云南省曲靖市第二中学大理新世纪中学2021届高三数学第一次模拟考试试题理PDF

云南省曲靖市第二中学2021届高三数学第一次模拟考试试题 文(本卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的。

1.若复数i Z i Z -=+=2,321，则21Z Z -在复平面内对应的点位于 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合}01|{≤≤-=x x A ，}0)1(log |{2≤-=x x B ，则=B AA .}11|{<≤-x x B.}11|{≤<-x x C.}0{ D.}11|{≤≤-x x3.已知P (1,3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0的渐近线上, 则该双曲线的离心率为A .10 B.2 C. 5 D.3 4.“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的 A . 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A ．)1(2-=x e yB ．1-=ex yC ．)1(-=x e yD ．e x y -= 6.已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为3π，若向量||||a b p a b =+，则||p = A ．2+ B3 D7.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63， 则判断框中应填入的条件为 A.4i ≤ B .5i ≤C.6i ≤D.7i ≤ （第7题图）8.已知数列{}a n 的前n 项和为S n , 通项公式a n ＝log 2 n ＋1n ＋2 (n ∈N *), 则满足不等式S n <－6的n 的最小值是A.62B.63 C .126 D.127 9.在ABC ∆中，C B A 、、的对边分别为c b a 、、，其中ac b =2,且B C sin 2sin =,则其最小角的余弦值为 A.42-B.42 C .825 D.4310.右图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则 在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为 A.33B.36C .63 D.633（第10题图）11.本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放, 甲、乙两人计划前去自习, 其中甲连续自习2小时, 乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆, 则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是A.19 B . 16 C.13 D. 1212.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两顶点分别为21,A A ，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点,若在线段BF 上（不含端点）存在两点21,P P，使得221211A P A A P A ∠=∠2π=，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是A .)215,1(+ B.)213,1(+ C.)215,0(+ D.)213,23(+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13. 已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切, 则a 的值为 . 14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .15.若变量x ，y 满足31031102x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且y ax z -=的最小值为1-，则实数a 的值G F EDC BA为 .16.在平面直角坐标系xOy 中，点),(00y x P 在单位圆O 上，设α=∠xOP ，且)43,4(ππα∈．若1312)4cos(-=+πα，则0x 的值为 . 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分） 17.（本题12分）已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．18. （本题12分）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级. 若S ≤4，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标(x ，y ，z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标(x ，y ，z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2) 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．19.（本题12分）如图, 已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面, AB ＝AC , ∠BAC ＝90, 点M , N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点. (1) 证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2) 设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论.20.（本题12分）如图, 已知抛物线C ：y 2＝x 和⊙M ：(x －4)2＋y 2＝1, 过抛物线C 上一点H (x 0，y 0) (y 0≥1)作两条直线与⊙M 分别相切于A 、B 两点, 分别交抛物线于E 、F 两点.(1) 当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时, 求直线EF 的斜率； (2) 若直线AB 在y 轴上的截距为t , 求t 的最小值.21.（本题12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点，其中m n <，a R ∈.(1) 求()()f m f n +的取值范围； (2) 若2a e e≥-,求()()f n f m -的最大值. 请考生在第22,23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22. （本题10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中, 圆C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数).(1) 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求圆C 的极坐标方程； (2) 已知A (－2, 0), B (0, 2), 圆C 上任意一点M , 求△ABM 面积的最大值. 23. （本题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝k －||x －3, x ∈R 且f (x ＋3)≥0的解集为[]－1，1.(1) 求k 的值；(2) 若a , b , c 是正实数, 且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1, 求证：19a ＋29b ＋39c ≥1.曲靖市第二中学2021届高三第一次模拟考试答案文科数学一．选择题1.A2.A3.A4.A5.C6.D7.B8.C9.C 10.C 11.B 12.A 二．填空题13.0或6 14.π29 15. 2 16. 2627-17. (1) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1 ∴ T=2π2=π(2) 当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1, 有 2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k∈Z)∴所求x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12, (k∈Z)}.