山东省实验中学高三5月第一次模拟考试 数学理

2024年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．0； 13．32，，答案不唯一；14．4．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】（1）此次测试的平均成绩为：0.2650.3750.4850.19579⨯+⨯+⨯+⨯=； ··································· 5分（2）由题意可知，录取率为0.3，能进入第一梯队的概率为0.1； ··········· 7分设录取分数为x ，因为分数落在[90100]，的概率为0.1， 分数落在[8090)，的概率为0.4，所以[8090)x ∈，，令0.1(90)0.040.3x +-⨯=，解得85x =， ·········· 10分 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． ····························· 13分16．【解析】若选择① （1）因为2cos()cos c a C b B+π-=， 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B ++=, ·················· 2分 所以sin()2sin cos 0B C A B ++=，即sin (2cos 1)0A B +=，从而1cos 2B =-， ································································ 5分因为()0B ∈π，，所以23B π=． ·············································· 7分（2）在ABD △中，sin sin AD cB ADB=∠，所以sin sin 2c B ADB AD ∠== ··············································· 10分 所以4ADB π∠=，所以12BAD DAC π∠=∠=，所以6ACB BAC π∠=∠=， ····················································· 13分 所以ABC △是等腰三角形，且a c =，所以2cos 6b a π==．······················································· 15分 若选择② （1）因为sin sin sin sin A C b cB C a+-=+， 由正弦定理得222b ac ac =++， ··············································· 2分又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，从而1cos 2B =-， ·································································· 5分()0B ∈π，，所以23B π=． ······················································ 7分 （2）同①中第二问． 若选择③（1）因为22sin sin 2Ba A ，所以()1cos sin a B A -，由正弦定理得()sin 1cos sin A B B A -， ····························· 2分cos 1B B +=，所以1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ··························· 5分因为()0B ∈π，，所以7666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以566B ππ+=，所以23B π=. ················································· 7分 （2）同①中第二问． 17．【解析】（1）取线段1A B 的中点为H ，连接EH FH ，，因为F 为线段1AC 的中点，所以FH BC ，且12FH BC =； ············· 2分 又E 是AD 的中点，所以ED BC ，且12ED BC =； 所以 ED FH ，且ED FH =，故四边形EDFH 为平行四边形；所以DFEH ， ······································································· 5分 因为DF ⊄平面1A BE ，EH ⊂平面1A BE ， 所以 直线DF 平面1A BE ；························································ 7分（2）因为E 是AD 的中点，所以BE AD ⊥，所以1BE A E ⊥； 因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 平面1A BE平面BCDE BE =，所以1A E ⊥平面BCDE . ··························································· 8分 以E 为原点，1EB ED EA ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则(000)E ，，，1(001)A ，，，00)B，20)C ， 则1(001)EA =，，，1(01)BA =-，(020)BC =，，， ·················· 9分设平面1A BC 的法向量为()x y z =，，n ，则100BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取1x =，则(10=n ， ····················································· 11分 设直线1A E 与平面1A BC 所成角为θ， 则1113sin |cos |2||||EA EA EA θ⋅=<>==，n n n ， ·································· 13分 所以直线1A E 与平面1A BC 所成角为3π. ······································· 15分 18．【解析】（1）由题意可知，42p =，所以 2p =， ········································· 2分所以 抛物线E 的方程为24y x =. ··············································· 4分 （2）（i ）设()()1122A x y B x y ，，，，将直线AB 的方程代入24y x =得：222(24)0k x km x m +-+=，所以212122242km m x x x x k k-+==，， ········ 6分 因为直线PA 与PB 倾斜角互补， 所以21212121222201111PA PB y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 即1221212112(2)()2(2)011(1)(1)x x k k m k k m x x x x +-++-+=++-=----， 所以24222(2)0(2)(2)km k k k m k m k m --++-=+-++， 即2422202km k k k m --+=++，所以1k =-； ····································· 10分 （ii ）由（i ）可知22(24)0x m x m -++=，所以2121242x x m x x m +=+=，， 则AB =因为22(24)40m m ∆=+->，所以1m >-，即13m -<<，又点P 到直线AB， 所以12S ==， ························ 13分 因为21(3)(1)(3)(3)(22)2m m m m m -+=--+，31332232()2327m m m -+-+-=，所以869S，当且仅当322m m -=+，即13m =时，等号成立，所以PAB △面积最大值为 ·············································· 17分 19.