高中数学空间向量课件

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a
1、空间共线向量充要条件：
对于空间任意两 a,b(个 b0向 ),a量 //bab
推论： 对于空间O一 点 , P点 在直l上 线的充要条 存在实 t，数使 OPOAta
2、 p与a,b共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 有（ 序 x,y实 )使数 px对 ayb
OAOBOCOD
向 量 的 平 行 与 重 合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那
么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
思考(2)
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
A•
P
a
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
作业:课本 P106 A 组第 1、2 题
例2：平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足以下各式的x的值。
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例2：平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足以下各式的x的值。
( 2 ) 2 A D 1 B D 1 x A C 1 ( 3 ) A C A B 1 A D 1 x A C 1

1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？

题型突破深化提升
章末整合
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,求BE与平面B1BD所
成角的余弦值.
解:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
=(-2,-2,0),1 =(0,0,2),=(-2,0,1).
·
||| |
1
= .
7
1
所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
7
-6-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
方法技巧1.线线角
(1)用“平移法〞作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法〞求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0.∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
∵1 = -
3
2

, 2 , 2 ,
∴cos<1 ,n>=
·1
|||1 |
-
3

2
= ||

1
=- =±2.
3 2||
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
-10-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
解:(1)如图,连接 BD 交 AC 于 O,因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角
形.
又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向

高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb

C B
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）

【解析】选 C.因为|a| ＝1，|b| ＝2，〈a，b〉＝60°，所以 a·b＝|a| |b| cos 〈a，b〉
＝1×2×cos 60°＝1，所以(a＋b) ·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2， 所以 a＋b 在 a 上的投影数量为(a＋|ab| )·a ＝2.
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量的方法 (1)根据向量夹角公式求得夹角的余弦值．
(2)投影数量：用b0表示与向量b(b≠0)同方向的单位向量，(1)图中向量 O A 1 的长度为 O A 1O A co s〈 a ,b 〉 ，把__O _A __c_o_s〈 __a _,_b_〉 __a _b _b _ __b_0_a _称作向量a在向量b
方向上的投影数量.
投影数量的符号由什么确定？
1．已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a 等于( )
A．12
B．8＋ 13
C．4
D．13
【解析】选 D.(2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×( 1 ) ＝13.
2
2．已知 a＝3p－2q，b＝p＋q，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 a·b＝( )
【解析】设 a 与 b 夹角为 θ，因为|a|＝3|b|， 所以|a|2＝9|b|2， 又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ， 即 9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有 cos θ＝－13 . 答案：－13
3．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角 θ 为π3 ，则 a 在 b 方向上的投影数量为( )

×
×
√
√
×
×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.

z
也就是说,以O为起点的有向
线段 (向量)的坐标可以和终 点的坐标建立起一一对应的 关系,从而互相转化.
i j Ok
A(x,y,z) y
x
讲
课
人
：
邢
启 强
21
学习新知
讲
课
人
：
邢
启 强
22
巩固练习
1、在空间坐标系Oxyz中，AB i 2 j 3k
( i,j,k 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的 单位向量)则 AB 的坐标为 (1,-2,-3) ，点B 的坐标为 不确定 。
讲
课
人
：
邢
启 强
31
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c ,
⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的 某一个向量,二者是相关连的不同概念.
(4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表 示.
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{讲 x,y,z}使得 p xi y j zk. 我们称

课后提能训练
2．在空间直角坐标系中，已知 A(2,3,5)，B(3,1,4)，则 A，B 两点间
的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
【答案】B
D． 42
【解析】|AB|＝ 3－22＋1－32＋4－52＝ 6.
|自学导引|
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|素养达成|
课后提能训练
3．若点 A(1,2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6.
|自学导引|
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课后提能训练
|课堂互动|
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课后提能训练
题型1 空间向量的坐标运算
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，
|自学导引|
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课后提能训练
1．向量夹角的计算步骤 (1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上． (2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标． (3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角． 2．求空间两点间的距离的关键及步骤 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出 点的坐标是关键．
－x1，y2－y1，z2－z1)，|P→1P2|＝_____x2_－__x_1_2_＋___y2_－__y_1_2_＋___z2_－__z_1_2____.

