加权平均数

【本讲教育信息】一. 教学内容：数据的代表——平均数、加权平均数、中位数、众数二. 学习重难点：平均数、加权平均数、中位数及众数的求法是本节课的重点，加权平均数的求法是难点三. 知识要点讲解：同学们，你喜欢看NBA吗？问题1：下面给出了休斯顿火箭队与洛杉矶湖人队的球员数据，你会求出两队的平均身高、平均年龄吗？解：休斯顿火箭队的平均年龄为： （29+31+34+……+ 23） ÷15 =30.4 休斯顿火箭队的平均身高为（2.06+2.06+1.98+……+1.98） ÷15=2.014 洛杉矶湖人队的平均年龄为：（26+30+27+……+36） ÷15=26.4 洛杉矶湖人队的平均身高为：（1.98+1.80+1.88+……+2.16） ÷15= 2.02 1、平均数日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。

定义：一般地，对于n 个数x 1，x 2，x 3……x n ，我们把)(n1321n x x x x x ++++=-叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为：-x ，读作“ x 拔 ”洛杉矶湖人队队员的平均年龄 ＝（20×1＋24×4＋25×3+26×1+27×3+30×1+32×1+36×1）÷（1+4+3+1+3+1+1+1）≈26.4（岁）思考：你能说出其中的道理吗？2、加权平均数：定义1、一般地，如果在n个数中，x1，x2……，x k分别出现的次数为n1，n2，……，n k次（这时n+n+……+n=n），那么这n个数的加权平均数为（1）问这个班级捐款总数是多少元？（2）求这30名同学捐款的平均数.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）解：（1）511109156202251301330÷=（元）（2）3303011答：这个班级捐款总数是330元；这30名同学捐款的平均数为11元.思考：某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1 的比例确定各人测试成绩，此时谁将被录用？解：（1）A的平均成绩为（72+50+88）÷3=70分。

B 的平均成绩为（85+74+45）÷3=68分。

C 的平均成绩为（67+70+67）÷3=68分。

由70>68，故A将被录用。

（2）A的测试成绩为（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1）=65.75分。

B的测试成绩为（85×4+74×3+45×1）/（4+3+1）=75.875分。

C的测试成绩为（67×4+70×3+67×1）/（4+3+1）=68.125分。

因此候选人B将被录用注：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同。

因而，在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权”。

如上例中的4就是创新的权、3是综合知识的权、1是语言的权。

而称（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1）为A的三项测试成绩的加权平均数。

定义2、一般地, 如果在n个数中, x1, x2……，x k重要程度用连比f1：f2：…：f k，其中f1、f2、…、f k叫做数据x1, x2……，x k的权数，那么这n个数的加权平例2、某学校对各个班级的教室卫生情况的考察包括如下几项:黑板、门窗、桌椅、地面。

某一天三个班级的各项卫生成绩分别如下：小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项的得分依次按15%，10%，35%，40%，的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？分析：由题意的理解便知：“黑板、门窗、桌椅、地面”的“权”分别为15%、10%、35%、40%，因此，计算各班的卫生成绩实质是这四项的加权平均数。

解：一班的卫生成绩为：95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75二班的卫生成绩为：90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75三班的卫生成绩为：85×15%+90×10%+95×35%+90×40%=91因此，三班的成绩最高你认为上述四项中，那一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案。

根据你的方案，哪一个班的成绩最高？分析：上述四项中“权”是最重要的。

方案①、如“黑板、门窗、桌椅、地面”的“权”分别为30%、30%、30%、10%，则各班的卫生成绩为：一班的卫生成绩为：95×30%+90×30%+90×30%+85×10%=91二班的卫生成绩为：90×30%+95×30%+85×30%+90×10%=90三班的卫生成绩为：85×30%+90×30%+95×30%+90×10%=90因此，一班的成绩最高方案②、我认为上述四项一样重要。

即权重为100%、100%、100%、100%一班的卫生成绩为：（95+90+90+85）÷4=90二班的卫生成绩为：（90+95+85+90）÷4 =90三班的卫生成绩为：（85+90+95+90）÷4=90因此，三个班的成绩一样高注：“权”实际上是对所处理的数据的重视程度的反映。

所以，“权”重不同其结果一般不同。

说明：通过第（2）小题设计方案，我们应体会到“权”的差异对结果的影响，认识到“权”的重要性。

三种计算平均数的方法实质都是求加权平均数，只不过后者对数据的权重一样，前者对数据的权重突出了地面卫生的得分。

同学们，通过这个引例，你能体会到算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？※算术平均数与加权平均数的区别和联系是：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等），当实际问题中各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数，两者不可混淆。