(1)解：因为1(2,)2X B ~， 所以X 的分布列为：(3分)所以2221111113()(log log log ).4422442H X =-++=(4分) (2)（i ）解：记发出信号0和1分别为事件A i ,收到信号0和1分别为事件B i ,i =0,1, 则011(),()1P A p P A p ==-，(5分)00111001(|)(|),(|)(|)1P B A P B A q P B A P B A q ====-，(6分)所以0000101()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+(1)(1)12.pq p q p q pq =+--=--+(7分)所以000000()(|)(|).()12P A P B A pqP A B P B p q pq==--+(9分)(ii)证明：由(i)知，0()12P B p q pq =--+， 所以10()1()2P B P B p q pq =-=+-，(10分) 所以221(||)log (1)log 122p pKL X Y p p p q pq p q pq-=+---++-，(11分) 设1()1ln f x x x =--，则21()xf x x-='， 当x ∈(0,1)时，()0f x '>,()f x 单调递增; 当(1,)x ∞∈+时,()0f x '<,()f x 单调递减.所以()(1)0f x f ≤=，即1ln 1x x≥-， 所以2ln 11log (1)ln 2ln 2x x x=≥-.(13分) 所以11212(||)(1)(1)(1)0ln 2ln 21p q pq p q pqKL X Y p p p p--++-≥⋅-+-⋅-=-，(15分) 当且仅当11122p p p q pq p q pq -==--++-，即1,012p q =<<时等号成立.即KL (X ||Y )≥0得证.(17分) 【评分细则】1.第一问没有交待X 的分布列，直接得到H (X )的值，得1分;若交待11(0),(1),(2)42P X P X P X ======14没有列表，不扣分;2.第二问(i)直接得到0()12P B p q pq =--+没有交待过程，扣1分，第二问(ii)没有交待等号成立条件，扣1分。

一、单选题1. 已知集合，下列选项中均为A 的元素的是（ ）（1）（2）（3）（4）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）2. 已知e 是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t 满足，且，则 的最小值是（ ）A．B．C．D．3. 在三棱锥中，侧棱底面，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．4. 已知且，且，且，则（ ）A．B．C．D．5. 如图，在正三棱柱中，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6. 已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则；②若，，且，则；③若，，且，则；④若，，且，则．其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④7. 为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果服从正态分布.若在内取值的概率为0.4，则在90分以上取值的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.2D ．0.48. 读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将该正方体切割成27个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里，搅拌均匀；第五步，从箱子里随机取一个小正方体．问：取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是（ ）A．B．C．D．山东省实验中学2022届高三5月模拟考试数学试题山东省实验中学2022届高三5月模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、解答题9.已知向量，，，其中，则下列命题正确的是（ ）A ．在上的投影向量为B．的最小值是C ．若，则D ．若，则10. 定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n 项和为，下列关于数列的描述正确的有（ ）A ．数列为等差数列B ．数列为递增数列C．D．，，成等差数列11. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（）A．B．该截角四面体的表面积为C．D．该截角四面体的外接球表面积为12.已知函数的图象关于直线对称，且相邻两个零点之间的距离为，则（ ）A ．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象D ．函数在上的最小值为-113.设集合，，则________.14.已知数列的前n项和，若，设数列的前n 项和为，则___________.15.在平面直角坐标系中，点为以为圆心的单位圆在第一象限上一点，，，若点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则______.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交C 于M ， N 两点，交x 轴于点A ，线段MN 的垂直平分线交x 轴于点D ，若，证明：直线l 过四个定点中的一个．17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．18. 已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点，过作直线的垂线，垂足为为轴上点.且四边形为平行四边形.直线与抛物线的另一个交点分别为(1)求抛物线的方程;(2)求三角形面积的最小值.19. 设数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.20. 已知函数在上是增函数，且．(1)求a的取值范围；(2)求函数在上的最大值．(3)已知，证明：．21. 如图，直三棱柱中，.过点的平面和平面的交线记作.(1)证明：；(2)求顶点到直线的距离.。

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

