数理金融 习题

《数理金融理论与模型》习题解答第一章 金融市场第一章 练习题 解答1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票内在价值是多少？ 解答：()()111112401110%5%1n nnn n d i d i d IV i r r i r -∞∞==++⎛⎫===== ⎪++--⎝⎭+∑∑2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少？债券名称 2005年记账式(四期)国债 债券简称 05国债(4) 债券代码 010504 发行额(亿元) 339.20 发行价(元) 100.00 发行方式 利率招标期限(年) 20.00发行票面利率(%) 4.11上市场所上海证券交易所 计息日 2005-05-15 到期日 2025-05-15 发行起始日 2005-05-15 发行截止日 2005-05-19 发行单位 财政部 还本付息方式 半年付息到期收益率(%) 3.8903剩余期限(年)15.0795发行对象 在证券登记公司开立股票和基金账户,在国债登记公司开立一级债券账户的各类投资者。

解答：()()()()()()140.07950.079515.07951140.07950.079515.079511100*1114.11% 4.11%104.11%100*106.251 3.8903%11n n n n c c c DirtyPrice r r r r r +=+=⎡⎤+=++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑100**(10.0795)106.25 3.78102.47CleanPrice DirtyPrice c =--=-=3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。

数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。

数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。

它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。

在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。

例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。

1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。

随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。

在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。

常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。

随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。

此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。

2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。

请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。

解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。

根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。

《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。

题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。

题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。

那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。

因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。

假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。

因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。

题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。

这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。

该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。

13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1。

适用班级：11数学与应用数学本1。

本2，2013数学（升本)2。

本试卷共1页。

满分100分。

3.考试时间120分钟。

4.考试方式:闭卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10％、16%、20％ 它们在组合中的比例分别为30%、30％、40％，则该证券组合的预期收益率为______ A 15。

3％ B 15。

8％ C 14。

7％ D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0。

06和0。

12。

根据CAPM 模型，贝塔值为1。

2的证券X 的期望收益率为A 0。

06B 0。

144C 0.12D 0。

1323．无风险收益率为0。

07,市场期望收益率为 0.15。

证券X 的预期收益率为 0。

12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了;D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高；B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5。

假定IBM 公司的股价是每股95美元。

一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元B 跌到90美元C 涨到107美元D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1。

风险厌恶型投资者的效用函数为2。

设一投资者的效用函数为,则其绝对风险厌恶函数 3.均值-方差投资组合选择模型是由提出的.4。

可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5。

考察下列两项投资选择：(1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60％的概率获得5％的收益;(2)银行存款收益率为6%；则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1。

数理金融习题答案数理金融是一门结合了数学和金融学的学科，它运用数学模型和统计方法来分析金融市场和金融产品。

在数理金融的学习过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以加深对数理金融理论的理解，并提高解决实际问题的能力。

下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一题：假设某只股票的价格服从几何布朗运动，其漂移率为0.05，波动率为0.2。

如果当前股票价格为100元，且时间为1年，求1年后股票价格为120元的概率。

答案：根据几何布朗运动的性质，股票价格的对数服从正态分布。

设股票价格的对数为X，则有X ~ N((0.05-0.2^2/2)*1, 0.2^2*1)，即X ~ N(0.03, 0.04)。

将120元转化为对数形式，即ln(120)，然后代入正态分布的公式，可以计算出概率为P(X > ln(120))。

最后，利用统计软件或查表工具，可以得到答案。

第二题：假设某只期权的价格为5元，行权价为100元，无风险利率为0.05，期权到期时间为3个月，波动率为0.3。

求该期权的Delta值。

答案：Delta值表示期权价格对标的资产价格变动的敏感性。

对于欧式期权，Delta值可以通过期权定价模型计算得到。

常用的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯模型和它的变种。

根据布莱克-斯科尔斯模型，Delta值可以通过期权定价公式中的一阶偏导数来计算。

对于看涨期权，Delta值为N(d1)，对于看跌期权，Delta值为N(d1)-1，其中N(x)表示标准正态分布函数，d1的计算公式为：d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ√T)其中，S为标的资产价格，X为行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T为期权到期时间。