如：计算彩票的平均收益时，不是求各个等次奖金额的算术平均数，应考虑不同等次奖金的获奖比例。

练一练：1）数据2、3、4、1、2的平均数是_______，这个平均数叫做_______平均数.（1）在这十个数据中，34的权是_____，32的权是______.（2）该市7月中旬最高气温的平均数是_____，这个平均数是_________平均数.3）小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时。

（1）如果小明先骑自行车1小时，然后步行1小时，那么他的平均速度是多少？（2）如果小明先骑自行车2小时，然后步行3小时，那么他的平均速度是多少？解：（1）平均速度是10215115=⨯+⨯（千米/时）（2）平均速度是3235215+⨯+⨯＝9（千米/时）4）已知x1，x2，x3… x10的平均数是a，x11，x12，x13…x30的平均数是b，则x1，x2，x3…x30的平均数是（）A. 30ba+B. 40b 30a10+C. 2ba+D. 30b 20a10+ 3、中位数：例3、某公司员工的月工资如下：经理说：我公司员工收入很高，月平均工资是2000元。

职员C说：我的工资是1200元，在公司中算是中等。

职员D说：我们好几个人的工资都是1100元。

问题：他们的说法都对吗？你认为哪个数据最能表示该公司员工的“平均水平”？分析：将数据按照大小顺序排列：6000元，4000元，1700元，1300元，1200元，1100元，1100元，1100元，500元.定义：n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数（median）思考：什么时候取最中间位置的数据？什么时候取最中间两个数据的平均数？举例说明。

4、众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数（mode）.思考：一组数据中中位数有几个？众数可以有多个吗？∴中位数是1.97米众数是2.02米，1.98米，1.96米和1.85米.例5、某商场在一个月内销售某种品牌的冰箱共58台，具体情况如下：型号200升215升185升176升销售数量6台38台14台8台请问此商场的经理关注的是这组数据的平均数吗？他关注的是什么？为什么？如果你是经理，你将如何调整这种冰箱的进货数量呢？【中考链接】1. 下表是我国部分城市气象台对五月某一天最高温度的预报，当天预报最高温度数据的中位数是（ ）A. 28B. 28.5C. 29D. 29.52. 学校篮球集训队11名队员进行定点投篮训练，将11名队员在1分钟内投进篮框的球数由小到大排序后为6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，12. 这组数据的众数和中位数分别是 .3.则这些理化生成绩的众数为 .4.由上表可知小强同学投掷30次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ）A. 10，9B. 10，11C. 11，9D. 11，105. 振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据. 下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人.（1）他们一共调查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？10 15 20 25 30 捐款数/元【课堂小结】同学们，今天我们主要研究了数据的代表——平均数、中位数、众数。

平均数、中位数是一组数据的“平均水平”的“特征数”，而众数是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自的特点如下：（1）用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响。