产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6. ------4分(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种 ----9分②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝. ----12分19.(1)取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′， 又A ′C ′面AA ′C ′C ，AA ′面AA ′C ′C ，所以ME ∥平面AA ′C ′C ，NE ∥平面AA ′C ′C ， 所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，因为MN 平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C . 6分(2)连接BN ，设A ′A ＝a ，则AB ＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，NC ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，∴平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ， ∵AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，∴CN ⊥A ′N .要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，∴CN 2＋BN 2＝BC 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a2∴ λ＝2，∴当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN . 12分20．(1)法一：∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H (4，2)， ∴k HE ＝－k HF ，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∴y H －y 1x H －x 1＝－y H －y 2x H －x 2，∴y H －y 1y 2H －y 21＝－y H －y 2y 2H －y 22，∴y 1＋y 2＝－2y H ＝－4， k EF ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 22－y 21＝1y 2＋y 1＝－14. 6分法二：∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H (4，2)，∴∠AHB ＝60°，可得k HA ＝3，k HB ＝－3，∴直线HA 的方程为y ＝3x －43＋2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －43＋2，y 2＝x ，得3y 2－y －43＋2＝0，∵y E ＋2＝33，∴y E ＝3－63，x E ＝13－433. 同理可得y F ＝－3－63，x F ＝13＋433，∴k EF ＝－14. 6分(2)法一：设点H (m 2，m )(m ≥1)，HM 2＝m 4－7m 2＋16，HA 2＝m 4－7m 2＋15.以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为：(x －m 2)2＋(y －m )2＝m 4－7m 2＋15，① ⊙M 方程：(x －4)2＋y 2＝1.②①－②得：直线AB 的方程为(2x －m 2－4)(4－m 2)－(2y －m )m ＝m 4－7m 2＋14. 当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4m －15m(m ≥1)，∵t 关于m 的函数在[1，＋∞)单调递增，∴t min ＝－11. 12分 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵k MA ＝y 1x 1－4，∴k HA ＝4－x 1y 1， 可得，直线HA 的方程为(4－x 1)x －y 1y ＋4x 1－15＝0， 同理，直线HB 的方程为(4－x 2)x －y 2y ＋4x 2－15＝0，∴(4－x 1)y 20－y 1y 0＋4x 1－15＝0，(4－x 2)y 20－y 2y 0＋4x 2－15＝0， ∴直线AB 的方程为(4－y 20)x －y 0y ＋4y 20－15＝0， 令x ＝0，可得t ＝4y 0－15y 0(y 0≥1)，∵t 关于y 0的函数在[1，＋∞)单调递增，∴t min ＝－11. 12分21.函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且2,1m n a mn +=+=. 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当2a≥-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++.于是有111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e -+ .22.(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，∴圆C 的极坐标方程：ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. 5分 (2)设点M (3＋2cos θ，－4＋2sin θ)，则点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋9， 所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2. 10分 23.(1)因为f (x )＝k －||x －3，所以f (x ＋3)≥0等价于： 由||x ≤k 有解，得k ≥0，且其解集为{} |x －k ≤x ≤k又f (x ＋3)≥0的解集为[]－1，1，故k ＝1. 5分 (2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c 2b ＝ 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c 时取等号．也即19a ＋29b ＋39c ≥1. 10分。

理科数学参考答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】A【解析】，{}1|3|13xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{|01}A B x x =<<．2．【答案】B【解析】因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-． 3．【答案】D【解析】由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为6112020P ==． 4．【答案】B【解析】因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>， 所以2π135sin()1()366α+=--=， 所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++ 352127026-==5．【答案】C【解析】依题意,402222022=-===⎰x xdx n ，设4)21(xx -的常数项为r r r r rr r x C x xC T 244441)21()21(--+⋅⋅-=-⋅=，则r=2.所以常数项为2321-242=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C6.【答案】A 【解析】，故在定义域上为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD ；且，而，则011)2(2->-π；故选：A ．7.【答案】A【解析】由题意，该几何体的直观图为三棱锥A BCD -，如下图， 其中AB ⊥底面BCD ，2AB =，在△BCD 中，1BD =，BD 边上的高为2，所以三棱锥A BCD -的体积为11121223323BCDV SAB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A ． 8．【答案】D【解析】双曲线2211122y x ，∴焦点(0,1)，∴(0,1)F ，114a，∴14a， 直线:31l y x ，由2431x y yx ，得21410y y ，1214y y ，1212||||||(1)(1)216AB AF BF y y y y ．