=''-=， ∑∞==-=--0274)21()21)(1(n n S n n . 故 2722274322)1()1(02=+=+--∑∞=n nn n n . 例7.30求幂级数∑∞=02)!2(n nn x 的和函数.解法1 由于∑∞=+++++==02!!21!n nn xn x x x n x e ，则∑∞=-+-+-+-=-=02!)1(!21!)1(n n n n n xn x x x n x e.从而有 ∑∞=-=++++=+0222)!2(2))!2(!21(2n nn xx n x n x x ee . 故 ∑∞=-+=022)!2(n xx n e e n x . 解法2 令 +++++==∑∞=)!2(!4!21)!2()(24022n x x x n x x S nn n ，则∑∞=--+-+++=-='112312)12(!3)!12()(n n n n x x x n x x S ，x ne n x x x x S x S =+++++='+ !!21)()(2. 解一阶线性微分方程 x e x S x S =+')()(得x x e Ce x S 21)(+=-.由1)0(=S 知，21=C . 则2)(xx e e x S -+=.例7.31设⎰==πn n n dx x x a 0),2,1(|sin | ,求极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n a a a 222lim 221 . 解 ⎰=πn n dx x x a 0|sin | )(t n x -=πn n n a dt t n dt t t n -=-=⎰⎰ππππ0sin sin )(πππππ2020sin 2sin 2n tdt n dt t n a n n ===⎰⎰令 nn x n x S ∑∞==12)(，易求得 32)1()(x x x x S -+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n a aa 222lim 221 ππ6)21(==S 例7.32设121==a a ,),3,2(11⋅⋅⋅=+=-+n a a a n n n ,试证∑∞=-11n n n x a 在21||<x 处必收敛,并求其和函数.解 由121==a a 及11-++=n n n a a a 知}{n a 单调增，即n n a a >+1. 则 12112112222----+=<<<=+<+=n n n n n n n n n a a a a a a a a . 从而有 11212)2(212),5,4(2-----=<⇒=<n n n n n n n x x x a n a . 而级数∑∞=-11)2(n n x 在12<x ，即21<x 时绝对收敛，则级数∑∞=-11n n n x a 在21<x 处收敛. 令 ∑∞=--∈=11))21,21(()(n n n x x a x S∑∑∑∞=∞=∞=-+-+++=++=++=322111)(111n n n n n n nn n n x a a x x a x xa x)()(1)())((1221x S x x x S x a x S x x ++=+-++=， 则 21,11)(2<--=x x x x S .第三节 傅 里 叶 级 数1.傅里叶系数与傅里叶级数:+2~)(0a x f ∑∞=+1)sin cos (n n nnx b nx a⎰-=πππx nx x f a n d cos )(1⋅⋅⋅=2,1,0n⎰-=πππx nx x f b n d sin )(1⋅⋅⋅=2,1n2.收敛定理设)(x f 在],[ππ-上连续或有有限个第一类间断点,且只有有限个极值点,则)(x f 的傅里叶级数在],[ππ-上处处收敛,且收敛于i))(x f ,当x 为)(x f 的连续点.ii)2)0()0(++-x f x f ,当x 为)(x f 的间断点.iii) 2)0()0(-++-ππf f ,当π±=x3.周期为π2的函数的展开. (1)],[ππ-上展开.⎰-=πππx nx x f a n d cos )(1⋅⋅⋅=2,1,0n ⎰-=πππx nx x f b n d sin )(1⋅⋅⋅=2,1n(2) ],[ππ-上奇偶函数的展开. i) )(x f 为奇函数.,0=n a ⋅⋅⋅=2,1,0n⎰=ππd sin )(2x nx x f b n ⋅⋅⋅=2,1nii) )(x f 为偶函数.⎰=ππd cos )(2x nx x f a n ⋅⋅⋅=2,1,0n0=n b ⋅⋅⋅=2,1n (3)在],0[π上展为正弦或展为余弦.i)展为正弦.,0=n a ⋅⋅⋅=2,1,0n⎰=ππ0d sin )(2x nx x f b n ⋅⋅⋅=2,1nii)展为余弦.⎰=ππd cos )(2x nx x f a n ⋅⋅⋅=2,1,0n0=n b ⋅⋅⋅=2,1n4.周期为l 2的函数的展开. (1)],[l l -上展开.⎰-=l l n x l xn x f l a d cos )(1π ⋅⋅⋅=2,1,0n ⎰-=l l n x l x n x f l b d sin )(1π ⋅⋅⋅=2,1n(2) ],[l l -上奇偶函数的展开. i) )(x f 为奇函数.,0=n a ⋅⋅⋅=2,1,0n⎰=l n x lx n x f l b 0d sin )(2π ⋅⋅⋅=2,1n ii) )(x f 为偶函数.⎰=l n x lxn x f l a 0d cos )(2π ⋅⋅⋅=2,1,0n 0=n b ⋅⋅⋅=2,1n (3)在],0[l 上展为正弦或展为余弦. i)展为正弦.,0=n a ⋅⋅⋅=2,1,0n⎰=l n x l x n x f l b 0d sin )(2π ⋅⋅⋅=2,1n ii)展为余弦.⎰=l n x lxn x f l a 0d cos )(2π ⋅⋅⋅=2,1,0n0=n b ⋅⋅⋅=2,1n题型一 有关收敛定理的问题例7.33函数⎩⎨⎧≤≤<<--=,0,1,0,1)(ππx x x f 在],[ππ-上展开为傅里级数的和函数=)(x S .解 由收敛定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==<<<<--=.,0,0,0,0,1,0,1)(πππx x x x x S 例7.34设⎩⎨⎧≤<+≤<--=,0,1,0,1)(2ππx x x x f 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于.解 由收敛定理知，在π=x 处收敛于22)1(12)0()0(22ππππ=++-=-++-f f例7.35设函数2)(x x f =,10≤≤x 而=)(x S ∑∞=+∞<<-∞1,sin n x x n π其中⎰⋅⋅⋅==10,3,2,1,d sin )(2n x x n x f b n π,则)21(-S 为(A)21-; (B)41-; (C)41; (D)21.解 由题设知，原题是将)(x f 在]1,1[-上作为奇延拓按周期2展开，则41)21()21(-=-=-S S .故应选（B ）.例7.36设⎩⎨⎧-=,22,)(x x x f 121210<<≤≤x x +=2)(0a x S ∑∞=+∞<<-∞1,cos n n x x n a π, 其中⎰⋅⋅⋅==10),2,1,0(,d cos )(2n x x n x f a n π,则)25(-S 等于(A)21; (B)21-; (C)43; (D)43-. 解 由原题设可知，原题是将)(x f 在]1,1[-上作偶延拓按周期为2展开，则432)12(212)021()021()21()21()25(=-+=++-==-=-f f S S S . 故应选（C ）.题型二 将函数展开为傅里叶级数例7.37将2)(x x f =在),0(π上分别展开为正弦级数和余弦级数. 解 （1）展为正弦：]1)1[(4)1(2sin 2,00312--+-===⎰-n n n n n n nxdx x b a ππππ， 则 ∑∑∞=∞=-∈----=13112),0(,)12s i n ()12(18s i n )1(2n n n x x n n nx n x πππ.（2）展为余弦：⎰⎰-=====πππππ022220)1(4cos 2,322,0n n n nnxdx x a dx x a b ，则 ),0(,c o s )1(431222ππ∈-+=∑∞=x nx nx n n例7.38将函数)11(||2)(≤≤-+=x x x f 展开为以2为周期的傅时叶级数,并由此求级数∑∞=121n n的和. 解 由于x x f +=2)(为偶函数，则0=n b ， ,2,1=n⎰=+=105)2(2dx x a ，2,1,)1(cos 2cos )2(2122=-=+=⎰n n n xdx n x a n πππ 由收敛定理知]1,1[,)12()12cos(425cos )1(cos 2252022122-∈++-=-+=+∑∑∞=∞=x n n x n n n x n n ππππ，令0=x ，得∑∞=+-=022)12(14252k k π. 则 8)12(1202π=+∑∞=k k ， ∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++=++=1001221222141)12(1)2(1)12(11n k k n k n k k k n . 故 6)12(134120212π=+=∑∑∞=∞=k n k n. 例7.39设)155(,10)(≤≤-=x x x f ,将)(x f 展成以10为周期的傅里叶级数..5sin )1(10101xn n x n n ππ∑∞=-=- )15,5(∈x解 ⎰⎰=-==15515500)10(51)(51dx x dx x f a ， ⎰⎰=-==15515505cos )10(515cos)(51dx xn x dx x n x f a n ππ， ⎰⎰-=-==15515510)1(5sin )10(515sin )(51πππn dx x n x dx x n x f b n n ， 则 )15,5(,5sin )1(1010)(1∈-=-=∑∞=x xn n x x f n n ππ。