（2）用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。

（3）用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1. 数据2，3，4，6，0的平均数是.2. 某班的30名同学中，身高155cm的有20人，身高160cm的有5人，身高165cm的有5人，这个班学生的平均身高是cm.3. 某班50名同学的平均身高为168cm，其中30名男生的平均身高为170cm，则20名女生的平均身高是cm.4. 某校举办纪念抗日战争胜利60周年歌咏比赛，6位评委给某班演出评分如下（单位：分）：909691969294则这组数据中，众数和中位数分别是.5. 为了解七年级某班学生的营养状况，随机抽取了8名学生的血样进行血色素检测，以此来估计这个班学生的血色素的平均水平，测得结果如下（单位：g）：13.8 12.5 10.6 11 14.7 12.4 13.6 12.2则这8位学生血色素的平均值为g.6. 数据4，3，3，2，5，3，6的众数是，中位数是.7. 为了解七年级学生的身体发育情况，每班随机抽取15名同学测身高，现测得3班15则这15名同学身高的中位数是.8. 小明参加暑期军事夏令营，在进行射击训练时，8颗子弹分别命中3环，6环，4环，8环，4环，3环，8环，4环，他的平均成绩是环.二、相信你的选择（每小题3分，共24分）*1. 如果3，2，x，5的平均数是4，那么x等于（）A. 2B. 4C. 6D. 82. 某校编织兴趣小组比赛编“中国结”，四个小组一节课所编数量分别为：10，10，x，8，已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数为（）A. 8B. 9C. 10D. 123. 某校生物兴趣小组11人到野外捕捉蝴蝶制作标本. 其中有2人每人捉到6只，有4人每人捉到3只，其余5人每人捉到4只，则这个兴趣小组平均每人捉到蝴蝶只数为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 将进价为每千克28元的甲种糖，每千克20元的乙种糖，每千克12元的丙种糖，按3∶2∶5的比例混合成杂拌糖出售，则这种糖平均每千克售价不应低于（）A. 18元B. 18.4元C. 19.6元D. 20元5. 10名工人某天加工同一种零件的件数分别为：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a则这17名运动员成绩的众数和中位数分别是（）A. 1.75m，1.70mB. 1.70m，1.75mC. 1.75m，1.75mD. 1.725m，1.70m7. 为了研究某一路口某时段的汽车流量，调查员记录了15天内同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天内在该时段每天通过该路口的汽车平均辆数约为（）A. 146B. 150C. 153D. 6008. 据《南通日报》报道，在2005年度中国城市综合指标座次排名中，南通市在苏中、苏北独占鳌头，各项综合指标的名次如图所示，则图中五个数据的众数和平均数依次是（）A. 32，36B. 45，36C. 36，45D. 45，32三、挑战你的技能（共38分）1. （12分）简答题，请说明理由.（1）河水的平均深度为1.5米，一个身高为1.7米但不会游泳的人下水后一定不会淹死，对吗？请说明理由；（2）5位同学在一次考试中，得分如下：10，68，78，80，90.考分为68分的同学是在平均分之上还是之下？你认为他在5人中属于“中上水平”吗？*2. （12分）某专业户要出售100只羊，现在市场上羊的价格为每千克11元，为了估计这100只羊能卖多少钱，该专业户从中随机抽取5只羊，称出每只羊的重量如下（单位：kg）：26，31，32，36，37.（1）求这5只羊的平均重量；（2）估计这100只羊能卖多少钱.*3. （14分）某地区筹备召开中学运动会，指定某校七年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致，现随机抽取10名七年级某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），测得身高如下（单位：cm）：165，162，158，157，162，162，154，160，167，155.（1）求这10名女生的平均身高；（2）问该校能否按要求组成花束队，试说明理由.*四、拓广探索（14分）（1）请问这家商厦平均每天的销售额是多少？若全国共有280家连锁商厦，那么平均每天的总销售额是多少？（保留整数）（2）试比较这一周销售额的平均数、众数、中位数之间的关系，并说明理由.（3）如果你是商场经理，你将作出怎样的经营决策？提升能力题：（1）求参加这次测试的学生人数；（2）如果一分钟跳绳次数在75次以上（含75次）为达标，请估计该年级学生测试的达标率是多少？（3）这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在四个小组中的哪一个小组内？请说明理由.**2. 我市部分学生参加了2005年全国初中英语竞赛决赛，并取得优异成绩，已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：请根据以上信息解答下列问题：（1）全市共有多少人参加本次英语竞赛？最低分和最高分在什么分数范围？（2）经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上（含60分）的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；（3）决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？（1）求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5 000元涨到15 000元，董事长的工资从5 500元涨到28 000元，那么新的平均工资、中位数、众数又是多少？（精确到1元）（3）你认为哪个统计量能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.【试题答案】一、1. 3 2. 157.5 3. 165 4. 96分、93分 5. 12.6 6. 3，3 7. 160cm 8. 5二、1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A7. C 8. B三、1. （1）河水的平均深度为1.5米，不能代表河水每一处的水深都为1.5米，言外之意有的地方水深可能超过1.70米，因而不能保证一个身高为1.70米但不会游泳的人下水后一定不会淹死；（2）考分为68分的同学是在平均分之上；考分为68分的同学不属于“中上水平”.2. （1）5只羊的平均重量为32.4kg；（2）估计100只羊能卖35 640元.3. （1）平均身高为160.2cm；（2）该校能按要求组成花束队，理由略.四、略.提升能力题答案：1. （1）50人；（2）达标率为90%；（3）跳绳次数的中位数落在第三小组内.2. （1）全市共有300人参加竞赛，最低分在20~39分之间，最高分在120~140分之间；（2）本次决赛共有195人获奖，获奖率为65%；（3）决赛成绩的中位数落在60~79分数段内.3. （1）平均数约为2 151元，中位数是1 500元，众数是1 500元；（2）新的平均工资约为3 136元，中位数是1 500元，众数是1 500元；（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别极大，这样导致平均工资与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.。