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华南师大附中2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分，考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂；2.回答第Ⅰ卷时,选岀每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答寀标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号；3.回答第Ⅱ卷时,必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答卷各题目指定区域内,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，＜＜，42|32|2x x Q x x x P =≥-=则=Q P A.()21，- B.(]31，- C.(]32， D.[)43， 2.下列函数中既是偶函数,又在区间()10，上单调递增的是 A.x y cos = B.x y = C.xy 2= D.x y lg = 3.函数()()()x x x x x f cos sin cos sin -+=的最小正周期是 A.2π B.π C.23π D.π2 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若，，825435=+=a a S 则{}n a 的公差为A.-2B.-1C.1D.25.设命题甲:0122＞++ax ax 的解集是实数集R ；命题乙:，＜＜10a 则命题甲是命题乙成立的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知复数z 满足()，i z i +=+31其中i 是虚数单位，则=zA.i -1B.i +1C.i 2121- D.i 2121+7.已知两个非零向量b a 、=则下列结论正确的是A.∥B.⊥= D.-=+8.已知双曲线12222=-y a x 的一条渐近线的倾斜角为，π6则双曲线的离心率为 A.332 B.362 C.3 D.2 9.圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离是2的点共有几个A.1B.2C.3D.410.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩，图(二)的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m 、分别是A.1238==n m ，B.1226==n m ，C.1212==n m ，D.1024==n m ，1l.在区间[]10，上随机取两个数，、y x 记1p 为事件“21≥+y x ”的概率，2p 为事件 “21≤-y x ”的概率，3p 为事件“21≤xy ”的概率，则 A.321p p p ＜＜ B.132p p p ＜＜ C.213p p p ＜＜ D.123p p p ＜＜12.已知，，R b a ∈直线2π++=b ax y 与函数()x x f tan =的图像在4π-=x 处相切，设 ()，a bx e x g x ++=2若在区间[]21，上，不等式()22-≤≤m x g m 恒成立，则实数m A.有最小值e - B.有最小值e C.有最大值e D.有最大值1+e第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)13.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 项的系数是-70,则=a _______. 14.=︒︒-︒︒15sin 150cos 15cos 30sin _______.15.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知21A A K 、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为_________.16.已知从点P 出发的三条射线PA 、PB 、PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A 、B 、C 三点，若球O 的体积为36π，则O 、P 两点间的距离是________.三、解答题(本大题共6小题,满分48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(本小题满分6分)已知数列{}n a 中，()，，，，*112122321N n n a a a a a n n n ∈≥-===-+设.1n n n a a b -=+ (1)证明:数列{}n b 是等比数列；(2)设()，n n n n b c 2142-=求数列{}n c 的前n 项的和.n S18.(本小题满分6分)如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC=1，且.53cos -=∠BCD(1)若AC 平分∠BCD,且AB=2,求AC 的长；(2)若∠CBD=45°,求CD 的长.为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照[)[)[)，，，，，，60404020200[)8060，， []10080，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生。
广东省广州市华师附中学校(高中部)2019-2020学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是(A)(B) (C)(D)参考答案：D2. 某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．200 B．300 C．400 D．600参考答案：A【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．【解答】解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x=90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）=，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故选A．3. 若直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为，则（）A．B．C．D．参考答案：B4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（）A. B. C. 3 D. 4参考答案：B【分析】设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【详解】设，，为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即为，由，可得，故选：．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5. 已知正的顶点A在平面内，顶点、在平面外的同一侧，为的中点，若在平面上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围为（）A . B. C.D.参考答案：D6. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：D略7. 已知复数，则复数的模为（）A.2B.C.1D.0参考答案：C8. 给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A.②和④B．②和③ C．③和④D．①和②参考答案：A9. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PC C. AB⊥AD D．M是棱PC的中点参考答案：B因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.10. 以下给出的是计算的值的一个程序框图，如右图所示，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若抛物线上一点P到准线和对称轴的距离分别为10和6，则此点P的横坐标为参考答案：9或112. 已知为直线上的动点，，则的最小值为 .参考答案：4略13. 过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A、B两点，则|AB|＝__________．参考答案：略14. 设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求出cos＜＞，由此能求出异面直线l1，l2所成角的大小．【解答】解：∵异面直线l1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．15. 的展开式的常数项是▲．参考答案：160略16. 观察下列等式：按此规律，第个等式可为__________．参考答案：由观察类比推理可解．17. 函数的定义域为___________________．参考答案：【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】 【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人， 所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（ ） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】 【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立； 当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________． 【★答案★】3 【解析】 【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法． 共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【★答案★】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-． 【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【★答案★】（1）4960；（2） 分布列见解析，()65E X =． 【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++， 依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =． （2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>， 令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
广东省广州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B．1e C ．e 2e - D ．e 1e- 【答案】C【解析】由题意得，n s e =，则m e =，即0a e <<，01b <<，如图所示，作曲线()101a b b=<<，交直线1,b a e ==于点()11A ，，1,B e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则满足事件1ab >的实验区域为曲边形ABC ，其面积为111112e S e dx e e x ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为221e e P e e --==⨯，故选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，11【答案】C【解析】 执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．-6C ．10D ．12【答案】C【解析】 试题分析：当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，输出． 考点：程序框图．4．一个正方形花圃，被分为5份A 、B 、C 、D 、E ，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．A ．24 种B ．48 种C ．84 种D ．96种【答案】D【解析】【分析】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，讨论区域E 与区域A 种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.【详解】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植相同颜色的花时，种植B 、E 有122⨯=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植不同颜色的花时，种植B 、E 有212⨯=种不同的种植方法，∴不同的种植方法有()34A 2296⨯+=种， 故选D【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题． 5．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B ．5C ．13D ．