9．【答案】C【解析】考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++， 归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-，在该数列中，第37项为第21行第3个数，所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==． 10．【答案】A【解析】在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=，得sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=，∴sin()sin 3sin cos A B C C C +==，又sin 0C ≠，∴1cos 3C =， 由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，∴由余弦定理得22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===，即213b a -=，∴53b a =． 11．【答案】D【解析】设P 的坐标为(m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()f x '=，则在P 处的切线斜率()4k f m m '===+，即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A ，则21)a PF PA =-=，即1a ，∵4c =，∴双曲线的离心率c e a ==12．【答案】B【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e--==-， 含()()x g x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0x g x e f x f x ''=+>， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，∵(21)(1)a e f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a e f a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】13-【解析】因为函数3()(21)2x f x m x e =+-，所以2()6(21)2e ,(0)62x f x m x f m ''=+-=-，所以624m -=-，解得13m =-.故答案为：13- 14．【答案】-1 【解析】3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-－－．15．【答案】5π2【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故|311|10210r d ++===，从而圆的面积为5π2． 16.【答案】827【解析】解：如图，设三棱锥外接球的半径为r ，则，得．又等边三角形ABC 的边长为3，设的外心为G ，连接CG 并延长，交AB 于D ，则，设三棱锥外接球的球心为O ，连接OG ，则平面ABC ，可得．连接PD ，平面平面PAB ，则要使三棱锥体积最大，则底面ABC ．．三棱锥体积的最大值为．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）32()2n n a n -=∈*N ；（2）31nn +． 【解析】（1）当2n ≥时，3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---=， 当1n =时，3121122a S ⨯-===，符合上式，所以32()2n n a n -=∈*N ． ......6分（2）由（1）得322log 232n n b n -==-．∴122311111111447(32)(31)n n b b b b b b n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⨯⨯-+ 1111[(1)()3447=-+-+⋅⋅⋅11()]3231n n +--+ 11(1)33131n n n =-=++． ......12分18．【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，125EX =． 【解析】（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：根据公式可得()250510004040101036 6.6035055k ⨯⨯=>⨯⨯-⨯=，所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关． ......6分 （2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且1282310C C 8(1)C 120P X ===，2182310C C 56(2)C 10P X ===，38310C 56(3)C 120P X ===，其分布列为81231201201205EX =⨯+⨯+⨯=． ......12分 19．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以CE = 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥， 因此1BB⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形． ......6分（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，C ． 平面1EBC 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ，由10CB y y⊥⇒-+=⇒n ，由110B A y z ⊥⇒+=n ， 令1x y =⇒=z =(1=n ，所以cos,7<>==-m n，所以二面角11E B C A--的余弦值是． ......12分20.【答案】（1）22132x y+=；（2）⎣【解析】（1）由已知可得ca=，所以2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C的标准方程为22132x y+=. .....4分（2）椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为1x=，则A⎛⎝⎭，1,B⎛⎝⎭，1,1E，1,1F所以AB=，2||4EF=，2||AB EF⋅=；......6分②若直线l的斜率存在，设直线l方程为()1y k x=-，设()11,A x y，()22,B x y，联立直线l与椭圆方程()221321x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k+-+-=，则2122623kx xk+=+，21223623kx xk-=+，所以)22123k ABk+ ===+，因为圆心()0,0到直线l的距离d =()2222242||4211k kEF k k +⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦，所以)())22222222224142223||1222312333k k k k AB EF k k k k k ⎫+++⎪+⋅=⋅===+⎪+++ ⎪++⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，所以2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣. ......12分21．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）(],0-∞．【解析】（1）由题意知，()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x ---=--='+， 令()()()1xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >，∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． ......4分 （2）∵()()()g x f x xf x =+'，∴()ln 2xg x a x e ax a =--+-，由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立．即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立。