合集下载

高等数学无穷级数

高等数学无穷级数


一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R
正六边形的面积
a1
正十二边形的面积
a1 a2
正 3 形的2面n积
a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 100
3 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
(常数项)无穷级数
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也 是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的 应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展 开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。
根据级数收敛的必要条件，
1
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
3; 4
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，
F由ouf(rxie) r单级调数减少知第一次分叉：
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
上满足Dirichlet 条件
②根据公式计算Fourier系数
4 Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系数计算，
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aq n a aqn ,
1 q
1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
高等数学无穷级数

高等数学无穷级数


n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为 P2
4 3
P1
,
面积为 A2
A1
3 1 9
A1;
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题:
1、若 a n
1
3(2n 2 42n
1) ,则 5
n1
an
=____________；
369
3n
2、( 1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
(
1 23
1 33
)
1 (2n
1 3n
)
；
3、1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
2、若 a n
n! nn
5
,则
n1
an
=______________________；
3、若级数为
x 2
x 24
x 2
x 46
则a n
_______；
4、若级数为 a 2 a 3 a 4 a 5 则a n ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____
lim qn
《数学分析》第七章 无穷级数

《数学分析》第七章 无穷级数

第七章无穷级数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数.本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：●数项级数收敛性判别方法；● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质；● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法.三、本章的基本知识要点（一）数项级数 1.级数的收敛性（1）级数收敛和发散的定义 若数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛，称S 为数项级数的和，记为∑∞==1n n u S 或.∑=n u S若{}n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.（2）级数收敛的条件① 级数收敛的必要条件：级数∑∞=1n nu收敛.0lim =⇒∞→n n u② 级数收敛的柯西准则（充要条件） （10）级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，有.21ε<++++++p n n n u u u（20）级数∑∞=1n nu发散⇔00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，+∈∃N p 0，使得.0210000ε≥++++++p n n n u u u（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数∑nu和∑nv都收敛，则对任意常数d c ,，级数()∑+n ndv cu也收敛，且().∑∑∑+=+n n n nv d u c dv cu② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.③ 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 2.正项级数收敛性的判别 （1）（充要条件）正项级数∑nu收敛⇔部分和数列{}n S 有界（即+∈∃R M ，+∈∀N n ，有.M S n ≤）（2）(比较原则) 设∑nu和∑nv是两个正项级数，且+∈∃N N ，N n >∀，有n n v u ≤，则① ∑nv收敛⇒∑nu收敛； ②∑nu发散⇒∑nv发散.（3）(比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，l v u nnn =∞→lim，则① 当+∞<<l 0 时，级数∑nu和∑nv同敛态；② 当0=l 且级数∑nv收敛⇒∑nu收敛；③ 当+∞=l 且级数∑nv发散⇒∑nu发散.（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及常数)1,0(∈q .① 0N n >∀有q u u nn ≤+1⇒∑n u 收敛； ② 0N n >∀有11≥+nn u u ⇒∑n u 发散. （5）(比式判别法的极限形式) 设∑n u 是正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则 ① 当1<q 时，级数∑nu收敛；② 当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.注 当1=q 时不能用本法判别级数的敛散性.（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及正常数l .① 0N n >∀有1<≤l u n n ⇒∑nu收敛；② 0N n >∀有1≥n n u ⇒∑nu发散.（7）(根式判别法的极限形式) 设∑nu是正项级数，且l u n n =，则① 当1<l 时，级数∑nu收敛；② 当1>l 或+∞=l 时，级数∑nu发散.注 当1=l 时不能用本法判别级数的敛散性.（8）(积分判别法) 设f 为],1[+∞上的非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.3.