13【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i -=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅-Q 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,13.2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差7．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C ．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．8．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．13B ．14C ．112D ．712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为13423100111()()343412x x x x dx -=-=-=⎰，选C. 9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A ．-55B ．-61C ．-63D ．-73 【答案】D【解析】【分析】令得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.【详解】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选D.【点睛】 本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.10．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F =，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F =，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.11．下列命题正确的是（ ）A ．进制转换：()()210110113=B ．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C ．“若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为真命题D ．若命题p ：0x ∀>，10x ->，则p ⌝：00x ∃≤，010x -≤【答案】A【解析】【分析】根据进制的转化可判断A ，由中位数的概念可判断B ，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A .()0123211011202121214813=⨯+⨯+⨯+⨯=++=,故正确.B. 样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C . “若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为: “方程20x x -=,则1x =”，为假命题，故不正确.D. 若命题p ：0x ∀>，10x ->.则p ⌝：00x ∃>，010x -≤，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.12．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【答案】C【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有214530C C =种；快译通1台和录音机2台，取法有124540C C =种， 根据分类计数原理知共有304070+=种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24【解析】【分析】由972S =可得148a d +=，然后根据等差数列的通项公式可得249a a a ++13(4)a d =+24=，即为所求．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则191919()9(28)9(4)7222a a a d S a d ++===+=， ∴148a d +=．∴2491111()(3)(8)3(4)24a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=．故答案为1．【点睛】本题考查等差数列中基本量的运算，解题的关键在于将问题转化为1a 和d 进行处理，属于基础题．14．复数的共轭复数为__________． 【答案】【解析】试题分析：：，则共轭复数为， 考点：复数代数形式的乘除运算． 15．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 【答案】{}4【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B =U ，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.16．计算123452!3!4!5!6!++++=____． 【答案】719720； 【解析】【分析】根据阶乘的定义：!(1)(2)1n n n n =--L ，计算得到答案.【详解】123452!3!4!5!6!++++ 1234521321432154321654321=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111123830144=++++ 719720=. 【点睛】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知曲线()()1x f x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3x g x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】 (Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<<【解析】【分析】（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值；（Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x m e x =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，结合题意得出()100g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．【详解】 （Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x f x e ax e a e ax a =++⋅=++，()()()()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==； （Ⅱ）解法1：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x u x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x x u x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；解法2：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<.【点睛】 本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．18．设a R ∈,函数21()2x f x e ax =-,()f x '是函数()f x 的导函数, e 是自然对数的底数. (1)当2a =时,求导函数()f x '的最小值;(2)若不等式()2f x ≥对任意1x ≥恒成立,求实数a 的最大值;(3)若函数()f x 存在极大值与极小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）min ()22ln 2f x =-'（2）24e -（3）(,)e +∞【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为2x e -，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式2122x e a x-≤，再利用导数研究()()221x e h x x x -=≥单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数a 的取值范围，进而得其最大值;（3）函数()f x 存在极大值与极小值，即()f x '存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数()f x '不单调且最小值小于零，即得a e >，再证明a e >时()f x '有且仅有两个零点.详解：解：()xf x e ax '=- （1）当2a =时，()2x f x e x '=-记()()2xg x f x e x ==-' 则()2xg x e '=-，由()0g x '=得ln2x =. 当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增所以当ln2x =时，()min 22ln2g x =-所以()min 22ln2f x =-'（2）由()2f x ≥得2122x e ax -≥，即2122x ax e ≤-因为1x ≥，所以()212*2x e a x-≤. 记()()221x e h x x x -=≥，则()()2422x x e x e x h x x--⨯'= ()324x x e x -+= 记()24x y x e =-+，则()2x x y e x e =+-' ()1x x e =- 因为1x ≥，所以0y '≥且不恒为0所以1x ≥时，y 单调递增，当1x =时，min 40y e =->，所以()()3240x x e h x x '-+=> 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 12h x h e ==-因为()*对1x ≥恒成立， 所以122a e ≤-，即24a e ≤- 所以实数a 的最大值为24e -（3）记()()x m x f x e ax ==-'，()xm x e a '=- 因为()f x 存在极大值与极小值，所以()f x '，即()m x 存在两个零点，且()m x 在零点的两侧异号. ①当0a ≤时，()0m x '>，()m x 单调递增，此时()m x 不存在两个零点；②当0a >时，由()0m x '=，得ln x a =当ln x a <时，()0m x '<，()m x 单调递减，当ln x a >时，()0m x '>，()m x 单调递增，所以()()min ln m x m a = ln a a a =-所以()m x 存在两个零点的必要条件为：()ln m a ln 0a a a =-<，即a e > 由a e >时， (ⅰ)记1ln ()y a a e a =->，则2110y a a'=--< 所以当a e >时，1ln y a a=-单调递减， 当a e >时，11ln 10a a e -<-<，所以1ln a a <.所以()m x 在1,ln a a ⎛⎫⎪⎝⎭上，有且只有一个零点. 又()m x 在(),ln a -∞上单调，所以()m x 在(),ln a -∞上有且只有一个零点，记为1x ，由()m x 在(),ln a -∞内单调递减，易得当1x x =时，函数()f x 存在极大值 （ⅱ）记ln ()y a a a e =->，则110y a=->' 所以a e >时，ln 10a a e ->->，所以ln a a >由（1）知2a =时，()2xf x e x =-有()min 22ln20f x =->'所以()f x 在R 上单调递增，所以a e >时, ()220aem a e a e e =->->因为()0m a >且()ln 0m a <，()m x 的图像在()ln ,a a 单调且不间断， 所以()m x 在()ln ,a a 上，有且只有一个零点. 又()m x 在()ln ,a +∞上单调所以()m x 在()ln ,a +∞上有且只有一个零点，记为2x ，由()m x 在()ln ,a +∞内单调递增，易得当2x x =时，函数()f x 存在极小值 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.19．1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n 个数为n a .在图2的杨辉三角中，第()2n n ≥行是()1n a b -+展开式的二项式系数01n C -，11n C -，…，11n n C --，记杨辉三角的前．n 行所有数之和．．．．．．为n T .（1）求n a 和n T 的通项公式；（2）当2n ≥时，比较n a 与n T 的大小，并加以证明.【答案】（Ⅰ）2n a n =，21n n T =-（Ⅱ）n n a T <，证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）由正方形数的特点知2n a n =，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n 行n 个数的和，由此能求出n a 和n T 的通项公式；（Ⅱ）由24n ≤≤时，n n a T >，5n ≥时，n n a T <，证明：24n ≤≤时，n n a T >时，可以逐个验证；证明5n ≥时，n n a T <时，可以用数学归纳法证明． 