云南省曲靖市第二中学2021届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）一､选择题(共12小题). 1.若复数z 1ii=-(i 是虚数单位)，则|z |=（ ） A.12B.2C. 1【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算. 【详解】z ()()()1111111222i i i i i i i i +-+====-+--+. 所以|z|2==. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的解法可求得集合B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】由102x x -≤-得：()()12020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x ≤<，{}12B x x ∴=≤<， {}1A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.3.已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥β，则m ∥l B. 若m ∥l ，则m ∥β C. 若m ⊥β，则m ⊥l D. 若m ⊥l ，则m ⊥β【答案】D 【解析】 【分析】A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）A. 1005B. 1006C. 2010D. 2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+， 所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.5.已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A.12B. 2D. ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】因为向量m =(1，cosθ)，n =(sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=- 因为m ⊥n ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,5]-∞⋃B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D 【解析】分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a >⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或， 因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知m ∈R ，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8.已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511475?320i ii i x y====∑∑，，设其线性回归方程为:ˆˆ 0.4yx a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ） A. 66 B. 68C. 70D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.【详解】由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15=⨯320=64，代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×95a +，解a =26； 所以线性回归方程为y =0.4x +26， 当x =105时，y =0.4×105+26=68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ） A. 18 B. 10C. -14D. -22【答案】D 【解析】 【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠， 由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ． 10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11.已知12,F F 是双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于A.54B.53D.52【答案】B 【解析】依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a MF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关系()224b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率53e =. 12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)13.已知实数x 、y 满足50{30x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．【答案】3- 【解析】满足条件的点(,)x y 的可行域如下：由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-314.已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 (1). 8 (2). (4,2)- 【解析】 【分析】x +2y =xy 等价于21x y+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围. 【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1， ∴121212x y x y=+≥⋅ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.15.已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于22的概率为 . 【答案】14【解析】【详解】试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为考点：几何概型16.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD 2=，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π 【解析】 【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形， 由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π. 故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.) 17.已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC ==，若f (A )=1，求△ABC 的周长.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）4【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)12+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin (2A 6π+)12=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长.【详解】（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =，cosx )，f (x )a =•3b =sinxcosx +cos 2x 3=sin 2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，由2π-+2kπ≤2x 62ππ+≤+2kπ，k ∈Z ，可得：3π-+kπ≤x 6π≤+kπ，k ∈Z ，可得f (x )的单调递增区间是：[3π-+kπ，6π+kπ]，k ∈Z ， （2）由题意可得：sin (2A 6π+)12=，又0<A <π， 所以6π<2A 1366ππ+<， 所以2A 566ππ+=，解得A 3π=，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 所以a =BC 7=，又sinB =3sinC ，可得b =3c ， 故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，所以b =3，可得△ABC 的周长为47+.