一般项级数收敛性的判别（1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数∑+-n n u 1)1(（0>n u ）满足条件：数列{}n u 单调递减且趋于0，则∑+-n n u 1)1(收敛.（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数∑nu 收敛，则称级数∑nu绝对收敛;② 若级数∑nu收敛而∑nu发散，则称级数∑nu条件收敛.③ 绝对级数的级数一定收敛.（3）(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则∑nn b a 也收敛.（4）(狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则∑nn ba 收敛.（二）函数列与函数项级数 1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数① 设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x f n ，若对E x ∈0，数列(){}0x f n 收敛，则称0x 为函数列(){}x f n 的收敛点，若数列(){}0x f n 发散，则称0x 为函数列(){}x f n 的发散点，函数列(){}x f n 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，数列(){}x f n 收敛，设)()(lim x f x f n n =∞→，则称)(x f 为函数列(){}x f n 的极限函数或称函数列(){}x f n 在D上点点收敛于函数)(x f ，记为.),()(lim D x x f x f n n ∈=∞→或)()(x f x f n → ),(∞→n .D x ∈② 函数列极限的N -ε定义：⇔∈=∞→D x x f x f n n ),()(lim 对每一固定的D x ∈，0>∀ε，恒存在正数),(x N N ε=（一般说来N 的值与ε和x 有关），使得当N n >时，总有.)()(ε<-x f x f n（2）函数列一致收敛的定义① 函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f ⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，有.)()(ε<-x f x f n记为)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈② 函数列(){}x f n 在D 上不一致收敛于函数)(x f ⇔00>∃ε，+∈∀R N ，总存在正整数N n >0与点D x ∈0，使得.)()(0000ε≥-x f x f n（3）函数列一致收敛的判别法① 利用函数列一致收敛的定义.② 柯西准则：)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当N m n >,时，对一切D x ∈，都有.)()(ε<-x f x f m n③ 确界极限判别法：函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x f x f n Dx n④ 优数列判别法：若+∈∃R N ，当N n >时，对一切D x ∈，有n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞→n n a ，则函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于)(x f .注 数列}{n a 称为优数列.（4）一致收敛函数列的性质① 连续性：若函数列(){}x f n 在D 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数)(x f 在D 上也连续，且D x ∈∀0，有).(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →→∞→∞→=② 可积性：若函数列(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ，且每一项都连续，则)(x f 在],[b a 上也可积，且.d )(lim d )(lim d )(⎰⎰⎰→∞→∞==bab a ban n n n x x f x x f x x f③ 可微性：设函数列(){}x f n 在],[b a 上有定义，若],[0b a x ∈为(){}x f n 的收敛点，(){}x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且(){}x f n '在],[b a 上一致收敛，则(){}x f n 在],[b a 上一致收敛，其极限函数)(x f 在],[b a 上可导，且()).(d d lim )(lim d d )(d d x f x x f x x f x n n n n →∞→∞==2.函数项级数及其一致收敛性（1）函数项级数的收敛域及和函数设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x u n ，称++++)()()(21x u x u x u n ，.E x ∈为定义在E 上的函数项级数，记为∑∞=1)(n nx u或∑).(x u n 并称)()(1x u x S nk k n ∑==，E x ∈， ,2,1=为函数项级数∑)(x u n 的部分和数列. 若E x∈0，部分和数列)}({0x S n 收敛，则称0x 为函数项级数∑)(x u n的收敛点，若数列)}({0x Sn发散，则称0x 为函数项级数∑)(x u n 的发散点. 级数∑)(x u n的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，级数∑)(x u n的和数列(){}x S n 收敛于函数)(x S ，则称)(x S 为级数∑)(x u n的和函数，记为)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，.D x ∈注 函数项级数的收敛性指的就是它的和函数列的收敛性.（2）函数项级数一致收敛的定义 设(){}x S n 是函数项级数∑)(x u n的部分和数列，若(){}x S n在D 上一致收敛于函数)(x S ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛，即0>∀ε，+∈∃R N ，N n >∀，D x ∈∀，有.)()(ε<-x S x S n（3）函数项级数一致收敛的判别法 ① 利用函数项级数一致收敛的定义. ② 柯西准则：函数项级数∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔0>∀ε，+∈∃RN ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有.)()(ε<-+x S x S n p n或.)()()(21ε<++++++x u x u x u p n n n注 当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件：∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于零.③ 确界极限判别法：函数项级数∑)(x u n在D 上一致收敛于函数)(x S⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x S x S n Dx n④ 优级数判别法：设函数项级数∑)(x u n定义在数集D 上，∑nM为收敛的正项级数，若对一切D x ∈，有n n M x u ≤)(，,,2,1 =n 则级数∑)(x u n在D 上一致收敛.⑤ 阿贝尔判别法：设 （10）∑)(x u n在区间I 上一致收敛；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）)}({x v n 在I 上一致有界.则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.⑥ 狄利克雷判别法：设（10）∑)(x u n的部分和数列在区间I 上一致有界；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）在I 上0)(→→x v n ).(∞→n则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.（4）一致收敛函数项级数的性质 ① 连续性：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在],[b a 上也连续.