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2015届高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换课时训练

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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的
三角恒等变换
1. 函数y ＝sin 2
x －sin2x 的最小正周期为_________．
答案：π
解析：y ＝sin 2x －sin2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＝12－sin2x －12cos2x ＝12－52sin(2x ＋φ)，其中φ为参数，所以周期T ＝2πω＝2π2＝π. 2. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
π2＋x cos ⎝⎛⎭
⎫π6－x 的最大值为________. 答案：2＋34
解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cosxcos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝32
cos 2x ＋12sinxcosx ＝32×1＋cos2x 2＋14sin2x ＝34＋34cos2x ＋14sin2x ＝34＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以当sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，函数有最大值为34＋12＝2＋34
. 3. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α
＝________． 答案：103
解析：3sin α＋cos α＝0cos α≠0tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α
＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103
. 4. 当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x
的最小值是__________． 答案：4
解析：f(x)＝1－tan 2x ＋tanx ＝1－⎝⎛⎭⎫tanx －122＋14
，当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4. 5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12
，则tan2α＝________． 答案：34
解析：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12
，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34
. 6. 函数f(x)＝sinx ＋3cosx 在区间⎣
⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案：1
解析：f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.∵ x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π2，∴ x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴ y min ＝2sin 5π6＝1.
7. 已知钝角α满足cos α＝－35，则tan ⎝⎛⎭
⎫α2＋π4＝________． 答案：－3
解析：因为cos α＝2cos 2α2－1＝－35，所以cos 2α2＝15.又α∈⎝
⎛⎭⎫0，π2，所以cos α2＝55，sin α2＝255，tan α2＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝tan α2＋11－tan α2
＝－3. 8. 设△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，向量m ＝(3sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，3cosA)，若n·m ＝1＋cos(A ＋B)，则C 的值为________．
答案：23
π 解析：m·n ＝3sinAcosB ＋3cosAsinB ＝3sin(A ＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC.又cos(A
＋B)＝cos(π－C)＝－cosC ，故3sinC ＝1－cosC ，即3sinC ＋cosC ＝1，即2sin ⎝
⎛⎭⎫C ＋π6＝1，即sin ⎝
⎛⎭⎫C ＋π6＝12，由于π6＜C ＋π6＜7π6，故只有C ＋π6＝5π6，即C ＝2π3. 9. 设α、β(0，π)，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12
，求cos β的值． 答案：－1665
解析：∵ tan α＝2×121－⎝⎛⎭
⎫122＝43>1， ∴
π4<α<π2，∴ sin α＝45，cos α＝35
. 又β∈(0，π)，π4<α＋β<3π2，sin (α＋β)＝513<12，∴ π2<α＋β<π，cos (α＋β)＝－1213
，于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－1665
. 10. 已知函数f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos 2⎝
⎛⎭⎫x －π3＋sinx ·cosx ，x ∈R . (1) 求f(x)的最大值及取得最大值时的x 的值；
(2) 求f(x)在[0，π]上的单调增区间．
解：(1) f(x)＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π32＋12sin2x ＝1＋12(sin2x －cos2x)＝22
sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4＋1. 当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，f(x)的最大值为22
＋1. (2) 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8
，k ∈Z .又0≤x ≤π，故所求f(x)的增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8，⎣⎡⎦
⎤7π8，π. 11. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12
cos4x. (1) 求f(x)的最小正周期及最大值；
(2) 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．
解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x ·sin2x ＋12cos4x ＝12
(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22
. (2) 因为f(α)＝22，所以sin ⎝
⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16
.。

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高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件

高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件


＝cos cos
θ－sin θ＋sin
θ θ
＝11－ ＋ttaann
θ θ
＝11＋ －1212＝3
答案： 3
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的 公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的 方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当 年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变 化．
【变式训练】
1.化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xx＋＋12π4
解析：
原式＝212·cs4oincso4ππ4s－4－x－xx4·ccooss22xπ4＋－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
＝12cos α－12sin α＝
3－1 4.
②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2. 由①得 α－β＝±π4， 由②得 α＝π6.由 α、β 为锐角，得 β＝51π2. 从而 2β－α＝23π.
cos β＝cos α－12， ③
2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式教学案

