2021版新高考数学一轮复习第二章2.8函数与方程课件新人教B版

第八节ꢀ函数与方程内容索引【教材·知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点的定义f(x)=0对于函数y=f(x) (x∈D)，把使_______的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点. (2)函数零点的判定(零点存在性定理)连续不断如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0(a，b)_____________，那么，函数y=f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，f(c)=0使得_______，这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)(x,0),(x,0)_____________(x,0)______与x轴的交点零点个数无交点1212 __1____【常用结论】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(ꢀꢀ)(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(ꢀꢀ)(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(ꢀꢀ) (4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内没有零点.(ꢀꢀ)提示:(1)×.函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)√.当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,故没有零点.(3)×.函数图象若没有穿过x轴,则f(a)·f(b)>0.(4)×.若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(b)>0也可以.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T1,4考点一、T3考点二、T2考点二、T3考点三、角度212345忽略零点存在性定理忽略指数函数的底数忽略x 的取值范围忽略周期性的作用忽略新元的范围【教材·基础自测】1.(必修1P75习题2-4AT3改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(ꢀꢀ)【解析】选A.根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.2.(必修1P75习题2-4BT2改编)函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(ꢀ)ꢀꢀA.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(4,+∞)【解析】选B.因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内.3.(必修1P72练习BT1改编)函数f(x)=的零点个数为________.ꢀ【解析】作函数的图象如图所示,由图象知函数f(x)有1个零点.答案:1考点一ꢀ判断函数零点所在区间ꢀ【题组练透】1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(ꢀꢀ)A.在区间B.在区间(1,e)内均有零点(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2020·扬州模拟)设函数y=x2与y=的图象交点为(x,y),则x所在区间000是(ꢀꢀ)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(ꢀꢀ)世纪金榜导学号A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】1.选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=a x+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b >0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=的图象交点为(x,y),则x是方程x2=的解,000也是函数f(x)=x2-的零点.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.【规律方法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】ꢀ用特殊值法可解T2.考点二ꢀ确定函数零点的个数ꢀ【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为(ꢀꢀ)A.0B.1C.2D.32.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(ꢀꢀ)A.2B.3C.4D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与2cos x的值.3由F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.ꢀ【规律方法】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.【变式训练】1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(ꢀꢀ)A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(ꢀꢀ)A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.3.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.ꢀ【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三ꢀ函数零点的应用ꢀ考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图象的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.命题精解读已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.学霸好方法命题角度1由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是(ꢀꢀ)A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.画出函数f(x)的图象,y=e x在y轴右侧的图象去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图象有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a 有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1.【解后反思】已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图象交点的个数问题,再去求解.命题角度2由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是________.世纪金榜导学号【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=因为x∈[-1,1],所以2x∈令2x=t,t∈所以a=,a=的范围为,所以实数a的取值范围是答案:.【解后反思】函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.命题角度3与函数零点有关的比较大小【典例】(2019·德州模拟)已知a 是函数f(x)=2x -f(x 0)的值满足()的零点,若0<x 0<a,则世纪金榜导学号A.f(x 0)=0C.f(x 0)<0 B.f(x 0)>0D.f(x 0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=的图象,由图象可知,当0<x<a时,有,即f(x)<0.00【解后反思】与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图象,根据图象所处的上下位置确定.【题组通关】【变式巩固·练】1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为()A.(0,4) C.(3,4)B.(0,+∞) D.(3,+∞)【解析】选C.令g(x)=|2x-4|,其图象如图所示,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4).2.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是()A.x <x <x B.x <x <x 213123C.x <x <x D.x <x <x 132321【解析】选B.令y=2x,y=ln x,y=--1,123因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x,x,x,则y=2x,1231y=ln x,y=--1的图象与y=-x的交点的横坐标分别为x,x,x,在同一平面直23123角坐标系内分别作出函数y=2x,y=ln x,y=--1及y=-x的图象如图,结合图象123可得x<x<x.1233.(2020·南通模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,当x∈时,f(x)=1-|2x-1|.若函数y=f(x)-logx(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不a相同的零点,则实数a的值为________.【解析】当x∈时,f(x)=1-|2x-1|=且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,因为函数y=f(x)-logx(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不a相同的零点,所以函数y=f(x)与y=log x(a>1)在(0,+∞)上恰有4个不同的交点,a72分别画出两函数图象如图所示,由图可知,当x=时,有log=1,所以a=.a答案:4.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________.【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.又当f(1)=0时,k=5.则方程2x+3x=k的解在[1,2)内,k的取值范围是[5,10).答案:[5,10)【综合创新·练】1.(2020·包头模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=()xA.0B.2C.5D.7【解析】选C.因为f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为单调递增函数,所以x∈[2,3],即a=2,b=3,所以a+b=5.2.已知a为正常数,f(x)=的取值范围是________.若∃x,x∈R,使f(x)=f(x),则实数a 1212【解析】由于a>0,函数y=x2+ax+3在[0,+∞)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x<0时,函数为增函数,要使x,x存在,使得f(x)=f(x),则需20+a>3,解得a>2.1212答案:(2,+∞)【解题新思维】利用“三个二次”之间的关系解题【结论】二次函数零点分布情况设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x,x,其零点分布情况12如下:。