② 逐项求积：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰⎰∑=.d )(d )(babannx x u x x u③ 逐项求导：若函数项级数∑)(x u n在],[b a 上每一项都有连续的导函数，],[0b a x∈为∑)(x u n的收敛点，且)(x u n∑'在],[b a 上一致收敛，则∑=)()(x u x S n在上可导，且可逐项求导，即().)(d d)(d d ∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u xx u x n n （三）幂级数1.幂级数的一般形式：()∑∞=-0n nnx x a ；特殊形式：x an n n∑∞=0.2.阿贝尔定理：若幂级数x ann n∑∞=0在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数x ann n∑∞=0收敛而且绝对收敛；若幂级数x a nn n ∑∞=0在x x =发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数x a n n n ∑∞=0发散.3.幂级数的收敛半径和收敛区间 幂级数x ann n∑∞=0的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.（1）当0=R 时，幂级数x ann n∑∞=0仅在0=x 处收敛；（2）当∞=R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(+∞-∞上收敛；（3）当0>R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(R R +-内收敛；对一切满足不等式R x >的x ，幂级数x ann n∑∞=0都发散；在R x ±=处，可能收敛也可能发散.（4）()R R ,-称为幂级数x ann n∑∞=0的收敛区间.4.幂级数收敛半径定理：对于幂级数x a n n n ∑∞=0，若ρ=→∞n n n a lim ，或ρ=+∞→nn n a a 1lim ，则（1）当+∞<<ρ0时，幂级数x a n n n ∑∞=0的收敛半径是ρ1=R ；（2）当0=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是+∞=R ；（3）当+∞=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是0=R .5.幂级数的一致收敛性质 （1）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，则在它的收敛区间()R R ,-内任意闭区间],[b a 上幂级数都一致收敛.（2）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，且在R x =（或R x -=）时收敛，则幂级数在],0[R （或]0,[R -）上一致收敛.6.幂级数的分析性质 （1）幂级数x ann n∑∞=0的和函数是()R R ,-内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（或左）连续.（2）幂级数x ann n∑∞=0与其逐项求导及逐项积分所得的幂级数具有相同的收敛区间.（3）设幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数为()x f ，()R R x ,-∈∀，则① ()x f 在x 可导，且()∑∞=-=11n n nxnax f ；② ()x f 在0与x 这个区间上可积，且()x n a t t f n n n x11d +∞=∑⎰+=. （4）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数，则在()R R ,-内具有任意阶导数，求可逐项求导任意次，即() +++++='-x na x a x a a x f n n 1232132， () +-++⋅+=''-x a n n x a a x f n n 232)1(232， ()() +-++=+x a n n n a n x fn n n 12)1()1(!（5）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在0=x 的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与()x f 在0=x 处的各阶导数有如下关系： ()()() ,2,1,!0,00===n n fa f a n n7.幂级数的运算 （1）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在此邻域内相等.（2）幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内相等 ,2,1,0,==⇒n b a n n（3）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0的收敛半径分别为a R 与b R ，则有x a x ann n nn n∑∑∞=∞==0λλ，a R x <.()x b a x b x ann n n nn n nn n∑∑∑∞=∞=∞=+=±0，R x <. x c x b x a n n n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000,R x <. 其中λ为常数，},m in{b a R R R =，kn nk k n ba c -=∑=.8. 泰勒级数（1）设()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，则称()()()()()()()() +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f 00200000!!2 为()x f 在0x 的泰勒级数，当00=x 时，称级数()()()()() +++''+'+x n f x f x f f nn !0!20002为函数的麦克劳林级数.（2）()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()()0lim =⇔∞→x R x f n n ，其中()x R n 为()x f 在0x 的泰勒公式余项.（3）余项的形式 ① 皮亚诺型余项()()()nn x x o x R 0-=，()()x o x R n n =.② 拉格朗日型余项 ()()()()()101!1++-+=n n n x x n fx R ξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()10001)!1(++-+-+=n n x x n x x x fθ，10<<θ. ()()()()xn fx R n n n 11!1+++=ξ（ξ介于0与x 之间）()()x n x fn n 11)!1(+++=θ，10<<θ. ③ 柯西型余项()()()()()01!x x x n fx R n n n --=+ξξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()()100011!++---+=n n n x x n x x x fθθ，10<<θ.()()()()x x n fx R n n n ξξ-=+!1（ξ介于0与x 之间）()()()()xn x x x fn nn 10011!++--+=θθ，10<<θ.④ 积分型余项()()()()t t x t f n x R nx x n n d !101-=⎰+.()()()()t t x t f n x R nx n n d !101-=⎰+.（4）五个基本展开式① R ,!!21e 2∈+++++=x n x x x nx .② ()()R ,!121!5!3sin 12153∈+--+-+-=--x n x x x x x n n . ③ ()()R,!21!4!21cos 242∈+-+-+-=x n x x x x nn .④ ()()()()1,!11!21112<++--++-++=+x x n n x x x nααααααα.⑤ ()()(]1,1,1321ln 132-∈+-+-+-=+-x nx xx x x nn . 9. 函数的幂级数展开的方法（1）直接法先求出函数在0x x =处的各阶导数，其次估计余项，证明()0lim =→∞x R n n ，最后写出函数的展开式.（2）间接法利用基本展开式，经过四则运算或变量替换得到函数的幂级数展开式，或在收敛区间内用逐项求导或逐项积分求出函数的导数或原函数，再经逆运算得到函数的幂级数展开式（四）傅里叶级数1.