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数25ab(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 【分析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．19.如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上(如图1)，且BE =BF ，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′(如图2).（1）求证：A ′D ⊥EF ； （2）BF 13=BC 时，求点A ′到平面DEF 的距离. 【答案】（1）证明见解析.（2）375【解析】 【分析】（1）推导出A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ，由线面垂直的判定定理得到A′D ⊥平面A′EF ，由此得证.（2）设点A′到平面DEF 的距离为d ，由V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ，能求出点A′到平面DEF 的距离. 【详解】（1）由ABCD 正方形及折叠方式，得：A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ，∵A′E ∩A′F =A′， ∴A′D ⊥平面A′EF ，∵EF ⊂平面A′E F ，∴A′D ⊥EF . （2）∵113BE BF BC ===， ∴223A E A F EF A D '''====，，，∴'A EFS=DE =DF =52DEFS =， 设点A′到平面DEF 的距离为d ， ∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11'33DEFA EFd SA D S ⨯⨯=⨯⨯，解得d 5=.∴点A′到平面DEF 的距离为5. 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOB 面积的最大值为，此时直线l 的方程为x y =. 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣ty ﹣3=0，则y 1+y2=y 1y 22334t =-+， 则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|===u =，则u≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++ 当且仅当u =t时等号成立， 因此△AOBl 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.21.设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为()()2ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()212121x x f x x x x--+=--+='，令()0f x '=，得12x =或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln x a x x=-， 令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2221ln ln 11x xx x x g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ， 当113x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,3，()()min 11g x g ∴==，又113ln333g ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333+>-， 由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+.【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤. 【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。

云南省曲靖市第二中学2021届高三数学第一次模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1.设iiz -=1（i 为虚数单位），则=||z ( ) A.21B.22C.2D. 22.已知集合{}2,1,0=A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=021|x x x B ，则=B A ( ) A.{}1,0 B.{}2,1 C .}1{ D.}2{3.已知平面α β＝l ，m 是α内不同于l 的直线，下列命题错误．．的是( ) A.若m ∥β，则m ∥l B.若m ∥l ，则m ∥β C .若m ⊥l ，则m ⊥β D.若m ⊥β，则m ⊥l4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且),(*1为常数a N n a a a n n ∈+=+，若平面内的三个不共线的非零向量OC OB OA ,,满足a a 10061005+=，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则2010S 等于( )A.1005B.1006C.2010D.20125.如图所示的程序框图,令y=)(x f ,若)(x f >1,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,2)∪(2,5] B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,5]6.已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在 0+∞（，）上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知某班学生的数学成绩x （单位：分）与物理成绩y （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：320,4755151==∑∑==iiiiyx，设其线性回归方程为：y^＝0.4x＋a^.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为( )A.66B.68C.70D.728.等比数列{}n a的前n项和为n S，若,6,232-==SS则5S＝( )A.-22B.-14C.10D.189.函数xxxf sin42)(-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx的图像大致是( )10.已知直线0=++ayx与圆222=+yx交于BA、两点.O是坐标原点，OBOA,满足条件||||OBOAOBOA-=+，则实数a的值为( )A.2- B.2 C.2± D.1±11.已知21,FF是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，双曲线的离心率为e.若双曲线的右支上存在点M，满足||||212FFMF=，且1sin21=∠FMFe，则双曲线的离心率e=( )A.25B.25C.35D.3512.定义在R上的可导函数)(xf满足1)1(=f，且1)(2'>xf，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,2ππx时，不等式232sin2)cos2(2>+xxf的解集为( )A.)3,3(ππ- B.)34,3(ππ- C.)3,0(πD.)34,3(ππ第Ⅱ卷D CBA 'D CBA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知52)(xax +展开式所有项的系数之和为1-，则展开式中x 的系数为_________.14.已知0,0>>y x ，且xy y x =+2，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是_________.15.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________.16.