一、单选题二、多选题1. 如图为2022年全国居民消费价格涨跌幅统计图，则下列说法错误的是（）A ．环比的极差小于同比的极差B．环比的中位数为C ．环比的方差小于同比的方差D．同比的平均数约为2.已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则实数( )A ．-4B ．-6C ．4D．3. 复数满足，则（ ）A ．1B．C ．D．4. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．600B ．400C ．300D ．2005. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6.已知，则的值是A．B．C．D．7. 已知，是z 的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．8. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于C ．若，，则事件、相互独立D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为9. 已知，则函数的图象可能是（ ）A．B．山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 (2)山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题 (2)三、填空题C．D．10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ）A ．无解B ．的解为C．的最小值为2D．的最大值为211. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的极值点为1B．C ．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为D ．若对任意的恒成立，则的最小值为12. 某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为．在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下列联表，下列结论正确的是（ ）满意不满意合计男10女合计90参考公式与临界值表，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20C．的观测值为9D ．根据小概率的独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”13. 已知平面向量，满足，，则的最小值是___________.14.已知集合，则_________．15. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;四、解答题④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;16.在中，内角的对边分别为，且满足.(1)求的大小；(2)若的面积为，且，求的最小值.17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知中，D 为AB 边上的一点，且BD =2AD ，___________．(1)若，求∠BCD 大小；(2)若CD =CB ，求cos ∠ACB ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，是棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小.19. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.20. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：21. 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从道备选题中一次性抽取道题独立作答，然后由乙回答剩余题，每人答对其中题就停止答题，即闯关成功．已知在道备选题中，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率都是．（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（Ⅱ）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．。

一、单选题二、多选题1. 若实数，满足，则（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12.已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）①，②，③，④A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④3. 若角的终边过点，且则实数的值为（ ）A．B．C．D．4. 函数与函数存在相同的极值点，则的值为（ ）A．B．C ．D．5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，则下列命题中真命题的个数是（ ）①图象关于对称；②是奇函数；③在上是增函数；④的值域是.A．B．C．D．6. 已知在正方体中，E ，F 分别为，的中点，点P 在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（ ）A．B．C．D．7. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为），是基准声压为，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的（）A ．音量同为20的声音，1000~10000的高频比30~100的低频更容易被人们听到.B ．听觉下限阈值随声音频率的增大而先减小后增大.C ．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.D ．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.8. 从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x 用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ）山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(高频考点版)山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．指标值在区间的产品约有48件B ．指标值的平均数的估计值是200C ．指标值的第60百分位数是200D ．指标值的方差估计值是1509. 已知O 是内部一点，且满足，又，则的面积为______.10. 已知函数的定义域为，若存在实数，使，则叫做函数的一个好点.如果函数不存在好点，那么实数的取值范围是_____.11. 已知定义在R 上的函数F （x ）满足，当时，．若对任意，不等式组均成立，则实数k 的取值范围______．12. 同起点而不平行的两个向量求和用通常采用______法则，当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用______法则.由此可知，若干个起点，终点依次相接的向量和是以______为起点，______为终点的向量.13. 求满足以下条件的m 值．(1)已知直线2mx ＋y +6＝0与直线 (m －3)x -y +7=0平行；(2)已知直线mx ＋(1－m )y ＝3与直线(m －1)x ＋(2m ＋3)y ＝2互相垂直.14. 复数化为三角形式.15. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的.广告投入万元12345销售收益万元23257(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(2)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:表中的数据显示与之间存在线性相关关系,求关于的回归方程；(3)若广告投入万元时,实际销售收益为.万元,求残差.附:，16. 如图，在正四棱柱中，，，E，F，G，H分别为棱，，，的中点．(1)证明：E，F，G，H四点在同一个平面内；(2)若点在棱上且满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．。