将题目中给定的参数代入公式，即可计算出该期权的Delta值。

第三题：假设某只债券的到期时间为5年，票面利率为5%，市场利率为4%，票面价值为100元。

一、填空题（每小题2分，总共10分）_______的最小化。

.2、 看涨期权多头收益随着标的价格的上涨而____________（填增加、减少或不变）。

3、 套利指的是不承担任何_________而最后能获得正的超额收益。

4、 投资组合中某资产前系数为负指的是___________该资产。

5、 在风险中性概率下，资本市场中所有资产的预期收益率都等于____________收益率二、选择题（每小题2分，总共20分）( )A 、理论性人假设B 、 风险中性假设C 、有效市场假设D 、供给无限弹性假设2、 关于因素模型 ε++=bf a X ，下列说法错误的是（ ）A 、f 代表了系统风险B 、ε代表了非系统风险C 、a X E =][D 、b 始终为正3、看涨期权+-)50(S 期权费为5，则其盈亏平衡所对应的股价为（ ）A 、50B 、45C 、55D 、604、关于美式期权与欧式期权的说法不正确的是（ ）A 、两者行权的方式不同B 、对于看涨期权，美式期权不应该提前行权C 、其他情况相同，美式期权价格应高于欧式期权价格D 、美式期权是在美国发行的，欧式期权是欧洲发行的5、根据有效市场假说，宏观分析有效而技术分析无效的市场是（ ）A 、弱式有效市场B 半强式有效市场C 、强式有效市场D 、无效市场6、假设12K K >，下列期权组合适用于牛市的是（ ）A 、买入执行价为1K 的看涨期权同时卖出一份执行价为2K 的看涨期权B 、卖出执行价为1K 的看涨期权同时买入一份执行价为2K 的看涨期权C 、卖出执行价为1K 的看跌期权同时买入一份执行价为2K 的看跌期权D 、买入执行价为1K 的看涨期权和一份执行价为2K 的看跌期权7、在B-S 公式中，假设没有股息，期权价格关于下列因素递减的是（ ）A 、股票初始价格B 、期权执行价格C 、市场无风险利率D 、股票波动率8、设两个标的s S =0、执行价K 和到期日T 均相同的欧式看涨看跌期权的价格分别为P C ,，市场无风险利率为r ，如果看涨看 跌平价公式不成立且rT Ke s C P ->+-，则下列正确的套利策略是（ ）A 、买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，剩余资金存入银行B 、从银行借款，卖空看涨期权，买入出看跌期权和股票C 、买入看涨期权和看跌期权，卖空股票和债券D 、买入股票和债券，卖空看涨和看跌期权9、关于证券市场线和资本市场线的说法错误的是（ ）A 、两者均反映了收益和风险的关系B 、两者均为直线且从坐标截距均为无风险利率C 、资本市场线比证券市场线的适用范围大D 、资本市场线体现的是资产组合、证券市场线体现的是资产定价10、股票初始价格150=S ，执行价格为18的看涨期权的期权费为c ，则下列估计合理的是（ ）A 、15<cB 、15>cC 、1815<<cD 、18>c三、名词解释（每题5分，共10分）1、举例说明对冲和复制的概念2、试举例说明套期保值，投机和套利三者的区别三、计算题（每题15分，共60分）1、设三支股票321,,X X X 的收益率向量为 )06.0,05.0,04.0(=T μ，三支股票各自的方差分别为0.01.0.04.0.025且它们彼此的收益不相关。

数理金融习题答案数理金融习题答案数理金融作为一门交叉学科，融合了数学、统计学和金融学的理论与方法，用于解决金融市场中的问题。

在学习数理金融的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题，我们可以更好地理解和应用相关的知识。

下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 期权定价模型中的Black-Scholes模型是如何推导出来的？答案：Black-Scholes模型是由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出的，它是一种用于计算欧式期权价格的数学模型。

该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无套利机会、股票价格服从几何布朗运动等。

通过对股票价格的随机性建模，我们可以得到一个偏微分方程，即Black-Scholes方程。

通过求解这个方程，我们可以得到期权的理论价格。

2. 什么是马尔科夫链？答案：马尔科夫链是一种随机过程，具有马尔科夫性质。

马尔科夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔科夫链可以用状态转移矩阵来描述，矩阵中的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。

马尔科夫链在金融中的应用很广泛，比如股票价格的模拟和风险管理等领域。

3. 什么是随机过程的鞅性？答案：鞅是一种随机过程，具有平均保持不变的性质。

在数理金融中，我们常常关注鞅性的概念。

一个随机过程被称为鞅，如果它的条件期望在给定当前信息下等于当前值。

鞅性在金融中有很多应用，比如期权定价中的风险中性概率测度和无套利定价等。

4. 如何计算期权的Delta和Gamma？答案：Delta是期权价格对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算期权价格在标的资产价格上的偏导数来得到。

Gamma是Delta对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算Delta在标的资产价格上的偏导数来得到。

这两个指标在期权交易中非常重要，可以帮助我们了解期权价格的变化情况。

数理⾦融学导论复习试题《数理⾦融》复习题2010-10⼀．选择题：1.证券的系统性风险⼜称为：(C)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。

2.证券的⾮系统性风险⼜称为：(B)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。

3. 哪种风险可以通过多样化来消除：(D)（(A)）预想到的风险；（(B)）系统性风险（(C)）市场风险；（(D)）⾮系统性风险。

4. 下⾯哪种说法是正确的？(D)（(A)）系统性风险对投资者不重要；（(B)）系统性风险可以通过多样化来消除；（(C)）承担风险的回报独⽴于投资的系统性风险；（(D)）承担风险的回报取决于系统性风险。

5. 系统性风险可以⽤什么来衡量？(A)（(A)）贝塔系数；（(B)）相关系数；（(C)）收益率的标准差；（(D)）收益率的⽅差。

6. 发⽣哪种情况时，国库券和BAA级公司债券的收益率差距会变⼤？(B)(A)利率降低 (B)经济不稳定(C)信⽤下降 (D)以上均可7.⼀债券有可赎回条款是：(C)(A)很有吸引⼒的，可以⽴即得到本⾦加上溢价，从⽽获得⾼收益。

((B))当利率较⾼时期倾向于执⾏，可节省更多的利息⽀出。

(C)相对于不可赎会的类似债券⽽⾔，通常有更⾼的收益率。

(D)以上均不对8. 考虑⼀个5年期债券，息票率10%，但现在的到期收益率为8%，如果利率保持不变，⼀年后债券价格会：(B)(A)更⾼ (B)更低 (C)不变 (D)等于⾯值9.以下那⼀条对投资者⽽⾔，可转换债券不是有利的:(C)(A)收益率通常⽐标的普通股⾼ (B)可能会推动标的股票价格的上涨(C)通常由发⾏公司的特定资产提供担保 (D)投资者可将其转换成标的普通股10.⼀种债券由可赎回条款是指：C(A)投资者可以在需要的时候要求还款(B)投资者只有在公司⽆⼒⽀付利息时才有权要求偿还(C)发⾏者可以在到期⽇之前回购债券(D)发⾏者可在前三年撤销发⾏11. ⼀种⾯值1000元的附息债券的息票率为6%，每年付息⼀次，修正的久期为10年，市价为800元，到期收益率为8%。