数理金融期末复习

数理金融总结期末报告第一部分：数理金融的基本概念和发展历程数理金融是应用数学和统计学的方法研究金融市场和金融资产的定价、风险管理、投资组合选择等问题的学科。

数理金融的发展源于20世纪70年代，起初主要应用于期权定价和投资组合管理方面。

然而随着计算机技术的发展和金融工程的兴起，数理金融的应用领域逐渐扩展到其他金融资产和金融市场。

在数理金融的发展历程中，Black-Scholes期权定价模型、CAPM（资本资产定价模型）和风险价值模型等成为数理金融领域的经典模型。

Black-Scholes期权定价模型是数理金融的基石，它描述了欧式期权的定价公式。

CAPM模型解释了证券的期望收益与其系统性风险之间的关系，为投资组合的选择提供了理论依据。

而风险价值模型则用于评估投资组合的风险水平和金融市场的动态风险。

数理金融的发展受到计算机技术的极大推动。

随着计算机硬件和计算速度的提升，金融市场的交易和价格数据的收集和处理变得更加迅捷和高效。

同时，数学和统计方法的推动和应用也使得金融市场的模型和算法更加精确和有效。

第二部分：数理金融在金融市场中的应用数理金融在金融市场中的应用非常广泛，包括资产定价、风险管理、投资组合选择、衍生品定价和金融市场的建模等方面。

在资产定价方面，数理金融利用数学模型和统计方法分析金融资产的市场价格，并预测未来价格的变动。

这些模型包括Black-Scholes期权定价模型、CAPM模型和随机波动模型等。

通过这些模型，投资者可以根据市场价格选择合适的投资策略。

在风险管理方面，数理金融可以评估投资组合的风险水平，并制定相应的风险管理策略。

风险价值模型是常用的风险管理工具，它可以度量投资组合在不同的风险水平下的损失概率。

投资组合选择是数理金融的另一个重要应用领域。

数理金融通过最优化模型和统计方法，为投资者提供合理的投资组合选择策略。

通过分析资产的历史价格和波动性，数理金融可以帮助投资者选择合适的资产组合、权重和分散度，以达到预期风险和收益的平衡。

数理金融复习要点一、名词解释1. 冗余资产组合与冗余资产：冗余资产组合是指能够起复制作用的套利资产组合；冗余资产组合中权重系数非零的资产称为冗余资产。

2.“均值-方差”有效资产组合：如果一个资产组合对确定的方差具有最大期望收益率，同时对确定的期望收益率水平有最小的方差，则称这样的资产组合为“均值-方差”有效资产组合。

3.套利与套利资产组合 套利是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入，而在1期刻获得无风险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。

套利资产组合 设12(,,)T n w w w w =鬃?为一资产组合，如果w 满足10,1(1,1,1)T T n w ?=鬃?，则称12(,,)T n w w w w =鬃?为一套利资产组合 4.最小方差资产组合：又称前沿组合，是指对确定的期望收益率水平有最小的方差的资产组合。

5. 证券市场线是指对任意资产组合p X M Î,由点(,())Mp P E X b 所形成的轨迹。

证券市场线方程为：()(())p Mp M E X r E X r b -=-。

其中2cov(,)/Mp p M M X X b s =为资产组合pX 的市场beta 系数，r 为无风险利率。

它是过无风险资产对应的点(0,)r 和市场资产组合对应的点(1,())M E X 的一条直线。

6.资本市场线是由所有有效资产组合p X M Î所对应的点((),())P P X E X s 所形成的轨迹。

资本市场线的方程为：()(())p P M ME X r E X r s s =+-7.看涨期权又称买入期权，敲入期权，是给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。