【详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知2n a n =；由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为01111112n n n n n n S C C C -----=++⋅⋅⋅+=，所以21121222n n n T S S S -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+21n =-.（Ⅱ）24a =，22213T =-=，所以22a T >；39a =，33217T =-=，所以33a T >；416a =，442115T =-=，所以44a T >； 525a =，552131T =-=，所以55a T <； 636a =，662163T =-=所以66a T <；猜想：当24n ≤≤时，n n a T >；当5n ≥时，n n a T <. 证明如下： 证法1：当24n ≤≤时，已证.下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，n n a T <. ①当5n =时，已证： ②假设()*5,n k k k N =≥∈时，猜想成立，即kk aT <，所以221k k <-；那么，()12121221221121k k k k T k ++=-=⋅-=-+>+()22221211k k k k k =++>++=+，所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①②，可知当5n ≥时，n n a T <. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20．从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表： 数据 分组[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5)频数3 8 9 12 10 5 3（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[)27.5,30.5的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布()2,N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587. 【解析】分析：（1）根据条件得到概率为8P=50；（2）由平均数的概念得到数值；（3）结合第二问得到的均值，以条件中所给的2 22.37S =得到，S=4.73，由()22.7 4.7322.7 4.730.1587P z -<<+=得到结果. 详解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.（2）样本平均数.（3）依题意.而，，则....即为所求.点睛：这个题目考查了平均数的计算，概率的理解，以及正态分布的应用，正态分布是一种较为理想的分布状态，常见的概率()()()-+-2+2-3+3P z P z P z μσμσμσμσμσμσ<<<<<<，，. 21．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）31,2 {(11;2x tt y t=+=+是参数）（2）2【解析】【分析】【详解】（1）直线的参数方程为1cos6{1sin6x ty tππ=+=+，即312{112x ty t=+=+(t为参数)（2）把直线312{112x ty t=+=+代入得22231(1)(1)4,(31)202t t t t+++=++-=122t t=-，则点P到,A B两点的距离之积为222．椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>过点1(3,)2M，且离心率为3．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过点2(0)P，的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求OA OB⋅u u u v u u u v的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）13[1,)4OA OB⋅∈-u u u v u u u v．【解析】分析：（1）根据题意得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先考虑直线l的斜率不存在时OA OB⋅u u u v u u u v 的值，再考虑当直线l的斜率存在时，OA OB⋅u u u v u u u v的范围，最后综合得到OA OB⋅u u u v u u u v的范围.详解：（1）由题得22222221214, 1.b c a b a a b c =⎪⎪=∴==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩（）所以椭圆的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，()()0,1,0,1A B -，所以1OA OB ⋅=-u u u v u u u v． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx C x y D x y =+，222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()221416120k x kx +++=， 由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u v u u u v ()()21212217124114k x x k x x k=++++=-++， 所以1314OA OB u u u v u u u v -<⋅<，综上131,4OA OB ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣⎭u u u v u u u v ．点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本计算能力.(2)设直线的方程时，如果涉及斜率，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论，所以本题要先讨论当直线l 的斜率不存在时OA OB ⋅u u u v u u u v的值.。
精品文档，欢迎下载！广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=（ ）A. [)3,4B. (]2,3C. ()1,2-D. (]1,3- 【答案】A 【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（ ）A. cos y x =B. y =C. 2xy =D.lg y x =【答案】C 【解析】因为满足()()f x f x -=函数只有cos ,2x y x y ==，但是单调递增的函数只有||2x y =，所以应选答案C 。
3.函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（ ） A.2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得cos 2y x =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ． 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若525S =，348a a +=，则{}n a 的公差为（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和题设条件，求得345,3a a ==，进而求解数列的公差，得到答案。
【详解】依题意，可得()15355522522a a a S +⨯===，解得35a =， 又348a a +=，所以43a =，所以公差43352d a a =-=-=-，故选A 。
广东省广州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，则右边程序框图输出的S 表示的是（ ）A ．小球第10次着地时向下的运动共经过的路程B ．小球第10次着地时一共经过的路程C ．小球第11次着地时向下的运动共经过的路程D ．小球第11次着地时一共经过的路程 【答案】C 【解析】结合题意阅读流程图可知，每次循环记录一次向下运动经过的路程，上下的路程相等，则2100S S =-表示小球第11次着地时向下的运动共经过的路程. 本题选择C 选项.2．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 3．若离散型随机变量X 的分布如下：则X 的方差()D X =（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.24D ．1【答案】C 【解析】分析：由于已知分布列即可求出m 的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4， 所以E （x ）=0×0.4+1×0.6=0.6， 所以D （x ）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1． 故选：C ．点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．4．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ） A ．712B ．512C ．12D ．1112【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +== 412()11616P A =-=()()1()2P AB P B A P A ==故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7 B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．已知集合2{|1213},{|0},x A x x B x x-=-≤+≤=≤，则A B 等于( ) A ．{|10}x x -≤< B ．{|01}x x ≤≤C ．{|02}x x ≤≤D ．{|01}x x <≤【答案】D 【解析】分析：求出集合A ，B ，即可得到A B ⋂. 详解：2{|1213}{|11},{|0}{|02},x A x x x x B x x x x-=-≤+≤=-≤≤=≤=<≤ {|01}.A B x x ∴⋂=<≤故选D.点睛：本题考查两个集合的交集运算，属基础题.7．已知函数()22xf x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,Rg x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦【答案】A 【解析】，在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，又，则函数在区间上的值域为.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.综合有实数的取值范围为.选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8．若x，y满足约束条件103020x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y+的最大值是（）A．9 2B．32C．13 D．13【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22x y+表示可行域内的点(,)x y到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x yx+-=⎧⎨+=⎩解得32yx=⎧⎨=-⎩即()2,3A-点()2,3A-到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313maxx y+=-+=．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．9．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【答案】C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a ，b 和b ，a 是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可． 10．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项( )A ．32B ．24C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出n ；再由2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++⋯+求出λ，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以23n n C C =，因此5n =，又5205125(1)x a a x a x a x λ+=+++⋯+，所以01a =， 令1x =，则01525(1)a a a a λ+=+++⋯+，又125242a a a ++⋯+=，所以55(3)3124λ+==，因此2λ=， 所以42()x x +展开式的通项公式为44214422k k k k k k k k T C x x C x ---+==，由420k -=得2k =，因此42()x x+展开式中常数项为2234224T C ==.故选B 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ） A ．