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式教学案

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式第四章 (对应学生用书(文)、(理)49～50页)1. (必修4P 105例1改编)已知sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin2α＝__________．答案：－2425解析：∵ sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴ α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35.∴ sin2α＝2sin αcos α＝－2425.2. (必修4P 108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝________．答案：－53解析：∵ sin α＋cos α＝33， ∴ (sin α＋cos α)2＝13，∴ 2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－23.∵ α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴ 2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴ 4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴ 2α为第三象限角，∴ cos2α＝－1－sin 22α＝－53.3. (必修4P 108习题3.2第3题改编)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．答案：－725解析：∵ sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴ cos θ＝35，∴ cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 4. (必修4P 106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx 的最小正周期是________． 答案：π解析：∵ f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x ，∴ T ＝2π2＝π.5. (必修4P 108习题 3.2第5(3)题改编)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α＝________．答案：－2sin α2解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4. ∴1＋sin α＋1－sin α＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝－⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2－⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－2sin α2.1. 二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tanα1－tan 2α．2. 降幂公式 sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2；sin αcos α＝sin2α2．[备课札记]题型1 化简求值例1 计算：(tan10°－3)·sin40°. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°cos10°＝－2sin50°sin40°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.变式训练计算：sin50°(1＋3tan10°)． 解：原式＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝2sin50°·sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.题型2 给值求值例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求：(1) tan2α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：(1) 因为tan α＝12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.备选变式（教师专享）已知α＋β＝3π4，则cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝________．答案：12解析：原式＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2c osαcosβ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1－22cos (α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos (α－β)＝12. 题型3 给值求角例3 已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵ tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴ 0<α<π2.∵ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴ 0<2α<π2，∴ tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵ tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴ 2α－β＝－3π4.备选变式（教师专享）已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，求cos θ2.解：∵θ为第三象限角，|cosθ|＝m ， ∴θ2为第二或四象限角，cos θ＝－m.∵sin θ2＋cos θ2>0，∴θ2为第二象限角，∴cos θ2＝－1＋cosθ2＝－1－m2. 题型4 二倍角公式的应用例4 (2013·盐城二模)已知函数f(x)＝4sinxcos(x ＋π3)＋ 3.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcos π3－sinxsin π3)＋3＝2sinxcosx －23sin 2x ＋3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.所以T ＝2π2＝π.(2) 因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f(x)min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)max ＝2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝－2sin 2x ＋23sinxcosx ＋1. (1) 求f(x)的最小正周期及对称中心；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f(x)的最大值和最小值．[审题视点] 逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解．解：(1) f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.1. (2013·四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α＝________． 答案：3解析：由sin2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12， 进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3.2. 已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan2θ＝__________． 答案：－247解析：∵ a ∥b ，∴ －4sin θ－3cos θ＝0，∴ tan θ＝－34，从而tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin (2α＋π12)＝__________．答案：17250解析：设α＋π6＝θ，cos θ＝45，sin θ＝35，sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin2θ·cos π4－cos2θ·sin π4＝17250.4. (2013·贵州)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．答案：16解析：因为sin2α＝23，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(1－sin2α)＝16.1. 已知sinθ＋cosθ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝________．答案：－725解析：将sinθ＋cosθ＝15两边平方，得sinθcosθ＝－1225，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，则sinθ－cosθ＝±75.又π2≤θ≤3π4， 所以cosθ＜0，sin θ＞0，所以sinθ－cosθ＝75，故cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－725.2. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________． 答案：－79解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，得cos2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝79，即cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝79， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－79. 3. 若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值． 解：由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π.又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. cosx ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210， 从而sinx ＝－7210，tanx ＝7.故原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x1－tanx＝2⎝⎛⎭⎫－7210·⎝⎛⎭⎫－210＋2⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.4. 已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωxsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω＞0)的最小正周期为π2.(1) 写出函数f(x)的单调递增区间；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1) f(x)＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12.因为T ＝π2，所以2π2ω＝π2(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋12.于是由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2，解得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )．所以f(x)的增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，32.1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．3. 降幂公式是解决含有cos 2x 、sin 2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．[备课札记]。

第3章 第6节正弦定理和余弦定理

第3章 第6节正弦定理和余弦定理


2．(1)(2012· 陕西高考，9)在△ABC 中，角 A，B，C 所 对边的长分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2，则 cos C 的最小 值为( 3 A. 2 1 C.2 ) 2 B. 2 1 D．－2
(2)(2012· 北京高考，11)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7， 1 cos B＝－4，则 b＝________.
22＋ 6＋ 22－2 22 2 ＝ ＝2， 2×2× 6＋ 2 ∴B＝45° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －45° ＝105° .
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三函数、三角恒等变换、解三角形
(3)cos 15° ＝cos(45° －30° ) 6＋ 2 ＝cos 45° cos 30° ＋sin 45° sin 30° ＝ 4 . ∵c2＝a2＋b2－2abcos C 6＋ 2 ＝(2 2) ＋(2 3) －2×2 2×2 3× 4
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三角函数、三角恒等变换、解三角形
a2＋c2－b2 解析：∵由余弦定理可知 2ac ＝cos
2 2 2
B，
3 ∴(a ＋c －b )tan B＝ 3ac 可化为 cos B· tan B＝ 2 . ∴sin 3 π 2π B＝ 2 .又∵B 为△ABC 的内角，∴B＝3或 3 .
在△ABC 中，设 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对 边，试根据以下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15° .
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三角函数、三角恒等变换、解三角形
2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理

2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，那么A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，假设a ＝2bcosC ，那么此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，那么∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，那么△ABC的面积为________．答案：43解析：∵cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P 〔P －a 〕〔P －b 〕〔P －c 〕，其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 假设a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，那么b ＝________． (2) 假设b ＝3，c ＝2，C ＝45°，那么a ＝________．(3) 假设AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，那么∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 假设b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式〔教师专享〕(2014·某某期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，c ＝2，C ＝π3. (1) 假设△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式〔教师专享〕△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝b c. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 假设a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即〔a ＋c 〕2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·某某)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，假设b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，那么角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·某某)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·某某期末)在△ABC 中，假设9cos2A －4cos2B ＝5，那么BCAC＝________． 答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. △ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，那么△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 那么有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16〔2＋2〕2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·某某一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 假设c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·某某期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 假设a ＝15，b ＝4，求边c 的大小． 解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0. 那么c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c.(1) 假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求： (1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2) 两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练〔B〕第7课时〔见活页〕.[备课札记]。