期权包含四个要素：执行价、执行日、标的资产和期权费。

8,看跌期权：又称卖出期权、敲出期权，是指给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。

数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。

数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。

它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。

在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。

例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。

1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。

随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。

在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。

常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。

随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。

此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。

2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。

请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。

解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。

根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。

数理金融知识点总结数理金融是结合数学、统计学和经济学等学科的知识来研究金融市场和金融产品的一门学科。

它将数学和统计理论应用于金融领域，用来分析金融市场的波动、风险管理、金融工程等。

数理金融不仅是金融学的一个分支，更是金融领域中不可或缺的一部分。

下面我们将重点总结数理金融中的一些重要知识点。

1. 随机过程和随机微分方程随机过程是一类随机变量构成的集合，它描述了随机变量随时间的变化规律。

常见的随机过程包括布朗运动、泊松过程等。

随机微分方程是描述随机过程演化的数学工具，它以微分方程的形式描述了随机过程在时间上的变化。

随机过程和随机微分方程在金融领域中被广泛应用于衍生品定价、风险管理等方面。

2. 随机模型金融市场的波动和价格变化通常被认为是随机的，因此随机模型是金融领域中的一个重要工具。

常见的随机模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型、跳跃扩散模型等。

这些随机模型用来描述金融资产价格的变化，并用于金融产品的定价和风险管理。

3. 金融衍生品定价金融衍生品是一种以金融资产为标的，具有衍生性质的金融工具，常见的金融衍生品包括期权、期货、互换合约等。

数理金融提供了一系列的定价模型，如布莱克-斯考尔斯定价模型、波拉赫特-希克斯定价模型等，用来评估金融衍生品的市场价格。

4. 风险管理金融市场的波动性使得金融市场的风险管理成为了一个重要的课题。

数理金融提供了一系列的方法和工具，如价值-at-风险、条件风险、模拟方法等，用来对金融市场的风险进行量化和管理。

5. 投资组合优化投资组合优化是指在给定风险水平下，寻找最优的投资组合以实现最大的预期收益。

数理金融提供了一系列的优化方法，如马尔可夫维茨模型、均值-方差模型等，用来对投资组合进行优化。

6. 交易策略交易策略是投资者在交易金融资产时制定的一系列规则和方法，目的是最大化收益或者最小化风险。

数理金融提供了一系列的分析方法和工具，如技术分析、基本面分析、量化分析等，用来制定交易策略。

金融学期末复习重点知识总结
1. 宏观经济学基础知识
- 宏观经济学的定义和研究对象
- GDP和国民收入的计算方法及其应用
- 经济增长的驱动因素和影响因素
- 通货膨胀和通货紧缩的原因和后果
- 货币供应量和货币政策的作用
2. 金融市场和金融工具
- 不同类型的金融市场（股票市场、债券市场、外汇市场等）及其特点
- 金融工具的种类和功能（股票、债券、期货、期权等）
- 金融市场中的交易制度和交易方式
3. 风险管理和投资组合理论
- 风险管理的概念和目标
- 风险度量和风险评估方法
- 投资组合理论的基本原理和关键概念
- 资本资产定价模型（CAPM）和有效市场假说（EMH）
4. 公司金融和资本结构决策
- 公司金融的基本概念和目标
- 资本结构的定义和影响因素
- 负债和股权融资的优缺点及适用条件
- 公司价值评估和股权定价模型
5. 国际金融和外汇市场
- 国际金融市场的结构和功能
- 外汇市场的基本知识和操作方式
- 汇率制度和汇率波动的原因和影响因素
- 汇率风险管理和国际投资决策
以上是金融学期末复习的重点知识总结。

请按照这些知识点进
行复习，确保对每个知识点都有清晰的理解和掌握。

祝你考试顺利！。

13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D %2．无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型，贝塔值为的证券X 的期望收益率为A B 0.144 C D3．无风险收益率为，市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ，贝塔值为.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e,则其绝对风险厌恶函数()Ax3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。

数理⾦融学导论复习试题《数理⾦融》复习题2010-10⼀．选择题：1.证券的系统性风险⼜称为：(C)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。