2b =，5c = B ．2b =-，5c = C ．2b =-，5c =- D ．2b =，1c =-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为12i +和12i -，然后利用韦达定理可求出实数b 与c 的值. 【详解】由题意可知，关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为12i +和12i -，由韦达定理得()()()()12121212b i i c i i ⎧-=++-⎪⎨=+⋅-⎪⎩，解得25b c =-⎧⎨=⎩. 故选B. 【点睛】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 12．在区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内任意取一点(,)P x y ，则221x y +<的概率是（ ）A ．0B ．142π- C ．4π D ．14π-【答案】C 【解析】 【分析】求得区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积，x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC 的内部的面积4π，由几何概型的计算公式，可得答案． 【详解】根据题意，设O （0，0）、A （1，0）、B （1，1）、C （0，1），0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为以正方形OABC 的内部及边界，其面积为1； x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC 的内部的面积为2144ππ⨯=，由几何概型的计算公式，可得点P （x ，y ）满足x 2+y 2＜1的概率是414ππ=；故选C ．【点睛】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．二、填空题：本题共4小题13．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，定点(0,3)Q ，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________． 10 【解析】由抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 的焦点的距离， 设点P 到抛物线的准线的距离为d ，所以PQ d PQ PF +=+，可得当,,P Q F 三点共线时，点P 到点Q 的距离与点P 到准线的距离之和最小， 所以最小值为221310PF =+= 点睛：本题主要考查了抛物线的定义及其标准方程的应用，解答中把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答的关键，这是解答抛物线最值问题的一种常见转化手段，着重考查了学生的转化与化归和数形结合思想的应用. 14．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为3y x =； ③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．【答案】③④ 【解析】 【分析】对于①， 求出“曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件，判断与“0,0a b >>”关系，即得①的正误；对于②，根据已知条件求出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，即得②的正误；对于③，把抛物线的方程化为标准式，求出准线方程，即得③的正误；对于④，设,0,0,A a B b ，根据2AM MB =，可得()33,0,0,2A xB y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入6AB =，求出动点M 的轨迹方程，即得④的正误. 【详解】对于①， “曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件是“0,0a b >>且a b ”.所以“曲线221ax by +=为椭圆”的必要不充分条件是“0,0a b >>”，故①错误；对于②，椭圆221148y x +=的焦点为(0,，又双曲线的离心率22292,2,2e c a b c a ===∴=∴=-=，所以双曲线的方程为2222139y x -=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±，故②错误； 对于③，抛物线22x y =-的方程化为标准式212y x =-，准线方程为18x ，故③正确； 对于④，设,0,0,A a B b ，()()()322,,2,,322a xx a x AM MB x a y x b y y b y b y =⎧-=-⎧⎪=∴-=--∴∴⎨⎨=-=⎩⎪⎩，()()2333,0,0,,6,362A x B y AB x y ⎛⎫⎛∴=∴+= ⎪ ⎝⎭，即221416x y +=，即动点M 的轨迹方程为221416x y +=.故④正确. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查充分必要条件、圆锥曲线的性质和求轨迹方程的方法，属于中档题. 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，515S =，则25n S n+取得最小值的n 值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出数列{}n a 的首项和公差，求出n S 的表达式，然后利用基本不等式求出25n S n+的最小值并求出等号成立时n 的值，于此可得出答案． 【详解】设等等差数列{}n a 的公差为d ，则315133651015S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以，()()2111222n n n d n n n nS na n --+=+=+=，所以，22555111n S n n n n n n +++==++≥=，等号成立，当且仅当n =N *，由双勾函数的单调性可知，当2n =或3n =时，25n S n+取最小值， 当2n =时，22551121222S +=++=；当3n =时，32551731233S +=++=， 171132>，因此，当2n =时，25n S n+取最小值，故答案为2． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题．16．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点，点N 在棱11B C 上，若1//A N 平面1AD M ，则111B NB C =_____． 【答案】12【解析】 【分析】首先证明当N 为11B C 的中点时，1//A N 平面1AD M ，再求111B NB C 即可. 【详解】当N 为11B C 的中点时，1//A N 平面1AD M ，证明如下：取1BB 的中点H ，连接1A H ，NH . 因为H ，N 分别为1BB ，11B C 的中点， 所以11//A H D M ，1//NH AD ，所以1//A H 平面1AD M ，//NH 平面1AD M ， 又因为1A HNH H =，所以平面1//A NH 平面1AD M .1A N ⊂平面1A HN ，所以1//A N 平面1AD M . 所以11112B N BC =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查线面平行的证明，同时考查面面平行的性质，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．己知集合{}2430,A x x x x R =-+<∈，(){}12202750,xB x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______.A ．[]4,0-B ．[]4,1--C ．[]1,0-D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<= A ．0.8 B ．0.6C ．0.4D ．0.23．的值为( )A ．2B ．0C ．-2D ．14．已知双曲线22221x y a b-=的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．2214x y -=C ．2221x y -=D ．2241x y -=5．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本，现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人，每人一本，并请这4个人在得到的赠书之前进行预测，结果如下： 甲说：乙或丙得到物理书； 乙说：甲或丙得到英语书； 丙说：数学书被甲得到； 丁说：甲得到物理书．最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是（ ） A ．数学、物理、化学、英语 B ．物理、英语、数学、化学 C ．数学、英语、化学、物理D ．化学、英语、数学、物理6． “石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）A ．127B ．227C ．281D ．8817．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位8．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10B ．15C ．30D ．609．已知复数z 在复平面上对应的点为(2,1)Z -，则（ ） A ．12z i =-+B ．5z =C ．z 对应的向量为()21-，D ．2z -是纯虚数10．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回.重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是（ ） A ．316B ．516C ．716D ．91611．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．-1二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且，C 为PA 的中点，，垂足为D ，当三棱锥的体积最大时，______．14．已知复数312iz i-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的实部为__________. 15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．4322x dx ππ- -+=⎰⎰____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知集合121284x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围； （2）若{}61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.18．已知函数()ln ,()af x x a R x=+∈. （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[,)e -+∞上零点的个数.19．（6分）已知等差数列{}n a 不是常数列，其前四项和为10，且2a 、3a 、7a 成等比数列. （1）求通项公式n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．（6分）已知函数，；.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；（3）证明不等式.21．（6分）在平面直角坐标系中，射线:(0)l y kx x =≥ 的倾斜角为α ，且斜率k ∈.曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩ 为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= .(1)分别求出曲线1C 和射线l 的极坐标方程；(2)若l 与曲线1C ，2C 交点(不同于原点)分别为A,B ，求|OA||OB|的取值范围.22．（8分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围. 【详解】{}13A x x =<<，A B ⊆，即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立， 即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立， 即()1min2xa -≤- ，()1,3x ∈而12xy -=-是增函数，当1x =时，函数取得最小值1-，1a ∴≤-且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩ ，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.故选：B 【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解. 2．D 【解析】 【分析】 【详解】(0)P ξ<=(4)0.2P ξ>=，选D.3．A 【解析】 【分析】根据的定积分的计算法则计算即可． 【详解】＝（cosx ）故选：A ． 