一、单选题二、多选题1. 已知H为的垂心，若，则（ ）A．B．C．D．2. 某志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（ ）A ．72种B ．60种C ．54种D ．48种3. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ）A．B．C ．1D ．24. 已知为定义在R 上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是（ ）A．B．C．D．5. 设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”型的装饰品，假设一个“三角垛”装饰品共有n 层，记使用的乒乓球数量为，则（）（参考公式：）A．B．C．D．7. 已知函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：①②③④.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(2)山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(2)三、填空题9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A．的增区间为，B．的对称轴为，C ．，使得对恒成立D．，若，则，10.若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A．B．C ．，D．11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（ ）A ．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为C ．若四面体在点处的离散曲率为，则平面D ．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为12. 2022年11月，某县教体系统举办“庆祝二十大，建功新时代”教师演讲比赛，由于疫情防控原因，比赛现场只有7名评委给每位参赛选手评分，全县100名云端教师评委通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制，某位选手比赛后，现场7名专家评委的原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分如下表．云端网络评分都在内，按分成三组做成频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）专家评委12345有效评分9.59.29.18.99.4A ．在去掉一个最高分和一个最低分之前，7名专家评委原始评分的极差一定大于0.6B ．现场专家评委的5个有效评分与个原始评分的中位数相同C ．全县100名云端教师评委网络评分的第75百分位数约为9.5D ．从云端教师评委中随机抽取10名，用频率估计概率，表示评分不小于9分的人数，则513. 某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．14. 已知抛物线：的焦点为，经过抛物线上一点，作斜率为的直线交的准线于点，为准线上异于的一点，当时，______．15. “青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐可以中奖．若从一箱中随机抽取罐，则能中奖的概率为______．四、解答题16. 如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．17. 已知函数，.(1)讨论极值点的个数；(2)若恰有三个零点和两个极值点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，且，证明：.18. 已知直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，，，.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面EFC.19.已知椭圆，其离心率为，直线被椭圆截得的弦长为．(1)求椭圆的标准方程．(2)圆的切线交椭圆于，两点，切点为，求证：是定值．20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点，，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求的取值范围.。

一、单选题1. 复平面内表示复数（）的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占A．B．C．D．3. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4. 已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点，当取得最小值时，则的离心率为（）A．B．C．D．5. 已知直线m ，n 是平面的两条斜线，若m ，n 为不垂直的异面直线，则m ，n 在平面内的射影（ ）A ．不可能平行，也不可能垂直B ．可能平行，但不可能垂直C ．可能垂直，但不可能平行D ．可能平行，也可能垂直6. 已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．山东省实验中学2022届高三5月模拟考试数学试题(1)山东省实验中学2022届高三5月模拟考试数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题7. 已知全集，，，则等于（ ）A．B．C．D．8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）A．B．C．D ．69. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递增B．存在唯一的零点，且C ．过原点可作曲线的两条切线D．若有两个不等实根，则10. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）A．是周期函数，且是它的一个周期B ．的图象关于直线对称C．的最大值为2D．在区间上单调递减11. 已知抛物线C ：的焦点为F ，过F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段的中点为M ．若点T 的坐标为，则（ ）A ．点M 的横坐标为2B ．点M 的纵坐标为3C ．直线l 的斜率等于2D．12.已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有（ ）A．B．函数为奇函数C．D ．若，则直线为图象的一条切线13.已知向量满足，记向量的夹角为，则__________．14. 已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，，，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为______.15.已知随机变量的分布列为，则_________，随机变量的方差的最大值是_________．16. 近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投入市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.不满意满意合计男18女40合计100已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为0.150.100.050.100.0012.072 2.7063.841 6.63510.828附：，其中.(1)完成上面的2×2列联表；(2)根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?17. 记的内角、、的对边分别为、、，已知、、是三个连续的正整数，且，．(1)求；(2)将线段绕点顺时针旋转到，求的面积．18. 已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，.19. 如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.20. 刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形ABCD是正方形，平面和平面交于．(1)求证：；(2)若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的绝对值．21. 已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.。