三角函数系与三角级数（1）函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 统称为三角函数列或三角函数系.（2）三角函数系具有正交性，即在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在[]ππ,-上的积分都等于零，而其中任何一个函数的平方在[]ππ,-上的积分都不等于零.（3）由三角函数系产生的形如()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的级数称为三角级数. （4）若级数 ()∑∞=++102n n n b a a 收敛，则级数 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.以π2为周期的函数的傅里叶级数 （1）傅里叶系数公式若在整个数轴上()()∑∞=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系：()x nx x f a n d cos 1⎰-=πππ， ,2,1,0=n ， ()x x x f b n d sin 1⎰-=πππ， ,2,1=n .（2）以()x f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为()x f 的傅里叶级数，记为()x f ～()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a .（3）收敛定理：若以π2为周期的函数()x f 在[]ππ,-上按段光滑，则在没一点[]ππ,-∈x ，()x f 的傅里叶级数收敛于()x f 在点x 处的左、右极限的算术平均值，即()()()∑∞=++=-++10sin cos 2200n n n nx b nx a a x f x f ，其中n n b a ,为()x f 的傅里叶系数.（4）收敛定理的推论：若()x f 是以π2为周期的连续函数，且在[]ππ,-上按段光滑，则()x f 的傅里叶级数在()+∞∞-,上收敛于()x f .3.以l 2为周期的函数的傅里叶级数 设()x f 是以l 2为周期的函数，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ，其中()x l x n x f l a l l n d cos 1π⎰-=， ,2,1,0=n ，()x lx n x f l b l l n d sin 1π⎰-=， ,2,1=n ，称为函数()x f 的傅里叶级数，n n b a ,称为傅里叶系数.4.正弦级数与余弦级数（1）设()x f 是以l 2为周期的可积偶函数，或是定义在[]l l ,-上的可积偶函数，则()x f 可展成余弦级数()x f ～lx n a a n n πcos 210∑∞=+，其中 ()x lxn x f l a l n d cos 20π⎰=， ,2,1,0=n .（2）设()x f 是以l 2为周期的可积奇函数，或是定义在[]l l ,-上的可积奇函数，则()x f 可展成正弦级数()x f ～lxn b n n πsin1∑∞=， 其中 ()x lxn x f l b l n d sin 20π⎰=， ,2,1=n . 5.贝塞尔不等式及其推论（1）贝塞尔不等式若函数()x f 在[]ππ,-上可积，则()()x x fb a a n nn d 1221222⎰∑-∞=≤++πππ，其中n n b a , 为()x f 的傅里叶系数.（2）推论1（黎曼-勒贝格定理）：若()x f 为可积函数，则()0d cos lim =⎰-∞→x nx x f n ππ，()0d sin lim =⎰-∞→x nx x f n ππ.（3）推论2：若()x f 为可积函数，则()0d 21cos lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π，()0d 21sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π. 5.傅里叶级数部分和的积分表达式若()x f 是以π2为周期的函数，且在[]ππ,-可积，则它的傅里叶级数部分和()x S n 可写成()()t t tn t x f x S n d 2sin221sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰-πππ，当0=t 时，被积函数中的不定式有极限212sin221sin lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n t tn t来确定.四、基本例题解题点击【例1】讨论下列级数的敛散性： 1.()∑∞=2ln ln 1n nn ； 2. ()∑-1na （1>a ）； 3. ∑nn n !； 4. ∑33n n .【提示】本题涉及到正项级数的几种常用的敛散性判别法，其中第三题困难之处在于寻找与()1-na 同阶无穷小，利用()1-a x 的泰勒展开式，将展开式中的x 替换为n1后即可知()1-na 与n1同阶. 【解】1. 当e 2>n 时，()21ln 1ln n n n <，而∑21n收敛，故()∑∞=2ln ln 1n n n 收敛. 2. 0ln 1lim 11lim 0>=-=-+→∞→a x a na x x nn ，而∑n 1发散，故()∑-1na 发散.3. 由于 1e 11lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→nn n n n n n u u ，故∑n n n!收敛.4. 由于1313lim lim 3<==∞→∞→nn n n n n u ，故∑33n n 收敛. 【例2】设∑a n2与∑bn 2都收敛，证明下列级数也都收敛：1.∑n n b a ； 2. ()∑+2n n b a ; 及 3. ∑na n. 【证明】1.由()b a b a n n n n 2221+≤及∑a n 2和∑b n 2的收敛性可知∑n n b a 收敛. 2. 由()b b a a n b a n n n n n 2222++≤+及∑a n2和∑bn 2的收敛性与上小题的结果可知()∑+2n nb a收敛.3. 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤a n n a n n 22121及∑a n 2与∑n21的收敛性可知∑n a n 收敛. 【例3】判断级数()nnn ln 1∑-的收敛性（中国地质大学2006年硕士研究生入学试题）. 【提示】考查交错级数收敛的判别法与级数的条件收敛性.【解】当e >x 时，0ln 1ln 2<-='⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x ，所以，当3≥n 时，n n ln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n ，由交错级数的莱布尼茨判别法可知()nn n ln 1∑-收敛，但是()n n n n 1ln 1≥-，而∑n1发散，故()nn n ln 1∑-条件收敛. 【例4】证明下列级数收敛:1. nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111cos ； 2.()∑∞=-12sin 1n nn n . 【证明】1. 设n n u n cos =，nn n v ⎪⎭⎫⎝⎛+=11.对于级数∑∞=1n n u ，由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→n n 及∑=nk k 1cos 有界，由狄利克雷判别法可知∑∞=1n nu收敛.又数列{}n v 单调递增有上界，根据阿贝尔判别法，原级数收敛.2. 由于22cos 1sin 2nn -=，故原级数收敛性证明可转化为下面两个级数的收敛性：()∑∞=-121n n n，()∑∞=+-1122cos 1n n nn .根据莱布尼茨判别法可知，级数()∑∞=-121n n n收敛.级数()()∑∑∞=+∞=+-=-11112cos 12122cos 1n n n n nn nn ，有数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→nn ，而()()∑∑=+=+-=-nk k nk k k k 11112cos 1cos 211cos 212cos 1 ()()()()1cos 112cos 12cos 13cos 5cos 1cos 3cos 1cos 211≤-++-++--+=+n n n . 由狄利雷判别法可知，级数()∑∞=+-1122cos 1n n nn 收敛. 因此级数()∑∞=-12sin 1n n nn收敛.