专题概率与统计第1节随机事件的概率、古典概型、几何概型700分综合考点&考法600分基础考点&考法•:•考点68随机事件及其概率•:•考点69古典概型与几何概型考点68随机事件及其概率•:•考法I频率估计概率•:•考法2 求互斥事件.对立事件的概率考点68 随机事件及其概率考法1 频率估计概率事件A 发生的频率是利用频数n,除以试验总次数I 】所得 到的值，且随着试验次数的增多，它在A 的概率附近摆动 幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次 数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用 频率来估计相应事件发生的概率.MB(1：在相同的条件S 下页复“次试验•观察某爭件T 是 弁出现•称以次试验中M 件・4出现的次数X 为M 件.4出现的 皴如称W件人：1：现的比阿/；⑷ 二］■为啷件巾岀现的额率.(2(2)对立寧件:若AHB 为不可能事件..W«为必体字件, 則节件小專件“互为对工W 件，其含义Ah 卒件4勺事件B 在任何•次试枪中冇FI 仅冇个发生.1.频率与概率考法1 频率估计概率考法2 求互斥事件、对立事件的概率1.求简单的互斥事件.对立事件的概率解此类问题，首先应根据互斥爭件和对立爭件的定义分析出所给的两个爭件是互斥 事件，还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算. 2. 求复杂的互斥歩件的概率的方法直接法：第一步•根据题总将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和^第二步， 利用宵典概型或相互独立事件的概率计算公式分別计算这些彼此互斥的爭件的概率 :第三步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率. 间接法(正难则反)：第一步.判断事件的概率计算是否适合用间接法.而判断的标 准是止向思考时，分类较多，而其对立面的分类较少，此时应用间接法，特别是含 冇“至多” “至少"的题冃，用间接法就显得比较简便：第二步，利用山典概型. 互斥事件或和互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率：第三步， 运用公式P(A) = 1-P(A)求解.【注意】(1)对于互斥事件要抓住如下两个特征进行理解：①互斥事件研究的是两个(或多个)事件之间的关系：②所研究的事件是在一次试验 中涉及的.(2)在应用题背景卜•，能否把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复 乂不遗漏的简单书件是解答这类应用题的关键.趣型1频率估计概率Eh [2014(I :诺每辆车的投保金领均为【解】(I ”工巾札斥爭件”祜付食额沟3000无-出表示爭件 -昭付金新为4 000-元•以频準估计M 率徉由于投保金两为2 800元，賂付会额大于投保会额对•应妁 +f 形是赔付金额为3 000元和4 (XX)元•所以其概率为 f J (A) >r ( W) =0.15 4-0. 12 =0. 27.(2)设卞衣示审件-投保糸辆中新司机茨踣4000元”.曲己 如•样L牟柄中车主为新司忱的冇0. I xl (MX) = 1(X)( M),而 略付会瀰为4000元的车緒中•车主为餅司机的冇0・2 x 120=24( J«).所以样机车辆中斯司机车主箱赔会获为 4 000元的预率为黑;=<)・24・由频卒估计娩卑得P( C) =0.24考法2 求亘斥事件、对立事件的概率经统计•住某储蓄所一个営业窗II 浮候的人数相应的槪:率如下:求；(1)至多2人捋队零帳的低率建多少;(2)至少3人卅•队弄候的慨卒兄多少.【老祝］爪据互斥宇件•第(1)问可转化为辛侯的人钱为 0人、I 人和2人的槪.车和：第(2)何可箱化为爭域的人敏为 3人、4人和5人及5人以上的紙準和•戏转化为其对立审件 ••至多2人4♦队等■候J【解】记J 尢人排队爭4T 为事伴片广1人排从孑候-为审 件S/ 2人排队寻侯”为亨件C,-3人排队寻候••为审件0, M 4人捋队*侯”为事件A\-5人及5人以上排队等候”为丰 件F,则审件片・"・C.〃・£・"・互斥.(1 ｝记"至$ 2人排队等侯••为爭件G.JH G=.4以 P(Q) =P(/1) W(B) ^P(C) =0. I +0. 16-tO. 3 =0.56.(2)方法一:i<L-.£少3人捋次矛IV 为亨件//,«// = D + £ +pun m +P(E) +P(F) =0.3+0・ 1 +O.(M =0.44.考法2 求互【解】(1)询題意知•(“』•<)所有的可能为(IJ.DJIJ. 2).( 1J.3 ).(1 .2.1 )X1-2.2 ),(1.2.3).( 1.3-1 )•(> .3. 2).(U3.3)J2J ,l)t (2.l t 2)t (2.1.3). (2.2 J)t (2.2.2).