一、单选题二、多选题1.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2. 下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．3.已知向量，，若，则锐角α为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°4. 已知复数满足，则（ ）A ．0B ．iC．D．5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在C 的左支上，，的周长为，则C 的离心率为（ ）A ．2B．C．D．6. 如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设，，F 是DE 的中点，则（）A．B．C．D．7. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．8. 在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X 为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）A．B．C ．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(3)山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(3)三、填空题四、解答题10.已知函数，则（ ）A．的最小值为-1B ．点是的图象的一个对称中心C ．的最小正周期为D ．在上单调递增11. 2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（）A．频率分布直方图中的B ．估计100名学生成绩的中位数是85C ．估计100名学生成绩的80%分位数是95D ．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是12. 已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，则该双曲线的标准方程为______；若为坐标原点，点为双曲线上一点，且在第一象限，，则______．15. 写出一个单调递减的奇函数______．16. 已知椭圆E ：经过点，右焦点为，A ，B 分别为椭圆E 的上顶点和下顶点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知过且斜率存在的直线l 与椭圆E 交于C 、D 两点，直线BD 与直线AC 的斜率分别为k 1和k 2，求的值.17.已知函数且.（1）求函数的单调区间；（2）证明：.18. 已知分别为三个内角的对边，.（1）若是上的点，且平分角，，，求；（2）若，，求的面积.19. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.(1)现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.20. 已知函数，是的极小值点.(1)求的值；(2)当时，，求的取值范围；(3)求证：.21. 已知矩形与直角梯形，，点为的中点，，在线段上运动.(1)证明：平面；(2)当运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值.。

山东省试验中学2021级第一次模拟考试数学试题(理科)2022．4说明：试题分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页．试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 黑色签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．第I 卷 (共50分)一、选择题(本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意)1.设全集{}{}{}()1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,6,1,4,5,U U M N C M N ===⋂=则A. {}1B. {}1,5C. {}4,5D. {}1,4,52.设i 是虚数单位，若复数()174a a R i -∈-是纯虚数，则实数a 的值为A. 4-B. 1-C.1D.43.已知命题:1x p e >，命题ln 0q x <：，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.通过随机询问110名同学是否爱好打篮球，得到如下的2×2列联表：参照附表，得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”C.有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”D.有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”5.执行如右图的程序框图，输出S 的值是A.2B.1C.12D. 1- 6.若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6，则k的值为A. 7-B. 1-C.1D.7 图象向右平移4π个单7.偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+≠>≤≤的位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A.1B.2C.3D.48.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22AB CC ==，P ，E 分别为11,AC CC 的中点，则三棱锥P BDE -的体积为A. 223B.2 C. 22 D. 23 9.已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是A.1B.0C. 2D. 21-10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()()24,0f x m x x m =-+->，若函数()4y f f x m =-⎡⎤⎣⎦恰有4个零点，则实数m 的取值范围是A. 1550,,462⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1550,,642⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D. 1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.已知函数()4log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则116f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 12.由曲线y x =，直线2y x =-和y 轴所围成的图形的面积为_________.13.已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的开放式中二项式系数之和为128，则开放式中x 的系数为________（用数字作答）. 14.设01x <<，则141x x +-的最小值为________.15.已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为__________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为sin sin ,,,tan cos cos A BA B C C A B +=+.（I ）求角C 的大小；（II ）若3c =，求22a b +的取值范围.17. （本小题满分12分）ABCD ，2PA AB ==，如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面点E 是棱PB 的中点.