2017-2018学年山东省青岛市胶州市初三上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（3分）小华在上午8时，上午9时，上午10时，上午12时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）
A．上午8时B．上午9时C．上午10时D．上午12时3．（3分）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（）
A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）4．（3分）若函数y=x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（）A．b≤1B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1
5．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）
A．4：9B．2：5C．2：3D．：
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC的长为（）
A．3B．6C．12D．12
7．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）
A．B．C．D．1
8．（3分）如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（）
A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）已知关于x的方程5x2+kx﹣6=0的一个根2，则k=，另一个根为．
10．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，tanA=，则AC的长是cm．11．（3分）沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是．
12．（3分）将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．
13．（3分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为m．
14．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0
时，x的取值范围是1＜x＜3．其中结论正确的是．（填写正确结论的标号）
三、解答题（本题共70分）
15．（4分）已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，它的俯视图如图所示，画出它的主视图和左视图．
16．（8分）（1）解方程：x（x+6）=7．
（2）用配方法求二次函数y=2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
17．（6分）小亮和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号1～4的四个球（除编号都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮胜；若两次数字之和小于5，则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18．（6分）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至
少要提前10天完成组成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？19．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE．
20．（8分）海岛A的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67°，航行12n mlie到达C点，又测得小岛A 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：sin67°≈，cos67°，tan67°≈）
21．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，D分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．
（1）求证：四边形CODP是菱形；
（2）当矩形ABCD的边AD，DC满足什么关系时，菱形CODP是正方形？请说明理由．
22．（10分）某果品超市销售进价为40元/箱的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设每箱苹果的销售价位x（x＞50）时，平均每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）当每箱苹果的销售价位多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？（3）临近春节，为稳定市场，物价部门规定每箱苹果售价不得高于58元，求此时平均每天获得的最大利润是多少元？
23．（10分）【问题】在1～n（n≥2）这n个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？
【探究】不妨假设有m种取法，为了探究m与n的关系，我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：在1～2这2个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于2，共有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+2，共有1种取法．
所以，当n=2时，m=1．
探究二：在1～3这3个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于3，共有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+3，2+3；共有2种取法．
所以，当n=3时，m=2．
探究三：在1～4这4个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于4，共有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+4，3+4；2+3共有3+1=4种取法．
所以，当n=4时，m=3+1=4．
探究四：在1～5这5个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+5，2+5，3+5，4+5；2+4，3+4，共有4+2=6种取法．所以，当n=5时，m=4+2=6．
探究五：在1～6这6个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？（仿照上述探究方法，写出解答过程）
探究六：在1～7这7个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于7，共有种取法．（直接写出结果）
你不妨继续探究n=8，9，…时，m与n的关系．
【结论】在1～n（n≥2）这n个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所