(2,2.3). (2.3 J). (2.3.2).(23.3). (3 J. 1). (3.1.2).(3 J,3). (3,2 J ).(3.2.2),(3.2.3). (3t 3 J ).(3.3, 2) J3.3.3) •其27 种.设-抽取妁卡片上的软字満足a + b M 为审件九JM 亨件人包输(1」・2)・(1・2.3)・(2」・3) •共3科.所以 P(A) = 27陶此广抽取的卡片上的數宇满的概卓为*・(2)设“柚取的卡片上的敦字a.b.r 不定仝相同••为审件从 则李件方包揪1」」)・(2.2,2人(3・3.3),扶3什. 所以严“)=i =i -^-=v-冈此・••抽取的卡片上的戟字a.b.c 不完全相间"的概.半1.基本啊的恃点⑴任何两个基本事件是互斥ffh（2）任何卞件（除不可能務件）都可以表示咸荃本审件的和・ 2・古典槪和金有以下两个特点的概李検型称为古典概率槿型.面称古臭槪型. （1） 有限性，试处中所有可舱出观的墓本・件只有有隈个I （2） 等可能性，馬个荃本事件出现ft 可能性瑁尊. 3. 古典HS 型的IH 华公式 （）_A 包含孑基本事件的个豁棊4事件的总数4. 几何概刊如臬每个事件发生的概率只夕构成该事件区域的长度（面积我体积）戒比例.则称这样的 槪率模型为几何概率横型.简称为几何概型.对干几何録型.更注倉.拿捱"无限炷”和"等可能甘'两勺特点. 5. 几何槪整试验估两个韓木恃点（D 无限性，在一次试险中.可茂出现的结果有无用多八. （2）等可能性，鬲个结臬的发生具有等可能性. 6・几何槪型的概车il 算公式_ 构成事件的区域*厦（而积戒体积）一试矗的全部貉果所柚成的区城长度（面积或床积）•考•:•考法3 求古典概型的概率•:•考法4几何概型考考法3求古典概型的概率古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，由此町见，解决古典概型 的概率计算问题的一般步骤如下：笫一步，反复阅读题目，收集题日中的各种信息，理解题意，把文字叙述 转化为数学语言或数学表达式.第一步.在理解题意的基础上.若基木事件的个数较少.町用列举法或树 状图法将基木事件一一列出，求出肚木事件的个数n,并在这些妹木事件中 找出题日耍求的事件所包含的基本事件并求岀其个数m ・第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率•【说明】较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复朵 的概率问题的处理方法有:(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的 加法公式求解:(2)采用间接法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再由 P(A) = 1-P(A)求事件A 的概率•考法3求古典概型的概率求徒率为寻=寻・(2)屋也爭件问(I).用〃表示“不JL 问一类题"这一爭件•対 « 包令的基本亨件 <11 >5| . I t 6|t |2t 5：t |2,6| J3t 5|t°【答案】〒Q|3»6| , 4.5 , 4,6 决8个■所以〃⑷二善 跑4 [2013辽宁・19.12分]现冇6道題・兀中4道I 卩类题. 2通乙类题•张同学从中任取2逍題斛答.试求：(1) 所取的2逍題和是卬类題的槪率: (2)所取的2逍曲不是同类题的槪机题型3求古典概型的概率创3[2014衆标全【解】(丨)将4逋甲关题依次堀号为1,233;2道乙兔題依次 鹏号为5.6•任考法4几何概型的概率计算1. 几何概型类型几何槪型考•査的主要类型有线型几何概型、面型几何概型.⑴线也几何概型：适JU f 木M件只込•个连续的变"控制时的儿何概空汁算・(2)血型儿何槪型：适用于当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平血上的一个区域，即可借助平面区域解决.2. 解几何概型问题的一般步骤第一步，把样木空间和所求槪率的事件用关系式表示岀來，其中又分为两类：(1) 样本空间具冇明显的儿何意义，样本点所在区域题H中(2给出：(2) 所求事件对应的几何区域没有n••接给出，找出它们是解这类几何概型问题的关键，游找几何区域的步骤如卜•：①根据题设引入适当变虽：②利用所引进的变量，把题设中的条件转换成变扯所满足的代数条件：③根据所得到的代数条件找出相应的儿何区域.第二步，在坐标系中把儿何图形画出来.第三步，把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度邑求出来，然后代入公式 S佥即可.考法4几何概型的概率计算麵型4线型几何概型的概率呀5 2013・(解析】设点E为CD边金近点D的四寻分点. 山于淌足条件的点P发土的概辜为y.A点P 施边C〃上运动.祇张田形的对你枝.