（I ）证明：AE ⊥平面PBC ；（II ）若AD=1，求二面角B EC D --的余弦值.18. （本小题满分12分）现有编号依次为：1，2，3，…，n 的n 级台阶，小明从台阶1动身顺次攀登，他攀登的步数通过抛掷骰子来打算：骰子的点数小于5时，小明向前一级台阶；骰子的点数大于等于5时，小明向前两级台阶.（I ）若抛掷骰子两次，小明到达的台阶编号记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（II ）求小明恰好到达编号为6的台阶的概率.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()()()12211n n nS n S n n n N *+-+=+∈.数列{}n b 满足()21320,5n n n b b b n N b *++-+=∈=，其前9项和为63.（I ）求数列{}{}n n a b 和的通项公式； （II ）令n n n n n b a c a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有[]2,n T n a b -∈，求b a -的最小值. 20. （本小题满分13分） 已知抛物线()2:2C x py p =>0的焦点为F ，直线4x x =与轴的交点为M ，与C 的交点为N ，且54NF MN =. （I ）求C 的方程； （II ）设()()2121A B -，，，，动点()(),22Q m n m -<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点()()0,0P t t <，使得l 与PA ，PB 都相交，，交点分别为D,E ，且QAB PDE ∆∆与的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分14分） 设函数()()2ln 1f x x b x =++. （I ）若对定义域内的任意x ，都有()()1f x f ≥成立，求实数b 的值； （II ）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （III ）若1b =-，证明对任意的正整数33311111,123n k n f k n =⎛⎫<+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭∑.。

2008年5月山东省实验中学高三模拟考试数学试题（理科）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷。

其中第一卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计150分。

答题时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1．已知复数z 满足z i z i 则,)31(=+=A ．223i- B ．223i + C ．443i - D ．443i + 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1=3，前三项的和为21，则a 3+ a 4+ a 5=A ．33B ．72C ．84D ．1893．已知不重合的两直线m 、n 和不重合的两平面α、β，α⊥m ，n 在β内．下列命题中，正确的是A ．若βα//，则n m ⊥B ．若βα⊥，则n m //C ．若n m ⊥，则βα⊥D ．若n m ⊥，则βα// 4．如图所示的程序输出结果为sum=1320，则判断框中应填A ．i ≥9B ．i ≥10C ．i ≤10D ．i ≤95．函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则其解析式可以是A ．3sin(2)3y x π=+B ．3sin(2)3y x π=-+C ．13sin()212y x π=+D ．13sin()212y x π=-+6．当x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥02,,0k y x x y x （k 为常数）时，能使y x z 3+=的最大值为12的k 的值为A ．－9B ．9C ．－12D ．127．若半径为R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为A ．π2734 B ．π2732 C ．π33 D ．π63 8．若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数. 在下列四个函数中，完美函数是A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．xx f 2)(=D ．2)(x x f =9．对任意R y x ∈ , ，定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对 任意R x ∈成立，则实数 a 的取值范围是A ．) 1 , 1(-B ．) 2 , 0(C ．) 21, 23(-D ．) 23 , 21(-10．王明、李斌和赵亮三位同学委托张军打听某高校自主招生信息，四人约定知道该信息者打电话通知未知者．某天他们之间共通了三次电话后，每人都获悉同一条某高校自主招生信息，那么张军首先知道该信息且第一个电话是张军打出的通话方案共有 A ．16种 B ．17种 C ．34种 D ．48种11．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2218n n S S n +-=．(1)求n S ；(2)在数列{}na 的每相邻两项k a 、1k a +之间依次插入1a 、2a 、L 、k a ，得到数列{}1:n b a 、1a 、2a 、1a 、2a 、3a 、1a 、2a 、3a 、4a 、L ，求{}n b 的前20项和20T ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =．(1)求证：PB AC ^；(2) 由平面PCD ^平面ABCD 得BC ^平面PCD ，从而得到BC PC ^，故PCD Ð为二面角P BC D --的平面角.建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量和BP uuu r 的坐标，代入夹角公式得到夹角的余弦值，即为直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：如图，取AC 的中点M ，连接,MB MP .∵在PAC △中，PA PC =，MA MC =，∴MP AC ^，同理可在ABC V 中，AB BC =，MA MC =，∴MB AC ^，且MP MB M Ç=，MP MB Ì、平面PMB ，∴AC ^平面PMB ，又PB Ì平面PMB ，∴PB AC ^.（2）因为平面PCD ^平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC Ð=°，AB CD ∥，所以BC CD ^，因为BC Ì平面ABCD ，所以BC ^平面PCD ，因为PC Ì平面PCD ，所以BC PC ^，故PCD Ð为二面角P BC D --的平面角，45PCD Ð=°，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，以BA 所在直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，。