【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可． 【详解】解：∵双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左顶点（﹣a ，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （2P ，0）的距离为1，∴2P+a ＝1； 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是y ba=x ，而抛物线的准线方程为x 2p =-，因此﹣1b a =⨯（﹣2），﹣22p=-，联立得4224paa bp⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得a＝2，b＝1，p＝1．故双曲线的标准方程为：221 4xy-=．故选：B．【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据甲说的和丁说的都错误，得到物理书在丁处，然后根据丙说的错误，判断出数学书不在甲处，从而得到答案.【详解】甲说：乙或丙得到物理书；丁说：甲得到物理书．因为甲和丁说的都是错误的，所以物理书不在甲、乙、丙处，故物理书在丁处，排除A、B选项；因为丙说：数学书被甲得到，且丙说的是错误的，所以数学书不在甲处，故排除C项；所以答案选D项.【点睛】本题考查根据命题的否定的实际应用，属于简单题.6．B【解析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为13，∴小军和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大年比赛至第四局小军胜出，由指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是：2231212()33327p C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选B. 7．C 【解析】试题分析：根据题意，对于回归方程为2 2.5ˆyx =-，当x 增加一个单位时，则y 的平均变化为()()2.51 2.5 2.5y x y x -+--=-，故可知y 平均减少2.5个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用. 8．B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．9．D 【解析】 【分析】直接由复数的基本概念，对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】复数z 在复平面上对应的点为(2,1)Z -，2z i ∴=-，|z |=2z i =+，2z i -=-是纯虚数．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题． 10．B【解析】 【分析】取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C P C ==，重复6次这样的试验，利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率 【详解】从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个， 再将电子元件放回，取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C P C ==， 重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：()333611532216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案． 【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ． 12．D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C =5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D 【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．【解析】 【分析】根据图形，说明PC 是三棱锥的高，的面积在时取得最大值，求出OB 即可．【详解】，可得，即面POB ，所以面面POB ．，则面PAB ，，，又，，所以面即PC 是三棱锥的高．而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形．当时，由，知，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．14．15【解析】 【分析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简z ，从而得到答案. 【详解】 由题意复数3(3)(12)1712(12)(12)5i i i i z i i i ----===++-，因此复数z 的实部为15. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，实部的相关概念，难度不大. 15．4-. 【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值. 详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，可得22116x y +=，故左顶点为(4,0)-，直线x ty t a=⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为普通方程，可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上， 故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值. 16．8π 【解析】 【分析】分别求得4-和232x dx ππ-⎰的值，相加求得表达式的结果.【详解】由于y 4的圆的上半部分，故4-21π48π2=⨯⨯=.232x dx ππ-⎰π42π2|04x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故原式8π=.【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)1,+∞【解析】 【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ； （1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果； （2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】{}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭{}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（1）[]2,5AB =-当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）[]3,7AB =-()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥∴实数m 的取值范围为[)1,+∞【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误. 18． (1) 当a e ≥时，()f x 的最小值为ln ae e+； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a +;(2)见解析.【解析】分析：⑴求导后分类讨论a 的取值，结合单调性求出最小值 ⑵分离参量，转化为图像交点问题 详解：（Ⅰ）因为0x >，()221a x af x x x x='-=- ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(20,e ⎤⎦上是增函数，无最小值；②当0a >时，又()0f x '>得x a >，由()0f x '<得x a < ∴()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，若a e ≥，则()f x 在()0,e 上是减函数，则()()min ln af x f e e e==+； 若a e <，则()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a e 上是增函数， ∴()()min ln 1f x f a a ==+综上：当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e+； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a + （Ⅱ）由()ln 0af x x x=+=得ln a x x -= 令()21ln ,g x x x x e =>，则()ln 1g x x ='+，由()0g x '>得1x e >，由()0g x '<得1x e<，所以()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 且2212110,0g g e e e e ⎛⎫⎛⎫=-<=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且211g g e e ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以，当1a e >时，()f x 无有零点； 当1a e =或22a e <时，()f x 有1个零点；当221a e e≤<时，()f x 有2个零点. 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题。
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合P={x|x2-2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A. [3，4）B. （2，3]C. （-1，2）D. （-1，3]2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A. y=cos xB. y=C. y=2|x|D. y=|lg x|3.函数y=（sin x+cos x）（sin x-cos x）的最小正周期是（）A. B. π C. 2π D. 4π4.设S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5=25，a3+a4=8，则{a n}的公差为（）A. -2B. -1C. 1D. 25.设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件6.已知复数z满足,为虚数单位，则等于（）A. 1﹣iB. 1+iC. ﹣iD. +i7.已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.8.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 29.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图二）中输入的a1，a2，a3，…，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. m=38，n=12B. m=26，n=12C. m=12，n=12D. m=24，n=1011.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x-y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A. P1＜P2＜P3B. P2＜P3＜P1C. P3＜P1＜P2D. P3＜P2＜P112.已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=-处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2-2恒成立，则实数m（）A. 有最小值-eB. 有最小值eC. 有最大值eD. 有最大值e+1二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.若关于x的二项式（2x+）7的展开式中一次项的系数是-70，则a=______．14.sin30°cos15°-cos150°sin15°=______．15.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为______．16.已知从点P出发的三条射线PA、PB、PC两两成60°角，且分别与球O相切于A、B、C三点，若球O的体积为36π，则O、P两点间的距离是______．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.已知数列{a n}中，．设b n=a n+1-a n．（1）证明：数列{b n}是等比数列；（2）设，求数列{c n}的前n项的和S n．18.如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC=1，且cos∠BCD=-．（1）若AC平分∠BCD，且AB=2，求AC的长；（2）若∠CBD=45°，求CD的长．19.为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为A类学生，低于60分的称为B类学生．