为点P 与点E &合时.Eli= 4^(当点"趨i±点恵向・&\ — B —(•匣I) xL2 氐4 - 2 - 4【跤浪几何概型的抽点寻找满足条件的点"•利用直用三角形的性廣求解・〃运动时屮〃 >AH).设AB =x.ii点E作AF丄AH — & h\7ARlAFWE巾・忙尸=加-FZT=4B? - FB2~x2.考法4几何概型的概率计算題型5面型几何概型的概率辺6〔2014世庆• 15.5分：集枚早上恥00开始上i轧假设该枚学生小张耳小工心早上7 ： 30-7：50之间到枚・H.毎人在该时何段的任何时刻到校兄等町能的•则小张比小王至少甲・5分紳到枚的槪率为(用坡字作答).［解析】设小张対校愆m时何为X.小王列枝所用时间为八刖y・工孑5•小乐与小王柿在7：3O-7：50之间到枚.•则0WjrW2O.()WyW2<)・作出可行城钿图所示.则小张比小王至少¥5分外列澆的彼半为920 x 20 "32*【善案】备MB700分综合考点&考法•:•考点70 概率与统计等知识的综合应用MB考点70概率与统计等知识的综合应用•:•考法5概率与统计等知识的综合应用考法5概率与统计等知识的综合应用1. 概率与统计的综合概率与统计本就密不可分，概率的计算问题往往与抽样方法.频率分布直方图.频率分布表.茎叶图等知识点相结合进行考査，一般难度不大，考查基本知识点和基本方法.解决此类综合问题可遵循以下儿个步骤进行：第一步，根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样本数据、均值等统计量；第二步，根据题恵，一般选择由频率估计概率，确定相应的事件的概率：第三步，利用互斥爭件、对立事件.古典概型等概率计算公式计算概率・2. 概率与图象、积分等的综合几何概型是沱义在几何度星上的概率模型，在高考中可以与三角函数图彖、不等式组表示的平面区域、定积分的几何总义综合考査.解决此类综合问题的一般方法如下：(1) 确启出几何概型中试验所表示的总体，一般需要先画出图形，利用图形的对称性.泄积分等计算其几何度最：(2) 确定所求事件A所表示的区域并确泄其几何度杲：(3) 根据几何概型的概率公式计算概率・。
圭干nil ・晒理wsra am拦升金业主干回顾•目主时区三年21考高考指数：★★★★☆考纲［I•理解命题的慨念考悄2. 了解“若小则g”形式的命题的逆命题、否命题与逆否：命题•会分析㈣种命题的相4关系3•理解充分条件、必要条件与允要条件的倉义,0“了 1 •审点考许允分条件、必耍条件与命题亢假的判断考情2.题型以选抒题为主・涉及知识广泛.屈中低档题分析；(3)充要条件:若戸丸则P是q的允力条件,q是P的必要条件養P是q的允分不必要条件PW且q小Ip是q的必要不充分条件P * q且q=>PP是q的充要条件poq * P是q的既不充分也不必要条件pRq 且qRp12 •必备结论教材提炼记一记⑴四种命题中的等价关系:原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题・在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.(2)等价转化法判断充分条件、必要条件:P是q的充分不必要条件,等价于「q是F的充分不必要条件.其他情况依次类推.圭千a H恻突・WSM 刑提粉业(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件:p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为BP是q的充分条件AGBp是q的必要条件BCAP是q的充分不必要条件AU BP是q的必要不充分条件 B U AP是q的充要条件A=B圭千砂H恻突・WSM 刑提粉业3 •必用技法核心总结看一看(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等价转化法.(2)数学思想:化归与转化思想.(3)记忆口诀:真假能判是命题，条件结论很清楚.命题形式有四种，分成两双同真假.若P则q真命题,P是q充分条件,q是P必要条件，原逆皆真称充要.金干wsm ami升矗业【小题快练】1 •思考辨析静心思考判一判(1)语句x2-3x+2二0是命题.()(2) —个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系.();⑶命题“如果P不成立，贝归不成立”等价于“如果q成立，则p成(4) “P是q的充分不必要条件”与“P的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()金干wsm ami升矗业【解析】⑴错误•无法判断真假,故不是命题.(2)错误.一个命题的逆命題与否命题是互为逆否命題,它们的真假性相同.⑶正确•一个命题与其逆否命题等价.