山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学参考答案 2023.5一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项13．16 14．1（答案不唯一，2,3均可） 15. 2 16．5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解析】 （1）因为2218n n S S n +-=，当2n ≥时，()()2222221211n n n S S S S S S -=-++-+()81811n =-++⨯+()812311n =++++-+⎡⎤⎣⎦(1)812n n -=⨯+()221n =-， 因为0n a >，所以0n S >，故21n S n =-． ………………………… 3分 当1n =时，111S a ==适合上式，所以21n S n =-，N n *∈. ………………………… 5分 （2）因为21n S n =-，N n *∈，所以当2n ≥时，()()121232n n n a S S n n -=-=---=． 所以11,2 2.n n a n =⎧=⎨≥⎩，， ………………………… 7分所以数列{}n b ：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， 设(1)12202n n n ++++=≤，则5n ≤， 所以{}n b 的前20项是由6个1与14个2组成．所以206114234T =⨯+⨯=. ………………………… 10分18．【解析】（1）证明：取AC 的中点M ，连接MB MP ，，在PAC △中，PA PC =，MA MC =，∴MP AC ⊥， 同理可在ABC △中，AB BC =，MA MC =，MB AC ⊥，且MP MB M =， ∴AC ⊥平面PMB ，又PB ⊂平面PMB ，∴PB AC ⊥ ………………………… 4分 （2）因为平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC ∠=︒，//AB CD ， 所以BC CD ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥面PCD ，PC ⊂面PCD ，所以BC PC ⊥，故PCD ∠为二面角P BC D --的平面角，45PCD ∠=︒，………………………… 6分 以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴，建立如图所示的坐标系， 则(2,2,2)P ，(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，(2,1,0)D 设平面PAD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，020200DP y z x y AD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩n n ， 令1x =，得(1,2,1)=-n ……………… 9分又(2,2,2)BP =， 所以直线BP 与平面PAD 所成角θ的正弦值为|2sin |cos ,|3|||||BP BP BP θ⋅=<>==⋅n n n . ………………………… 12分19．【解析】（1）由直方图可知成绩在[30,40]，(40,50]，(50,60]，(60,70]的学生频率和为 0.060.120.180.340.7+++=，所以抽取的100名学生成绩的第80百分位数在(70,80]内， 设第80百分位数为x ，则(70)0.0160.176.25x x -⨯=⇒=，即第80百分位数为76.25． ………………………… 2分 （2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在(40,50]，(50,60]两组的频率之比为0.12:0.182:3=， 所以10人中竞赛成绩在(40,50]的人数为410410⨯=人；在(50,60]的人数为610610⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3， ………………………… 3分36310C 201(0)C 1206P X ∴====； 2164310C C 601(1)C 1202P X ====；1264310C C 363(2)C 12010P X ====； 34310C 41C 12030(3)P X ====；()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………… 8分 （3）用频率估计概率，竞赛成绩在[30,40]内的概率0.0610.060.123p ==+；则()20202020202020C 212()C 1C ()()333k kkk kkk k P k p p ---=-=⨯⨯=，………………………… 9分 119202020202020!C 2(1)1120121(1)!(19)!3(1)20!C 2()22121!(20)!3k k k k P k k k k P k k k k k +--+-+-==⨯=⨯=-+++-.令(1)121(1)1()21P k P k k +=-++≥，解得6k ≤， ………………………… 11分 所以当6k =或7k =，()P k 最大 ………………………… 12分 20．【解析】（1）在ACD 中，2222cos12049AC AD DC AD DC =+-︒⋅⋅=，所以7AC =， 由正弦定理，sin sin sin sin a b A C a cc A B a b+--==--，可得222b ac ac =+-， 再由余弦定理，1cos 2B =，又(0,)B π∈，所以3B π=. ………………………… 3分因为120ADC ∠=︒，所以180ABC ADC ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆， 则四边形ABCD 的外接圆半径就等于ABC 外接圆的半径. 又2sin 3b R B ===，所以R = ………………………… 5分（2）由（1）可知：2249a c ac +-=，则2()493a c ac +=+.11sin ()22ABCS ac B a b c r ==++⋅，则2()497)7a c r a c a c +-===+-++. ………………………… 7分 在ABC中，由正弦定理，sin sin sin a c b A C B ===，所以a A =，c C =，则()sin )sin sin 120a c A C A A ⎤+=+=-︒+⎦1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ………………………… 10分又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，π14sin (7,14]6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故r ⎛∈ ⎝⎦………………………… 12分 21．【解析】（1）设(,)P x y1,x =+两边平方并整理，得222y x x =+，故曲线C 的方程为22||2y x x =+. ………………………… 3分 （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，由题意可得直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆E 的方程联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22223484120k x k x k +-+-=， 则212280,34k x x k ∆>+=+，212241234k x x k-=+⋅，可得()2212134k k AB +==+， ………………………… 6分∵24,0220,0x x y x x x ≥⎧=+=⎨<⎩，若直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且0k ≠，则直线l 与()240y x x =≥相交，直线l 的方程与曲线C 的方程联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=，则2342240,k x x k +∆>+=，341x x ⋅=，可得：()2342412k MN x x k +=++=， ………………………… 9分∴()()()()()2222224343331211121121k k k AB MN k k k λλλλ+-+-=-=+++， 要使1ABMNλ-为定值，则433λλ-=，即3λ=. ………………………… 12分 22．