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系？B类A类合计男110女50合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中A类学生的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，其X的分布列、期望E（X）和方差D（X）．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考临界值：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=45°，PD=2，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF=3FB．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x=4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．22.已知．（1）求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=ln（x+1）-ax+e x，对于任意x1∈[0，+∞），x2∈[1，+∞），总有成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合P={x|x2-2x≥3}={x|x≤-1或x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．故选：A．求出集合P，然后求解交集即可．本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=cos x为余弦函数，为偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于B、y=，其定义域为[0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意；对于C、y═2|x|=，为偶函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D、y═|lg x|，其定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项的函数，判定选项中函数的奇偶性、单调性，即可得答案．本题考查函数奇偶性．单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性．单调性．3.【答案】B【解析】解：函数y=（sin x+cos x）（sin x-cos x）=sin2x-cos2x=-cos2x，故它的最小正周期是=π，故选：B．由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，若S5=25，即a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25，则a3=5，又由a3+a4=8，则a4=3，则等差数列{a n}的公差d=a4-a3=3-5=-2；故选：A．根据题意，由等差数列的前n项和公式可得a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25，解可得a3=5，又由a3+a4=8，可得a4=3，由等差数列的通项公式分析可得答案．本题考查等差数列的性质以及前n项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．数形结合的思想和等价转化的思想的运用，属于一般题．利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a=0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选：B．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【解答】解：（1+i）z=|+i|==2，∴z===1-i，故选：A．7.【答案】B【解析】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选：B．由两个非零向量，满足，可得，展开即可．本题考查了向量的模和数量积运算，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan=，所以该条渐近线方程为y=x；所以=，解得a=；所以c===2，所以双曲线的离心率为e===．故选：A．根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a、c的值，再计算双曲线的离心率．本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x+4y-3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（-1，-2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C．圆x2+y2+2x+4y-3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系与交点个数问题，属基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题.算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50-12-12=26，故m=26 故选：B．11.【答案】B【解析】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1-=1-=，S2=1×1-2×=1-=，S3=1×+dx=+ln x|=-ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．12.【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=-1，∴g（x）=e x-x2+2，g'（x）=e x-2x，g''（x）=e x-2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e-2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e-2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b=-1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于01，求出r的值，即可求得一次项，再根据一次项等于-70，求得实数a的值．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•a r•27-r•x7-2r，由7-2r=1，得r =3，所以一次项的系数为•24•a3=-70，得a=-，故答案为：-．14.【答案】【解析】解：sin30°cos15°-cos150°sin15°=sin30°cos15°+cos30°sin15°=sin45°=．故答案为：．利用正弦函数加法定理、诱导公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查正弦函数加法定理、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】0.864【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，属于基础题．首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1-P（）P（）=1-0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；故答案为：0.864．16.【答案】3【解析】解：连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形，∴O′A=AB=AP．∵AO′⊥PO，OA⊥PA，∴，∴OP=OA•=OA．又∵球的体积为36π，∴半径OA=3，则OP=3．故答案为：3．连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：O′A=AB=AP．由AO′⊥PO，OA⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=3，进而求出答案．本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）证明：因为，b n=a n+1-a n，所以，又因为b1=a2-a1=2-1=1，所以数列{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．（2）由数列{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，可知：，因为，所以=，所以==．【解析】（1）利用已知条件，结合等比数列的定义，证明即可．（2）求出数列的通项公式，化简，利用裂项相消法转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.【答案】解：（1）∵AC平分∠BCD，可得：∠BCD=2∠ACB=2∠ACD，∴cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-，∵cos∠ACB＞0，∴cos∠ACB=，∵在△ABC中，BC=1，AB=2，cos∠ACB=，∴由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC•AC•cos∠ACB，可得：AC2-AC-3=0，解得：AC=，（负值舍去），∴AC的值为.（2）∵cos∠BCD=-，∴sin∠BCD==，又∵∠CBD=45°，∴sin∠CDB=sin（180°-∠BCD-45°）=sin（∠BCD+45°）=（sin∠BCD+cos∠BCD）=，∴在△BCD中，由正弦定理，可得：CD==5，即CD的长为5．【解析】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．（1）由已知利用二倍角公式可求cos∠ACB=，由余弦定理可得：AC2-AC-3=0，即可解得AC．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BCD，结合∠CBD=45°，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠CBD的值，在△BCD中，由正弦定理可求CD的值．19.【答案】解：（1）根据频率分布直方图知，不低于60分的频率为（0.0125+0.0075）×20=0.4，则0.4×200=80，由此填写2×2列联表如下；B类A类合计男8030110女405090合计12080200由表中数据，计算K2==≈16.50＞6.635，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系；（2）将频率视为概率，从该校学生中任意抽取1名学生恰为A类学生的概率为=，由题意可知X～B（3，），P（x=i）=••（i=0，1，2，3）；从而X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为E（X）=np=3×=，方差为D（X）=np（1-p）=×（1-）=．【解析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及二项分布的期望与方差计算问题，属于中档题．（1）根据频率分布直方图求得不低于60分的频率和频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望和方差．20.【答案】（1）证明：设DM中点为N，连接EN，NF，BD，则NE∥AD，∵NE⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴NE∥平面ABCD，又∵，∴NF∥DB，∵NF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴NF∥平面ABCD，又∵NE、NF为平面NEF内两条相交直线，∴平面NEF∥平面ABCD．∵EF⊂平面NEF，则EF∥平面ABCD；（2）解：∵平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，且PD⊥DC，PD⊂平面PDC，∴PD⊥底面ABCD，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（1，0，0），C（，，0），∴，=（，，-2），设平面PBC的一个法向量为，由，取，得．又平面PAD的一个法向量为．设平面PAD与平面PBC所成的二面角为θ，则cosθ=．即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．【解析】本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）设DM中点为N，连接EN，NF，BD，由面面平行的判定可得平面NEF∥平面ABCD，从而得到EF∥平面ABCD；（2）由平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，可得PD⊥底面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PBC与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21.