【例5】讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1. ()x x x f nnn +=1， （1） []1,0∈x ； （2） []δ-∈1,0x ()10<<δ.2. ()nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，[]1,0∈x .【解】1. （1）()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤==∞→.1,21,10,0lim x x x f x f n n 由于(){}x f n 中的每一项都在[]1,0上连续，而其极限函数()x f 在[]1,0上不连续，因此函数列(){}x f n 在[]1,0上不一致收敛.（2）因为 ()()0lim ==∞→x f x f n n，[]δ-∈1,0x . 又 ()()()()n nnn x n x x x x f x f δδδδ-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--≤≤-≤≤1111sup sup 1010. 所以，()()0sup lim 10=--≤≤∞→x f x f n x nδ，故函数列(){}x f n 在[]δ-1,0上一致收敛. 2. ()()e 1lim lim x nn n n n x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→∞→，[]1,0∈x .又 ()()()0e 11<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='--x n n n x x f x f ，故()()x f x f n -在[]1,0上严格单调递减，即有()()0e 111≤-≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-x f x f n n n .由此得 ()()()∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛+≤--n n x f x f n n 0e 111. 故函数列(){}x f n 在[]1,0上一致收敛.【例6】证明函数列 ()()nn x nx x f -=1 ),2,1( =n 在闭区间]1,0[上收敛，但不一致收敛.【证明】]1,0[∈∀x ，显然有()()01lim lim =-=∞→∞→n n n n x nx x f . 即()()nn x nx x f -=1在闭区间]1,0[上收敛于零，但是由于()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f nn e 1111，从而()00sup lim ]1,0[≠-∈∞→x f n x n，因此()x f n 在]1,0[上不一致收敛. 【例7】讨论下列函数项级数的一致收敛性： 1.()∑∞=++12n n nnn x x ，[]1,0∈x ；2.()∑∞=+-121n nxn ，()+∞∞-∈,x ；3.()∑∞=+-1cos 1n nxn ，.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 【解】1. 因为()n n n n nn x nx nn x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+∑∑∞=∞=+11122，故设()n x x u n 2=，()nn n x x v ⎪⎭⎫⎝⎛+=1.由优级数判别法，易证()∑∞=1n n x u 在[]1,0上一致收敛.[]1,0∈∀x ，数列(){}x v n 单调递增，且()e e ≤≤x n x v ，[]1,0∈x ，+∈N n ，由阿贝尔判别法可知，原级数在[]1,0上一致收敛.2. 此级数为交错级数，由莱布尼茨判别法易证该级数在()+∞∞-,上收敛，设()x S n 与()x S 分别为级数()∑∞=+-121n nxn 的前n 项部分和与和函数，则()()01cos 11→<++≤-nx n x S x S n ()∞→n .由柯西准则可知()∑∞=+-121n nxn 在()+∞∞-,上一致收敛.3. 设()()nn x u 1-=，()x n x v n cos 1+=. 则级数()∑∞=1n n x u 的部分和数列在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致有界. 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀2,2ππx ，(){}x v n 单调递减且趋于零. 并且 []()01lim 0sup lim 2,2==-∞→-∈∞→nx v n n x n ππ， 即(){}x v n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛于零. 由狄利克雷判别法知，原级数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛.【例8】设()x x x u n n ln =，(]1,0∈x . 1. 讨论()∑∞=1n n x u 在(]1,0上的收敛性和一致收敛性.2. 计算()x x u n n d 11⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=.【解】1. ()∑∞=1n n x u 的部分和为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈--=.1,0,1,0,1ln 1x x xxx x x S n n由此可知()∑∞=1n n x u 在(]1,0上收敛且和函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=.1,0,1,0,1ln x x xx x x S 又()())1(1ln 1lim 1ln lim lim 111S x xx x x S x x x≠-=+-=-=+→+→+→，即和函数()x S 在(]1,0上不连续，因此()∑∞=1n n x u 在(]1,0上不一致收敛.2. ()()1d 1ln d ln d 1ln d 1ln d 10101010101+-=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰∑∞=x x x x x x x x x x x x x x u n n.6111d 1d 121211011011π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞=-n n n n n n x n x x n x【知识扩展提示】利用极限函数或和函数的不连续性来证明函数列或函数项级数的不一致收敛性是一种非常简洁而又十分有效地办法.【例9】求下列幂级数的收敛半径和收敛域：1. ()x n nn n 111+∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+； 2. x n nn211∑⎪⎭⎫⎝⎛+. 【解】1. 因为 ()e 11lim 11lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→n n n n n n n n ,所以幂级数的收敛半径是e1=R . 当e 1±=x 时，()nn n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e 11e 11111，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 严格单调递减且收敛于e （当∞→n 时），从而有e 111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，即1e 111>⎪⎭⎫⎝⎛++n n ，所以有()0e 111lim 1≠⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n n ， 由级数收敛的必要条件知，幂级数在e 1±=x 处发散，因此原幂级数的收敛域为.e 1,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. 【解法一】令y x =2，则原幂级数为y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.由于111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，故幂级数的收敛半径为.1=R 当1±=y 时，因为 ()0e 111lim ≠=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，所以幂级数y n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11在1±=y 处发散，故y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的收敛域为()1,1-，由()1,12-∈=y x 得 ()1,1-∈x ，即原幂级数的收敛域为()1,1-.