解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
重点：共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解 定理．
人 教 B 版 数 学
难点：空间向量分解定理．
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
1．共线向量定理 (1)在前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这
个条件在空间也是成立的，即有：共线向量定理：对空间
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
3．空间向量基本定理
①用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性 表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． ②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的 一个基底．
人 教 B 版 数 学
③由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两
第三章
空间向量与立体几何
4．如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，
b，c的线性组合xa＋yb＋ zc能生成所有的空间向量，a，b， c叫做空间的一个________，记作________________，其中 a，b，c都叫做________． 5．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
连结 AC，AD′.
→ ＝1(AC＋AA′)＝1(AB＋A→＋AA′) → → → (1)AP 2 → D 2 1 ＝ (a＋b＋c)； 2 → ＝1(AC＋AD＋AA′)＝1(a＋2b＋c)＝1a＋b＋1 → (2)AM 2 → → 2 2 2 c； → ＝1 (AC′＋AD′ )＝1 [(AB＋AD＋AA′ )＋(AD → → → → → → (3)AN 2 2 → )]＝1(AB＋2AD＋2AA′)＝1a＋b＋c； → → → ＋AA′ 2 2

面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与―CD→的夹 角，如图①.
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量
为n 2，〈n 1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角 |n 1·n 2|
大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1||n 2| ，如图②③. (3)二面角的平面角的取值范围是___[_0__，___π__]____．
―→ ―→
EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
∴〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°，故选 B. 答案：B
2. 如 图 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 是 正 三 角 形 的 直 棱 柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2， 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________．
∴∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
∴cos∠C1AD＝ |
―→ ―→
AC1 ·AD ―→ ―→
＝
AC1 || AD |
1＋ 12× 0＋89＝
23，
又∵∠C1AD∈0，π2，∴∠C1AD＝π6.
答案：π6
四、“基本活动体验”不可少 在用直线的方向向量求两条异面直线的夹角时，向量的夹
角就等于两异面直线的夹角，这种认识正确吗？ 解：不正确．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向 量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，
D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面

，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为 ，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则

向量 b 的投影呢？向量 a 向向量 b 的投影呢？
Ԧ
如图1.1— 11 1 ，在空间，向量向向量
Ԧ
投影，由于它们是自由向量，
因此可以先将它们平移到同一平面内，进而利用平面上向量的投
Ԧ
Ԧ
影，得到与向量共线的向量
，
Ԧ Ԧ = Ԧ cos ,
Ԧ Ԧ
，向量称为向量
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ



AB1 BC1 BB 1 BA BB 1 BC ,
BB 1 BA BC 1 2 2 cos 60 0,
2
AB1 BC1
C
A
B
2.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向
量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
6
解析
由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
3.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
解： | AC || AB AD AA |
空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的
垂直及平行
知识回顾
1.平面向量的夹角：

A．1
B．2
C．3
D．4
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 【答案】C
【解析】两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故① 不正确；若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则不一定能判断出 a＝b，故②不 正确；在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1成立，故③正确； ④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一 定相等，故⑤错误．
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 __互__相__平__行__或__重__合____，那么这些向量叫做共__线__向__量__或平 行向量
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课后提能训练
【预习自测】
【预习自测】 思维辨析(对的画“√”，错的画“×”) (1)向量A→B与B→A的长度相等． (2)【不答相案】等(1)的√ 两(2个 )× 空间向量的模必不相等．
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2．下列命题是真命题的是______(填序号)． ①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个 向量一定不相等； ②若|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝|b|； ③若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向则A→B>C→D.
给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别
相同；②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p， 则 m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
→
→
→
设向量P→
1P2与P1P3的夹角为θ，因为P1P2＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，P1P3＝(0，1，3)－(1，
－1，2)＝(－1，2，1)，所以 cos θ＝
→
P→
1P2·P1P3
＝0.因为 0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.故选 D.
标为( D )
1
1
A．( ，1，－ )
2
2
1
1
C．(－ ，1， )
2
2
1
1
B．( ，－1， )
2
2
1
1
D．( ，1， )
2
2
由题可知，M 为 DC1 的中点，
1
1
1
1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→，
∴AM＝AD＋DM＝AD＋ (DD1＋DC)＝AD＋ (AA1＋AB)＝ AA1＋AD＋ AB
2
2
2
2
1
1
∴坐标为( ，1， )．
B
)
A． (0，－4,6)
B． (0，－2,3)
C． (0,2,3)
D． (0，－2,6)
【答案】B
−3+3 1−5 −4+10
【解析】根据线段的中点坐标公式可得线段 AB 的中点 M 的坐标是(
即(0，－2,3)．故选 B.
2
，2 ，
2
)，
例题解析
例 4.点 A(2，－3,1)关于原点的对称点 A′的坐标是(