【解析】 （1）1()cos 1f x a x x'=-+（10-<≤x ）， a 为正实数， ∴函数()f x '在区间(1,0]-上单调递增，且(0)1f a '=-． ………………………… 1分 ①当01a <≤时，()(0)0f x f ''≤≤，所以函数()f x 在(1,0]-上单调递减，此时()(0)0f x f ≥=，符合题意． ………………………… 2分 ②当1a >时，11(0)10,1cos 10f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫''=->-=--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理，0(1,0)x ∃∈-时，有()00f x '=，即函数()f x 在()01,x -上递减， 在()0,0x 递增，所以当()0,0x x ∈时，有()(0)0f x f <=，此时不符合．综上所述，正实数a 的最大值为1． ………………………… 4分 （2）由（1）知，当1,(1,0)a x =∈-时，sin ln(1)x x >+，令21x k =-时，有2222111sin ln 1ln k k k k -⎛⎫⎛⎫->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221sin ln 1k k k <-，累加，得2212232sin ln lnln 2ln ln 2132111nk n n n n n k n =⎛⎫<⋅⋅==+< ⎪+++⎝⎭∑． …………… 7分 （3）因为1()e ln(1)x g x x +=-+，所以11()e1x g x x +'=-+，即函数()g x '在(1,)-+∞上递增，又1(0)e 10,202g g ⎛⎫''=->-=< ⎪⎝⎭，由零点存在定理，11,02x ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭时，有()10g x '=，即1111e 1x x +=+， 因此()11111lnln 11x x x +==-++，而函数()g x 在()11,x -上递减，在()1,x +∞上递增， 所以()()()11111min 111111e ln 1ln 1111x m g x g x x x x x x +===-+=+=+++++， 所以52,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ………………………… 9分设15()ee ln(1)22xmH x x m +⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则()1e e 1mxH x x+'=-+，所以函数()H x '在(1,)-+∞上递增，又(0)e e 0mH '=-<，e (1)(1)0mm H m m-'-=>，由零点存在定理，2(0,1)x m ∃∈-时，2()0H x '=，即212e e 1mx x +=+， 因此()221ln 1m x x =+++，又1111ln 11m x x =+++， 设()ln m x x x =+，则函数()m x 在(0,)+∞上递增， ………………………… 11分 于是21111x x +=+且()21ln 11x x +=+， 而函数()H x 在()21,x -上递减，在()2,x +∞上递增，()()()()()21min 2221121()e e ln 1e ln 1e 1101x m m m H x H x x x x x x +⎛⎫∴==-+=-+=+-+= ⎪+⎝⎭，即函数()H x 有唯一零点，故方程1e ln(1)0x m x +--+=有唯一的实数解． ………………………… 12分2x。

一、单选题二、多选题1. 函数与直线的两个相邻交点之间的距离为，且将的图象向左平移之后得到的图象关于原点对称.则关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为B．渐近线方程为C．对称中心为D．单调递增区间为2. 某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在的户主人数为（）A ．98B ．103C ．108D ．1123. 函数y ＝在[2，3]上的最小值为（ ）A ．2B．C．D．－4. 在等边中，，为所在平面内的动点，且，为边上的动点，则线段长度的最大值是（ ）A．B．C．D．5. 已知函数与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是A．B．C．D．6. 已知角的终边经过点， 则（ ）A ．2B．C ．1D．7. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 设集合,则集合中元素的个数是A．B．C．D．9.已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）A ．存在切点使得为直角B ．直线过定点C ．的取值范围是D ．面积的取值范围是山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(2)山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 已知，则（ ）A．B．C．D．11. 已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）A ．是偶函数B ．的图象关于直线对称C．D．12. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B两点．若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆的短轴长为B．当取最大值时，C．离心率为D ．的最小值为213. 已知数列，，则在数列的前50项中最大项是第________项.14. 已知直线与圆相切，则正实数k 的值为___________.15. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______．16. 如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，.（1）若是的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积.17. 某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为，，，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过个项目，求的概率分布及数学期望.18. 某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门后结果分别是：3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，走出迷宫游戏结束．(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的期望；(2)甲、乙2人相约玩这个游戏．2人商量了两种方案，方案一：2人共同行动；方案二：2人分头行动．分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望．19. 已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.(1)若与垂直，求的大小；(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.20. 已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程：(2)斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．21. 如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.。