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，2=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面BD A '⊥平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的体积为___________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） (一)必考题：共60分.17.（本题满分12分）已知向量x f x x x x ⋅===)(),cos ,cos 3(),cos ,(sin ．(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.,sin 3sin ,7C B a ==且若1)(=A f ， 求ABC ∆的周长.18.（本题满分12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.(1)求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数. (2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z 服从正 态分布),(2σμN ，其中μ近似为样本平均数，经计算得95.1175.142≈=σ，求Z 落在)45.38,55.14( 内的概率.(3)将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于)30,10(内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .附：若Z ～),(2σμN ，则：P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.19.（本题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，21==CC AC ，BC AB =，D是1BA 上一点，且⊥AD 平面BC A 1. (1)求证：BC ⊥平面11A ABB ；(2)在棱1BB 上是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11A ABB 的 夹角等于3π？若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.20.（本题满分12分）已知P 是圆16)1(:221=++y x F 上任意一点，)0,1(2F ，线段2PF 的垂直平分线与半径1PF 交于点Q ，当点P 在圆1F 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点)0,3(-M 的直线l 与(1)中曲线相交于B A ,两点，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分12分)已知函数.3ln )(,ln )1()(ex x x g x x x f --=-=(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)令)0)(()()(>+=m x g x mf x h 的两个零点为),(,2121x x x x <证明：.121ex e x +>+请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2:y x C (θ为参数)，点P 在直线04:=-+y x l 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)射线OP 交圆C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足||||||2OQ OR OP ⋅=，求Q 点轨迹的极坐标方程．23.【选修4—5：不等式选讲】（本题满分10分） 已知函数|2||1|)(+--=x x x f ．(1)若不等式|1|)(-≥m x f 有解，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)的条件下，若正实数b a ,满足M b a =+223，证明：43≤+b a ．曲靖市第二中学2021届高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. -80 14. (-4,2) 15.52 16. π23三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（本题满分12分）解：(1)x x x x f 2cos cos sin 3)(+=⋅=21)62sin(212cos 212sin 23++=++=πx x x . .……2分 由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得: )(232232Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ )(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ∴)x (f 的单调递增区间是)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ． ..……6分)2( 1)(=A f ，∴21)62sin(=+πA . 又 ),0(π∈A ，∴3,6562πππ==+A A . ..……8分C B sin 3sin =，由正弦定理得：c b 3=,又 7=a .∴ 在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=3,1.397222==∴-+=b c c c c ,ABC ∆的周长为74+ ..……12分18.（本题满分12分）解：(1)所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数_x 为：5.2615.04525.0353.0252.0151.05_=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x . ..……3分 (2) Z 服从正态分布),(2σμN ，且5.26=μ，95.1175.142≈=σ，6826.0)95.115.2695.115.26()55.3855.14(=+<<-=<<∴Z P Z P∴Z 落在)45.38,55.14( 内的概率为0.6826. ..……6分(3)根据题意得：)21,3(~B X ，81)21()0(303===C X P ；83)21()1(313===C X P ；83)21()2(323===C X P ；81)21()3(333===C X P...……10分 ∴X 的分布列为：)(X E =23213=⨯....……12分19.（本题满分12分）解：(1).,11BC AD BC A BC BC A AD ⊥∴⊂⊥平面，且平面111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，且⊂BC 平面ABC ，所以BC AA ⊥1.A AA AD =1 ，⊂AD 平面11A ABB ，⊂1AA 平面11A ABB ，∴⊥BC 平面11A ABB . ..……4分(2) ⊥BC 平面11A ABB ，且⊂AB 平面11A ABB ，∴BC BB AB BB AB BC ⊥⊥⊥11,,，以O 为坐标原点,1,,BB BC BA 所在的直线为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系. (5)分X0 1 2 3P8183 83 81ABC ∆ 是等腰直角三角形，且斜边2=AC ，∴2==BC AB ，则：A (2,0,0),B (0,0,0),C (0,2,0),设满足条件的点E (0,0,a ))20(<<a . ..……6分由（1）知平面11A ABB 的法向量为BC =(0,2,0). ...……7分设m =(a ,b ,c )为平面AEC 的一个法向量,则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0202200az x y x m AE m AC ，令2=z ,则得a y x ==，∴m =)2,,(a a , ...……9分平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于3π，212222||2=+⋅=∴a a ，解得：1=a ....……11分 ∴当点E 为棱1BB 的中点时，平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于3π. ....……12分 20.