(4)错误・“p是q的充分不必要条件”即为“p=>q且q R P” , “P的充■分不必要条件是q”即为“q=>p且p qq”・答案：(1) x (2) x (3) J (4) x主干突确删摂M业2•教材改编链接教材练一练(1)(选修2-1P8T2C1)改编)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为【解析】“a, b都是偶数”的否定为S,b不都是偶数，” “a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”，故其逆否命题为“若a+b不是偶数，則a, b不和是偶数”・答案:若a+b不是偶数，则a, b不都是偶数主干usi n制突■wsra am摂升佯业⑵(选修2-lP10T3(2)改编)“(x-a) (x-b)=O" 条件.【解析】x=a=> (x-a) (x-b) =0,反之不一定成立■0”是“沪a”的必要不充分条件.答案:必要不充分是的，因此“ (x-a) (x-b)主干IUR WfiM 蒯提粉业3.真题小试感悟考题试一试A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件主干mi 翼刖突■am 提升作业【解题提示】验证充分性与必要性. 【解析】选D ・“a>b”推不出唧卅”， 创如,2>-3,但4<9; 唧卅2”也推不出U 例如,9>4,但-3<2・（1） （2014 •北京高考）设a, b 是实数，则“a 〉b”是唧肝”的（圭干warn flrnuM 业⑵（2014 •浙江高考）设四边形ABCD 的两条对角线为AC, BD,则“四边形ABCD 为菱形”是“AC 丄BD”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A ・“四边形ABCD 为菱形” => “AC 丄BD”，“AC 丄BD”推不C.充分必要条件出“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC 丄BD”「|的充分不必要条件.圭干ngu^« warn flrnuM 业⑶（2015 •焦作模拟）已知命题a :如果x 〈3,那么x<5;命题卩：如果 xM3,那么xM5;命题丫 ：如果x$5,那么xN3•关于这三个命题之间的关系•下列三种说法正确的是（）①命题a 是命题卩的否命题,且命题Y 是命题卩的逆命题;②命题a 是命题卩的逆命题,且命题Y 是命题卩的否命题; ③命题卩是命题a 的否命题,且命题丫是命题a 的逆否命题.B.②D. (D®③【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命題是把原命题中的条件 和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是- 把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错课，【典例1】⑴已知命题“若函m (x)=e-mx 在(0,+8)上是增函数，则mWl”，则下列结论正确的是()A. 否命题是“若函数f(x)=enx 在(0,+8)上是减函数则m>l”是真B. 逆命题是“若W1,则函数f(x)=efx 在(0,+8)上是增函数”是假 命题金干HUB M 摂升佯业③正确，选A ・金干HUB M 摂升佯业典彼I 吏破•‘财互ai 区考点1四种命题及其真假判断0,J命题【解题提示】⑴先判断否命题，逆命题、逆否命题是否正确,再判断其真假・’⑵写出逆命题，利用原命题与逆否命题，逆命題与否命题等价来判断.主千突理删找时业电I 【规范解答】⑴选Df (x)呵-叫由f(x)在(0,+8)上是增函数知|厂(x) > 0,即fnVZ在x€ (0,+8)上恒成立，又M>1,从而m<l,则原命題是真命题•对于A,否命题写错，故A错;对于B,逆命题写对,但逆命題是真命題,故唏;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对, 且为真命题,故选D. 八• ｛：蟲⑵选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;壬庄・J 而它的逆命题为假,所以它的否命题亦为假,故选B. 期■主干 nil Wfim 主干 nil Wfim 【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)根据f (X )是增函数求错5的取值范围. ⑵把“f(X )是增函数”的否定错误地认为是“f(X )是减函数” 【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的关注点 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 .•(1) 一些常见词语及其否定表示:(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点:①方法:首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚.〔②注意点:注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是. 2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f (-x)是奇函数”的否命是()A.若f (力是偶函数，则f (-X)是偶函数B.若f (x)不是奇函数，贝IJf(-x)不是奇函数C.若f (-X)是奇函数，则f (x)是奇函数D.若f Cx)不是奇函数，则f (x)不是奇函数H «KI «« WfiM tmsM 业【解析】选B.条件的否定是“f (x)不是奇函数”，结论的否定是• “f(-X )不是奇函数”，故该命題的否命题是“若f(x)不是奇函数，则［4 . r F j| B. 剖=-,则tana Hl 4 D.若tana Hl,则a =- 4 【解析】选C ・原命题的逆否命題是“若tan a 工1,则a#扌” 故选C.f(-x)不是奇函数刀•金干 IUPamsM 业 ■S )金干UHI mt 提升矗业2.关于命题"若抛物线y=ax 2+bx+c 的开口向下，贝0 {x | ax 2+bx+c<0} 高频考点 多维探究 H0”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是 A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 【解析】选D.原命题为真命题，则其逆否命题为真命题. 考点2充分条件、必要条件的判断 知•考情 充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形 式出现，作为一个重要载体，考査的知识面很广，几乎涉及数学知识的 各个方面，如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体 几何等知识.±7110 it制窝・warn 测拦升矗业命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件明•角度【典例2】（2014 •湖北高考）设U为全集,A, B是集合，则“存在集合C使得ACC,B或yC”是“AC1B二0” 的（）A.充分而不必要的条件D.既不充分也不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件【解題提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断. 【规范解答】选C.依题意,若AGC,则CuC或内当BcCuC,可得A 0 B=0；若A D B-0,不妨令C・A,显然满足AGC, BGCyC,故满足条件的集合C是存在的.命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件【典例3】(2014 •安徽高考)“x<0”是“ln(x+l)<0”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件WfiM WHm业【解题提示】分清条件和结论，根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B•由ln(x+l)<0,得0<x+l<l,即-l<x<0,由于{x|-l<x<0} u {x|x<0},故“x<0”是“ln(x+l)<0”的必要不充分条件.主手II帧St WfiM 拦时业命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件，冷【典例4】(2013 •山东高考)给定两个命题p,q・若F是q的必要而不充分条件,则P是F的()A.充分而不必要条件砌|B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件主干BUS貝帧■wsra 提粉业【解題提示】借助原命题与逆否命題等价判断.【规范解答】选A•因为一＞p是q的必要不充分条件,则q斗「p但- q,其逆否命题为pn—^但“！R P,所以P是「q的充分不必要条件.金干am提升佯曲悟•技法充要条件的三种判断方法⑴定义法:根据P=>q, q=»P进行判断.⑵集合法:根据p, q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断•这个方法特别适合以否定形式给出的问「" 题，如“xyHl”是“心1或yHl”的何种条件，即可转化为判断“x=l且尸1”是"xy=r的何种条件.員輙■MM amsM 曲通• 一类1. (2014 •新课标全国卷U)函数f(x)在x=x°处导数存在，若P：f z (x o)=O;q:x=x o J^f(x)的极值点，则()A. p是q的充分必要条件B. P是q的充分条件,但不是q的必要条件C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件D・P既不是q的充分条件,也不是q的必要条件主干IUR wsw amtiM曲【解析】选C・因为若〃(x°)・0,则X。