【答案】解：（1）不妨设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0，由题意可得，解得a2=4，b2=3，故椭圆的方程+=1，证明：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=my+1，由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my-9=0∵△=36m2+36（3m2+4）＞0∴y1+y2=-，y1y2=-，∵直线BM的方程可表示为y=（x-2），将此方程与直线x=4成立，可求得点Q的坐标为（4，），∴=（x2+2，y2），=（6，），∵6y2-（x2+2）=====0，∴∥，∵向量和有公共点A，∴A，N，Q三点在同一条直线上．【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题.（1）不妨设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0，由题意可得，解得即可，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=my+1，由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，根据韦达定理求出点Q的坐标，根据向量即可求出∥，且向量和有公共点A，即可证明．22.【答案】解：（1），x∈（0，+∞）．x e（e，+∞）f′（x）- 0+ 0-f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f（x）的极小值为：，极大值为：．（2）由（1）可知当x∈[1，+∞）时，函数f（x）的最大值为．对于任意x1∈[0，+∞），x2∈[1，+∞），总有成立，等价于g（x）≥1恒成立，．①a≤2时，因为e x≥x+1，所以，即g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，设，，所以g'（x）在[0，+∞）上单调递增，且g'（0）=2-a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得g'（x）=0所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又g（x0）＜g（0）=1，所以g（x）≥1不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a的取值范围是（-∞，2]．【解析】（1），x∈（0，+∞）．令f′（x）=0，解得x=，e．利用导数研究函数的单调性即可得出．（2）由（1）可知当x∈[1，+∞）时，函数f（x）的最大值为．对于任意x1∈[0，+∞），x2∈[1，+∞），总有成立，等价于g（x）≥1恒成立，．对a分类讨论：①a≤2时，利用e x≥x+1及其基本不等式的性质即可得出．②当a＞2时，设，，利用单调性与函数的零点即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019-2020学年广东省名校数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,3]-∞-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．903． “3,a =23b =”是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为72（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分不必要条件4．已知x ，y 满足不等式组{2,2y xx y x ≤+≥≤则z="2x" +y 的最大值与最小值的比值为A ．12B ．43C ．32D ．25．已知抛物线22(0)C y px p =>：，过点(3,0)P 的任意一条直线与抛物线交于,A B 两点，抛物线外一点(),0Q t ，若∠OQA =∠OQB ，则t 的值为( )A ．p -B ．pC ．32-D ．3-6．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -7．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( )A ．e -B ．eC ．1-D ．18．已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．iB ．i -C ．455i- D ．455i+ 9．已知平面向量(1,3),(2,0)a b =-=-v v，则2a b +=v v （ ）A ．32B ．3C ．22D ．510．命题:p 若0x <，则ln(1)0x +<，q 是p 的逆命题，则（ ） A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假11．已知随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（ ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 12．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人B ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝ (a n －1＋)(n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设22:(41)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -<-+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.14．从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．15．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：_____________________.(写出一条即可) 16．71()7x x-的展开式的第3项为______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）抛物线的焦点是椭圆2214x y +=的上顶点；（2）椭圆的焦距是8，离心率等于45． 18．已知()x f x e -=（e 为自然对数的底数），()()g x ax a R =∈. （1）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =+的极小值；（2）当0t ≥时，关于t 的方程(1)ln(1)()f t t e g t --++-=有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围.19．（6分）已知曲线()πsin 0,0,2y A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭上的最高点为(，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点()6,0,求函数解析式,并求函数在[]6,0x ∈-上的值域. 20．（6分）已知函数()ln 1f x e x ax =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对任意的[1,e]x ∈，都有()f x a <，求a 的取值范围.21．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2(2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数．在以原点O 为极点，为参数）．在以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为113sin 4cos ραα=+．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设()2,1A ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求||||AM AN ⋅的值．22．（8分）已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F 与圆2220x y x +-=的圆心重合.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设定点（3,2）A ，当P 点在C 上何处时，PA PF +的值最小，并求最小值及点P 的坐标；（3）若弦MN 过焦点F ，求证：11FM FN+为定值. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】利用函数的导函数在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a 的取值范围. 【详解】 依题意，()'cos sin 0fx a x x =-≥在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos sin a x x ≥，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x >，故sin tan cos x a x x ≥=，tan y x =在ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时为递增函数，其最大值为πtan 14=，故1a ≥.所以选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题. 2．B 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图即可得到答案． 【详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为106070+=人故选B. 【点睛】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题． 3．D 【解析】 【分析】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化为22221(0,0)y x a b b a -=>>,72234a b =,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论. 【详解】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化22221(0,0)y x a b b a -=>>则根据离心率的定义可知本题中应有2227,2a b c e b c +===,则可解得2234a b =,因为3,a =23b =可以推出2234a b =;反之2234a b =成立不能得出3,a =23b =故选:D .【点睛】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般. 4．D 【解析】 【分析】 【详解】解：因为x ，y 满足不等式组{2,2y xx y x ≤+≥≤，作出可行域，然后判定当过点（2,2）取得最大，过点（1,1）取得最小，比值为2，选D5．D 【解析】 【分析】设出点和直线，联立方程得到关于y 的韦达定理，将OQA OQB ∠=∠转化为,QA QB 斜率相反，将根与系数关系代入得到答案. 【详解】设221212(,),(,)22y y A y B y p p ，设直线AB ：3x ay =+又22y px =22(3)y p ay ⇒=+2260y pay p ⇒--= 224240p a p ∆=+>恒成立121226y y pay y p+=⎧⎨=-⎩ BQ AQ OQA OQB k k ∠=∠⇒=-即211212122221()()222y y y y y y t y y y y p tt pp=-⇒+=+--3t =-答案为D 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去x 可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题. 6．C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ．【点睛】本题考查程序框图，是基础题． 7．C 【解析】 【分析】先求导，再计算出()f e '，再求()f e . 【详解】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e'''''=+∴=+∴=-， 所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题. 8．A 【解析】 【分析】利用等式把复数z 计算出来，然后计算z 的共轭复数得到答案. 【详解】122iz i i-==-+，则z i =.故选A【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题. 9．A 【解析】 【分析】先由,a b r r 的坐标，得到2a b +r r的坐标，进而可得向量的模. 【详解】因为(1,3),(2,0)=-=-r ra b ，所以2(3,3)a b +=--r r，因此|2|a b +==r r故选A 【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型. 10．C 【解析】由题意，ln(1)0x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若ln(1)0x +<，则0x <为真命题，故选C. 11．B【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ= ，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.12．