（本题满分12分）解：(1)由线段2PF 的垂直平分线与半径1PF 交于点Q ，得：12111242QF QF QF QP PF F F +=+==>=， ..……2分 ∴点Q 的轨迹为以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，故24,2a a == ，22,1c c == ，2223b a c =-= .∴曲线C 的方程为22143x y += ..……5分 (2) 设直线l的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得：22(34)30t y +--=，即12y y +=，122334y y t -=+. ..……7分AOB ∆面积为:21221214)(321||||21y y y y y y OM S AOB -+⋅⋅=-⋅=∆431364313342343344336232222222++=++⋅⋅=+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=t t t t t t tu =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u =++， ..……10分当且仅当u =3t =±时等号成立，因此AOB ∆，此时直线l的方程为x y =分21.（本题满分12分）解：(1)由题可知1()ln 1f x x x'=+-，()f x '在（0，+∞）上单调递增，且(1)0f '=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥； 因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. ..……4分(2)ex x x x m x h 3ln ln )1()(--+-=有两个零点，定义域为()+∞,0 xx x m x h 11)1ln 1()('-+-+=且0>m ，∴)('x h 在()+∞,0上单调递增，且0)1('=h ，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， ..……7分当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点. (9)分又 当e x =时，031)1()(>--+-=e e e m e h ，可知)(x h 在),1(e 上也存在一个零点.又.1,11,2121e x x e x x <<<<∴< (11)分重点中学试卷 可修改 欢迎下载11 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+..……12分 22.（本题满分10分） 解：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=， ………3分 直线l 的极坐标方程ρ＝4sin θ＋cos θ. ………5分(2)设,,P Q R 的极坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ， 124,2sin cos ρρθθ==+ ………6分 又 2OP OR OQ =⋅，即212ρρρ=⋅ ………9分 2122161(sin cos )2ρρρθθ∴==⨯+，81sin 2ρθ∴=+ ………10分 23.（本题满分10分）解:(1)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-． ()()12123x x x x --+≤--+=，∴13m -≤，解得24m -≤≤，∴实数m 的最大值4M =． ·········5分(2)根据(1)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，∴()2316a b +≤. a ，b 均为正实数，∴34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”)． (10)分。

2021届高三第一次模拟考试
数学(文科)答题卡请在各题目的答题区作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效密封线
贴条形码区（切勿贴出虚线框外）
请在各题目的答题区作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）班
级
姓名
考号座位
号
缺考标记（填涂说明：缺考考生由监考员贴条形
码，并用２Ｂ铅笔填涂左边缺考标记）注意事项 1.答题前
，考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，
在规定的位置贴好条形码。

2.第
Ⅰ卷答题区域使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷答题区域用黑色碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，第
Ⅰ卷答题区域修改时，用橡皮擦擦干净，第Ⅱ卷答题区域修改禁用涂改液、涂改胶条。

选择题填涂样例正确填涂
错误填涂√×○●。

2021年云南省高考数学第一次检测试卷（理科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|2}S x x =-<，2{|}T x x x =<-，则(S T = )A ．{|2}x x <-B ．{|1}x x >C ．{|10}x x -<<D ．{|21}x x -<<-2．（5分）已知i 为虚数单位．若5213iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知(3,4)P -是角α的终边上的点，则tan (α= ) A ．45B ．35-C ．43-D ．34-4．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件2220x y x y x +⎧⎪⎨⎪+⎩，则133z x y =++的最大值等于( )A ．43 B ．83C ．2D ．35．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n = )A ．2B ．3C ．4D ．56．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示（正视图由两个全等的矩形组成，侧视图是一边长为43．若这个正三棱柱的表面积为1363的面积为( )A ．52B ．53C 1123D ．3637．（5分）已知向量3(2a =，1)，1(2b =-，4)，则( )A ．//()a a b -B ．()a a b ⊥-C ．()//()a b a b -+D ．()()a b a b -⊥+8．（5分）甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A 、B 两种类型的机器各一台，其中甲只会操作A 种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作．现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A 、B 两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有( ) A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种9．（5分）已知M 的圆心在曲线2(0)y x x=>上，且M 与直线210x y ++=相切，则M的面积的最小值为( ) A ．95π B ．4π C ．5π D ．9π10．（5分）三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，AC BC ⊥，2AC =，4BC =．若三棱锥P ABC -的体积的最大值为203，则球O 的体积为( ) A ．823πB ．33πC ．1003πD ．36π11．（5分）已知双曲线M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，点(2P 1)在双曲线M 的一条渐近线上．若以双曲线M 的实轴为直径作圆，该圆经过点P ，则双曲线M 的方程为()A ．222133x y -=B ．22136x y -=C ．222133y x -=D ．22136y x -=12．（5分）ABC ∆的三内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．若3sin 3sin 4sin 3sin a A b B a B c C ++=，则cos cos sin sin (A B A B -= )A ．34B ．23 C ．23-D ．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。