2.证券的⾮系统性风险⼜称为：(B)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。

3. 哪种风险可以通过多样化来消除：(D)（(A)）预想到的风险；（(B)）系统性风险（(C)）市场风险；（(D)）⾮系统性风险。

4. 下⾯哪种说法是正确的？(D)（(A)）系统性风险对投资者不重要；（(B)）系统性风险可以通过多样化来消除；（(C)）承担风险的回报独⽴于投资的系统性风险；（(D)）承担风险的回报取决于系统性风险。

5. 系统性风险可以⽤什么来衡量？(A)（(A)）贝塔系数；（(B)）相关系数；（(C)）收益率的标准差；（(D)）收益率的⽅差。

6. 发⽣哪种情况时，国库券和BAA级公司债券的收益率差距会变⼤？(B)(A)利率降低 (B)经济不稳定(C)信⽤下降 (D)以上均可7.⼀债券有可赎回条款是：(C)(A)很有吸引⼒的，可以⽴即得到本⾦加上溢价，从⽽获得⾼收益。

((B))当利率较⾼时期倾向于执⾏，可节省更多的利息⽀出。

(C)相对于不可赎会的类似债券⽽⾔，通常有更⾼的收益率。

(D)以上均不对8. 考虑⼀个5年期债券，息票率10%，但现在的到期收益率为8%，如果利率保持不变，⼀年后债券价格会：(B)(A)更⾼ (B)更低 (C)不变 (D)等于⾯值9.以下那⼀条对投资者⽽⾔，可转换债券不是有利的:(C)(A)收益率通常⽐标的普通股⾼ (B)可能会推动标的股票价格的上涨(C)通常由发⾏公司的特定资产提供担保 (D)投资者可将其转换成标的普通股10.⼀种债券由可赎回条款是指：C(A)投资者可以在需要的时候要求还款(B)投资者只有在公司⽆⼒⽀付利息时才有权要求偿还(C)发⾏者可以在到期⽇之前回购债券(D)发⾏者可在前三年撤销发⾏11. ⼀种⾯值1000元的附息债券的息票率为6%，每年付息⼀次，修正的久期为10年，市价为800元，到期收益率为8%。

1. ※假设组合的收益为r p ，组合中包含n 种证券，每种证券的收益为r i ，它在组合中的权重是w i ，则组合的投资收益的期望和方差为11nnp i i i i i i Er E w r w Er ===∑∑（）＝（）,n 222i 11,1,1nnnpiii j ij ijiji j i j i j w w w w w σσσσ==≠==+=∑∑∑∑＝例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭T w r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.750.01(0.18)0.024475p σ⎡⎤⎛⎫=∑⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=例：假设某组合包含n 种股票。

投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n ，每种股票的收益也是占总收益的1/n 。

设若投资一种股票，其期望收益为r ，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。

11w r (,...,)T p r r r n n r ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭22T2222221...011w w (,...,)0111(,...,)p n n n n n nσσσσσσσ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪=∑⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭++= =＝ 2. ※解马克维茨的均值-方差（Mean-variance ）模型:21min 2..1Tp wT pT s t r σ=∑==w w w r w 1解:构造拉格朗日函数1212,,1()(1)2T T T p w L r λλλλ=∑+-+-w w w r w 1 由于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件1212(1)0 (2)10 (3)T p T LLr Lλλλλ∂=∑--=∂∂=-=∂∂=-=∂w r 10w w r w 1 由(1)得到12λλ∑=+w r 11112λλ--⇒=∑+∑w r 1 (4) (4)代入(2)可得111211121112()()()T T p T T T T r λλλλλλ------==∑+∑=∑+∑=∑+∑w r r 1r r r 1rr r 1r(5)把（4）代入（3）111211121() T T TTλλλλ----==∑+∑=∑+∑w 1r 11r 111（6）为简化，定义11T T a --∑=∑r r r r 11T T b --∑=∑1r r 1 11T T c --∑=∑11112d ac b -将（5）和（6）改写为 12121p r a bb cλλλλ=+⎧⎨=+⎩ 解得12p pcr b cr bd ac bλ--==- 22p pa br a br d ac bλ--==- 可解得给定收益条件下的最优权重向量为11p p cr b a br d d----=∑+∑w r 13. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。