【解法二】令()x n x u n nn 211⎪⎭⎫⎝⎛+=，则()()()()x x nx n x u x u nn n n n n n n 22221111111lim lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→+∞→， 由正项级数收敛的比式判别法可知，当12<x 即()1,1-∈x 时原幂级数绝对收敛，当12>x 时幂级数发散，因此幂级数的收敛半径为1=R ，易证当1±=x 时幂级数发散，故原幂级数的收敛域为()1,1-.【知识扩展提示】求幂级数的收敛域一般分为两步：首先求收敛半径，其次考虑级数在端点处的敛散性. 对于缺少偶次项或奇次项的幂级数（如第2题）可以用变量替换或用正项级数收敛性判别法来确定收敛半径和收敛域.【例10】求∑∞=+11n nn x的收敛域与和函数.【解】由于111lim =+→∞n n n ，故收敛半径为1=R ，又∑∞=+111n n 发散，()∑∞=+-111n n n 收敛，因此幂级数的收敛域为[).1,1- 令()∑∞=+=11n nn x x f ，()()∑∞=++==111n n n xx xf x g ，则()xxx x g n n -=='∑∞=11， 所以 ()()().1ln d 1d 00x x t ttt t g x g xx---=-='=⎰⎰ 从而当0≠x 时，()()()x x x x g x f ---==1ln 1，又显然有()00=f ，故 ()()[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=.0,0,1,00,1,1ln 1x x xx x f 【知识扩展提示】通常利用幂级数的四则运算性质、逐项求导性质及逐项积分性质来求幂级数的和函数【例11】求x sin 2在0=x 处的幂级数展开式.【解】因为 ()()∑∞=-=02!21cos n nnn xx ，R x ∈，所以()()()()()()∑∑∞=--∞=-=--=-=12121022!221!22121212cos 121sin n nn n n nn x n n x x x ，.R x ∈【例12】求函数()x x f 2=在ππ<<-x 上的傅里叶展开式，并计算∑∞=121n n.【解】 补充定义()ππ2=f ，再把()x f 延拓为周期为π2的周期函数，则()x f 在R 上连续，且在[]ππ,-上按段光滑. 由收敛定理知，()x f 可以展成傅里叶级数，由于ππππ22032d 1==⎰-x x a .()nx nx x a nn 2241d cos 1-==⎰-πππ，,,2,1 =n0d sin 12==⎰-πππx nx x b n ， ,2,1=n .所以当ππ<<-x 时，()().cos 143122nx nx f n n ∑∞=-+=π当π=x 时，上面等式也成立，于是∑∞=+=1222143n nππ，故.61212π=∑∞=n n五、扩展例题解题点击【例1】利用柯西收敛准则证明： 1.()∑-nn 1收敛； 2.∑n 1发散.【证明】1. 0>∀ε，令ε11+=N ，则当N n >时，对+∈∀N p ，有（1）若p 为奇数，()pn n n p +-+++-+-112111ε<+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=11111312111n p n p n n n n . （2）若p 为偶数，则()pn n n p +-+++-+-112111 ε<+<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1111121312111n p n p n p n n n n . 所以，()∑-nn 1收敛.2. 取210=ε，0>∀N ，总存在正整数N n >0，00n p =，则000000021212121212111ε==++>+++++n n n n n n . 所以，∑n 1发散.【例2】讨论∑n1cos ln 的敛散性. 【提示】 利用同阶无穷小.【解】由于 21cos 2sin limcos ln lim 020==-→→x x x xx x x ，所以 2111cosln lim 2=-→∞nn n ，又∑n21收敛，所以，∑n1cos ln 收敛. 【例3】证明：∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n11ln 1 收敛. 【证明】由nn n 111ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+，得 ()()nn n n n n n n n 23111111111ln 10<+++=+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<， 而∑n231收敛，故∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 11ln 1 收敛. 【例4】设()x f 1在],[b a 上黎曼可积，令()()t t f x f xann d 1⎰=+， ,2,1=n 证明：(){}x f n在],[b a 上一致收敛于0（清华大学2003年硕士研究生入学试题）.【证明】由于()x f 1在],[b a 上黎曼可积，从而在],[b a 上有界，即存在0>M ，使得()M x f ≤1，从而有()()()a x M t t f x f xa -≤≤⎰d 12，()()()()22321d d a x M t a t M t t f x f xax a-=-≤≤⎰⎰， 依次可推出()()()!11--≤-n a x M x f n n ，所以有()()()!11--≤-n a b M x f n n .易证正项级数()()∑---!11n a b n 收敛，由级数收敛的必要条件可知()()0!1lim 1=---∞→n ab n n ，故(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于0.【例5】设t t nt t a n d sin sin 320⎰⋅=π，证明∑∞=11n na 发散（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）.【证明】213230320d sin sin d sin sin d sin sin I I t t ntt t t nt t t t nt t nn +=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ππππ.2d d sin sin 2203301n t t n t t nt t I n πππ=<⋅=⎰⎰, 828d 2d sin sin 2332322n n t t t t t nt t I nn πππππππππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⋅=⎰⎰.因此，n a n π211>，由此得∑∞=11n na 发散. 【例6】设f 在0=x 的某邻域内有定义，()0f ''存在，证明：∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛的充要条件是()()000='=f f （南京大学2002年硕士研究生入学试题）.【证明】充分性. 由于()0f ''存在，故()()()()()02120lim 2lim lim 0020f x f x f x x f xx f x x x ''='-'='=→→→.从而，()()02111lim2f nn f n ''=∞→，而∑n21收敛，因此，∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛. 必要性. 由∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n f 1绝对收敛可知，01lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n f n ，又由于f 在0=x 处连续，故()00=f . 又()()()()x x f x f x f f x x 00lim 0lim 0→→=-='，从而有()01lim f n nf n '=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，由于∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛，所以().00='f 【例7】设(){}x f n 是定义在],[b a 上的无穷次可微函数序列且逐点收敛，并在],[b a 上满足()M x f n ≤'.1. 