B 【解析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．A 选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；B 选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；C 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；D 选项“在数列 中， ， ，通过计算 由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．故错． 综上得，B 选项正确 故选B ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1[,0]2-. 【解析】分析：首先求得p 和q ，然后结合q 是p 的必要不充分条件求解实数a 的取值范围即可. 详解：求解二次不等式()2411x -<可得：102x <<， 求解二次不等式()()22110x a x a a -+++≤可得：1a x a ≤≤+，q 是p 的必要不充分条件，则：[]10,,12a a ⎛⎫⊆+ ⎪⎝⎭，即：0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，求解不等式组可得：实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：本题主要考查充分性、必要性条件的应用，集合思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．2 【解析】 【分析】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d ，确定d 的可能取值为1，2，3，，1，进而分析可得答案． 【详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d ，必有．则，则，则d 的可能取值为1，2，3，，1． 对于给定的d ，，当分别取1，2，3，，时，可得递增等差数列个如：时，，当分别取1，2，3，，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，，6；；26，21，，30，其它同理． 当d 取1，2，3，，1时，可得符合要求的等差数列的个数为：个；故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d 的取值范围，属于难题. 15．寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错 【解析】 【分析】分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适． 【详解】分析残差能够帮助我们解决的问题是：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错； 故答案为：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错． 【点睛】本题考查线性回归方程中残差的作用，是基础题． 16．337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r =可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1) 24x y = (2) 221259x y +=或221259y x +=【解析】 【分析】（1）根据题意，求出椭圆的上顶点坐标，即可得抛物线的焦点是（0，1），由抛物线的标准方程分析可得答案；（2）根据题意，由椭圆的焦距可得c 的值，又由离心率计算可得a 的值，据此计算可得b 的值，分情况讨论椭圆的焦点位置，可得椭圆的标准方程，综合即可得答案． 【详解】（1）根据题意，椭圆2214x y +=的上顶点坐标为（0，1）， 则抛物线的焦点是（0，1）， 则抛物线的方程为24x y =；（2）根据题意，椭圆的焦距是8，则2c=8，即c=4， 又由椭圆的离心率等于45，即45c e a ==，则a=5，则3b ==，若椭圆的焦点在x 轴上，则其标准方程为：221259x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为：221259y x +=．【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，涉及抛物线的标准方程，属于基础题． 18． (1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)由题意，当1a =时()()(),xh x f x g x ex -=+=+，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（1）当1a =时()()(),xh x f x g x ex -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()()=01h x h ∴=极小值（2）设()()()()()11ln 1e eln 1e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-， 令()11t x x +=≥，()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥，()1'e x F x a x =-+，设()()1e x t x F x a x =-+'=，()21e x t x x='-， 由1x ≥得，2211,01x x e e xQ ≥∴<≤≥ ()21'e 0x t x x =->，()t x 在()1,+∞单调递增， 即()F x '在()1,+∞单调递增，()11F e a '=+-，①当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，()1,x ∈+∞时，()()10F x F ''>≥，()F x 在()1,+∞单调递增,又()10F =，此时e 1a ≤+在当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解.②当10e a +-<，即1a e >+时，()()110,'ln 0ln F F a a a a a a=-+-='，又()ln ln 11a e >+> 故()()001,ln ,0x a F x '∃∈=，当()01,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又()10F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x =. 又()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且()22ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令()()211x k x e x x =-+≥， ()()2x s x k x e x ==-',()e 2e 20x s x =->->',故()k x '在()1,+∞单调递增，又()10k '> 故()k x 在()1,+∞单调递增，故()()10k a k >>，故()0F a >，又0ea a x >>，由零点存在定理可知，()()101,,0x x a F x ∃∈=.故当1a e >+时，x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有两个解为1x =和()10,x x a ∈综上所述：当e 1a ≤+时t ，的方程()()()1ln 1f t t e g t --++-=有且只有一个实数解【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)= 0的根.19．()ππ84f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，值域为⎡⎤⎣⎦ 【解析】【分析】 根据已知得到周期，由此求得ω，根据最值求得A ，根据函数的最高点求得ϕ，由此求得函数的解析式.由x 的取值范围,求得ππ84x +的取值范围，进而求得函数在给定区间上的值域. 【详解】 依题意知2ππ4,16,48T T ωω====,由最大值得A =由函数最高点(得πsin 218ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 故ππ2π,42k k Z ϕ+=+∈, 由π2ϕ≤，得π4ϕ=，故()ππ84f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当60x -≤≤时，ππππ2844x -≤+≤，所以ππ184x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数的值域为⎡⎤⎣⎦【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数值域的求法，属于中档题.20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(1,)+∞【解析】【分析】（Ⅰ）对a 分0a ≤和0a >两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.再对a 分三种情况讨论，利用导数研究不等式的恒成立问题得解.【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x a e x=-.（i ）当0a ≤时，'()0f x >恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.（ii ）当0a >时，在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上'()0f x >，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上'()0f x <， ∴()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ①当1e a≤，即a e ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递减， max ()(1)1f x f a ==-，1a a -<，解得12a >. ∴[,)a e ∈+∞. ②当e e a≥，即1a ≤时，()f x 在[1,]e 上单调递增， max ()()1f x f e e ae ==-+，1e ae a -+<，解得1a >.∴a ∈∅. ③当1e e a <<，即1a e <<时，()f x 在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,e e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. max ()ln 11ln f x f e e e e a e a a a a ⎛⎫==-⨯+=- ⎪⎝⎭. 则1ln e a a -<，即ln 10e a a +->.令()ln 1g x e x x =+-，(1,)x e ∈， 易得'()10e g x x=+>，所以()g x 在(1,)e 上单调递增. 又∵(1)0g =，∴对任意的(1,)x e ∈，都有()0>g x .∴(1,)a e ∈.综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．（Ⅰ）22(2)(2)8x y -+-=，43110x y +-=；（Ⅱ）7.【解析】【分析】（Ⅰ）直接把曲线C 的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线l 的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及t 的几何意义，即可求出。
2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=（ ）A. [)3,4B. (]2,3C. ()1,2-D. (]1,3- 【答案】A 【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（ ）A. cos y x =B. y =C. 2xy =D.lg y x =【答案】C 【解析】因为满足()()f x f x -=函数只有cos ,2x y x y ==，但是单调递增的函数只有||2x y =，所以应选答案C 。
3.函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（ ） A.2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得cos 2y x =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ． 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若525S =，348a a +=，则{}n a 的公差为（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和题设条件，求得345,3a a ==，进而求解数列的公差，得到答案。
【详解】依题意，可得()15355522522a a a S +⨯===，解得35a =， 又348a a +=，所以43a =，所以公差43352d a a =-=-=-，故选A 。
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