证明：(){}x f n 在],[b a 上一致收敛；2. 设()()x f x f n n ∞→=lim ，问()x f 是否一定在],[b a 上处处可导，为什么（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）？【证明】1. 0>∀ε，将区间],[b a 分成K 等份，分点为()Ka b j a x j -+=，K j ,,2,1 =，使得ε<-Kab . 由于(){}x f n 在有限个点{}K j x j ,,2,1, =上收敛，因此N n m N >>∀>∃,0，使得()()ε<-j n j m x f x f 对每个K j ,2,1=都成立，于是，],[b a x ∈∀，设],[1+∈j j x x x ，则()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f n j n j n j m j m m n m -+-+-≤-()()()()()()()εηξ12+<-'+-+-'=M x x f x f x f x x f j n j n j m j m. 因此，(){}x f n 在],[b a 上一致收敛.2. 不一定. 令()nx x f n 12+=在]1,1[-上满足题中条件，但是()()x x f x f n n==∞→lim 在]1,1[-上不能保证处处可导（在0=x 处就不可导）.【例8】证明：函数()∑=nnx x f 3sin 在()+∞∞-,上连续，且有连续的导函数.【证明】由于对()+∞∞-∈∀,x ，有nnnx 331sin ≤， ,2,1=n且级数∑n31收敛，故由优级数判别法知∑nnx 3sin 在()+∞∞-,上一致收敛.又n nxn nx 23cos sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，而n n nx 221cos ≤，() ,2,1,,=+∞∞-∈n x ， 由∑n21收敛知∑nnx 2cos 在()+∞∞-,上一致收敛. 又nnx 2cos () ,2,1=n 在()+∞∞-,上连续，从而由可积性定理知()x f 在()+∞∞-,上具有连续的导函数，从而()x f 也在()+∞∞-,上连续.【例9】将所有有理数排成一个数列{}n r ，试讨论函数()()∑-=2sng nn r x x f 的连续性（厦门大学2006年硕士研究生入学试题）.【解】 因为()212sng nnn r x ≤-，且∑21n收敛，故由优级数判别法知()∑-2sng nn r x 在R 上一致收敛. R 0∈∀x ，当{}n r x ∉0时，通项()2sng nn r x -在0x x =处连续，由一致收敛函数项级数的和函数连续性定理知，()x f 在0x x =处连续. 当{}n k r r x ∈=0时，因为()()()2sng 2sng kk kn nn r x r x x f -+-=∑≠，右边第一项在k x x =处连续，第二项在k x x =处间断，因此()x f 在k x x =处不连续. 综上所述，()x f 在所有无理点处连续，在所有有理点处不连续.【例10】求下列级数的收敛域：1. ()()n x x n n 2111+++∑； 2. .113212nn n x x n ⎪⎭⎫⎝⎛+-++∑ 【解】1. 令x x y 21++=，则原级数为()y n n n ∑+11，易求得其收敛域为[]1,1-，即当1112≤++≤-x x 时，原级数收敛，解次不等式得01≤≤-x . 因此原级数的收敛域为[].0,1-2. 令x xy +-=11，则原级数为y nn n n ∑++2321. 由于3321lim 2=++∞→n n nn n，所以幂级数y n n n n ∑++2321的收敛半径为31，易求得其收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31，因此当311131≤+-≤-x x 时，原级数收敛，解不等式得 221≤≤x ，故原级数的收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【例11】设有幂级数x n nnn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1221，求1. 收敛半径与收敛域.2. 和函数在收敛域内的导函数.【解】1. 由于n n nn n n22n 21222n ≤+≤，且222lim 2lim 2==→∞→∞n n n n n n ，故2n 21lim 2n=+→∞n n n ，因此收敛半径为21=R . 当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+12121212121n n n nn n n n n 收敛，故收敛域为.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 2. 令()x n nx f n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1221，.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x 因为 ()∑∞=-=-11ln n n n xx ，[).1,1-∈x故 ()()().21ln 11211121111xx x nx x x x n x f n nn n n---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=-∞= 【例12】求幂级数()∑∞=+11n nxn n 的收敛域及和函数.【解】由于 ()11lim =+→∞nn n n ，故()∑∞=+11n n x n n 的收敛半径为1=R ，又当1±=x 时，级数()()∑∞=±+111n nn n 发散，因此，()∑∞=+11n nxn n 的收敛域为()1,1-.令()()∑∞=-+=111n n xn n x f ，()1,1-∈x ，则由幂级数的逐项可积性，得()()()∑∑⎰⎰∞=∞=-+=+=11011d 1d n n n x n xx n t tn n t t f .()().1d 1d 1211101xx xt t n t tn n n n xnx n n-==+=+∑∑⎰⎰∑∞=∞=+∞= 所以， ()()22211211x x x x x x n n n --='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∞=，()()()2221212x x x x x f -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此()()()21121x xx xf xn n n n-==+∑∞=. 【例13】求级数()∑∞=+1!1n n n的和. 【解】令()()x n n x f nn ∑∞=+=1!1，易求得该幂级数的收敛域为()+∞∞-,. 由幂级数的逐项求导和逐项积分性质，有()()()∑∑∞=∞==--=-='11e !11!1n x n n n x n x x n x x f . 故 ()()e x t e t x f x xt 11d 0-+==⎰. 从而有()().11!11==+∑∞=f n nn【知识扩展提示】利用幂级数求数项级数的和，要记住几个基本幂级数展开式.【例14】将下列函数在0=x 处展成幂级数： 1. ()t ttx f xd sin 0⎰=； 2. ()()x x f 22ln +=. 【解】1. 因为()()!121sin 120+-=+∞=∑n t t n n n，R t ∈，从而()()!121sin 20+-=∑∞=n t t t nn n ，于是()()()()()()∑∑⎰⎰∞=+∞=+⋅+-=+-==0120020!12121d !121d sin n n n n x n n xn n x t n t t t t x f ，R x ∈ 2. 因为()()nxx nn n ∑∞=--=+1111ln ，(]1,1-∈x ，所以。

无穷级数(课件)

无穷级数(课件)


∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
21
第二节 常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当 ＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
26
第二节 常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。